精品解析：内蒙古通辽市科尔沁区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年内蒙古通辽市科尔沁区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. C. ， ， D. ，， 3. 为庆祝神舟二十号载人飞船的成功发射，某学校“鲲鹏”航天社团开展航天知识竞赛活动，经过筛选，决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表该社团参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数 单位：分及方差 单位：分如表所示：如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一次函数的函数值 随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 7. 盐在一定量的水中融化的重量y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为 时，盐在一定量的水中融化的重量为49g B. 盐在一定量的水中融化的重量随着温度的升高而增大 C. 当温度为 时，盐在一定量的水中融化的重量最大 D. 要使盐在一定量的水中融化的重量大于43.6g，温度只能控制在 8. 正方形纸片的边长为 ，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕 与交于点，点在上，若 ，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__． 10. 一次函数与的图象如图所示，则的解集为______． 11. 我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是___________尺 12. 如图，在矩形中，，分别是边 ，上的点，且，，连接，，，分别是，的中点，连接，若 ，，则的长为______． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算： （1）； （2）． 14. 如图，两条公路 ，相交于点C，从A点沿直线再修建一条公路到B点．若，，． （1）求证： （2）若公路 的中点M与点C被湖隔开．求M，C两点间的距离． 15. 联合国为促进全球环保意识，提高人类对环保问题的关注，将每年的6月5日设为世界环境日．2025年中国六五环境日的主题为“美丽中国我先行”．某校为更好地迎接环境日，开展了“环保知多少”知识竞赛，现从七、八年级学生中各抽取50名学生的竞赛成绩进行统计分析，相关数据整理如下． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 70 八年级 80 80 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空； ___________， ___________； （2）估计该校七、八年级共900名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数； （3）请你对两个年级学生的“环保知多少”知识竞赛成绩作出评价（从“平均数”“中位数”或“众数”中的一个方面评价即可）． 16. 如图，已知 是的一条对角线， 于点， 于点． 求证： （1）； （2）四边形 为平行四边形． 17. 王叔叔准备将一块面积为亩的土地全部种植甲，乙两种农作物，甲种农作物的种子成本元与其种植面积亩的函数关系如图所示，其中，乙种农作物的种子成本为每亩元． （1）求 与的函数解析式； （2）若甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的倍，王叔叔应该如何分配两种农作物的种植面积才能使两种农作物种子的总成本最少？并求出该费用． 18. 问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等 方法是构造旋转全等，如果问题中有“ ，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查． （1）【问题解决】如图①，，，小明同学从点分别向 ， 作垂线，，请你按照小明同学的思路证明； （2）【问题探究】如图②，若，，，，，求 的长； （3）【拓展延伸】如图③，点是正方形外一点，，对角线 ，交于点，连接 ，且，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年内蒙古通辽市科尔沁区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键． 根据最简二次根式的定义对选项逐一判断即可． 【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； B.该选项是最简二次根式，故符合题意； C. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； D. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. C. ， ， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、中，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、 ， ， 不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、，故6，8，10是勾股数，符合题意， 故选：D． 3. 为庆祝神舟二十号载人飞船的成功发射，某学校“鲲鹏”航天社团开展航天知识竞赛活动，经过筛选，决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表该社团参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数 单位：分及方差 单位：分如表所示：如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据平均数与方差做决策，根据平均数和方差的意义求解即可． 【详解】解：首先比较四名同学的平均数，丙和丁的平均数均为98分，高于甲的96分和乙的95分，故排除甲、乙， 接着比较丙和丁的方差，丙的方差为0.2，丁的方差为0.6，方差越小表示成绩越稳定，因此丙的成绩更稳定， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法对A，B进行判断；根据二次根式的乘除法法则对C，D进行判断． 【详解】解：A、，原计算错误，故A不符合题意； B、，原计算错误，故B不符合题意； C、，原计算正确，故C符合题意； D、，原计算错误，故D不符合题意； 故选：C． 5. 若一次函数的函数值 随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题关键在于掌握其性质．根据比例系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式求解即可． 【详解】解：一次函数中，函数值y随x的增大而减小， 解得： 因此，k的取值范围是 ， 故选：A． 6. 如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键． 利用对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证． 【详解】解：对角线垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形． 要使成为菱形，则需添加的一个条件是，其余选项的条件均不能使为菱形，不符合题意； 故选：C． 7. 盐在一定量的水中融化的重量y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为 时，盐在一定量的水中融化的重量为49g B. 盐在一定量的水中融化的重量随着温度的升高而增大 C. 当温度为 时，盐在一定量的水中融化的重量最大 D. 要使盐在一定量的水中融化的重量大于43.6g，温度只能控制在 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、当温度为 时，盐在一定量的水中融化的重量小于49g；故选项错误； B、盐在一定量的水中融化的重量随着温度的升高先增大后减小，故选项错误； C、当温度为 时，盐在一定量的水中融化的重量最大，故选项正确； D、要使盐在一定量的水中融化的重量大于43.6g，温度可以控制在，也可以控制在小于等于40度的一个范围内；故选项错误； 故选C． 8. 正方形纸片的边长为 ，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕 与交于点，点在上，若 ，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．由折叠及轴对称的性质可知，， 垂直平分，先证 ，推出的长，再利用勾股定理求出 的长，最后在中利用面积法可求出 的长，可进一步求出的长，即可求出的长． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， 由折叠及轴对称的性质可知，， 垂直平分， ，， ， 又， ， ∴ ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__． 【答案】x＞2 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：x＞2， 故答案为：x＞2． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 10. 一次函数与的图象如图所示，则的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用一次函数图象解不等式，理解一次函数与不等式之间的关系，利用图象法求解是解题的关键．将化为时自变量的取值范围，即可求解． 【详解】解：， ， 由图象得：当时，的图象在的图象的上方，此时， 的解集为， 故答案为：． 11. 我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是___________尺 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设这根芦苇的长度是尺，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度是尺，由题意，得：水深为尺， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 12. 如图，在矩形中，，分别是边， 上的点，且，，连接，，，分别是，的中点，连接，若 ，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，并延长交于点，连接 ，如图所示，根据，得， ，，，证明和 全等得，，进而得，由勾股定理得，再证明是的中位线然后根据三角形的中位线定理即可得出的长． 【详解】解：连接，并延长交于点，连接 ，如图所示：   四边形是矩形，且 ，， ，，， ， ，， ，， ， ，，， 点是 的中点， ， 在和 中， ， ， ，， ， 在 中，由勾股定理得， 点是的中点，， 是的中位线， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查在矩形中求线段长，涉及矩形的性质、平行线的性质、中点定义、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关几何性质及判定，并灵活运用是解决问题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则计算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可得到答案； （2）先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则计算，然后合并即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合计算，涉及二次根式的性质、二次根式的乘法运算法则、二次根式加减运算法则和乘法公式等知识，熟练掌握二次根式的性质、二次根式混合运算法则和乘法公式是解决问题的关键． 14. 如图，两条公路 ， 相交于点C，从A点沿直线再修建一条公路到B点．若，，． （1）求证： （2）若公路的中点M与点C被湖隔开．求M，C两点间的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可． 【小问1详解】 ∵，，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵点M是的中点， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质是解题的关键． 15. 联合国为促进全球环保意识，提高人类对环保问题的关注，将每年的6月5日设为世界环境日．2025年中国六五环境日的主题为“美丽中国我先行”．某校为更好地迎接环境日，开展了“环保知多少”知识竞赛，现从七、八年级学生中各抽取50名学生的竞赛成绩进行统计分析，相关数据整理如下． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 70 八年级 80 80 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空； ___________， ___________； （2）估计该校七、八年级共900名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数； （3）请你对两个年级学生的“环保知多少”知识竞赛成绩作出评价（从“平均数”“中位数”或“众数”中的一个方面评价即可）． 【答案】（1）70；80 （2）315人 （3）从平均数看，七年级的平均数大于八年级的平均数，所以七年级的竞赛成绩更好；从中位数看，八年级的中位数大于七年级的平均数，所以八年级的竞赛成绩更好；从众数看，八年级的众数数大于七年级的众数，所以八年级的竞赛成绩更好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）先计算抽取的七、八年级学生的竞赛成绩达到90分及以上的人数占比，再乘以900即可； （3）根据平均数、中位数、众数的意义分析即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图得，七年级学生的竞赛成绩的中位数为 （分）， ； 由扇形统计图得，八年级学生的竞赛成绩为80分的人数所占百分比最大， ； 故答案为：70；80． 【小问2详解】 解：抽取的七年级学生的竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人）， 抽取的八年级学生的竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人）， （人）， 答：估计该校七、八年级共900名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为315人． 【小问3详解】 略 16. 如图，已知 是的一条对角线， 于点， 于点． 求证： （1）； （2）四边形 为平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， 又 ， ∴四边形 为平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用平行四边形的性质可得出，，然后利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 王叔叔准备将一块面积为亩的土地全部种植甲，乙两种农作物，甲种农作物的种子成本元与其种植面积亩的函数关系如图所示，其中，乙种农作物的种子成本为每亩元． （1）求 与的函数解析式； （2）若甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的 倍，王叔叔应该如何分配两种农作物的种植面积才能使两种农作物种子的总成本最少？并求出该费用． 【答案】（1） （2）当甲种农作物的种植亩，乙种农作物的种植亩时才能使两种农作物种子的总成本最少，该费用为元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出 与的函数解析式； （2）根据题意，可以写出总的成本与甲种农作物种植面积的函数关系式，再根据甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的 倍，可以求得甲种农作物种植面积的取值范围，最后根据一次函数的性质，可以求得最低费用及此时如何分配两种农作物的种植面积． 【小问1详解】 解：设 与的函数解析式为 ， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即 与的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设甲种农作物的种植面积为亩，则乙种农作物的种植面积为亩，总的成本为 元， 由题意可得，， 随的增大而减小， 甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的 倍， ， 解得， 当时， 取得最小值，此时，， 答：当甲种农作物的种植亩，乙种农作物的种植亩时才能使两种农作物种子的总成本最少，该费用为元． 18. 问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等 方法是构造旋转全等，如果问题中有“ ，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查． （1）【问题解决】如图①，，，小明同学从 点分别向 ， 作垂线，，请你按照小明同学的思路证明； （2）【问题探究】如图②，若，，，，，求 的长； （3）【拓展延伸】如图③，点 是正方形外一点，，对角线 ，交于点，连接 ，且，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据矩形的性质得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，过点 作于，于，先判定，得到，，再判断，根据全等三角形的性质得到，求得，设 ，则，，求得，得到，在中，由含 的直角三角形性质求解即可得到结论； （3）如图，延长 到，使，连接，根据正方形的性质得到 ， ，根据全等三角形的性质得到，，求得 是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式得到结论． 【小问1详解】 证明：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点 作于，于，如图所示：     ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 设 ，则，， ，解得， ， 在中，，，则， ； 【小问3详解】 解：延长 到，使，连接，如图所示： 在四边形中，，， 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 四边形的面积的面积． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、含 的直角三角形性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大，熟记相关几何性质及判定，根据问题正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $