第1章 二次函数（复习讲义）数学浙教版九年级上册

第1章 二次函数（复习讲义） 课标要求：从生活实例抽象二次函数模型，通过图象分析性质，培养数学建模思想； 中考命题：基础题占比高，同时近几年中考基本都会有一个压轴大题，主要考察函数性质综合问题； 备考关键： ✅ 概念零混淆（a≠0、顶点公式符号）； ✅ 步骤严规范（应用题需写定义域、最值需验证顶点位置）； ✅ 思想重渗透（分类讨论、数形结合贯穿始终） 层级 训练重点 典型例题 基础层 定义辨析、顶点坐标计算 y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x﹣2是关于x的二次函数，求m的取值范围 进阶层 待定系数法求解析式、简单最值问题 已知顶点 (−1,2)和点(1,−3)，求解析式（设顶点式y=a(x+1)2+2 拓展层 动态几何（点运动导致图形面积变化）、跨学科整合 等边△ABC中，点P、Q速度1cm/s运动，求四边形APQC面积最小的面积等 知识点 重点归纳 常见易错点 二次函数定义 形如的函数叫做二次函数；其中：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 忽略 a≠0条件 图象与性质 对称轴是直线，顶点坐标是；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 顶点坐标符号错误；对称轴公式与一次函数混淆 图象平移规律 口诀：“左加右减（x），上加下减（整体）” 平移方向混淆 最值问题 顶点纵坐标为最值： 当a＞0时，此时函数的有最小值为 当a＜0时，此时函数的有最大值为 未区分顶点是否在定义域内（如当 1＜x＜3时最值可能在端点） 实际应用建模 利润最大：设售价x，利润y=(x−成本)×销量 抛物线型问题：拱桥、投篮轨迹 未注明自变量取值范围（如售价x需＞成本） 二次函数有三种表达式 （1）一般式： （2）顶点式： 优点：已知顶点（h，k） （3）交点式： 优点：已知抛物线与x轴交点（x1,0）、（x2,0） 题型一 二次函数定义及解析式 【例1-1】已知3x﹣6是二次函数，则a＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 【变式1-1】已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 【变式1-2】已知是二次函数，则a＝　　 ． 【变式1-3】已知函数y＝（a+3）（a+2）x+3． （1）当a为何值时，y为x的二次函数？ （2）当a为何值时，y为x的一次函数？ 题型二 二次函数解析式 【例2-1】若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，顶点坐标为（2，3），且过点（0，1），则函数解析式为（　　） A．y（x﹣2）2+3 B．y（x﹣2）2+3 C．y＝﹣2（x+2）2+3 D．y＝2（x+2）2+3 【变式2-1】将二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣4）2+1 D．y＝（x+4）2+1 【变式2-2】已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过三点（﹣3，0），（1，0），（0，3），则该抛物线的顶点坐标是　 　 ． 【变式2-3】已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点， （1）求该抛物线的解析式； （2）利用配方法或公式法求该抛物线的顶点坐标和对称轴． 题型三 二次函数图像 【例3】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝cx+ab的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】初三数学课本上，小丽用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时．列了如下表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 4 … 由于粗心，小丽算错了其中的一个y值，请你指出这个错算的y值所对应的x＝　　 ． 【变式3-3】设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，a的取值范围是 　　 题型四 二次函数图像与系数关系 【例4】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③2a+b＜0；④（a+c）2﹣b2＜0．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③2a+b＝0；④3a+c＜0；⑤（a+c）2＞b2．其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-2】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中结论正确的有 　　 ． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0）． （1）若m＝1﹣2a，n＝a﹣2，求抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； （2）在（1）的条件下，设该抛物线的顶点坐标为（p，q），当a≠1时，求证：． 题型五 二次函数增减性 【例5】在函数y＝﹣2x2﹣4x+a（a为常数）的图象上有三点（﹣2，y1）（﹣1，y2），（1，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【变式5-1】已知点（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣x2+2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 【变式5-2】在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点． （1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标； （2）当y1＝y3时，求b的值； （3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围． 【变式5-3】已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0），点A（n﹣2，p），B（4，q），C（n，p）都在该二次函数的图象上． （1）用含n的代数式表示m． （2）当x＞2时，y随x的增大而减小，求n的值范围． （3）若﹣3＜q＜p，求n的取值范围． 题型六 二次函数平移变换 【例6】若将抛物线y＝﹣x2﹣1向左平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　） A．y＝﹣（x﹣1）2﹣1 B．y＝﹣（x+1）2﹣1 C．y＝﹣x2﹣2 D．y＝﹣x2 【变式6-1】将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（　　） A．，b＝﹣3 B．3 C． D．3 【变式6-2】将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是 　　 ． 【变式6-3】如图，将抛物线P：y＝x2+2x+m平移后得到抛物线P2：y＝x2﹣5x+n两抛物线与y轴分别交于点C，D．抛物线P1，P2的交点E的横坐标是1，过点E作x轴的平行线，分别交抛物线P1，P2于点A，B． （1）求点A的横坐标． （2）求线段CD的长度． 题型七 二次函数性质 【例7】已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：则这个二次函数图象的对称轴是直线（　　） x …… ﹣4 ﹣2 0 3 5 …… y …… ﹣m2﹣21 ﹣m2﹣5 0 ﹣m2 ﹣m2﹣12 …… A．x＝﹣1 B．x＝0 C． D．x＝1 【变式7-1】已知点（x1，y1），（x2，y2）为二次函数y＝x2图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（　　） A．若x1＞x2，则y1＞y2 B．若x1＜x2，则y1＜y2 C．若，则y1＞y2 D．若，则y1＜y2 【变式7-2】已知二次函数y＝﹣2（x+1）2+3，当﹣2＜x＜3时，函数值y的取值范围 　　 ． 【变式7-3】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）． （1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； （2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2＞﹣3，求a的取值范围． 题型八 二次函数最值问题 【例8】已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　） A．9 B．8 C．1 D． 【变式8-1】在平面直角坐标系中，若抛物线y＝a（x+1）（x+3）（a≠0）在﹣4≤x≤2时的最大值为3，则a的值为（　　） A．或一1 B．或﹣3 C． D．﹣1 【变式8-2】已知二次函数y＝x2﹣2mx+2（，n为常数）． （1）若函数图象经过点（3，5）． ①求二次函数的表达式． ②若点A（﹣3，p），B（t，q）都在该二次函数的图象上，当p＞q时，求t的取值范围． （2） 当1≤x≤3时，y有最大值为﹣5，求m的值． 【变式8-3】已知函数y＝x2+mx（m为常数）的图形经过点（﹣5，5）． （1）m＝　　 ． （2）当﹣5≤x≤n时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值 　 　 ． 题型九 二次函数与不等式 【例9】如图1，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，4），则关于x的不等式kx+b＜4的解集为x＜﹣2．类似地，如图2是函数和函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，由图象可知，不等式ax2+bx+c≥mx+n的解集为（　　） A．x≤﹣2 B．﹣2≤x≤1 C．x≥1 D．x≤﹣2或x≥1 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx﹣3相交于点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③连接BO，△ABO的面积是12.5；④对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式9-2】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝kx+1（k＞0）的图象交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+1的解集为 　　 ． 【变式9-3】如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是　 　 ． 题型十 二次函数应用 【例10】在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x＝2000时，y有最大值 C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y＝0.4时，x＝600 【变式10-1】某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为x（元/千克）（x≥30，且x是按0.5的倍数上涨），当日销售量为y（千克）．有下列说法： ①当x＝36时，y＝420； ②y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+1500； ③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克； ④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克， 其中正确的是（　　） A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④ 【变式10-2】在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队包揽了所有跳水项目的金牌，实现了历史性的突破．运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间t（s）和运动员距离水面的高度h（m）之间满足关系：，那么运动员完成规定动作的时长最多为 　　 s．（结果保留根号） 【变式10-3】赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上各点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离OA＝60m，主桥拱距离水面的最大高度为9m． （1）求主桥拱所在抛物线的函数表达式； （2）据测量，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量． 题型十一 二次函数综合 【例11】已知二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）（a＜b），且x1、x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）0的两个根，则实数a、b、x1、x2的大小关系为（　　） A．a＜x1＜b＜x2 B．a＜x1＜x2＜b C．x1＜a＜x2＜b D．x1＜a＜b＜x2 【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且过点A（﹣1，2），连接AB，AC，BC． （1）B的坐标 　　 ； （2）若点P是抛物线对称轴上一点，且S△ABC＝2S△BCP，P的坐标 　　 ． 【变式11-2】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴相交于点C，请完成下面的填空： （1）该抛物线的解析式为　 　 ． （2）在该抛物线的对称轴上存在点Q，使得△QAC的周长最小，则Q点的坐标为　 　 ． （3）在抛物线上的第二象限上存在一点P，使△PBC的面积最大，则点P的坐标为　 　 ，△PBC的最大面积为　　 ． 【变式11-3】综合探究 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过A（2，﹣3）和B（0，﹣1）． （1）求平移后新抛物线的表达式及顶点坐标． （2）直线x＝m（m＞0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q，若PQ小于7，求m的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在以PQ为底边的等腰三角形PBQ？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 题型十二 二次函数参数问题 【例12】已知二次函数y＝x2﹣2mx+2（，n为常数）． （1）若函数图象经过点（3，5）． ①求二次函数的表达式． ②若点A（﹣3，p），B（t，q）都在该二次函数的图象上，当p＞q时，求t的取值范围． （2）当1≤x≤3时，y有最大值为﹣5，求m的值． 【变式12-1】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）． （1）若t＝0， ①求此抛物线的对称轴； ②当p＜t时，直接写出m的取值范围； （2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且5m+5n＜﹣13，请比较p，q的大小，并说明理由． 【变式12-2】对于二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法： ①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）； ②当m＝﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点； ③当m＜0，x时，函数y随x的增大而减小； 判断真假，并说明理由． 【变式12-3】在平面直角坐标系xOy中．已知抛物线y＝x2﹣2tx． （1）当t＝1时，求抛物线的顶点坐标； （2）点M（3，y1），N（t﹣2，y2），P（n，y3）在抛物线上．若对于﹣4＜n＜﹣3，都有y2＜y3＜y1，求t的取值范围． 题型十三 二次函数新题型 【例13】【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（XinghaiBayBridge）是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180＝820m． 如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中． 【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系？ 【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题． 【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）． （1）请直接写出以下问题的答案： ①右侧悬索最高点B的坐标； ②y与x的函数解析式； ③最长的吊杆的长度； （2）某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟； （3）如图3，灯光秀中一个射灯光源C（﹣70，﹣21），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上？ 【变式13-1】根据以下素材，探索完成任务． 探究铁锅内放蒸笼的问题 素材1 民以食为天，我们常见的大铁锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆弧面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形（如图1）．蒸笼可以看成是若干个圆柱体叠加起来． 素材2 如图2，锅口直径AB为8dm，锅深OF为5dm，锅盖高OE为2dm（锅口直径与锅盖口直径视为相同），把锅盖纵断面所在的圆记作⊙M． 素材3 如图3，圆柱体蒸笼底面直径6dm，高度为1dm，若干个这种规格的蒸笼叠加起来不需要考虑叠加缝隙． 问题解决 任务1 求弧AB所在的⊙M的半径． 任务2 锅中原有水的最大深度为0.5dm（如图4），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高了2.5dm，求此时的水面宽度． 任务3 在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 任务4 为加工更大的食材，现需要将一个底面直径为6.4dm，高度为3dm的圆柱体蒸笼放入铁锅内，原本的锅盖无法正常使用，需要寻找一个新的圆弧形锅盖，使得新的蒸笼放入后，锅盖能恰好盖上（且锅口直径与锅盖口直径相同），请直接写出新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 【变式13-2】完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》． 驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？ 2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？ 3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？ 项目背景 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间． 数学建模 如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝2m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线AED的顶点E（0，3），求抛物线的解析式． 问题解决 如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长． 问题解决 为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图，在某一时刻，太阳光线透过A点刚好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长． 【变式13-3】项目式学习：《无人机灯光秀图案的设计》 项目背景 为庆祝建校百年，某中学的无人机社团计划在校庆夜空上演无人机灯光秀．同学们以抛物线为基础，编排两组无人机组成“双翼彩虹”图案的表演．左侧无人机群的灯光轨迹近似看成一条抛物型；右侧轨迹与左侧关于舞台中轴线对称，展现彩虹双翼的平衡之美． 如图所示： 任务1建立模型 如图1以地面为x轴，舞台中轴线为y轴，舞台中央点为原点，建立的直角坐标系，左侧抛物型过顶点（﹣3，6），起始点为（﹣1，2），终点与起始点关于直线x＝3对称，直接写出左侧抛物型解析式　 　 ； 若右侧抛物型与左侧抛物线关于y轴对称，直接写出抛物线解析式：　 　 ． 任务2利用模型 为确保视觉效果，两侧无人机需要同时飞行移动至距离舞台地面中心5米的高度处并交汇于点A处，如图所示，求两组无人机队伍交汇时，距离舞台地面中心7米高度时无人机队列两侧的水平宽度． 任务3分析计算 在（2）的条件下，为达到更优的视觉效果，同学们提议，给交汇处的无人机装上射灯，并从交汇点A飞到舞台中央O点的正上方B处发射两束光线，射出的光线与地面形成45°夹角，如图3所示 ①若要使光线不被无人机队列所遮挡，求无人机上升距离AB的最小值； ②若无人机计划飞到12米才发射光线，则此时单侧光线与无人机队列之间的最短距离为　　 ． 基础巩固通关测 1．下列关于抛物线y＝﹣mx2+4mx+m的描述，正确的是（　　） A．开口向上 B．与x轴没有交点 C．对称轴为直线x＝﹣2 D．一定经过三、四两个象限 2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2（a≠0），若﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定 3．抛物线y＝x2向左平移5个单位，再向下平移3个单位后，所得的抛物线表达式是（　　） A．y＝（x﹣5）2﹣3 B．y＝（x﹣5）2+3 C．y＝（x+5）2﹣3 D．y＝（x+5）2+3 4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论： ①abc＜0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；③a+2b＝c；④y最大值．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题） 5．已知抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是　 　 ． 6．已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值为　 　 ． 7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c≥0的解集为　 　 ． 8．点A（﹣1，y1），B（4，y2）是二次函数y＝（x﹣1）2图象上的两个点，则y1　 　 y2（填“＞”，“＜”或“＝”）． 9．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度y（m）和运动员出手点的水平距离x（m）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 　 　 m． 10．将二次函数y＝x2﹣4x﹣3化成y＝a（x+m）2+k的形式是　 　 ． 三．解答题（共5小题） 11．已知二次函数y＝x2﹣2mx+2（，n为常数）． （1）若函数图象经过点（3，5）． ①求二次函数的表达式． ②若点A（﹣3，p），B（t，q）都在该二次函数的图象上，当p＞q时，求t的取值范围． （2）当1≤x≤3时，y有最大值为﹣5，求m的值． 12．已知二次函数y＝ax2+bx+5（a≠0）的图象经过点（﹣4，5）． （1）若a＝﹣1，求该函数图象的顶点坐标． （2）若a＞0，点A（﹣5，y1），B（m，y2）在该函数图象上，且y1＞y2，求m的取值范围． （3）当x≥﹣3时，y≥1恒成立，求该二次函数的解析式． 13．若函数是二次函数． （1）求m的值； （2）当x＝1时，求y的值． 14．如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，试解答下列问题： （1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式． （2）这次跳投时，球出手处离地面多高？ 15．项目式学习：根据素材回答问题． 素材1 如图①，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形ABCD水池，已知水池的边长为4m，AB∥OQ，AD∥OP，且AB与OQ的距离为10m，AD与OP的距离为8m． 素材2 现利用两条小路，再购置30m长的栅栏（图中用细实线表示）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），小路和水池部分都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 小明同学按如图②的设计，若EF＝16m，则花圃的面积为 　 　 ．（不包含水池的面积） 任务2 若按如图③设计方案，点C，D，H三点共线，点G在BC上，当花圃的面积（不包含水池的面积）为269m2时，求EF的长． 任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图③设计方案，当EF的长是 　 　 m时，围成的花圃（不包含水池）的面积最大，是 　 　 m2． 能力提升进阶练 1．关于函数y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）．下列说法正确的是（　　） A．无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（﹣1，﹣2） B．当m时，函数图象与x轴总有2个交点 C．若m，则当x＜1时，y随x的增大而减小 D．当m＞0时，函数有最小值m+1 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+c＞0；④若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b、⑤当图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣2，其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④ 3．设二次函数y＝ax2+c（a，c是常数，a＜0），已知函数值y和自变量x的三对对应值如表所示，若方程ax2+c﹣m＝0的一个正实数根为5．则下列结论正确的是（　　） x … ﹣3 2 4 … y … 0 p q … A．m＞p＞0 B．m＜q＜0 C．p＞m＞0 D．q＜m＜0 4．已知二次函数y＝x2，点A（m，k）在其第一象限的图象上，点B（n，k+1）在其第二象限的图象上，则关于x的一元二次方程mx2+nx+k＝0的两根x1，x2，判断正确的是（　　） A．x1+x2＞1，x1•x2＞0 B．x1+x2＜0，x1•x2＞0 C．0＜x1+x2＜1，x1•x2＞0 D．x1+x2与x1•x2的符号都不确定 5．关于x的二次函数y＝ax2+2ax+b+1（a•b≠0）与x轴只有一个交点（k，0），下列正确的是（　　） A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1 C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1 6．已知二次函数y＝﹣x2+mx+2﹣m，当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝﹣x2+mx+2﹣m的最大值为6，则m的值为 　 　 ． 7．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的表达式 　 　 ； （2）若点P在抛物线对称轴上，点Q在坐标平面内，当点P坐标为 　 　 ，点Q坐标为 　 　 时，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形． 8．已知：直线y＝kx﹣3（k≠0）经过抛物线y＝﹣x2+mx+n的顶点（2，1），则该抛物线的函数表达式是 　 　 ，不等式kx﹣3＞﹣x2+mx+n＞0的解集是 　 　 ． 9．实数x，y满足2x2﹣6x+y2＝0，设w＝x2+y2﹣8x，则w的最大值是　 　 ． 10．如图1，在平面直角坐标系中，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．现将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上（如图2），设抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0），如果抛物线同时经过点O、B、C： ①当n＝3时a＝　 　 ； ②a关于n的关系式是　 　 ． 11．设二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3（a是实数）． （1）若函数的对称轴为直线x＝1，求函数的表达式； （2）当x≥a+1时，函数的最大值为4，求a的值； （3）已知M（x1，y1）和N（3a，y2）是函数图象上的两点，当2≤x1≤3时，都有y1＜y2，求a的取值范围． 12．已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+1经过点A（1，a），将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（k＞0），再次经过点A． （1）若a＝0时，求m的值． （2）求m与k的关系式． （3）当2≤x≤m+2时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围． 13． 如何确定网球发射器的位置？ 素材1 图1是一个网球场，中线AB＝24米，球网过AB中点O，网高0.918米，中线OA段有一个自动网球发射器，发射后，网球呈抛物线在AB正上方飞行． 素材2 图2是发射器在点C处发射的示意图，网球落在点D处，测得，OC＝9米，OD＝5米．当网球飞行的水平距离为米时，离地最高处为米． 素材3 发射器的发射角度不变，网球飞行时的高度不低于0.92米才能顺利过网．为了让网球落在目标点B处，将发射器向点O移动a米，发射口F上调b（0≤b≤0.32）米． 问题解决 任务1 确定发射路线 在图2中建立合适的直角坐标系，求出该抛物线的表达式． 任务2 尝试改变发射 尝试当a＝7，b＝0时，计算说明能否实现目标？ 任务3 探究移动距离 求a的最小值． 14．根据以下素材，探索完成任务． 校内小型植物园规划设计 素材1 学校拟在围墙边的一块空地上修建一个小型的矩形植物园，墙长18米，植物园一边AD靠墙，另三边用40米的栅栏围成．如图，矩形ABCD中，AB为a米，矩形ABCD面积为S平方米． 素材2 如图，拟在矩形植物园的中心位置O（点O为对角线AC，BD交点）安装一个自动喷灌设备，喷出的水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，喷水口的高度OE可升降，升降前后喷出的水流抛物线形状不变，经测量喷水口的高度OE为0.2米时，喷出的水流最高点F离地面距离FH为1米，离喷水口的水平距离OH为4米． 问题解决 任务1 确定矩形植物园修建方案 （1）求S与a的函数关系式，并直接写出a的取值范围； （2）若矩形植物园面积为192平方米，则AB与BC各为多长？ 任务2 确定自动喷灌设备调整方案 （3）在（2）的条件下，将喷水口的高度OE至少升高多少米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到？ 15．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）． （1）若函数图象的顶点为（1，2）且过点（3，10），求该函数表达式． （2）在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点（t，t﹣1）是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由． （3）设函数的对称轴为直线x＝m，点、B（2m，y2）在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点C（x3，y3）在新的函数图象上．当a＞0时，若对于8＜x3＜9，都有y1＜y3＜y2，直接写出m的取值范围：　 　 ． 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次函数（复习讲义） 课标要求：从生活实例抽象二次函数模型，通过图象分析性质，培养数学建模思想； 中考命题：基础题占比高，同时近几年中考基本都会有一个压轴大题，主要考察函数性质综合问题； 备考关键： ✅ 概念零混淆（a≠0、顶点公式符号）； ✅ 步骤严规范（应用题需写定义域、最值需验证顶点位置）； ✅ 思想重渗透（分类讨论、数形结合贯穿始终） 层级 训练重点 典型例题 基础层 定义辨析、顶点坐标计算 y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x﹣2是关于x的二次函数，求m的取值范围 进阶层 待定系数法求解析式、简单最值问题 已知顶点 (−1,2)和点(1,−3)，求解析式（设顶点式y=a(x+1)2+2 拓展层 动态几何（点运动导致图形面积变化）、跨学科整合 等边△ABC中，点P、Q速度1cm/s运动，求四边形APQC面积最小的面积等 知识点 重点归纳 常见易错点 二次函数定义 形如的函数叫做二次函数；其中：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 忽略 a≠0条件 图象与性质 对称轴是直线，顶点坐标是；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 顶点坐标符号错误；对称轴公式与一次函数混淆 图象平移规律 口诀：“左加右减（x），上加下减（整体）” 平移方向混淆 最值问题 顶点纵坐标为最值： 当a＞0时，此时函数的有最小值为 当a＜0时，此时函数的有最大值为 未区分顶点是否在定义域内（如当 1＜x＜3时最值可能在端点） 实际应用建模 利润最大：设售价x，利润y=(x−成本)×销量 抛物线型问题：拱桥、投篮轨迹 未注明自变量取值范围（如售价x需＞成本） 二次函数有三种表达式 （1）一般式： （2）顶点式： 优点：已知顶点（h，k） （3）交点式： 优点：已知抛物线与x轴交点（x1,0）、（x2,0） 题型一 二次函数定义及解析式 【例1-1】已知3x﹣6是二次函数，则a＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 【考点】二次函数的定义 【分析】根据二次函数的定义可得a2+1＝2且a+1≠0，从而可得答案． 【解答】解：由条件可知a2+1＝2， 解得a1＝﹣1或a2＝1， ∵a+1≠0， ∴a≠﹣1， ∴a＝1． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义．熟练掌握定义是关键． 【变式1-1】已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 【考点】二次函数的定义 【分析】根据“形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【解答】解：根据题意，得m2﹣2＝2且m﹣2≠0， 解得：m＝±2且m≠2， ∴m＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的一般形式． 【变式1-2】已知是二次函数，则a＝　1　 ． 【考点】二次函数的定义 【分析】根据二次函数式子的一般形式列式运算即可． 【解答】解：由条件可知a2+1＝2， 解得a1＝﹣1或a2＝1， ∵a+1≠0， ∴a≠﹣1， ∴a＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了二次函数式子，熟悉二次函数式子的一般式是解题的关键． 【变式1-3】已知函数y＝（a+3）（a+2）x+3． （1）当a为何值时，y为x的二次函数？ （2）当a为何值时，y为x的一次函数？ 【考点】二次函数的定义；一次函数的定义；一次函数的性质 【分析】（1）根据二次函数的定义得到得a+3≠0且a2+a﹣4＝2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的a的值； （2）根据一次函数的定义分类讨论：当a+3＝0时，y是x的一次函数；当a2+a﹣4＝0且a+2≠0时，y是x的一次函数；当a2+a﹣4＝1且a+3+a+2≠0时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可． 【解答】解：（1）根据题意得a+3≠0且a2+a﹣4＝2， 解得a＝2， 即当a为2时，y是x的二次函数； （2）当a+3＝0时，即a＝﹣3时，y是x的一次函数； 当a2+a﹣4＝0且a+2≠0时，y是x的一次函数，解得a； 当a2+a﹣4＝1且a+3+a+2≠0时，y是x的一次函数，解得a； 即当a为﹣3或或时，y是x的一次函数． 【点评】本考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义． 题型二 二次函数解析式 【例2-1】若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，顶点坐标为（2，3），且过点（0，1），则函数解析式为（　　） A．y（x﹣2）2+3 B．y（x﹣2）2+3 C．y＝﹣2（x+2）2+3 D．y＝2（x+2）2+3 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】利用待定系数法即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为抛物线的顶点坐标为（2，3）， 则令二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+3， 将点（0，1）代入函数解析式得， 4a+3＝1， 解得a， 所以二次函数的解析式为y． 故选：A． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式2-1】将二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣4）2+1 D．y＝（x+4）2+1 【考点】二次函数的三种形式 【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式． 【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 【变式2-2】已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过三点（﹣3，0），（1，0），（0，3），则该抛物线的顶点坐标是　（﹣1，4）　 ． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质 【分析】利用待定系数法求出函数解析式并化为顶点式，即可得到答案． 【解答】解：由条件可知， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）． 故答案为：（﹣1，4）． 【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式和抛物线的顶点坐标．熟练掌握该知识点是关键． 【变式2-3】已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点， （1）求该抛物线的解析式； （2）利用配方法或公式法求该抛物线的顶点坐标和对称轴． 【考点】二次函数的三种形式；待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由于已知抛物线与x的两交点坐标，则可设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），然后把C（0，3）代入求出a的值即可． （2）利用配方法求该抛物线的顶点坐标和对称轴． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0）． 把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3， 解得a＝﹣1． 故该抛物线解析式为：y＝﹣（x+3）（x﹣1）或y＝﹣x2﹣2x+3． （2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4． ∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，4），对称轴是直线x＝﹣1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 题型三 二次函数图像 【例3】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝cx+ab的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数的性质得出答案． 【解答】解：∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧， ∴a、b异号，即ab＜0． ∵与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴一次函数y＝cx+ab的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 【点评】此题主要考查了一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 【变式3-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】本题可先由一次函数yaxa，图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2﹣a的图象相比是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，但图象过（1，0）点，求得a＝0，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 【变式3-2】初三数学课本上，小丽用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时．列了如下表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 4 … 由于粗心，小丽算错了其中的一个y值，请你指出这个错算的y值所对应的x＝　1　 ． 【考点】二次函数的图象 【分析】认真观察表格中的数据，根据抛物线的对称性，纵坐标相等的两个点，是抛物线上的两个对称点，从而寻找对称轴和顶点坐标，设抛物线的顶点式，求解析式，再逐一检验． 【解答】解：从表格可以看出，当x＝﹣2或x＝0时，y＝﹣5， 可以判断（﹣2，﹣5），（0，﹣5）是抛物线上的两个对称点， （﹣1，﹣6）就是顶点，设抛物线顶点式y＝a（x+1）2﹣6， 把（0，﹣5）代入解析式，﹣5＝a﹣6，解得a＝1， 所以，抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣6， 当x＝﹣3时，y＝（﹣3+1）2﹣6＝﹣2， 当x＝1时，y＝（1+1）2﹣6＝﹣2≠4， 所以这个错算的y值所对应的x＝1． 【点评】观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对称点，顶点坐标及对称轴，与x轴（y轴）的交点，确定二次函数的解析式． 【变式3-3】设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，a的取值范围是 　　 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据题意m≤0，由，得出b＝﹣2a，则二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1≤0，求解即可． 【解答】解：∵x＝0和x＝2时的函数值都是1， ∴抛物线的对称轴为直线x1， ∴（1，n）是抛物线的顶点坐标，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴直线x＝1对称， 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下， ∴m≤0， ∵对称轴直线为， ∴b＝﹣2a， ∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1， ∴m＝a+2a+1≤0， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 题型四 二次函数图像与系数关系 【例4】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③2a+b＜0；④（a+c）2﹣b2＜0．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac的取值范围，根据x＝﹣1和x＝1的函数值可以判断． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac；故②错误； ∵对称轴为直线x1，a＜0， ∴b＞﹣2a， ∴2a+b＞0，故③错误； 根据图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＞0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c）2﹣b2＜0故④正确； 故选：B． 【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象和性质，能根据图象得出正确信息是解此题的关键，用了数形结合思想． 【变式4-1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③2a+b＝0；④3a+c＜0；⑤（a+c）2＞b2．其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】根据所给二次函数的图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性，对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：由所给图形可知， 抛物线的开口向下， 所以a＜0． 抛物线的对称轴在y轴右侧， 所以， 所以b＞0． 因为抛物线与y轴的交点在正半轴， 所以c＞0， 所以abc＜0． 故①正确． 因为抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝1， 所以当x＝1时，函数取得最大值为a+b+c， 则对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），其函数值不大于a+b+c， 即am2+bm+c≤a+b+c， 所以am2+bm≤a+b． 故②正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝1， 所以， 即2a+b＝0． 故③正确． 由函数图象可知， 当x＝3时，函数值小于零， 所以9a+3b+c＜0， 又因为b＝﹣2a， 所以9a+3×（﹣2a）+c＜0， 即3a+c＜0． 故④正确． 因为抛物线对称轴为直线x＝1，且x＝3时函数值小于零， 所以当x＝﹣1时，函数值小于零； 又因为当x＝1时，函数值大于零， 则a﹣b+c＜0，a+b+c＞0， 所以﹣b＜a+c＜b， 所以（a+c）2＜b2． 故⑤错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式4-2】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中结论正确的有 　②③⑤　 ． 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，即可判断①；由x＝﹣1时，y＜0，即可判断②；当x＝2时，函数值大于0即可判断③；由a＜0，c＞0，即可判断④；根据函数的最大值即可判断⑤． 【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， 由图象可知：c＞0， ∴abc＜0， 故①不正确； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴b﹣a＞c， 故②正确； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0， 故③正确； ④∵a＜0，c＞0， ∴3a＜c， 故④不正确； ⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1）， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b）， 故⑤正确． 故答案为：②③⑤． 【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0）． （1）若m＝1﹣2a，n＝a﹣2，求抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； （2）在（1）的条件下，设该抛物线的顶点坐标为（p，q），当a≠1时，求证：． 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】（1）根据抛物线的对称性求出对称轴即可； （2）把抛物线解析式化为顶点式，可得，，再代入，然后结合二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）∵令y＝a（x﹣m）（x﹣n）＝0， 则：x1＝m，x2＝n， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（m，0），（n，0）， 当m＝1﹣2a，n＝a﹣2时，抛物线与x轴的交点坐标为（1﹣2a，0），（a﹣2，0）， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）， ∵该抛物线的顶点坐标为（p，q），抛物线的对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，抛物线顶点坐标的求法，二次函数与线段交点问题的解法是解题的关键． 题型五 二次函数增减性 【例5】在函数y＝﹣2x2﹣4x+a（a为常数）的图象上有三点（﹣2，y1）（﹣1，y2），（1，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据二次函数的增减性解答即可． 【解答】解：由解析式可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， 点（﹣2，y1）距离对称轴有1个单位长度， （﹣1，y2）在对称轴上， （1，y3）距离对称轴有2个单位长度， 根据开口向下，距离对称轴越远函数值越小可知：y3＜y1＜y2． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的增减性是关键． 【变式5-1】已知点（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣x2+2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据三个点距离对称轴的远近进行分析判断即可． 【解答】解：抛物线y＝﹣x2+2x+c的对称轴为直线x＝1，开口向下，根据开口向下，距离对称轴越远函数值越小可得： 点（﹣1，y1）距离对称轴有2个单位长度， （1，y2）在对称轴上， （4，y3）距离对称轴有3个单位长度， ∴y3＜y1＜y2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图形上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键． 【变式5-2】在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点． （1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标； （2）当y1＝y3时，求b的值； （3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征计算即可； （2）根据抛物线的对称轴是直线x计算； （3）根据抛物线的对称性、二次函数图象上点的坐标特征列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：（1）对于y＝x2+bx+1， 当x＝0时，y＝1， 则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）； （2）当y1＝y3时，抛物线的对称轴为x1， ∴， 解得：b＝﹣2； （3）当y3＞y1时，对称轴在x＝1的左侧，即1， 解得：b＞﹣2， 当1＞y2时，1＞1+b+1， 解得：b＜﹣1， ∴当y3＞y1＞1＞y2时，﹣2＜b＜﹣1． 【点评】本题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，正确理解抛物线的对称性以及二次函数的性质是解题的关键． 【变式5-3】已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0），点A（n﹣2，p），B（4，q），C（n，p）都在该二次函数的图象上． （1）用含n的代数式表示m． （2）当x＞2时，y随x的增大而减小，求n的值范围． （3）若﹣3＜q＜p，求n的取值范围． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）根据A，C两点的坐标特征以及对称轴的求法，根据对称轴的不同求法列出等式，整理即可； （2）由题意得到抛物线开口向下，对称轴为直线，则当x≥n﹣1时，y随x的增大而减小，又当x＞2时，y随x的增大而减小，则n﹣1≤2，即可求出n的值范围； （3）利用（1）中结论，分别将点B和点C代入函数表达式，q的范围列出相应不等式，进而求解即可． 【解答】解：（1）∵A（n﹣2，p），C（n，p）都在二次函数的图象上， ∴对称轴为直线， 又∵对称轴为直线， ∴m＝n﹣1； （2）∵y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0）中，﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当x≥n﹣1时，y随x的增大而减小， ∵当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴n﹣1≤2， ∴n≤3； ∵m＝n﹣1，m＞0， ∴n﹣1＞0， 解得：n＞1， ∴1＜n≤3； （3）此时对称轴在y轴右侧，令x＝0，则y＝﹣3， 令x＝4，则q＝﹣42+2m×4﹣3＞﹣3，解得：m＞2，则n﹣1＞2，解得：n＞3； 令x＝n，则p＝﹣n2+2mn﹣3＝﹣n2+2（n﹣1）n﹣3＝n2﹣2n﹣3， ∵q＝﹣16+8m﹣3＝8m﹣19＝8n﹣27，q＜p， ∴8n﹣27＜n2﹣2n﹣3， 整理得：n2﹣10n+24＞0， 令d＝n2﹣10n+24，再令d＝0，解得：n＝4或n＝6， 如图，二次函数d＝n2﹣10n+24开口向上，与横轴交于（4，0）和（6，0）， 若d＞0，则n＜4或n＞6， 综上：n的取值范围是3＜n＜4或n＞6． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解不等式，解题的关键是理清题中多个参数，逐步根据关系列不等式求解． 题型六 二次函数平移变换 【例6】若将抛物线y＝﹣x2﹣1向左平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　） A．y＝﹣（x﹣1）2﹣1 B．y＝﹣（x+1）2﹣1 C．y＝﹣x2﹣2 D．y＝﹣x2 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据“左加右减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将抛物线y＝﹣x2﹣1向左平移1个单位后，所得抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2﹣1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键． 【变式6-1】将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（　　） A．，b＝﹣3 B．3 C． D．3 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则，得出关于a，b的等式，据此进行计算即可． 【解答】解：由题知， C1：y＝x2+2x﹣a2+2a+1＝（x+1）2﹣a2+2a， 则将此抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度后， 所得抛物线的解析式为y＝（x﹣a+1）2﹣a2+2a﹣4． 又因为抛物线C2的解析式为：y＝x2+bx+b＝（x）2，且平移后的抛物线C1与C2重合， 所以， 解得． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 【变式6-2】将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是 　y（x+2）2﹣1　 ． 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】利用二次函数平移规律求出即可． 【解答】解：将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是：y（x+2）2﹣1． 故答案为：y（x+2）2﹣1． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 【变式6-3】如图，将抛物线P：y＝x2+2x+m平移后得到抛物线P2：y＝x2﹣5x+n两抛物线与y轴分别交于点C，D．抛物线P1，P2的交点E的横坐标是1，过点E作x轴的平行线，分别交抛物线P1，P2于点A，B． （1）求点A的横坐标． （2）求线段CD的长度． 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线P1的对称轴，以及A，E关于对称轴x＝﹣1对称和点E的横坐标直接求出点A的横坐标； （2）求出C，D的坐标即可求出CD的长． 【解答】解：（1）抛物线P1：y＝x2+2x+m的对称轴为直线x1， ∵AB∥x轴， ∵点A与点E关于对称轴x＝﹣1对称， ∴点A的横坐标为﹣3； （2）∵点E是抛物线C1与抛物线C2的交点， ∴1+2+m＝1﹣5+n， ∴m＝n﹣7， ∴n﹣m＝7， 令x＝0，则C（0，m），D（0，n）， ∴CD＝n﹣m＝7． 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，关键是判断点A与点E关于对称轴x＝﹣1对称． 题型七 二次函数性质 【例7】已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：则这个二次函数图象的对称轴是直线（　　） x …… ﹣4 ﹣2 0 3 5 …… y …… ﹣m2﹣21 ﹣m2﹣5 0 ﹣m2 ﹣m2﹣12 …… A．x＝﹣1 B．x＝0 C． D．x＝1 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象 【分析】由y＝ax2+bx+c过（0，0），故设此函数解析式为y＝ax2+bx，由表格数据可知，解方程组可得，进而可求得对称轴． 【解答】解：由y＝ax2+bx+c过（0，0），故设此函数解析式为y＝ax2+bx， 由表格数据可知， ①﹣②得a+b＝1④，③﹣②得3a+b＝﹣1⑤， 联立方程④⑤，解得， 故二次函数图象的对称轴是直线x1， 故选：D． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，以及二次函数对称轴的求法，能从表格中获取函数的关键信息是解决问题的关键． 【变式7-1】已知点（x1，y1），（x2，y2）为二次函数y＝x2图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（　　） A．若x1＞x2，则y1＞y2 B．若x1＜x2，则y1＜y2 C．若，则y1＞y2 D．若，则y1＜y2 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【解答】解：∵y＝x2，a＝1＞0，对称轴为y轴， ∴在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大； A、x1＞x2，y1不一定大于y2， 例如x1＝1时，y1＝1，x2＝﹣2时，y2＝4，此时x1＞x2， 但是y1＜y2；故选项A错误，不符合题意； B、x1＜x2，y1不一定小于y2， 例如x1＝﹣2时y1＝4，x2＝1时，y2＝1，此时x1＜x2， 但是y1＞y2；故选项B错误，不符合题意； C、当x1x2＞（x2）2，即：x1x2＞x2x2＞0， ∴x1＜x2＜0或x1＞x2＞0， 当x1＜x2＜0时，y1＞y2， 当x1＞x2＞0时，y1＞y2， ..当x1x2＞（x2）2时，y1＞y2， 故选项C正确，符合题意； D、当x1x2＜（x2）2，即：y1不一定小于y2， 例如x1＝﹣2时，y1＝4，x2＝1时，y2＝1， 此时x1x2＝﹣2＜（x2）2＝1，但是y1＞y2；故选项D错误，不符合题意； 故选C． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键，本题可以利用特殊值法进行排除，进行判断． 【变式7-2】已知二次函数y＝﹣2（x+1）2+3，当﹣2＜x＜3时，函数值y的取值范围 　﹣29＜y≤3　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】由二次函数y＝﹣2（x+1）2+3可得，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，3），再根据函数图象特点求出最大值和最小值即可得出答案． 【解答】解：由条件可知：函数图象的顶点坐标为（﹣1，3），对称轴为直线x＝﹣1，开口向下， ∴当x＝﹣1时，函数有最大值y＝3； ∵﹣2＜x＜3， ∴当x＝﹣2时，函数值y＝1， 当x＝3时，函数值y＝﹣29， ∴当﹣2＜x＜3时，函数值y的取值范围是：﹣29＜x≤3， 故答案为：﹣29＜x≤3． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数性质是关键． 【变式7-3】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）． （1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； （2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2＞﹣3，求a的取值范围． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）根据配方法化为顶点式，即可求解； （2）分a＞0和a＜0，分别讨论，根据y1＞y2＞﹣3列出不等式，进而即可求解． 【解答】解：（1）将抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）化为顶点式可得： y＝a（x﹣a）2， ∴对称轴为直线x＝a； （2）∵对称轴为直线x＝a， 当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧， ∵x1＝﹣2a，x2＝a+1， ∴x1＜a＜x2， ∵y1＞y2＞﹣3， ∴， 即， ∴， ∵y2＞﹣3， ∴a（a+1）2﹣2a2（a+1）﹣3＞﹣3，即a（a+1）（1﹣a）＞0， ∵a＞0， ∴1﹣a＞0， ∴a＜1， ∴， 当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵y1＞y2＞﹣3， ∴x1＜x2， 即﹣2a＜a+1， 解得：， 又∵y2＞﹣3， ∴a（a+1）2﹣2a2（a+1）﹣3＞﹣3，即a（a+1）（1﹣a）＞0， ∵a＜0， ∴（a+1）（a﹣1）＞0， ∴a＜﹣1或a＞1（舍去）， ∴a无解； 综上所述，． 【点评】本题考查二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 题型八 二次函数最值问题 【例8】已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　） A．9 B．8 C．1 D． 【考点】二次函数的最值 【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解． 【解答】解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4， ∴b＝2﹣a，c＝3a+4， ∵b，c都是非负数， ∴， 解不等式①得，a≤2， 解不等式②得，a， ∴a≤2， 又∵a是非负数， ∴0≤a≤2， S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4， ＝a2+2a+6， ∴对称轴为直线a1， ∴a＝0时，最小值n＝6， a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14， ∴m﹣n＝14﹣6＝8． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用a表示出b、c并求出a的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于a的函数关系式． 【变式8-1】在平面直角坐标系中，若抛物线y＝a（x+1）（x+3）（a≠0）在﹣4≤x≤2时的最大值为3，则a的值为（　　） A．或一1 B．或﹣3 C． D．﹣1 【考点】二次函数的最值 【分析】把解析式化成顶点式即可求得抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，分两种情况讨论：当a＞0时，x＝2，y有最大值为15a＝3，求得a，当a＜0时，x＝﹣2，y有最大值﹣a＝3，求得a＝﹣3． 【解答】解：∵y＝a（x+1）（x+3）＝a（x2+4x+3）＝a（x+2）2﹣a， ∴抛物线y＝a（x+1）（x+3）（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2， ∵抛物线y＝a（x+1）（x+3）（a≠0）在﹣4≤x≤2时的最大值为3， 当a＞0时，开口向上， ∴在﹣4≤x≤2时，x＝2，y有最大值为a（2+2）2﹣a＝15a， ∴15a＝3， ∴a， 当a＜0时，开口向下， ∴在﹣4≤x≤2时，x＝﹣2，y有最大值﹣a， ∴﹣a＝3， ∴a＝﹣3， 综上所述或a＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式8-2】已知二次函数y＝x2﹣2mx+2（，n为常数）． （1）若函数图象经过点（3，5）． ①求二次函数的表达式． ②若点A（﹣3，p），B（t，q）都在该二次函数的图象上，当p＞q时，求t的取值范围． （2）当1≤x≤3时，y有最大值为﹣5，求m的值． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值 【分析】（1）①将点（3，5）代入二次函数的表达式求解即可； ②根据二次函数y＝x2﹣2mx+2的对称轴是直线x＝m，开口向上，故点离对称轴越远函数值越大，故点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，可得关于t的不等式，解不等式即可； （2）根据二次函数y＝x2﹣2mx+2的对称轴是直线x＝m，开口向上，可知要分m≤1，m≥3，1＜m＜3三种情况求函数在1≤x≤3范围的最大值，得到关于m的方程，求解方程即可． 【解答】解：（1）①把（3，5）代入y＝x2﹣2mx+2得：9﹣6m+2＝5， 解得：m＝1， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+2； ②∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵抛物线开口向上， ∴当|t﹣1|＜1﹣（﹣3）时，q＜p， 解得：﹣3＜t＜5； （2）∵二次函数y＝x2﹣2mx+2的对称轴是直线x＝m，开口向上， 分三种情况求函数在1≤x≤3范围的最大值， ①当m≤1时，当1≤x≤3时，函数y的值随着x的增大而增大， ∴当x＝3时y取最大值为9﹣6m+2＝﹣5， 解得， 不满足m≤1，舍去， ②当m≥3时，当1≤x≤3时，函数y的值随着x的增大而减小， ∴x＝1时，y取最大值为1﹣2m+2＝﹣5， 解得m＝4，满足题意； ③当1＜m＜3时， 若m﹣1＞3﹣m，即2＜m＜3时，在x＝1时，y取最大值为1﹣2m+2＝﹣5， 解得m＝4，不符合题意； 当m﹣1≤3﹣m，即当1＜m≤2时，再x＝3时y取最大值为9﹣6m+2＝﹣5， 解得，不符合题意， ∴当1＜m＜3时，m值不存在， 综上所述：m＝4． 【点评】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征及最值，求最值时要注意结合二次函数的图象分析增减性，以及分类讨论思想的应用． 【变式8-3】已知函数y＝x2+mx（m为常数）的图形经过点（﹣5，5）． （1）m＝　4　 ． （2）当﹣5≤x≤n时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值 　n＝﹣3或　 ． 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）把已知坐标代入解析式计算即可． （2）根据抛物线额性质，分类计算． 【解答】解：（1）∵函数y＝x2+mx（m为常数）的图形经过点（﹣5，5）， ∴5＝（﹣5）2﹣5m， 解得m＝4， 故答案为：4； （2）由（1）得m＝4， ∴函数的解析式为y＝x2+4x， ∴y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4， 故抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，二次函数的最小值为﹣4， ∵（﹣5，5）的对称点为（1，5）， 当﹣5≤x≤n时，y的最大值与最小值之和为2， 当﹣5≤n＜﹣2时，最大值为5，x＝n时，取得最小值，且为y＝n2+4n， 根据题意，得n2+4n+5＝2， 解得n＝﹣3，n＝﹣1（舍去）， 故n＝﹣3； 当﹣2≤n≤1时，最大值为5，x＝﹣2时，取得最小值，且为﹣4， 根据题意，得5﹣4＝1，不符合题意； 当n＞1时，x＝﹣2时，取得最小值，且为﹣4，x＝n时，取得最大值，且为y＝n2+4n， 根据题意，得n2+4n﹣4＝2， 解得（舍去）， 故； 故答案为n＝﹣3或． 【点评】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 题型九 二次函数与不等式 【例9】如图1，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，4），则关于x的不等式kx+b＜4的解集为x＜﹣2．类似地，如图2是函数和函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，由图象可知，不等式ax2+bx+c≥mx+n的解集为（　　） A．x≤﹣2 B．﹣2≤x≤1 C．x≥1 D．x≤﹣2或x≥1 【考点】二次函数与不等式（组） 【分析】依据题意得，不等式ax2+bx+c≥mx+n的解集可以看作是函数y＝ax2+bx+c在函数y＝mx+n的图象上方的部分对应的自变量的取值范围，又函数y＝ax2+bx+c与函数y＝mx+n的图象交点的横坐标分别为﹣2，1，从而结合图象可得，x≤﹣2或x≥1，即可判断得解． 【解答】解：由题意得，不等式ax2+bx+c≥mx+n的解集可以看作是函数y＝ax2+bx+c在函数y＝mx+n的图象上方的部分对应的自变量的取值范围． 又∵函数y＝ax2+bx+c与函数y＝mx+n的图象交点的横坐标分别为﹣2，1， ∴结合图象可得，x≤﹣2或x≥1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组），解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx﹣3相交于点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③连接BO，△ABO的面积是12.5；④对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点】二次函数与不等式（组）；三角形的面积；抛物线与x轴的交点 【分析】由图象可知，当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；由图象知，抛物线y2＝ax2+bx﹣3与x轴的一个交点为A（3，0），可知x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；由三角形的面积公式可得△ABO的面积是7.5；利用待定系数法求出抛物线的解析式为y2＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，可得抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），则对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是﹣4＜y2＜5． 【解答】解：由图象可知，当﹣2＜x＜3时，y1＞y2， 故结论①正确； ∵抛物线y2＝ax2+bx﹣3与x轴的一个交点为A（3，0）， ∴x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解， 故结论②正确； △ABO的面积是7.5， 故结论③不正确； 将A（3，0），B（﹣2，5）代入y2＝ax2+bx﹣3， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y2＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是﹣4＜y2＜5， 故结论③④不正确． 综上所述，正确结论的个数是2个． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组）、抛物线与x轴的交点、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式9-2】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝kx+1（k＞0）的图象交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+1的解集为 　﹣3＜x＜1　 ． 【考点】二次函数与不等式（组） 【分析】利用图象法进行求解即可． 【解答】解：由题意得，关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+1的解集即为二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象在一次函数y＝kx+1（k＞0）的图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+1的解集为﹣3＜x＜1， 故答案为：﹣3＜x＜1． 【变式9-3】如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是　﹣5≤x≤2　 ． 【考点】二次函数与不等式（组）【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点， ∴﹣2m+n＝p，5m+n＝q， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（2，p），Q（﹣5，q）两点， 观察函数图象可知：当﹣5≤x≤2时， 直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方， ∴不等式ax2+mx+c≤n的解集是﹣5≤x≤2． 故答案为﹣5≤x≤2． 【点评】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题． 题型十 二次函数应用 【例10】在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x＝2000时，y有最大值 C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y＝0.4时，x＝600 【考点】二次函数的应用 【分析】结合图象可得可得抛物线的对称轴为直线x＝2000，可得函数的最值，进而可得y随x的变化情况以及给定y的值或者取值范围所对应的自变量及自变量的取值情况． 【解答】解：A、当x≥1000时，y随x的增大先增大，后减小，故A选项错误，不符合题意； B、∵抛物线过点（1000，0.6），（3000.0.6）， ∴抛物线的对称轴为：直线x2000， ∵抛物线的开口向下， ∴x＝2000时，y有最大值， 故B选项正确，符合题意； C、由图象可得：当y＝0.6时，x1＝1000，x2＝3000， ∴当y≥0.6时，1000≤x≤3000， 故C选项错误，不符合题意； D、由图象可得当y＝0.4时，x对应的值有2个，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的相关知识．采用数形结合的方法解决二次函数的相关问题是解决本题的主要方法． 【变式10-1】某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为x（元/千克）（x≥30，且x是按0.5的倍数上涨），当日销售量为y（千克）．有下列说法： ①当x＝36时，y＝420； ②y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+1500； ③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克； ④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克， 其中正确的是（　　） A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④ 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用 【分析】根据题意计算出当x＝36时y的值，可对①进行判断； 根据销售量与销售价格的关系可得y与x的关系式，可对②进行判断； 设销售利润为w元，根据利润＝每千克的利润×销售量得到w关于x的关系式，列出一元二次方程可对③进行判断； 根据二次函数的性质可对④进行判断； 【解答】解：当x＝36时，y＝450﹣15420，故①正确； y＝450﹣1530x+1500，故②正确； 设销售利润为w元，则w＝（x﹣30）（﹣30x+1500）＝﹣30x2+2400x﹣45000， 当w＝2880时，2880＝﹣30x2+2400x﹣45000， 解得x＝42或38， 若使销售量较大，则x＝38，故③错误； w＝﹣30x2+2400x﹣45000＝﹣30（x﹣40）2+3000， 所以日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④正确． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数的关系式是解题关键． 【变式10-2】在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队包揽了所有跳水项目的金牌，实现了历史性的突破．运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间t（s）和运动员距离水面的高度h（m）之间满足关系：，那么运动员完成规定动作的时长最多为 　　 s．（结果保留根号） 【考点】二次函数的应用 【分析】令5，即可求解． 【解答】解：令5， 解得：t（s）（舍去负值）， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数应用，主要利用数学建模，借助二次函数解决实际问题． 【变式10-3】赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上各点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离OA＝60m，主桥拱距离水面的最大高度为9m． （1）求主桥拱所在抛物线的函数表达式； （2）据测量，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【考点】二次函数的应用 【分析】（1）根据题意可得：抛物线的顶点坐标为（30，9），然后利用待定系数法进行计算，即可解答； （2）把y＝5代入y＝﹣0.01（x﹣30）2+9中得：5＝﹣0.01（x﹣30）2+9，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：主桥拱所在抛物线的顶点坐标为（30，9）， ∴设y＝a（x﹣30）2+9， 把O（0，0）代入y＝a（x﹣30）2+9中得：0＝a（0﹣30）2+9， 解得：a＝﹣0.01， ∴y＝﹣0.01（x﹣30）2+9； （2）把y＝5代入y＝﹣0.01（x﹣30）2+9中得：5＝﹣0.01（x﹣30）2+9， 解得：x1＝10，x2＝50， ∴可设计赛道的宽度＝50﹣10＝40（m）， ∴4， ∴最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型十一 二次函数综合 【例11】已知二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）（a＜b），且x1、x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）0的两个根，则实数a、b、x1、x2的大小关系为（　　） A．a＜x1＜b＜x2 B．a＜x1＜x2＜b C．x1＜a＜x2＜b D．x1＜a＜b＜x2 【考点】二次函数综合题 【分析】根据交点式可以画出y′＝（x﹣a）（x﹣b）的大致图象，根据平移从而确定y＝（x﹣a）（x﹣b）的图象，利用图象就可以求出答案． 【解答】解：设y′＝（x﹣a）（x﹣b）的大致图象如图所示，抛物线①，它与x轴的交点坐标的横坐标依次为a、b， ∴y＝（x﹣a）（x﹣b）是由抛物线①向下平移个单位长度得到的．如图中的抛物线②，它与x轴的交点横坐标分别是x1、x2， ∴由图象得x1＜a＜b＜x2． 故选：D． 【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的图象性质，二次函数图象的平移及二次函数的图象与x轴的交点坐标的特征． 【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且过点A（﹣1，2），连接AB，AC，BC． （1）B的坐标 　（3，0）　 ； （2）若点P是抛物线对称轴上一点，且S△ABC＝2S△BCP，P的坐标 　或　 ． 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）令y＝0，即可求解； （2）待定系数法求出直线BA的解析式，设BA交y轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E，则可求得点D的坐标，从而求得△ABC的面积；设，利用面积关系即可求解． 【解答】解：（1）令， 解得x1＝3，x2＝﹣2； ∵点B在x轴正半轴上， ∴B（3，0）； 故答案为：（3，0）； （2）在中，令x＝0，得y＝3， 即C（0，3）； 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把B、A坐标代入得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为； 设BA交y轴于点D，抛物线交x轴于点E，连接BP，CP， 在中，令x＝0，得， 则； ∴△ABC的面积为：； ∵S△ABC＝2S△BCP， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设； 当点P在BC上方时，， 即， 解得：， 故； 当点P在BC下方时，， 即， 解得：， 故； 综上，点P坐标为或； 故答案为：或． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，三角形的面积，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式11-2】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴相交于点C，请完成下面的填空： （1）该抛物线的解析式为　y＝﹣x2﹣2x+3　 ． （2）在该抛物线的对称轴上存在点Q，使得△QAC的周长最小，则Q点的坐标为　（﹣1，2）　 ． （3）在抛物线上的第二象限上存在一点P，使△PBC的面积最大，则点P的坐标为　（，）　 ，△PBC的最大面积为　　 ． 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可． （2）如图1中，连接BC交对称轴于Q，此时AQ+QC最小，即△QAC的周长最小，求出直线BC的解析式即可解决问题． （3）如图2中，设P（m，﹣m2﹣2m+3），作PM∥y轴，交BC于M．则M（m，m+3）．构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3． 故答案为y＝﹣x2﹣2x+3． （2）如图1中，连接BC交对称轴于Q，此时AQ+QC最小，即△QAC的周长最小， 设最小BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得， ∴直线BC的解析式为y＝x+3， ∵抛物线的对称轴x＝﹣1， ∴Q（﹣1，2）． 故答案为（﹣1，2）． （3）如图2中，设P（m，﹣m2﹣2m+3），作PM∥y轴，交BC于M．则M（m，m+3）． S△PBC•PM•3（﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3）（m）2， ∵0， ∴当m时，△PBC的面积最大，最大值为，此时点P（，）． 故答案为（，），． 【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称﹣最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决实际问题，属于中考压轴题． 【变式11-3】综合探究 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过A（2，﹣3）和B（0，﹣1）． （1）求平移后新抛物线的表达式及顶点坐标． （2）直线x＝m（m＞0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q，若PQ小于7，求m的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在以PQ为底边的等腰三角形PBQ？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）设平移后的表达式为ybx﹣1，代入A（2，﹣3）后即可得b＝﹣2，进而可得表达式和顶点坐标； （2）设P（m，m2﹣2m﹣1），Q（m，m2），则PQm2m2+2m+1＝2m+1＜7，解得m＜3，故0＜m＜3； （3）由题意PQ为底边，故BQ＝BP，从而1，可解得m＝1． 【解答】解：（1）设平移后的表达式为ybx﹣1，代入A（2，﹣3）， 可得﹣32b﹣1，解得b＝﹣2， 故平移后新抛物线的表达式为y2x﹣1， 对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3）； （2）设P（m，m2﹣2m﹣1），Q（m，m2）， 则PQm2m2+2m+1＝2m+1＜7，解得m＜3， 故0＜m＜3； （3）存在，理由如下： ∵PQ为底边， ∴BQ＝BP， ∴1，即， 整理可得m2﹣2m+1＝0，解得m＝1， 即m的值为1． 【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与线段，等腰三角形的性质，难度较低，熟练掌握以上内容是解题关键． 题型十二 二次函数参数问题 【例12】已知二次函数y＝x2﹣2mx+2（，n为常数）． （1）若函数图象经过点（3，5）． ①求二次函数的表达式． ②若点A（﹣3，p），B（t，q）都在该二次函数的图象上，当p＞q时，求t的取值范围． （2）当1≤x≤3时，y有最大值为﹣5，求m的值． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值 【分析】（1）①将点（3，5）代入二次函数的表达式求解即可； ②根据二次函数y＝x2﹣2mx+2的对称轴是直线x＝m，开口向上，故点离对称轴越远函数值越大，故点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，可得关于t的不等式，解不等式即可； （2）根据二次函数y＝x2﹣2mx+2的对称轴是直线x＝m，开口向上，可知要分m≤1，m≥3，1＜m＜3三种情况求函数在1≤x≤3范围的最大值，得到关于m的方程，求解方程即可． 【解答】解：（1）①把（3，5）代入y＝x2﹣2mx+2得：9﹣6m+2＝5， 解得：m＝1， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+2； ②∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵抛物线开口向上， ∴当|t﹣1|＜1﹣（﹣3）时，q＜p， 解得：﹣3＜t＜5； （2）∵二次函数y＝x2﹣2mx+2的对称轴是直线x＝m，开口向上， 分三种情况求函数在1≤x≤3范围的最大值， ①当m≤1时，当1≤x≤3时，函数y的值随着x的增大而增大， ∴当x＝3时y取最大值为9﹣6m+2＝﹣5， 解得， 不满足m≤1，舍去， ②当m≥3时，当1≤x≤3时，函数y的值随着x的增大而减小， ∴x＝1时，y取最大值为1﹣2m+2＝﹣5， 解得m＝4，满足题意； ③当1＜m＜3时， 若m﹣1＞3﹣m，即2＜m＜3时，在x＝1时，y取最大值为1﹣2m+2＝﹣5， 解得m＝4，不符合题意； 当m﹣1≤3﹣m，即当1＜m≤2时，再x＝3时y取最大值为9﹣6m+2＝﹣5， 解得，不符合题意， ∴当1＜m＜3时，m值不存在， 综上所述：m＝4． 【点评】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征及最值，求最值时要注意结合二次函数的图象分析增减性，以及分类讨论思想的应用． 【变式12-1】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）． （1）若t＝0， ①求此抛物线的对称轴； ②当p＜t时，直接写出m的取值范围； （2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且5m+5n＜﹣13，请比较p，q的大小，并说明理由． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）①当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0），将其代入函数解析式中解得a＝﹣1，则函数解析式为抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，再根据求对称轴的公式即可求解； ②令y＝0，求出抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0），由题意可得p＜0，则点B在x轴的下方，以此即可解答； （2）将点A坐标代入函数解析式，通过t＜0可得a的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B，C到对称轴的距离大小关系求解． 【解答】解：（1）①当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0）， ∵抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，0）， ∴4a+2（a+2）+2＝0， ∴a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2， ∴抛物线的对称轴为直线x； ②令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣2， ∴抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0）， ∵点A（﹣2，0），B（m，p），且p＜0， ∴点B（m，p）在x轴的下方， ∴m＜﹣2或m＞1． （2）p＜q，理由如下： 将（﹣2，t）代入y＝ax2﹣（a+2）x+2得t＝4a+2（a+2）+2＝6a+6， ∵t＜0， ∴6a+6＜0， ∴a＜﹣1， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线x， ∵a＜﹣1， ∴﹣10， ∴， ∵m＜n且5m+5n＜﹣13， ∴， ∴点B（m，p）到对称轴的距离大于点C（n，q）到对称轴的距离， ∴p＜q． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【变式12-2】对于二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法： ①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）； ②当m＝﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点； ③当m＜0，x时，函数y随x的增大而减小； 判断真假，并说明理由． 【考点】二次函数的性质 【分析】①根据二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m，可进行变形，得到y＝（x2+5x+4）m+3x，只要令x2+5x+4＝0，则所得的x的值就与m无关，从而可以解答本题； ②将m＝﹣1代入函数解析式，然后分别令x＝0和y＝0求出相应的y值和x的值，即可解答本题； ③根据抛物线的解析式可以求得对称轴，然后根据m＜0，可知在对称轴右侧y随x的增大而减小，然后令对称轴的值等于，求得m的值然后看m的值是否小于0，即可解答本题． 【解答】解：①是真命题， 理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m＝（x2+5x+4）m+3x， ∴当x2+5x+4＝0时，得x＝﹣4或x＝﹣1， ∴x＝﹣1时，y＝﹣3；x＝﹣4时，y＝﹣12； ∴二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）的图象一定过定点（﹣1，﹣3）， 故①是真命题； ②是假命题， 理由：当m＝﹣1时，则函数为y＝﹣x2﹣2x﹣4， ∵当y＝0时，﹣x2﹣2x﹣4＝0，△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×（﹣4）＝﹣12＜0；当x＝0时，y＝﹣4； ∴抛物线与x轴无交点，与y轴一个交点， 故②是假命题； ③是假命题， 理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m， ∴对称轴x， ∵m＜0，x时，函数y随x的增大而减小， ∴，得m， ∵m＜0与m矛盾， 故③为假命题． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 【变式12-3】在平面直角坐标系xOy中．已知抛物线y＝x2﹣2tx． （1）当t＝1时，求抛物线的顶点坐标； （2）点M（3，y1），N（t﹣2，y2），P（n，y3）在抛物线上．若对于﹣4＜n＜﹣3，都有y2＜y3＜y1，求t的取值范围． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求解； （2）利用二次函数的对称性和增减性列出关于t的不等式组，求解即可． 【解答】解：（1）当t＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x， ∵y＝（x﹣1）2﹣1， ∴顶点为（1，﹣1）； （2）抛物线y＝x2﹣2tx的开口向上，对称轴为直线xt， ∵点M（3，y1），N（t﹣2，y2），P（n，y3）在抛物线上， ∴N（t﹣2，y2）在对称轴的左侧，N（t﹣2，y2）关于对称轴的对称点为（t+2，y2），点M（3，y1）关于对称轴的对称点为（2t﹣3，y1）， ∵﹣4＜n＜﹣3， ∴2t+3＜2t﹣n＜2t+4， 若对于﹣4＜n＜﹣3，都有y2＜y3＜y1， 当t≤﹣4时，t+2≤﹣4，解得t≤﹣6， 当t≥﹣3时，t﹣2≥﹣3且2t﹣3≤﹣4，解得﹣1≤t， 综上，t的取值范围是t≤﹣6或﹣1≤t． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型十三 二次函数新题型 【例13】【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（XinghaiBayBridge）是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180＝820m． 如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中． 【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系？ 【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题． 【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）． （1）请直接写出以下问题的答案： ①右侧悬索最高点B的坐标； ②y与x的函数解析式； ③最长的吊杆的长度； （2）某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟； （3）如图3，灯光秀中一个射灯光源C（﹣70，﹣21），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上？ 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）①作BD⊥x轴于D点，由题意得AB＝L＝460，根据求出S的值，即可得BD的长，由此可得B点的坐标； ②设y＝ax2，将B点坐标代入，求出a的值，即可得抛物线的表达式； ③设最长的吊杆为EF，由题意得OF＝230﹣10＝220，代入表达式中求出y的值，即可得EF的长，即吊杆的长． （2）作MN∥x轴，交抛物线于M、N两点，则yM＝yN＝6.9，求出M、N两点的横坐标，进而可得MN的长，再求出游客在悬索上方能看到彩车的时间，即可判断结果． （3）设光源放在G点时，光线GH与悬索只有一个交点，先求出直线CB的表达式为，由GH∥CB可知直线GH与直线CB的k相同，设直线GH的表达式为，联立抛物线和直线的表达式可得3x2﹣690x﹣2300m＝0，由Δ＝0，求出m的值为，由此可得GH直线的表达式为，求出G点的坐标即可得到答案． 【解答】解：（1）①如图，作BD⊥x轴于D点， 由题意得AB＝L＝460， ∴， ∵， ∴， ∴BD＝69， ∴点B的坐标为（230，69）； ②设y＝ax2， 把B（230，69）代入得2302•a＝69， 解得， ∴y与x的函数解析式为：； ③如图，设最长的吊杆为EF， ∵吊杆间距10m， ∴DF＝10， ∴OF＝230﹣10＝220， 由得，x＝220时，， ∴EF≈63， ∴最长的吊杆的长度约为63m． （2）如图，作MN∥x轴，交抛物线于M、N两点， 由题意知yM＝yN＝6.9，代入抛物线解析式得， 解得，， ∴，， ∴， ∴游客在悬索上方能看到彩车的时间为：， ∴游客在悬索上方能看到彩车的时间不超过6分钟． （3） 设光源放在G点时，光线GH与悬索只有一个交点， 设直线CB的表达式为y＝kx+b，则 ， 解得， ∴直线CB的表达式为：． ∵GH∥CB， ∴直线GH与直线CB的k相同， 设直线GH的表达式为， 联立， 得， 整理得3x2﹣690x﹣2300m＝0， ∵直线GH与抛物线只有一个交点， ∴Δ＝（﹣690）2﹣4×3×（﹣2300m）＝0， 解得， ∴直线GH的表达式为． 当y＝﹣21时，， 解得， ∴， ∴光源应放在（﹣70，﹣21）和之间，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上． 【点评】本题考查了二次函数综合，二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，熟练掌握求二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键． 【变式13-1】根据以下素材，探索完成任务． 探究铁锅内放蒸笼的问题 素材1 民以食为天，我们常见的大铁锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆弧面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形（如图1）．蒸笼可以看成是若干个圆柱体叠加起来． 素材2 如图2，锅口直径AB为8dm，锅深OF为5dm，锅盖高OE为2dm（锅口直径与锅盖口直径视为相同），把锅盖纵断面所在的圆记作⊙M． 素材3 如图3，圆柱体蒸笼底面直径6dm，高度为1dm，若干个这种规格的蒸笼叠加起来不需要考虑叠加缝隙． 问题解决 任务1 求弧AB所在的⊙M的半径． 任务2 锅中原有水的最大深度为0.5dm（如图4），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高了2.5dm，求此时的水面宽度． 任务3 在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 任务4 为加工更大的食材，现需要将一个底面直径为6.4dm，高度为3dm的圆柱体蒸笼放入铁锅内，原本的锅盖无法正常使用，需要寻找一个新的圆弧形锅盖，使得新的蒸笼放入后，锅盖能恰好盖上（且锅口直径与锅盖口直径相同），请直接写出新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 【考点】二次函数综合题 【分析】任务1：在Rt△BOM 中，由勾股定理和垂径定理列方程求解即可； 任务2：先求出抛物线C解析式为，再说明水位升高2.5dm后水面距锅沿的竖直的高度为2dm，即当y＝﹣2时，x的2倍即为水面宽度； 任务3：由题意可知：当x＝3时，；根据题意可得NG＝6dm，IG＝3dm，运用勾股定理可得IM＝4dm、OI＝1，进而求得，最后根据GD的范围即可解答； 任务4：当x＝3.2时，则，进而得到，设锅盖纵断面圆弧所在圆的半径为R，根据勾股定理可得，，再根据MI＝OI+OM列方程求得R，进而求得直径即可． 【解答】解：（1）如图：圆心为 M，连接 BM， 设BM＝r，则 MB＝ME＝r， ∵OE＝2dm， ∴OM＝r﹣2， ∵AB⊥OM，OM过圆心， ∴， 在Rt△BOM 中，由勾股定理可得：BM2＝OM2+OB2， 即 r2＝（r﹣2）2+16，解得：r＝5， ∴⊙M 的半径为5dm． （2）由题意知抛物线C的顶点为F（0，﹣5），且过A（﹣4，0）B（4，0）， ∴设抛物线C解析式为：y＝ax2﹣5， ∴0＝a×16﹣5，解得：， ∴抛物线C解析式为：， ∵锅中原有水的最大深度为0.5dm，又重新加入一定量的水，水位升高2.5dm， ∴加水后水面水的最大深度为3dm， ∴水面距锅沿的竖直高度为2dm， 当y＝﹣2时，，解得：， ∴水面宽度为． （3）对于抛物线C，如图所示： 当x＝3时，，则， 对于⊙M，如图所示： ∵NG＝6dm，IG＝3dm， ∴， ∵OM＝ME﹣OE＝5﹣2＝3， ∴OI＝PG＝IM﹣OM＝4﹣3＝1， ∴， ∵， ∵圆柱体蒸笼底面直径6dm，高度为1dm， ∴为了让锅盖能够盖上，最多可以放入这种规格的蒸笼3个． （4）现需要将一个底面直径为6.4dm，高度为3dm的圆柱体蒸笼放入铁锅内，对于抛物线C，如图所示： 当x＝3.2时，，则， ∵底面直径为6.4dm，高度为3dm的圆柱体蒸笼放入铁锅内， ∴ 设锅盖纵断面圆弧所在圆的半径为R， ∴，， ∵MI＝OI+OM， ∴，解得：（舍弃负值）， ∴新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数综合运用、垂径定理，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式13-2】完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》． 驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？ 2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？ 3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？ 项目背景 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间． 数学建模 如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝2m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线AED的顶点E（0，3），求抛物线的解析式． 问题解决 如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长． 问题解决 为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图，在某一时刻，太阳光线透过A点刚好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长． 【考点】二次函数综合题 【分析】数学建模：根据题意求得A（﹣2，2），进而根据待定系数法即可求出抛物线的解析式； 问题解决：根据抛物线的解析式求出点G和点M的坐标，即可求出GM的长； 问题解决：先求出直线AC的解析式，再求出与直线AC平行的直线l的解析式，即可求出CK的长． 【解答】解：数学建模：∵抛物线AED的顶点E（0，3）， ∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+3， ∵AB＝2m，BC＝4m，O是BC的中点，则OB＝2， ∴A（﹣2，2）， ∴4a+3＝2， 解得， ∴抛物线的解析式为； 问题解决：由题意得：L、R的纵坐标为2.75，代入函数解析式得： ， 解得x1＝1，x2＝﹣1， ∴点（﹣1，2.75），R（1，2.75）， ∴点G（﹣0.25，2），M（0.25，2）， ∴GM＝0.5m， 答：两个正方形装置的间距GM的长为0.5m； 问题解决：设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣2，2），点C（2，0）代入得： ， 解得， ∴直线AC的解析式为， ∴设过点K且与直线AC平行的直线为l，其解析式为， 其与抛物线只有唯一一个交点， ∴有两个等根， 即一元二次方程x2﹣2x+4m﹣12＝0有两个等根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（4m﹣12）＝0， 解答， ∴直线l的解析式为， 当y＝0时，即， 解得， ∴， ∵OC＝2， ∴． 答：CK的长为． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 【变式13-3】项目式学习：《无人机灯光秀图案的设计》 项目背景 为庆祝建校百年，某中学的无人机社团计划在校庆夜空上演无人机灯光秀．同学们以抛物线为基础，编排两组无人机组成“双翼彩虹”图案的表演．左侧无人机群的灯光轨迹近似看成一条抛物型；右侧轨迹与左侧关于舞台中轴线对称，展现彩虹双翼的平衡之美． 如图所示： 任务1建立模型 如图1以地面为x轴，舞台中轴线为y轴，舞台中央点为原点，建立的直角坐标系，左侧抛物型过顶点（﹣3，6），起始点为（﹣1，2），终点与起始点关于直线x＝3对称，直接写出左侧抛物型解析式　y＝﹣x2﹣6x﹣3　 ； 若右侧抛物型与左侧抛物线关于y轴对称，直接写出抛物线解析式：　y＝﹣x2+6x﹣3　 ． 任务2利用模型 为确保视觉效果，两侧无人机需要同时飞行移动至距离舞台地面中心5米的高度处并交汇于点A处，如图所示，求两组无人机队伍交汇时，距离舞台地面中心7米高度时无人机队列两侧的水平宽度． 任务3分析计算 在（2）的条件下，为达到更优的视觉效果，同学们提议，给交汇处的无人机装上射灯，并从交汇点A飞到舞台中央O点的正上方B处发射两束光线，射出的光线与地面形成45°夹角，如图3所示 ①若要使光线不被无人机队列所遮挡，求无人机上升距离AB的最小值； ②若无人机计划飞到12米才发射光线，则此时单侧光线与无人机队列之间的最短距离为　米　 ． 【考点】二次函数综合题 【分析】任务1：设抛物线的解析式为y＝a（x+3）2+6，代入（﹣1，2），解答即可；根据对称，顶点坐标变成纵坐标不变，横坐标变成相反数，形状不变，写出解析式即可； 任务2：左侧抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线即y＝﹣（x+3﹣1）2+6+3＝﹣x2﹣4x+5，右侧抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线即y＝﹣（x﹣3+1）2+6+3＝﹣x2+4x+5；当y＝7时，求两个解析式的自变量值，用最右侧值减去最左侧值解答即可； 任务3：利用待定系数法，根的判别式解答即可． 【解答】解：任务1：∵左侧抛物线过顶点（﹣3，6）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+3）2+6， ∵起始点为（﹣1，2），终点与起始点关于直线x＝﹣3对称， ∴终点坐标为（﹣5，2）， ∴2＝a（﹣1+3）2+6， 解得a＝﹣1， ∴左侧抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+6＝﹣x2﹣6x﹣3， ∵左侧抛物线过顶点（﹣3，6）， ∴右侧抛物线过顶点（3，6）， 不妨设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+6， ∵左侧抛物线起始点为（﹣1，2）， ∴右侧抛物线起始点为（1，2）， ∴2＝a（1﹣3）2+6， 解得a＝﹣1， ∴右侧抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+6＝﹣x2+6x﹣3， 故答案为：y＝﹣x2﹣6x﹣3，y＝﹣x2+6x﹣3； 任务2：左侧抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+6，点M（﹣1，2）关于y轴的对称点为N（1，2），左侧终点坐标为Q（﹣5，2）关于y轴的对称点为 T（5，2）， 根据题意，两侧无人机需要同时飞行移动至距离舞台地面中心5米的高度处并交汇于点A（0，5）处， 故M（﹣1，2）平移到A（0，5），N（1，2）平移到A（0，5）， 故左侧抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线即y＝﹣（x+3﹣1）2+6+3＝﹣x2﹣4x+5， 故右侧抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线即y＝﹣（x﹣3+1）2+6+3＝﹣x2+4x+5， 当y＝7时，﹣x2﹣4x+5＝7， 解得， 当y＝7时，﹣x2+4x+5＝7， 解得， 故水平宽度为， 答：水平宽度为米； 任务3：①设B（0，m），根据题意，射出的光线与地面形成45°夹角，得到D（﹣m，0）， 设直线BD的解析式为y＝kx+b， 故， 解得， 故直线BD的解析式为 y＝x+m， 要使光线不被无人机队列所遮挡， 确定直线与抛物线只有一个交点时，为最小值， 故， 故x2+5x+m﹣5＝0， ∴25﹣4（m﹣5）＝0， 解得， 故无人机上升距离AB的最小值为； ②根据题意，得无人机计划飞到12米才发射光线，此时单侧光线的解析式为y＝﹣x+12， 此时R（12，0）， 由，得， 故直线与x轴的交点坐标为， 故两交点的距离为， 根据题意，射出的光线与地面形成45°夹角， 故与无人机队列之间的最短距离为米． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，一元二次方程根的判别式应用，等腰直角三角形的性质，平行线之间的距离，熟练掌握待定系数法，根的判别式是解题的关键． 基础巩固通关测 1．下列关于抛物线y＝﹣mx2+4mx+m的描述，正确的是（　　） A．开口向上 B．与x轴没有交点 C．对称轴为直线x＝﹣2 D．一定经过三、四两个象限 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质 【分析】根据题意可知y＝﹣mx2+4mx+m＝﹣m（x﹣2）2+5m和二次函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：抛物线y＝﹣mx2+4mx+m＝﹣m（x﹣2）2+5m， ∵m的正负不能不确定， ∴抛物线的开口方向无法确定，故选项A不符合题意； 当y＝0时，x＝2±，故选项B错误，不符合题意； 该抛物线的对称轴为直线x＝2，故选项C错误，不符合题意； 当m＞0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（2，5m），该函数图象经过第一、二、三、四象限， 当m＜0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（2，5m），该函数图象经过第一、二、三、四象限， 故选：D． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2（a≠0），若﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值 【分析】分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解． 【解答】解：当a＞0时， ∵对称轴为x1， 当x＝1时，y有最小值为2，当x＝﹣1时，y有最大值为4a+2， ∴4a+2﹣2＝4． ∴a＝1； 当a＜0时，同理可得 y有最大值为2；y有最小值为4a+2， ∴2﹣（4a+2）＝4， ∴a＝﹣1； 综上所述，a的值为±1； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键． 3．抛物线y＝x2向左平移5个单位，再向下平移3个单位后，所得的抛物线表达式是（　　） A．y＝（x﹣5）2﹣3 B．y＝（x﹣5）2+3 C．y＝（x+5）2﹣3 D．y＝（x+5）2+3 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据左加右减，上加下减的平移变换规律求解即可． 【解答】解：将抛物线y＝x2向左平移5个单位，再向下平移3个单位后，所得的抛物线表达式为y＝（x+5）2﹣3， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象的平移变换规律，熟练掌握二次函数图象平移变换规律是解题的关键． 4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论： ①abc＜0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；③a+2b＝c；④y最大值．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；根与系数的关系 【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＞0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；由于x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，再利用b＝﹣2a得到c＝﹣3a，则可对③④进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3，所以②正确； ∵当x＝﹣1时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a， ∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a， ∴a+2b﹣c＝a﹣4a+3a＝0，即a+2b＝c，所以③正确； ∵当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c， 函数有最大值y＝a﹣2a+c＝﹣a+cc+cc，所以④正确； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键． 5．已知抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是　m＜1　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点 【分析】抛物线与x轴有两个交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，从而求出m的取值范围． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 即4﹣4m＞0， 解得m＜1， 故答案为m＜1． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：①抛物线与x轴有两个交点，则Δ＞0；②抛物线与x轴无交点，则Δ＜0；③抛物线与x轴有一个交点，则Δ＝0． 6．已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值为　1　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值 【分析】依据题意，现将y＝x2﹣2x+k变形为y＝（x﹣1）2+k﹣1，然后结合﹣1≤x≤4判断当x＝4时取最大值，从而列方程计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣2x+k＝x2﹣2x+1+k﹣1＝（x﹣1）2+k﹣1， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1． 又∵﹣1≤x≤4，抛物线开口向上， ∴当x＝4时，y取最大值，最大值y＝9+k﹣1＝8+k． 又此时y的最大值为9， ∴8+k＝9． ∴k＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用顶点式是关键． 7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c≥0的解集为　﹣5≤x≤3　 ． 【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点 【分析】由抛物线的对称性可得二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为（3，0），再结合图象可得答案． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴不等式ax2+bx+c≥0的解集为﹣5≤x≤3． 故答案为：﹣5≤x≤3． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组）、抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 8．点A（﹣1，y1），B（4，y2）是二次函数y＝（x﹣1）2图象上的两个点，则y1　＜　 y2（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】由于知道二次函数的解析式，且知道A、B两点的横坐标，故可将两点横坐标分别代入二次函数解析式求出y1、y2的值，再比较即可． 【解答】解：把A（﹣1，y1）、B（4，y2）代入二次函数y＝（x﹣1）2得， y1＝（﹣1﹣1）2＝4；y2＝（4﹣1）2＝9， 所以y1＜y2． 故答案为＜． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要明确：二次函数图象上点的坐标符合函数解析式． 9．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度y（m）和运动员出手点的水平距离x（m）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 　10　 m． 【考点】二次函数的应用 【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可． 【解答】解： 当y＝0时，得：， 解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去） 即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是10m． 故答案为：10． 【点评】本题考查了二次函数的应用，利用y＝0时求出x的值是解题关键． 10．将二次函数y＝x2﹣4x﹣3化成y＝a（x+m）2+k的形式是　y＝（x﹣2）2﹣7　 ． 【考点】二次函数的三种形式 【分析】利用配方法来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣3＝x2﹣4x+4﹣7＝（x﹣2）2﹣7， ∴二次函数y＝x2﹣4x﹣3化成y＝a（x+m）2+k的形式是y＝（x﹣2）2﹣7． 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣7． 【点评】本题主要考考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键． 11．已知二次函数y＝x2﹣2mx+2（，n为常数）． （1）若函数图象经过点（3，5）． ①求二次函数的表达式． ②若点A（﹣3，p），B（t，q）都在该二次函数的图象上，当p＞q时，求t的取值范围． （2）当1≤x≤3时，y有最大值为﹣5，求m的值． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值 【分析】（1）①将点（3，5）代入二次函数的表达式求解即可； ②根据二次函数y＝x2﹣2mx+2的对称轴是直线x＝m，开口向上，故点离对称轴越远函数值越大，故点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，可得关于t的不等式，解不等式即可； （2）根据二次函数y＝x2﹣2mx+2的对称轴是直线x＝m，开口向上，可知要分m≤1，m≥3，1＜m＜3三种情况求函数在1≤x≤3范围的最大值，得到关于m的方程，求解方程即可． 【解答】解：（1）①把（3，5）代入y＝x2﹣2mx+2得：9﹣6m+2＝5， 解得：m＝1， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+2； ②∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵抛物线开口向上， ∴当|t﹣1|＜1﹣（﹣3）时，q＜p， 解得：﹣3＜t＜5； （2）∵二次函数y＝x2﹣2mx+2的对称轴是直线x＝m，开口向上， 分三种情况求函数在1≤x≤3范围的最大值， ①当m≤1时，当1≤x≤3时，函数y的值随着x的增大而增大， ∴当x＝3时y取最大值为9﹣6m+2＝﹣5， 解得， 不满足m≤1，舍去， ②当m≥3时，当1≤x≤3时，函数y的值随着x的增大而减小， ∴x＝1时，y取最大值为1﹣2m+2＝﹣5， 解得m＝4，满足题意； ③当1＜m＜3时， 若m﹣1＞3﹣m，即2＜m＜3时，在x＝1时，y取最大值为1﹣2m+2＝﹣5， 解得m＝4，不符合题意； 当m﹣1≤3﹣m，即当1＜m≤2时，再x＝3时y取最大值为9﹣6m+2＝﹣5， 解得，不符合题意， ∴当1＜m＜3时，m值不存在， 综上所述：m＝4． 【点评】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征及最值，求最值时要注意结合二次函数的图象分析增减性，以及分类讨论思想的应用． 12．已知二次函数y＝ax2+bx+5（a≠0）的图象经过点（﹣4，5）． （1）若a＝﹣1，求该函数图象的顶点坐标． （2）若a＞0，点A（﹣5，y1），B（m，y2）在该函数图象上，且y1＞y2，求m的取值范围． （3）当x≥﹣3时，y≥1恒成立，求该二次函数的解析式． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）先把已知点的坐标代入y＝ax2+bx+5得b＝4a，则y＝ax2+4ax+5，当a＝﹣1时，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x+5，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标； （2）由于抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质，点B到直线x＝﹣2的距离小于点A到直线x＝﹣2的距离，所以|m+2|＜|﹣5+2|，然后解不等式即可； （3）由于抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，而当x≥﹣3时，y≥1恒成立，则可判断抛物线开口向上，x＝﹣2时，有最小值1，所以抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），然后（﹣2，1）代入y＝ax2+4ax+5中求出a的值即可． 【解答】解：（1）把（﹣4，5）代入y＝ax2+bx+5得16a﹣4b+5＝5， ∴b＝4a， ∴y＝ax2+4ax+5， 当a＝﹣1时，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x+5， ∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9， ∴此时抛物线的顶点坐标为（﹣2，9）； （2）抛物线的对称轴为直线x2， ∵a＞0，点A（﹣5，y1），B（m，y2）在该函数图象上，且y1＞y2， ∴点B到直线x＝﹣2的距离小于点A到直线x＝﹣2的距离， 即|m+2|＜|﹣5+2|， 解得﹣5＜m＜1， 即m的取值范围为﹣5＜m＜1； （3）抛物线y＝ax2+4ax+5的对称轴为直线x＝﹣2， ∵当x≥﹣3时，y≥1恒成立， ∴抛物线开口向上，x＝﹣2时，有最小值1， 即抛物线的顶点坐标为（﹣2，1）， 把（﹣2，1）代入y＝ax2+4ax+5得1＝4a﹣8a+5， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2+4x+5． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 13．若函数是二次函数． （1）求m的值； （2）当x＝1时，求y的值． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）根据函数是二次函数，可以得到m2+m＝2且m﹣1≠0，然后即可求得m的值； （2）根据（1）中m的值，可以写出函数解析式，然后将x＝1代入计算即可． 【解答】解：（1）∵函数是二次函数， ∴m2+m＝2且m﹣1≠0， 解得m＝﹣2， 即m的值为﹣2； （2）由（1）知，m＝﹣2， ∴y＝﹣3x2﹣3x+5， 当x＝1时，y＝﹣3﹣3+5＝﹣1． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值和相应的函数值． 14．如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，试解答下列问题： （1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式． （2）这次跳投时，球出手处离地面多高？ 【考点】二次函数的应用 【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值； （2）设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，当x＝﹣2，5时，即可求得结论． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5． ∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5， ∴a， ∴yx2+3.5． （2）设这次跳投时，球出手处离地面hm， 因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5， ∴当x＝﹣2.5时， h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25m． ∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键． 15．项目式学习：根据素材回答问题． 素材1 如图①，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形ABCD水池，已知水池的边长为4m，AB∥OQ，AD∥OP，且AB与OQ的距离为10m，AD与OP的距离为8m． 素材2 现利用两条小路，再购置30m长的栅栏（图中用细实线表示）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），小路和水池部分都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 小明同学按如图②的设计，若EF＝16m，则花圃的面积为 　208m2　 ．（不包含水池的面积） 任务2 若按如图③设计方案，点C，D，H三点共线，点G在BC上，当花圃的面积（不包含水池的面积）为269m2时，求EF的长． 任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图③设计方案，当EF的长是 　3　 m时，围成的花圃（不包含水池）的面积最大，是 　273　 m2． 【考点】二次函数的应用；平行线之间的距离 【分析】任务1：根据矩形面积公式和正方形面积公式求解即可； 任务2：由图3，设CG＝x，则EF＝14﹣x，GF＝30﹣（14﹣x）﹣8＝8+x，由题意可得花圃面积（x+8）（14﹣x）+12×14﹣4×4＝﹣x2+6x+264＝269，求解即可； 任务3：设花圃面积为y，由（2）得y＝﹣x2+6x+264，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：任务1：如图2，根据矩形面积公式和正方形面积公式求解如下： ∵EF＝16m，则FG＝30﹣16＝14（m）， 矩形OEFG面积为16×14＝224（m2）， 224﹣16＝208（m2）， 答：面积为208m2； 任务2：由图3，延长CB交OQ于点M， 设CG＝x， ∵MC＝AM+BC＝14，DH＝8 ∴EF＝AG＝MC﹣CG＝14﹣x，GF＝30﹣（14﹣x）﹣8＝8+x， 花圃面积（x+8）（14﹣x）+12×14﹣4×4＝﹣x2+6x+264＝269， 即x2﹣6x+5＝0， 解得：x＝1或x＝5（舍去）， ∴EF＝14﹣1＝13； 任务3：设花圃面积为y， 由（2）得y＝﹣x2+6x+264，即y＝﹣（x﹣3）2+273， ∵﹣1＜0， ∴当x＝3时，y有最大值为273， 此时EF＝14﹣3＝11， 答：当EF的长是11m，花圃最大面积是273m2． 【点评】本题主要考查了矩形面积公式、一元二次方程的实际应用、二次函数的应用等知识，正确的求出函数解析式是解题的关键． 能力提升进阶练 1．关于函数y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）．下列说法正确的是（　　） A．无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（﹣1，﹣2） B．当m时，函数图象与x轴总有2个交点 C．若m，则当x＜1时，y随x的增大而减小 D．当m＞0时，函数有最小值m+1 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值 【分析】A、分别把x＝1和x＝﹣1代入解析式求出y的值即；B、当m取特殊值0时，函数是一次函数；C、当m时，对称轴＜1，即可判断x＜1时，y随x的增大而即可能减小也可能增大；D、m＞0时，二次函数在顶点处取得最小值． 【解答】解：A．当x＝1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝0，当x＝﹣1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝2， 故图象过（1，0）和（﹣1，2）， 故A错误，不符合题意； B．当m＝0时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝1﹣x，该函数与x轴只有一个交点， 故B错误，不符合题意； C．m，则函数为开口向上的抛物线，则y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝m（x）（x﹣1）， 则该函数的对称轴为直线x（1）1， 故x＜1时，y随x的增大而即可能减小也可能增大， 故C错误，不符合题意； D．若m＞0时，二次函数在顶点处取得最小值， 当x时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）m+1， 故D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+c＞0；④若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b、⑤当图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣2，其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④ 【考点】二次函数综合题 【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断； 根据判别式的意义对②进行判断； 利用x＝1时得到a+b+c＞0，把b＝2a代入得到3a+c＞0，然后利用a＞0可对③进行判断； 利用二次函数当x＝﹣1时有最小值可对④进行判断； 由于二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点为（，2），利用对称性得到二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的另一个交点为（，2），从而得到x1，x2，则可对⑤进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 即1， ∴b＝2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵物线与x轴有2个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确； ∵x＝1时，y＞0， ∴a+b+c＞0， 而b＝2a， ∴3a+c＞0， ∵a＞0， ∴4a+c＞0，所以③正确； ∵x＝﹣1时，y有最小值， ∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数）， 即a﹣bt≤at2+b，所以④正确； ∵图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点为（，2）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的另一个交点为（，2）， 即x1，x2， ∴x1+2x22，所以⑤错误． 故选：D． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 3．设二次函数y＝ax2+c（a，c是常数，a＜0），已知函数值y和自变量x的三对对应值如表所示，若方程ax2+c﹣m＝0的一个正实数根为5．则下列结论正确的是（　　） x … ﹣3 2 4 … y … 0 p q … A．m＞p＞0 B．m＜q＜0 C．p＞m＞0 D．q＜m＜0 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】由表格数据和函数的对称性，画出函数的大致图象即可求解． 【解答】解：由表格数据和函数的对称性，画出函数的大致图象如下： 从图象看m＜q＜0， 故选：B． 【点评】本题考查抛物线和x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的图象和性质解答． 4．已知二次函数y＝x2，点A（m，k）在其第一象限的图象上，点B（n，k+1）在其第二象限的图象上，则关于x的一元二次方程mx2+nx+k＝0的两根x1，x2，判断正确的是（　　） A．x1+x2＞1，x1•x2＞0 B．x1+x2＜0，x1•x2＞0 C．0＜x1+x2＜1，x1•x2＞0 D．x1+x2与x1•x2的符号都不确定 【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】点A（m，k）在其第一象限的图象上，则m＞0，k＞0，k＝m2，点B（n，k+1）在其第二象限的图象上，则n＜0，k+1＝n2，即n2＝m2+1，则（）2＝11，进而求解． 【解答】解：∵点A（m，k）在其第一象限的图象上，则m＞0，k＞0，k＝m2， ∵点B（n，k+1）在其第二象限的图象上，则n＜0，k+1＝n2， 即n2＝m2+1，则（）2＝11， ∵m、n异号，0， 设x0，即x2＞1， 即x2﹣1＞0，则x＜﹣1， 故1， ∵m＞0，k＞0，则0， 由mx2+nx+k＝0得，x1+x21，x1x21， 故选：A． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征和求表达式等，由n2＝m2+1得到（）2＝11是解题的关键． 5．关于x的二次函数y＝ax2+2ax+b+1（a•b≠0）与x轴只有一个交点（k，0），下列正确的是（　　） A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1 C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1 【考点】抛物线与x轴的交点 【分析】求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，根据Δ＝0，一元二次方程有两个相等的实数根，求出a、b的数量关系，再进一步求出k的值，进而选出正确答案． 【解答】解：∵关于x的二次函数y＝ax2+2ax+b+1（a•b≠0）与x轴只有一个交点（k，0）， 令y＝0， ∴ax2+2ax+b+1＝0， ∴（2a）2﹣4a（b+1）＝0， ∴4a2﹣4ab﹣4a＝0， 4a（a﹣b﹣1）＝0， ∵关于x的二次函数， ∴a≠0， ∴a﹣b﹣1＝0， ∴a＝b+1， ∴（b+1）x2+2（b+1）x+b+1＝0， ∵因为方程有两个相等的实数根， ∴x+x2， 解得x1＝x2＝﹣1， ∴k＝﹣1， ， A、当﹣1＜a＜0时，a﹣1＜0，a（a﹣1）＞0， ∴0， ∴， 当0＜a＜1，a﹣1＜0，a（a﹣1）＜0， 0， ∴， ∴无法确定大小， ∴A、C错误； 当0＜a＜1，a﹣1＜0，a（a﹣1）＜0， ， ∴B、错误；D、正确； 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质． 6．已知二次函数y＝﹣x2+mx+2﹣m，当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝﹣x2+mx+2﹣m的最大值为6，则m的值为 　8或　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值 【分析】先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于m的方程，求解即可． 【解答】解：∵y＝﹣x2+mx+2﹣m， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ①当，即m≤﹣2时， 此时对称轴在﹣1≤x≤2右侧，y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣1时，y有最大值为6， 即﹣（﹣1）2﹣m+2﹣m＝6， 解得：； ②当时，即﹣2＜m＜4时， 此时对称轴在﹣1≤x≤2之间， ∴当时，y有最大值为6， 即， 解得：， ∵﹣2＜m＜4， ∴（不合题意，舍去）； ③当，即m≥4时， 此时对称轴在﹣1≤x≤2左侧，y随x的增大而增大， ∴当x＝2时，y有最大值为6， 即﹣22+2m+2﹣m＝6， 解得：m＝8， 综上所述，m的值为8或． 故答案为：8或． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值是解题的关键． 7．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的表达式 　yx2x+4　 ； （2）若点P在抛物线对称轴上，点Q在坐标平面内，当点P坐标为 　（﹣1，）　 ，点Q坐标为 　（﹣2，）　 时，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形． 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4， ∴C （0，4）， 当y＝0时，x+4＝0， ∴x＝﹣3， ∴A （﹣3，0）， ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴B（1，0）， ∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3）， ∴4＝﹣3a， ∴a， ∴抛物线的表达式为：y（x﹣1）•（x+3）x2x+4； 故答案为：yx2x+4； （2）∵点P在抛物线对称轴上， 设P（﹣1，n）， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形， ∴PA＝PC， 即：PA2＝PC2， ∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2， ∴n， ∴P（﹣1，）， ∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC ∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4， ∴Q（﹣2，）． 故当点P坐标为（﹣1，），点Q坐标为（﹣2，）时，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． 8．已知：直线y＝kx﹣3（k≠0）经过抛物线y＝﹣x2+mx+n的顶点（2，1），则该抛物线的函数表达式是 　y＝﹣x2+4x﹣3　 ，不等式kx﹣3＞﹣x2+mx+n＞0的解集是 　2＜x＜3　 ． 【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式 【分析】先把（2，1）代入直线y＝kx﹣3求出k的值，根据（2，1）是抛物线y＝﹣x2+mx+n的顶点，求出m，n从而求出函数解析；再画出一次函数二次函数的图象，利用数形结合的思想得出不等式的解集． 【解答】解：将点（2，1）代入直线y＝kx﹣3得： 2k﹣3＝1， 解得：k＝2， ∴直线解析式为y＝2x﹣3， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴直线y＝2x﹣3过点（0，﹣3）， ∵抛物线y＝﹣x2+mx+n的顶点（2，1）， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式是y＝﹣x2+4x﹣3， 令y＝0，则﹣x2+4x﹣3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴的交点为（1，0）和（3，0）， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴的交点为（0，﹣3）， ∴直线y＝2x﹣3与抛物线y＝﹣x2+4x﹣3的图象如图所示： 不等式kx﹣3＞﹣x2+mx+n＞0的解集是2＜x＜3， 故答案为：y＝﹣x2+4x﹣3，2＜x＜3． 【点评】本题考查二次函数与不等式之间的关系，一次函数与二次函数的交点，关键是求出函数解析式画出图象，利用数形结合的思想进行求解． 9．实数x，y满足2x2﹣6x+y2＝0，设w＝x2+y2﹣8x，则w的最大值是　0　 ． 【考点】二次函数的最值 【分析】由已知2x2﹣6x+y2＝0可以确定x≥0，将w＝x2+y2﹣8x，用x表示，并用配方法表示出顶点形式，进而根据x的取值范围，求出w的最大值． 【解答】解：由2x2﹣6x+y2＝0，得2x2+y2＝6x知x≥0， 又y2＝﹣2x2+6x， w＝x2﹣2x2+6x﹣8x＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1， 由此可见，当x≥﹣1时，w随着x的增大而减小， 又因为x≥0＞﹣1， 故当x＝0时，w的最大值是0． 故答案为：0． 【点评】此题主要考查了二次函数的最值问题，由自变量的取值范围确定函数的最值问题是本部分难点问题，应正确地根据函数的增减性来确定． 10．如图1，在平面直角坐标系中，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．现将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上（如图2），设抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0），如果抛物线同时经过点O、B、C： ①当n＝3时a＝　　 ； ②a关于n的关系式是　　 ． 【考点】二次函数综合题 【分析】①当n＝3时，OC＝1，BC＝3，设所求抛物线解析式为y＝ax2+bx，过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD，得出OD：CD＝OC：BC＝1：3，设OD＝t，则CD＝3t，根据勾股定理OD2+CD2＝OC2，求出t，得出C的坐标，把B、C坐标代入抛物线解析式即可得到方程组，求出a即可； ②根据a＝2、4和①总结规律，可以得到答案． 【解答】解：①如图当n＝3时，OC＝1，BC＝3， 设所求抛物线解析式为y＝ax2+bx， 过C作CD⊥OB于点D， 则Rt△OCD∽Rt△OBC， ∴， 设OD＝t，则CD＝3t， ∵OD2+CD2＝OC2， ∴（3t）2+t2＝12，∴ ∴C（），又B（，0）， ∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得 解得：a， 故答案为：． ②当n＝2时，OC＝1，BC＝2， ∴OB， ∴1×2CD，B（，0） ∴CD， ∴OD， ∴C（，） 设所求抛物线解析式为y＝ax2+bx， ∴， 解得：a； 同理当n＝4时，a； ∴可以得出a关于n的关系式是：． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查相似三角形的性质和判定，正方形的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，解二元一次方程组，勾股定理等知识点的理解和掌握． 11．设二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3（a是实数）． （1）若函数的对称轴为直线x＝1，求函数的表达式； （2）当x≥a+1时，函数的最大值为4，求a的值； （3）已知M（x1，y1）和N（3a，y2）是函数图象上的两点，当2≤x1≤3时，都有y1＜y2，求a的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用对称轴公式求得a，由此即可求得解析式； （2）由题意得出当x＝a+1时，函数取到最大值4，即可得出﹣（a+1）2+2a（a+1）﹣a+3＝4，从而求出a的值； （3）分两种情况讨论，得出关于a的不等式，解不等式即可求解． 【解答】（1）∵该函数对称轴为直线x＝1， ∴， ∴a＝1， ∴函数的表达式为y＝﹣x2+2x+2； （2）∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当x≥a时．函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3随着x的增大而减小， 又∵当x≥a+1时函数有最大值4， ∴当x＝a+1时，函数取到最大值4， ∴﹣（a+1）2+2a（a+1）﹣a+3＝4， 解得a＝2或a＝﹣1， 故a的值为2或﹣1； （3）∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝a， ∴当x＞a时函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3随着x的增大而减小， ①当a＞0时，3a＞a＞0， ∵y1＜y2， ∴x1＞3a， ∵2≤x1≤3， ∴2＞3a， ∴； ②当a＜0时，3a＜a＜0， ∵y1＜y2， ∴2﹣a＞a﹣3a， ∴a＞﹣2， ∴﹣2＜a＜0， 综上所述，a的取值范围为． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次和是图象上点的坐标特征，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+1经过点A（1，a），将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（k＞0），再次经过点A． （1）若a＝0时，求m的值． （2）求m与k的关系式． （3）当2≤x≤m+2时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围． 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）把（1，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+1，即可求解； （2）求得平移后的函数解析式，根据题意得到，消去a即可求得； （3）根据对称轴直线x＝m，分对称轴在区间左侧、右侧、区间内三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）把（1，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+1， 得0＝﹣（1﹣m）2+m+1， 解得m＝0或m＝3， 故m的值为0或3． （2）抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（k＞0）后得到抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m+k）2+m+1﹣k， ∵平移后的图象也经过点A（1，a）， ∴， 消去a，得k＝2m﹣3． （3）对称轴为直线x＝m． ①当m＜2时， 当x＝2时，y取最大值﹣（2﹣m）2+m+1＝﹣m2+5m﹣3， 当x＝m+2时，y取最小值m﹣3， 所以﹣m2+5m﹣3﹣（m﹣3）＝4，解得m1＝m2＝2（舍去）． ②当m≥2时， i．当2≤m≤4时， 当 x＝m 时，y取到最大值m+1， 当 x＝m+2时，y取到最小值m﹣3， 所以 m+1﹣（m﹣3）＝4，符合题意． ⅱi．当m＞4时， 当x＝m时，y取到最大值m+1， 当 x＝2 时，y取到最小值﹣m2+5m﹣3 所以m+1﹣（﹣m2+5m﹣3）＝4解得m1＝0，m2＝4（均舍去）． 综上所述，2≤m≤4． 由2m﹣3＝k，得1≤k≤5． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，分类讨论的数学思想的运用是解题的关键． 13． 如何确定网球发射器的位置？ 素材1 图1是一个网球场，中线AB＝24米，球网过AB中点O，网高0.918米，中线OA段有一个自动网球发射器，发射后，网球呈抛物线在AB正上方飞行． 素材2 图2是发射器在点C处发射的示意图，网球落在点D处，测得，OC＝9米，OD＝5米．当网球飞行的水平距离为米时，离地最高处为米． 素材3 发射器的发射角度不变，网球飞行时的高度不低于0.92米才能顺利过网．为了让网球落在目标点B处，将发射器向点O移动a米，发射口F上调b（0≤b≤0.32）米． 问题解决 任务1 确定发射路线 在图2中建立合适的直角坐标系，求出该抛物线的表达式． 任务2 尝试改变发射 尝试当a＝7，b＝0时，计算说明能否实现目标？ 任务3 探究移动距离 求a的最小值． 【考点】二次函数的应用 【分析】任务1：以点C为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，利用顶点式设该抛物线的解析式为y＝a（x）2，将D（14，0）代入即可求得答案； 任务2：根据平移可得新抛物线的解析式y（x）2，当x＝9时，y＝0.72米＜0.92米，此时网球过不了网，不能实现目标；任务3：根据题意得新抛物线为y+b（xa）2，将（9，0.92）代入，并结合0≤b≤0.32，利用解不等式即可求得答案． 【解答】解：任务1：以点C为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，如图， 则D（14，0），抛物线的顶点为（，）， 设该抛物线的解析式为y＝a（x）2， 将D（14，0）代入得，a（14）20， 解得：a， ∴y（x）2x2x， ∴该抛物线的解析式为yx2x； 任务2：不能，理由如下： 将原抛物线沿x轴向右平移7米， 则新抛物线为y′（x7）2（x）2， 如图，设此时发射器在F处，此时FB＝CB﹣CF， 由题意知：AC＝AO﹣CO＝3（米），由平移得CF＝7米， 则BC＝AB﹣AC＝24﹣3＝21（米）， ∵点O是AB的中点， ∴AO＝BOAB＝12（米），CO＝OA﹣AC＝9（米）， 根据题意网球飞行时点O处的高度不低于0.92米才能顺利过网， 令x＝9，则y（9）20.72（米）＜0.92米， ∴此时网球过不了网，不能实现目标； 任务3：由题意知，新抛物线最高点必须过网，网最高点处坐标为（9，0.92）， 则新抛物线为y+b（xa）2， 将（9，0.92）代入得：0.92+b（9a）2， 即0.92+b（a）2， ∵0≤b≤0.32， ∴0.92≤0.92+b≤1.24， ∴0.92（a）21.24， 即0a2a+0.08≤0.32， 整理得，﹣16≤a2﹣5a﹣4≤0， 当a2﹣5a﹣4≥﹣16时，即（a）20，此不等式恒成立，a为任意实数； 当a2﹣5a﹣4≤0时，解得：a， ∴a的最小值为． 【点评】本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般． 14．根据以下素材，探索完成任务． 校内小型植物园规划设计 素材1 学校拟在围墙边的一块空地上修建一个小型的矩形植物园，墙长18米，植物园一边AD靠墙，另三边用40米的栅栏围成．如图，矩形ABCD中，AB为a米，矩形ABCD面积为S平方米． 素材2 如图，拟在矩形植物园的中心位置O（点O为对角线AC，BD交点）安装一个自动喷灌设备，喷出的水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，喷水口的高度OE可升降，升降前后喷出的水流抛物线形状不变，经测量喷水口的高度OE为0.2米时，喷出的水流最高点F离地面距离FH为1米，离喷水口的水平距离OH为4米． 问题解决 任务1 确定矩形植物园修建方案 （1）求S与a的函数关系式，并直接写出a的取值范围； （2）若矩形植物园面积为192平方米，则AB与BC各为多长？ 任务2 确定自动喷灌设备调整方案 （3）在（2）的条件下，将喷水口的高度OE至少升高多少米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到？ 【考点】二次函数的应用 【分析】（1）由题意得，AB为a米，则BC为（40﹣2a）米，再根据矩形ABCD面积公式即可求解； （2）根据面积为192平方米，令S＝192，解答即可； （3）根据勾股定理得求出AC，再根据矩形性质求出则OC．如图建立平面直角坐标系，由题意设y＝m（x﹣4）2+1，将（0，0.2）代入，即可求出解析式，设将喷水口的高度OE至少升高h米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到，则抛物线过点C（10，0），求出h即可解答． 【解答】解：（1）由题意得，AB为a米，则BC为（40﹣2a）米， 矩形ABCD面积S＝a（40﹣2a）， 即S＝﹣2a2+40a． 墙长18米，则11≤a＜20． （2）面积为192平方米，则﹣2a2+40a＝192，a2﹣20a+96＝0， 解得：a1＝12，a2＝8， 由11≤a＜20，则取a＝12，此时AB＝12米，BC＝16米． （3）矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16， 由勾股定理得，AC＝20． 点O为对角线AC，BD交点，则． 如图建立平面直角坐标系， 由题意设y＝m（x﹣4）2+1， 将（0，0.2）代入，得， 则． 设将喷水口的高度OE至少升高h米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到， 则抛物线过点C（10，0），得h＝0.8， 答：将喷水口的高度OE至少升高0.8米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到． 【点评】该题主要考查了二次函数应用以及矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意． 15．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）． （1）若函数图象的顶点为（1，2）且过点（3，10），求该函数表达式． （2）在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点（t，t﹣1）是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由． （3）设函数的对称轴为直线x＝m，点、B（2m，y2）在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点C（x3，y3）在新的函数图象上．当a＞0时，若对于8＜x3＜9，都有y1＜y3＜y2，直接写出m的取值范围：　m≤4　 ． 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）由题意得y＝a（x﹣1）2+2，把点（3，10）代入可求得a＝2，即可求得答案； （2）由平移得y＝2（x+1）2﹣1，把点（t，t﹣1）代入，整理得2t2+3t+2＝0，利用根的判别式可得Δ＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0，即可得出答案； （3）运用函数图象平移及二次函数的性质列不等式组求解即可． 【解答】解：（1）∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为（1，2）， ∴设y＝a（x﹣1）2+2， 把点（3，10）代入y＝a（x﹣1）2+2，得a（3﹣1）2+2＝10， 解得：a＝2， ∴y＝2（x﹣1）2+2， 即y＝2x2﹣4x+4． （2）将函数y＝2x2﹣4x+4的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新函数的表达式为：y＝2（x﹣1+2）2+2﹣3＝2（x+1）2﹣1， 把点（t，t﹣1）代入y＝2（x+1）2﹣1，得：t﹣1＝2（t+1）2﹣1， 整理得：2t2+3t+2＝0， ∵Δ＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0， ∴原方程没有实数解， ∴点（t，t﹣1）不在新的函数图象上． （3）∵原函数的对称轴为直线x＝m， ∴将函数向右平移两个单位后，新函数的对称轴变为x＝m+2， 又∵点A（m，y1），B（2m，y2）在原函数的图象上，点C（x3，y3）在新的函数图象上， 且当a＞0时，若对于8＜x3＜9，都有y1＜y3＜y2， ∴m+2＜x3＜2m+2， 即， 解得：m≤4； 故答案为：m≤4． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线的平移变换，一元二次方程根的判别式，不等式组等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 2 / 89 学科网（北京）股份有限公司 $$