4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 学业标准 素养目标 1.通过指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，了解指数增长、幂增长、对数增长的意义．(难点) 2．能选择、构建函数模型解决实际问题．(重点) 1.通过幂函数、指数函数、对数函数增长的比较，提升数学抽象等核心素养． 2．通过选择函数模型解决实际问题，提升数学建模核心素养. 导学 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 指数函数、幂函数、对数函数是高中课程中的三大基本函数，下面以函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x为例探究一下它们增长的差异． 　如图是同一直角坐标系中三个函数的图象，当log2 x＜2x＜x2时，x的范围是什么？ [提示]　2＜x＜4. 　当log2x＜x2＜2x时，x的取值范围是什么？ [提示]　0＜x＜2或x＞4. 　从三种函数图象的比较，当自变量x越来越大时，它们的增长速度怎样？ [提示]　y＝2x的函数值增长远远大于y＝x2的函数值增长，而y＝x2的函数值增长又远远大于y＝log2x的函数值增长． ◎结论形成 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 指数函数 y＝ax(a>1) 对数函数 y＝logbx(b>1) 幂函数 y＝xc(x＞0，c>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的 变化趋势 随着x的增大逐渐近似与y轴平行 随着x的增大逐渐近似与x轴平行 随着x的增大逐渐靠近y轴 增长速度 随着自变量x的增大，y＝ax的函数值增长远远大于y＝xc的函数值增长；而y＝xc的函数值增长又远远大于y＝logbx的函数值增长 指数爆炸 当底数a>1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸” 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的衰减速度越来越慢．(　　) (2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(　　) (3)若a>1，n>0，对于任意x0∈R，一定有.(　　) (4)方程2x＝x2有2个解．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　) A．一次函数　　　　　　 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 解析　对数型函数初期增长迅速，后来增长越来越慢，故选D. 答案　D 3．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　　) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1 解析　在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3. 答案　B 4．三个数0.32，log20.3,20.3的大小关系为________． 解析　∵0＜0.32＜12＝1，log20.3＜log21＝0， 20.3＞20＝1，∴log20.3＜0.32＜20.3. 答案　log20.3＜0.32＜20.3 题型一　三类函数模型的增长差异 1．下列函数中，增长速度最快的是(　　) A．y＝2025x　　　　　 B．y＝x2025 C．y＝log2025x D．y＝2025x 解析　比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快． 答案　A 2．四个函数y1，y2，y3，y4随自变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的函数是________． 解析　以爆炸式增长的函数呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个函数y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中函数y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知函数y2关于x呈指数型函数变化． 答案　y2 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．　 2指数函数模型：指数函数模型y＝axa＞1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”. 3对数函数模型：对数函数模型y＝logaxa＞1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. 4幂函数模型：幂函数y＝xnn＞0的增长速度介于指数增长和对数增长之间. 题型二　指数函数、幂函数、对数函数增长速度的比较 　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. (1)指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2019)，g(2019)的大小． [解析]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，所以1＜x1＜2,9＜x2＜10， 所以x1＜6＜x2,2 019＞x2， 从图象上可以看出， 当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，所以f(6)＜g(6)． 当x＞x2时，f(x)＞g(x)， 所以f(2019)＞g(2019)． 因为g(2019)＞g(6)， 所以f(2019)＞g(2019)＞g(6)＞f(6)． [母题变式] (变条件)在本例(1)中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第(1)题呢？ 解析　由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x. [素养聚焦]　指数函数、对数函数与幂函数模型的比较，建立数学模型的意识，把数学模型核心素养运用在解题中. 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．　 [触类旁通] 1．(多选)函数f(x)＝x，g(x)＝x，h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的衰减情况的叙述正确的是(　　) A．f(x)的衰减速度越来越慢 B．g(x)的衰减速度越来越慢 C．h(x)的衰减速度越来越慢 D．g(x)的衰减速度慢于h(x)的衰减速度 解析　如图，可知在区间(0，＋∞)上，f(x)＝x衰减速度越来越慢，故A正确；g(x)＝x衰减速度越来越慢，故B正确；h(x)＝x－衰减速度越来越慢，故C正确；h(x)的衰减速度慢于g(x)的衰减速度，故D错误． 答案　ABC 题型三　实际问题中的函数增长模型 　某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型符合该公司要求？ [解析]　借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x在第一象限的图象如图所示： 观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才符合公司要求，下面通过计算确认上述判断． 首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元． 对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上单调递增，当x∈(20,1000]时，y＞5，因此该模型不符合要求． 对于模型y＝1.002x，它在区间[10,1000]上单调递增，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x在(－∞，＋∞)上是增函数，故当x∈(806,1000]时，y＞5，因此，也不符合要求． 对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上单调递增，且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求． 再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图象(图略)，由图象可知f(x)在[10,1000]上单调递减，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1000]时，y＜25x. 这说明，按模型x＝log7x＋1进行奖励，奖金不超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1符合公司要求． 在实际问题中，选择函数模型时，首先要明确各种不同函数在增长快慢上的差异，其次要根据问题的实际需要，辅之以必要的数据计算，从而选择最恰当的函数模型．　 [触类旁通] 2．某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型：①f(x)＝pqx，②f(x)＝logax＋q，③f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p(其中p，q为正常数，且q＞2)．若要较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选________作为模拟函数(填序号)；若f(1)＝4，f(3)＝6，则所选函数f(x)的解析式为________________． 解析　由于指数函数增长迅速，而对数型函数增长缓慢，因此满足先上升后下降再上升的是 f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p， ∵f(1)＝4，f(3)＝6，且q＞2， ∴故 ∴f(x)＝(x－1)(x－4)2＋4. 答案　③　f(x)＝(x－1)(x－4)2＋4 知识落实 技法强化 三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型. 1.方法归纳：转化法． 2．常见误区：不理解三种函数增长的差异. 学科网（北京）股份有限公司 $$