精品解析：四川省资阳市安岳中学（示范班）2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

四川省安岳中学高2023级示范班高二下期开学考试数学试题 一、选择题（本题含8小题，每题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 则， 故选：C. 2. 若，则的值可以是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数的性质即可求解. 详解】由可得或，解得或， 故选：A 3. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数有两个极值点，转化为导数有两个不等零点即可得解. 【详解】因为， 且函数有两个极值点， 所以有两个不等实根， 所以，解得或， 故选：D 4. 2160的不同正因数个数为（ ） A. 42 B. 40 C. 36 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据转化为因式乘积分类计算正因数个数即可. 【详解】， 所以2160的不同正因数个数为： . 共40个. 故选：B. 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出函数的减区间，根据题意可得出区间的包含关系，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意，得. 令，得，即函数的减区间为， 因为在区间上单调递减，所以， 所以，解得. 故选：B. 6. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学､复旦大学､武汉大学､中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知某班级有共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择，则同学选择浙江大学的不同方法共有（ ） A. 24种 B. 60种 C. 96种 D. 240种 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，有两位同学选择了同一所学校，分有两位同学选择了浙江大学和只有A同学选择了浙江大学这两种情况讨论，结合排列组合的原理计算. 详解】5位同学选择4所学校，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，已知同学选择浙江大学， 当有两位同学选择了浙江大学时，则这4 位同学在4所大学中分别选了一所，共种选法； 当只有A同学选择了浙江大学时，则这4 位同学在其余3所大学中选择，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，共种选法； 所以同学选择浙江大学的不同方法共有种. 故选：B 7. 在数列中，若，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出，再将已知式化简后运用累乘迭代法求得，即可求得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B. 8. 已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数性质，再应用导函数得出不等式，结合偶函数以及单调性即可得出结论. 【详解】设， 所以单调递增，所以，即得, 所以， 由于函数偶函数， 在区间上单调递减，所以在上单调递增，即， 则，即得. 故选：A 二、多选题 9. 等差数列的前项和记为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 前15项和最大 D. 从第32项开始， 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合等差数列的性质、等差数列前项和公式确定正确选项. 【详解】依题意等差数列满足，所以 ， 所以前15项为正数，第16项开始为负数，公差d为负数，前15项和最大，所以ABC选项正确． ， 所以D选项错误． 故选∶ ABC 10. 设函数，其中，则（ ） A. 对任意，函数图象恒过定点 B. 当时，函数存在极值点 C. 当时，函数在定义域内单调递减 D. 存在实数，使得函数的图象是轴对称图形 【答案】AC 【解析】 【分析】由可判断A正确，对函数求导根据的取值判断导函数的符号即可判断B错误，C正确；由于其定义域为没有对称性，可得D错误. 【详解】对于A，易知，即函数的图象恒过定点，故A正确； 对于B，易知函数定义域为，可得， 当时，，且等号不恒成立，则函数在定义域内单调递减，此时函数无极值点，故B错误； 对于C，， 当时，恒成立，即恒成立，所以在定义域内单调递减，故C正确； 对于D，由于函数的定义域为，没有对称性，则函数的图象不可能是轴对称图形，故D错误． 故选：AC． 11. 对于正项数列，定义 为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，的前项和为，则下列关于数列的描述正确的有（　　） A. 数列为递增数列 B. 数列为等差数列 C. D. 记，当且仅当n=3时取最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】由新定义可得，利用该递推关系求出数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】由已知可得， 所以， 所以时，， 得时，， 即时，， 当时，，满足． 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故B正确， 该等差数列是递增数列，所以A正确， 所以，所以 故，故C正确． ，假设是最大项， 则有， 因此数列有最大项为，故D不正确， 故选：ABC． 三、填空题（本题含3小题，每题5分，共15分） 12. 已知等比数列的前项和为，且，，则___________. 【答案】32 【解析】 【分析】先根据等比数列的通项公式与前项和公式求和，再求即可. 【详解】首先，等比数列的公比不是1，这是因为若，则，所以. 由. 由. 所以. 故答案为：32 13. 如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有______． 【答案】72 【解析】 【分析】对进行分类，再利用分步计数原理，进行求解. 【详解】分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有种； ②A，C同色，先涂A，C有4种，再涂E有3种，B，D各有2种，有种．故不同的涂色方法有种． 故答案为：72 14. 设函数在上存在导数，对于，有，且在上，恒有.若有，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，判断的奇偶性、单调性，再由得，利用的奇偶性、单调性求解即可. 【详解】令，，则，所以为奇函数， 又因为时，，所以在上单调递减， 故在上单调递减， , 所以，故，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造等. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调增区间为，，单调减区间为；极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可写出切线方程； （2）利用列表法求出单调区间和极值. 【小问1详解】 函数的定义域为R. 导函数. 所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，解得：或.列表得： x 1 3 + 2 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调增区间为，；单调减区间为； 的极大值为，极小值为. 16. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据的关系由：求解即可； （2）根据通项分奇偶分别计算求和，结合裂项相消和等比数列求和公式即可. 【小问1详解】 当时，. 当时，， 当时，也符合. 综上，. 【小问2详解】 由 则 ， 故的前项和. 17. 盒子中有3支不同铅笔和4支不同的水笔. （1）将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ （2）一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ （3）将这些笔分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子中至少有一支铅笔和一支水笔，共有多少种不同的放法？ （注：要写出算式，结果用数字表示） 【答案】（1）共有种不同的排法 （2）共有种不同的取法 （3）共有种不同的放法 【解析】 【分析】（1）先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端），结合插空法可求得结果； （2）对摸出的铅笔的支数进行分类讨论，结合组合知识以及分类加法计数原理可得结果； （3）先将这支水笔分为组，其中组有支，另一组有支，然后再将这三组水笔放入三个不同的盒子， 最后将支铅笔放入3个盒子，利用分步乘法计数原理可得结果. 【小问1详解】 将支不同的水笔和支不同的铅笔排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也不相邻， 只需先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端）， 由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种. 【小问2详解】 随机一次性摸出支笔，使得摸出的三支笔中至少有支铅笔， 则铅笔得支数可以是或或， 由分类加法计数原理可知，不同的取笔种数为种. 【小问3详解】 先将支水笔分为组，这三组水笔的支数分别为、、， 再将这三组水笔分配给三个盒子， 所以不同的放法种数为种， 再将3支铅笔放入3个盒子，每个盒子1支，不同的放法种数为种， 由分步乘法计数原理可得，不同的放法种数为种. 18. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且成等差数列. （1）证明：数列是等比数列，并写出数列的通项公式； （2）若，设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差中项可得，即可根据的关系即可得为等比数列； （2）根据错位相减法即可求解. 【小问1详解】 由题可得，当时，， 当时，，整理得，又， 所以， 数列是以为首项，以2为公比的等比数列， ； 【小问2详解】 由题意可得：， 所以，则有 ， ， 由错位相减得 ， 所以. 19. 已知函数． （1）证明：的图象与轴相切； （2）设． （i）当时，求函数的单调区间； （ii）若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）分类讨论，答案见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由导数确定单调性，并求出在最高点处切线是轴，即证； （2）（i）求出导函数，根据的零点的大小分类讨论确定单调区间；（ii）转化为，引入函数，由导数求得它的最小值即可得结论． 【小问1详解】 的定义域为， 所以，令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 又，所以曲线在处的切线方程为，即的图象与轴相切． 【小问2详解】 （i）， ． 当时，由，解得或；由，解得， 所以函数在（0，1）和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，解得或；由，解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得函数在上单调递增； 当时，由，解得；由，解得， 所以函数在上单调递增，在（0，1）上单调递减． 综上，当时，函数的单调增区间为（0，1）和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间； 当时，函数的单调增区间为，减区间为（0，1）． （ii）在上恒成立可转化为， 设，则． 令，则， 所以函数在上单调递减， 又，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 又，得， 则， 所以，即实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：用导数研究不等式恒成立问题，主要是用导数研究函数的单调性一，求得最值，如（含有参数）恒成立，一种直接求出的最小值，由最小值不小于0得参数范围；第二种方法是分离参数为，求出的最大值，然后由得范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省安岳中学高2023级示范班高二下期开学考试数学试题 一、选择题（本题含8小题，每题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值可以是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 3. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 4. 2160的不同正因数个数为（ ） A. 42 B. 40 C. 36 D. 30 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学､复旦大学､武汉大学､中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知某班级有共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择，则同学选择浙江大学的不同方法共有（ ） A 24种 B. 60种 C. 96种 D. 240种 7. 在数列中，若，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 8. 已知是定义域为偶函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 等差数列的前项和记为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 前15项和最大 D. 从第32项开始， 10 设函数，其中，则（ ） A. 对任意，函数的图象恒过定点 B. 当时，函数存在极值点 C. 当时，函数在定义域内单调递减 D. 存在实数，使得函数的图象是轴对称图形 11. 对于正项数列，定义 为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，的前项和为，则下列关于数列的描述正确的有（　　） A. 数列递增数列 B. 数列为等差数列 C. D. 记，当且仅当n=3时取最大值 三、填空题（本题含3小题，每题5分，共15分） 12. 已知等比数列的前项和为，且，，则___________. 13. 如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有______． 14. 设函数在上存在导数，对于，有，且在上，恒有.若有，则实数的取值范围为___________. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 16. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 17. 盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔. （1）将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ （2）一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ （3）将这些笔分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子中至少有一支铅笔和一支水笔，共有多少种不同的放法？ （注：要写出算式，结果用数字表示） 18. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且成等差数列. （1）证明：数列是等比数列，并写出数列的通项公式； （2）若，设，求数列的前项和. 19. 已知函数． （1）证明：的图象与轴相切； （2）设． （i）当时，求函数的单调区间； （ii）若在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$