专题14.6 斜边及一直角边证全等（HL）（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题14.6 斜边及一直角边证全等（HL） 教学目标 1. 掌握HL的定义以及判定方法，并能够熟练应用； 2. 掌握判定全等的所有方法，并能够通过题目的已知条件熟练的选择合适的判定方法判定三角形的全等。 教学重难点 1. 重点 （1） 用“HL”判定直角三角形全等； （2） 全等三角形判定方法的灵活应用。 2. 难点 （1）添加条件形成“HL”全等判定方法； （2）用“HL”判定全等； （3）全等三角形的判定与性质。 知识点01 斜边与直角边（HL）判定直角三角形全等 1. 斜边与直角边（HL）判断全等的概念： 直角三角形的 斜边与其中一条直角边 对应相等的两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中： ∴Rt△ABC≌Rt△DEF。 【即学即练1】 1．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　） A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD C．AC＝BD D．∠ABC＝∠ABD 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝AB， ∴当添加AC＝AD或BC＝BD时，根据“HL”可判断Rt△ABC≌Rt△ABD． 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　　） A．AAS B．HL C．SAS D．ASA 【答案】B 【解答】证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F， ∴∠BEC＝∠BFC＝90°， 在Rt△BCF和Rt△CBE中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL）， ∴Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是HL． 故选：B． 【即学即练3】 3．如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵BF＝EC， ∴BF+FC＝FC+EC，即BC＝EF， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABC和△DEF都是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△DEF中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 知识点02 全等三角形判定方法的灵活应用 1. 全等三角形判定方法的灵活应用： 针对不同的已知条件，所选择求证的第三个已知条件也不同，总结如下： 【即学即练1】 4．如图1，AB与CD相交于点O，且OA＝OB，要添加一个条件，才能使得△AOC≌△BOD，那么可以添加的一个条件是： 添加：　OC＝OD　 ，判断三角形全等的依据是SAS； 添加：∠A＝∠B，判断三角形全等的依据是 　ASA　 ； 添加：　∠C＝∠D　 ，判断三角形全等的依据是 　AAS　 ； 练习：如图2，若有AD⊥BC于点D这个条件，要证△ABD≌△ACD，则需补充的条件是： 添加：BD＝CD，判断三角形全等的依据是 　SAS　 ； 添加：　AB＝AC　 ，判断三角形全等的依据是HL； 添加：　∠B＝∠C　 ，判断三角形全等的依据是 　AAS　 ． 【答案】OC＝OD；ASA；∠C＝∠D；AAS； 练习：SAS；AB＝AC；∠B＝∠C；AAS． 【解答】解：添加：OC＝OD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）； 添加：∠A＝∠B， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（ASA）； 添加：∠C＝∠D， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）； 故答案为：OC＝OD；ASA；∠C＝∠D；AAS； 练习：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， 添加：BD＝CD， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）； 添加：AB＝AC， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ABD≌△ACD（HL）； 添加：∠B＝∠C， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ABD≌△ACD（AAS）； 故答案为：SAS；AB＝AC；∠B＝∠C；AAS． 【即学即练2】 5．如图，∠ABC＝∠DCB，添加下列条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　） A．AB＝CD B．AC＝DB C．∠A＝∠D D．∠ABE＝∠DCE 【答案】B 【解答】解：已知在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， A．∵AB＝DC，由，可证得△ABC≌△DCB（SAS），故本选项不符合题意； B．∵AC＝DB， 由，无法证得△ABC≌△DCB，故本选项符合题意； C．∵∠A＝∠D， 由，可证得△ABC≌△DCB（AAS），故本选项不符合题意． D．∵∠ABE＝∠DCE，∠AEB＝∠CED， ∴∠A＝∠D， 由，可证得△ABC≌△DCB（AAS），故本选项不符合题意． 故选：B． 题型01 添加条件形成“HL”的全等判定方法 【典例1】如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 【答案】D 【解答】解：条件是AB＝CD， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠AEB＝90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， 故选：D． 【变式1】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．∠ADB＝∠CBD D．AB＝CD 【答案】A 【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意； B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意； C．∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项不符合题意； D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】如图，已知AC⊥BD，垂足为点O，AO＝CO，要根据“HL”证明Rt△ABO≌Rt△CDO，还需要添加的一个条件是（　　） A．AB∥CD B．OB＝OD C．∠A＝∠C D．AB＝CD 【答案】D 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， 已知AO＝CO， 从图中可知AB、CD分别为Rt△ABO和Rt△CDO的斜边， 根据“HL”定理，证明Rt△ABO≌Rt△CDO， 还需补充一对斜边相等， 即AB＝CD， 故选：D． 题型02 判定全等的依据—HL 【典例1】如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（　　） A．HL B．ASA C．AAS D．SAS 【答案】A 【解答】解：HL， 理由是：∵∠A＝∠D＝90°， ∴在Rt△ABC和Rt△DCB中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， 故选：A． 【变式1】如图，AC⊥BC，DF⊥EF，AC＝DF，AB＝DE，则判定Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．HL D．AAS 【答案】C 【解答】解：∵AC⊥BC，DF⊥EF， ∴∠ACB＝90°，∠DFE＝90°， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【变式2】在课堂上，老师发给每人一张印有Rt△A'B'C'（如图所示）的卡片，然后，要同学们尝试画一个Rt△ABC，使得Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．小赵和小刘同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 老师评价：他俩的做法都正确．请你选择一位同学的做法，并说出其作图依据．我选 　小刘　 的做法（填“小赵”或“小刘”），他作图判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的依据是 　SAS　 ． 【答案】小刘，SAS． 【解答】解：∵小刘同学先确定的是直角三角形的两条直角边， ∴确定依据是SAS定理． 故答案为：小刘，SAS． 题型03 用“HL”判定证明全等 【典例1】如图AB＝AE，BC＝ED，AB⊥BF，AE⊥EF，F是CD上一点，∠C＝∠D＝90°，证明：Rt△BCF≌Rt△EDF． 【答案】见解答． 【解答】证明：连接AF，如图， ∵AB⊥BF，AE⊥EF， ∴∠ABF＝∠AEF， 在Rt△ABF和Rt△AEF中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL）， ∴BF＝EF， 在Rt△BCF和Rt△EDF中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△EDF（HL）． 【变式1】在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， 在Rt△ADC与Rt△CBA中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL）， ∴DC＝BA． 又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在Rt△ABE与Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． 【变式2】如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL）， ∴∠EAC＝∠BCF， ∵∠EAC+∠ACE＝90°， ∴∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°． 【变式3】如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2． （1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由； （2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）全等，理由是： ∵∠1＝∠2， ∴DE＝CE， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）； （2）是直角三角形，理由是： ∵Rt△ADE≌Rt△BEC， ∴∠3＝∠4， ∵∠3+∠5＝90°， ∴∠4+∠5＝90°， ∴∠DEC＝90°， ∴△CDE是直角三角形． 题型04 全等三角形的判定与性质 【典例1】如图，在△ABC中，点D在BC延长线上，DE∥AC，且DE＝BC，AC＝BD． （1）求证：△ABC≌△BED； （2）若AC＝10，DE＝6，求DC的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）4． 【解答】（1）证明：∵在△ABC中，点D在BC延长线上，DE∥AC， ∴∠D＝∠BCA． 在△ABC和△BED中， ， △ABC≌△BED（SAS）； （2）解：由（1）知：△ABC≌△BED，且AC＝10，DE＝6， ∴BD＝AC＝10，BC＝ED＝6， ∴CD＝BD﹣BC＝10﹣6＝4． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）△DAE≌△CFE理由如下： ∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF，在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AE； 【变式2】如图，在△ABC中，DB＝DC，CD⊥AB，BE⊥AC，CD与BE相交于点F． （1）求证：△ACD≌△FBD； （2）若DF＝2，BD＝5，求△ABC的面积． 【答案】（1）见详解； （2）． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDF＝∠CDA＝90°＝∠BEA， ∴∠DBF+∠A＝∠A+∠DCA＝90°， ∴∠DBF＝∠DCA， 在△ACD和△FBD中， ， ∴△ACD≌△FBD（ASA）； （2）解：∵△ACD≌△FBD，DF＝2， ∴DA＝DF＝2， ∴AB＝BD+DA＝7， ∵CD＝BD＝5， ∴． 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，AD＝DE，∠1＝∠2． （1）求证：△ABD≌△DCE； （2）若AE＝2，BD＝3，求CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 又∵∠1＝∠2，AD＝DE， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （2）解：∵△ABD≌△DCE， ∴CE＝BD＝3，AB＝DC， ∵AE＝2， ∴AC＝CE+AE＝3+2＝5， ∵AB＝AC， ∴AB＝5， ∴CD＝5． 【变式4】如图（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3；点P在线段AB上以每秒一个单位长度的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，其他条件不变．设点Q的运动速度变为每秒x个单位长度，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当t＝1时，△ACP≌△BPQ；PC⊥PQ，理由见解答过程； （2）存在，相应的x的值2或． 【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP≌△BPQ；PC⊥PQ，理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， 依题意得：AP＝BQ＝1， ∵AB＝4， ∴BP＝AB﹣AP＝3， ∵AC＝3； ∴AC＝BP＝3， 在△ACP和△BPQ中， ， △ACP≌△BPQ（SAS）， ∴∠C＝∠BPQ， 在Rt△ACP中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， ∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， 即PC⊥PQ； （2）存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等． 根据点P，Q的运动速度和时间得：AP＝t，BQ＝xt， ∴BP＝AB﹣AP＝4﹣t， ∵∠CAB＝∠DBA， ∴有以下两种情况： ①当AP＝BQ，AC＝BP时，△ACP≌△BPQ（SAS）， 由AP＝BQ，得：t＝xt， 解得：x＝1； ②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BDP（SAS）， 由AP＝BP，得：t＝4﹣t， 解得：t＝2， 由AC＝BQ，得：3＝xt， 将t＝2代入3＝xt，得：x， ∴当△ACP与△BPQ全等时，相应的x的值2或． 1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．斜边和一条直角边分别相等 B．一个锐角和斜边分别相等 C．两条直角边分别相等 D．两个锐角分别相等 【答案】D 【解答】解：A、利用HL，可以判定两个直角三角形全等，故此选项正确，不符合题意； B、利用AAS，可以判定两个直角三角形全等，故此选项正确，不符合题意； C、利用SAS，可以判定两个直角三角形全等，故此选项正确，不符合题意； D、利用AAA，不能得到两个直角三角形全等，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 2．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（　　） A．HL B．ASA C．SAS D．SSS 【答案】A 【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， 故选：A． 3．如图，已知AB⊥AC，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DCB全等，则可以添加的条件是（　　） A．AE＝CE B．AB＝CD C．∠A＝∠D D．BE＝CE 【答案】B 【解答】解：A、D中的条件不是两个三角形的边，不能用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DCB全等，故A、D不符合题意； B、应用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DCB全等，故B符合题意； C、少一直角边对应相等的条件，不能用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DCB全等，故C不符合题意． 故选：B． 4．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ 【答案】C 【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， 如果AC＝A′C′，AB＝A′B′，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等， 故选：C． 5．如图，在四边形ABCD中，CD⊥AD，CB⊥AB，垂足分别是D、B，CD＝CB．求证：Rt△ADC≌Rt△ABC．以下是排乱的证明过程： ①∴∠D＝∠B＝90°； ②∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL）； ③∵CD⊥AD，CB⊥AB； ④∵在Rt△ADC和Rt△ABC中，． 证明步骤正确的顺序是（　　） A．③②④① B．③①④② C．①②③④ D．①③④② 【答案】B 【解答】解：∵CD⊥AD，CB⊥AB， ∴∠D＝∠B＝90°， 在Rt△ADC和Rt△ABC中， ， ，∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL）， 故顺序为③①④②， 故选：B． 6．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，则图中共有全等的直角三角形（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【解答】解：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COM≌△BOM，△ACM≌△ABM，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．理由如下： 在Rt△ADO与Rt△AEO中，∠ADO＝∠AEO＝90°， ， ∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠DAO＝∠EAO，AD＝AE， 在△DOC与△EOB中， ， ∴△DOC≌△EOB（ASA）， ∴DC＝EB，OC＝OB， ∴DC+AD＝EB+AE，即AC＝AB， ∵∠DAO＝∠EAO， ∴AM⊥BC，CM＝BM． 在Rt△COM与Rt△BOM中，∠OMC＝∠OMB＝90°， ， ∴Rt△COM≌Rt△BOM（HL）． 在Rt△ACM与Rt△ABM中，∠AMC＝∠AMB＝90°， ， ∴Rt△ACM≌Rt△ABM（HL）． 在△ADB与△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（SAS）． 在Rt△BCE与Rt△CBD中，∠BEC＝∠CDB＝90°， ， ∴Rt△BCE≌Rt△CBD（HL）． 故选：D． 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5cm，则AE＝（　　）cm． A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm 【答案】C 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECF+∠BCD＝90°， ∴∠B＝∠ECF， ∵EF⊥AC， ∴∠FEC＝90°＝∠ACB， 在△ACB和△FEC中， ， ∴△ACB≌△FEC（ASA）， ∵BC＝2cm，EF＝5cm， ∴EC＝BC＝2cm，CA＝EF＝5cm， ∴AE＝CA﹣EC＝5﹣2＝3cm， 故选：C． 8．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为3和8，则b的面积为（　　） A．5 B．11 C．24 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵直线l上有三个正方形a、b、c， ∴∠ABF＝∠FCG＝∠EDG＝90°，FC＝CG， ∴∠FBC＝∠CDG＝90°， ∴∠BFC＝∠DCG＝90°﹣∠BCF， 在△FBC和△CDG中， ， ∴△FBC≌△CDG（AAS）， ∴BC＝DG， ∵a、c的面积分别为3和8， ∴BF2＝3，BC2＝DG2＝8， ∴CF2＝BF2+BC2＝3+8＝11， ∴b的面积是11， 故选：B． 9．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，本选项正确； ②∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD+∠DBC＝45°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确； ③∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°， 则BD⊥CE，本选项正确； ④∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确， 故选：D． 10．如图，在长方形ABCD的中，已知AB＝6cm，BC＝10cm，点P以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以a cm/s的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（　　） A．4或 B．6 C．或1 D．4 【答案】A 【解答】解：设点P，Q运动的时间为t（s）， 依题意得：BP＝4t cm，CQ＝at cm， ∵四边形ABCD是长方形，且AB＝6cm，BC＝10cm， ∴∠B＝∠C＝90℃P＝BC﹣BP＝（10﹣4t）cm， 当以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等时，有以下两种情况： ①当AB＝PC，BP＝CQ时，则△ABP≌△PCQ（SAS）， 由BP＝CQ，得：4t＝at， 解得：a＝4； ②当AB＝CQ，BP＝CP时，则△ABP≌△QCP（SAS）， 由BP＝CP，得：4t＝10﹣4t， 解得：t， 由AB＝CQ，得：6＝at， 将t代入6＝at，得：a， 综上所述：a的值为4或． 故选：A． 11．如图，在△ABC和△ABD中，AC＝AD，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件　∠C＝∠D＝90°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：添加∠C＝∠D＝90°；理由如下： ∵∠C＝∠D＝90°， ∴在Rt△ABC和Rt△ABD中，， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）； 故答案为：∠C＝∠D＝90°． 12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝　7　 cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90° ∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠B＝90° ∴∠EAC＝∠B ∵AB＝AC ∴△ABD≌△ACE（AAS） ∴AD＝CE，BD＝AE ∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝7（cm）． 故填7． 13．如图，在△ABC中，D是AC的中点，分别过点A，C作BD的垂线，垂足为E，F．若DE＝6，CF＝BF＝8，则△ABC的面积是 　112　 ． 【答案】112． 【解答】解：∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∵AE⊥BD，CF⊥BD． ∴∠E＝∠CFD． 在△CDF和△ADE中， ， ∴△CDF≌△ADE（AAS）． ∴AE＝CF＝8，S△ADE＝S△CDF，DE＝DF＝6， 又∵CF＝BF＝8， ∴BE＝2DE+BF＝2×6+8＝20， ∴， 故答案为：112． 14．小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.7m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为　1.8　 米． 【答案】1.8． 【解答】解：∵点B距离地面的高度为1.5m，点C距离地面的高度是1.6m， ∴点D距离地面的高度为1.5m，点E距离地面的高度是1.6m， ∴DE＝1.6﹣1.5＝0.1（m）， ∵∠BDO＝∠BOC＝90°， ∴∠OBD+∠BOE＝∠BOE+COD＝90°， ∴∠OBD＝∠COD， 在△OBD≌△COE中， ， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OE＝BD＝1.7m，CE＝OD， ∴CE＝OD＝OE+DE＝1.7+0.1＝1.8（m）， ∴点C到OA的距离CE为1.8m， 故答案为：1.8． 15．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E离开点A后，运动 　2，6，8　 秒时，△DEB与△BCA全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝4， ∴BE＝4， ∴AE＝8﹣4＝4， ∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）； ②当E在BN上，AC＝BE时， ∵AC＝4， ∴BE＝4， ∴AE＝8+4＝12， ∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）； ④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， AE＝8+8＝16， 点E的运动时间为16÷2＝8（秒）， 故答案为：2，6，8． 16．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AF＝DE，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）． 17．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠F， ∴AC∥DF； （2）解：由（1）得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F， ∴∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°， 在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC＝180°， ∴∠EOC＝180°﹣∠DEF﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣35°＝80°． 18．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）证明：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝AC，CE＝6，CF＝8，求DB的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵点E是边AC的中点， ∴AE＝CE， 又∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）； （2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝8， ∴CF＝AD＝8， ∵AB＝AC，点E是边AC的中点，CE＝6， ∴AC＝2CE＝12， ∴AB＝12， ∴DB＝AB﹣AD＝12﹣8＝4． 19．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE，在线段EC上截取EF，使得EF＝CD，连接BF，DE． （1）△DCE与△FEB全等吗？为什么？ （2）若∠A＝66°，∠FBE＝35°，求∠DEB的度数． 【答案】（1）△DCE≌△FEB，理由见解析； （2）83°． 【解答】解：（1）△DCE与△FEB全等；理由如下： ∵在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE， ∴AD＝CD，EC＝EB，∠A＝∠DCA， ∴∠DCA＝∠CBE， ∴CD∥BE， ∴∠DCE＝∠BEF， 在△DCE和△FEB中， ， ∴△DCE≌△FEB（SAS）； （2）由（1）知：△DCE≌△FEB，∠FBE＝35°， ∴∠DEC＝∠FBE＝35°， ∵BCE是等腰三角形， ∴CE＝BE， ∴∠BCE＝∠CBE， ∵∠CBE＝∠A＝66°， ∴∠BCE＝∠CBE＝∠A＝66°， ∴∠BEC＝180°﹣∠BCE﹣∠CBE＝48°， ∴∠DEB＝∠BEC+∠DEC＝48°+35°＝83°． 20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点B运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以2cm/s和x cm/s的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F． （1）如图1，当x＝3时，设点P运动时间为t s，当点P在AC上，点Q在BC上时， ①用含t的式子表示CP和CQ，则CP＝ 　（6﹣2t）　 cm，CQ＝ 　（8﹣3t）　 cm； ②当t＝2时，△PEC与△QFC全等吗？并说明理由； （2）请问：当x＝4时，以点P、E、C为顶点的三角形与以点Q、F、C为顶点的三角形，有没有可能全等？若能，请求出符合条件的t值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）①（6﹣2t），（8﹣3t）； ②全等，理由见解答； （2）可能，1或或6． 【解答】解：（1）①由题意得：AP＝2t cm，BQ＝3t cm， 则CP＝（6﹣2t）cm，CQ＝（8﹣3t）cm， 故答案为：（6﹣2t），（8﹣3t）； ②当t＝2时，△PEC与△QFC全等，理由如下： 当t＝2时，CP＝6﹣2×2＝2（cm），CQ＝8﹣3×2＝2（cm）， ∴CP＝CQ， ∵∠ACB＝90°， ∴∠PCE+∠QCF＝90°， 又∵PE⊥l于E，QF⊥l于F， ∴∠PEC＝∠CFQ＝90°， ∴∠PCE+∠CPE＝90°， ∴∠CPE＝∠QCF， 在△PEC和△CFQ中， ∴△PEC≌△CFQ（AAS）； （2）当x＝4时，△PEC与△QFC有可能全等，分三种情况： ①当点P在AC上，点Q在BC上时，△PEC≌△CFQ，如图， 则PC＝CQ， ∴6﹣2t＝8﹣4t， 解得t＝1； ②如图， ∵点P与点Q重合， ∴△PEC与QFC全等， ∴CP＝CQ， ∴6﹣2t＝4t﹣8， 解得； ③当点P在BC上，点Q到点A时，△PEC≌△CFQ，如图， 则PC＝CQ， ∴2t﹣6＝6， ∴t＝6； 综上，符合条件t值为1或或6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.6 斜边及一直角边证全等（HL） 教学目标 1. 掌握HL的定义以及判定方法，并能够熟练应用； 2. 掌握判定全等的所有方法，并能够通过题目的已知条件熟练的选择合适的判定方法判定三角形的全等。 教学重难点 1. 重点 （1） 用“HL”判定直角三角形全等； （2） 全等三角形判定方法的灵活应用。 2. 难点 （1）添加条件形成“HL”全等判定方法； （2）用“HL”判定全等； （3）全等三角形的判定与性质。 知识点01 斜边与直角边（HL）判定直角三角形全等 1. 斜边与直角边（HL）判断全等的概念： 直角三角形的 对应相等的两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中： ∴Rt△ABC≌Rt△DEF。 【即学即练1】 1．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　） A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD C．AC＝BD D．∠ABC＝∠ABD 【即学即练2】 2．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　　） A．AAS B．HL C．SAS D．ASA 【即学即练3】 3．如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF． 知识点02 全等三角形判定方法的灵活应用 1. 全等三角形判定方法的灵活应用： 针对不同的已知条件，所选择求证的第三个已知条件也不同，总结如下： 【即学即练1】 4．如图1，AB与CD相交于点O，且OA＝OB，要添加一个条件，才能使得△AOC≌△BOD，那么可以添加的一个条件是： 添加：　 　 ，判断三角形全等的依据是SAS； 添加：∠A＝∠B，判断三角形全等的依据是 　 　 ； 添加：　 　 ，判断三角形全等的依据是 　 ； 练习：如图2，若有AD⊥BC于点D这个条件，要证△ABD≌△ACD，则需补充的条件是： 添加：BD＝CD，判断三角形全等的依据是 　 　 ； 添加：　 　 ，判断三角形全等的依据是HL； 添加：　 ，判断三角形全等的依据是 　 ． 【即学即练2】 5．如图，∠ABC＝∠DCB，添加下列条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　） A．AB＝CD B．AC＝DB C．∠A＝∠D D．∠ABE＝∠DCE 题型01 添加条件形成“HL”的全等判定方法 【典例1】如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 【变式1】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．∠ADB＝∠CBD D．AB＝CD 【变式2】如图，已知AC⊥BD，垂足为点O，AO＝CO，要根据“HL”证明Rt△ABO≌Rt△CDO，还需要添加的一个条件是（　　） A．AB∥CD B．OB＝OD C．∠A＝∠C D．AB＝CD 题型02 判定全等的依据—HL 【典例1】如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（　　） A．HL B．ASA C．AAS D．SAS 【变式1】如图，AC⊥BC，DF⊥EF，AC＝DF，AB＝DE，则判定Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．HL D．AAS 【变式2】在课堂上，老师发给每人一张印有Rt△A'B'C'（如图所示）的卡片，然后，要同学们尝试画一个Rt△ABC，使得Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．小赵和小刘同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 老师评价：他俩的做法都正确．请你选择一位同学的做法，并说出其作图依据．我选 　 　 的做法（填“小赵”或“小刘”），他作图判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的依据是 　 　 ． 题型03 用“HL”判定证明全等 【典例1】如图AB＝AE，BC＝ED，AB⊥BF，AE⊥EF，F是CD上一点，∠C＝∠D＝90°，证明：Rt△BCF≌Rt△EDF． 【变式1】在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 【变式2】如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°． 【变式3】如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2． （1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由； （2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 题型04 全等三角形的判定与性质 【典例1】如图，在△ABC中，点D在BC延长线上，DE∥AC，且DE＝BC，AC＝BD． （1）求证：△ABC≌△BED； （2）若AC＝10，DE＝6，求DC的长． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 【变式2】如图，在△ABC中，DB＝DC，CD⊥AB，BE⊥AC，CD与BE相交于点F． （1）求证：△ACD≌△FBD； （2）若DF＝2，BD＝5，求△ABC的面积． 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，AD＝DE，∠1＝∠2． （1）求证：△ABD≌△DCE； （2）若AE＝2，BD＝3，求CD的长． 【变式4】如图（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3；点P在线段AB上以每秒一个单位长度的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，其他条件不变．设点Q的运动速度变为每秒x个单位长度，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．斜边和一条直角边分别相等 B．一个锐角和斜边分别相等 C．两条直角边分别相等 D．两个锐角分别相等 2．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（　　） A．HL B．ASA C．SAS D．SSS 3．如图，已知AB⊥AC，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DCB全等，则可以添加的条件是（　　） A．AE＝CE B．AB＝CD C．∠A＝∠D D．BE＝CE 4．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ 5．如图，在四边形ABCD中，CD⊥AD，CB⊥AB，垂足分别是D、B，CD＝CB．求证：Rt△ADC≌Rt△ABC．以下是排乱的证明过程： ①∴∠D＝∠B＝90°； ②∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL）； ③∵CD⊥AD，CB⊥AB； ④∵在Rt△ADC和Rt△ABC中，． 证明步骤正确的顺序是（　　） A．③②④① B．③①④② C．①②③④ D．①③④② 6．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，则图中共有全等的直角三角形（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5cm，则AE＝（　　）cm． A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm 8．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为3和8，则b的面积为（　　） A．5 B．11 C．24 D．无法确定 9．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在长方形ABCD的中，已知AB＝6cm，BC＝10cm，点P以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以a cm/s的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（　　） A．4或 B．6 C．或1 D．4 11．如图，在△ABC和△ABD中，AC＝AD，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件　 　 ． 12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝　 　 cm． 13．如图，在△ABC中，D是AC的中点，分别过点A，C作BD的垂线，垂足为E，F．若DE＝6，CF＝BF＝8，则△ABC的面积是 　 　 ． 14．小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.7m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为　 　 米． 15．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E离开点A后，运动 　 　 秒时，△DEB与△BCA全等． 16．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AF＝DE，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE． 17．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 18．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）证明：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝AC，CE＝6，CF＝8，求DB的长． 19．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE，在线段EC上截取EF，使得EF＝CD，连接BF，DE． （1）△DCE与△FEB全等吗？为什么？ （2）若∠A＝66°，∠FBE＝35°，求∠DEB的度数． 20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点B运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以2cm/s和x cm/s的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F． （1）如图1，当x＝3时，设点P运动时间为t s，当点P在AC上，点Q在BC上时， ①用含t的式子表示CP和CQ，则CP＝ 　 　 cm，CQ＝ 　 　 cm； ②当t＝2时，△PEC与△QFC全等吗？并说明理由； （2）请问：当x＝4时，以点P、E、C为顶点的三角形与以点Q、F、C为顶点的三角形，有没有可能全等？若能，请求出符合条件的t值；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $