精品解析：山东省乐陵市化楼镇中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

2024-2025学年第一学期第二次月考（九年级） 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共12个小题每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 为推动世界冰雪运动的发展，我国于2022年成功举办了北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数中，当时，y随x增大而增大，则m的取值范围（ ） A. B. C. D. 4. 半径为16的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是( ) A. B. C. D. 6. 下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知，且，则的值为（ ）． A. B. C. 5 D. 9. 二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，直线与双曲线交于A、B两点．过点A作轴，垂足为M，连结BM．若，则k的值是（ ） A. 2 B. C. m D. 4 11. 如图，是的弦，，与相切，，相交于点C，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 已知二次函数，当时，函数y的最小值为，则a的值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，共24分） 13. 不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的概率是 _____． 14. 以原点为中心，把逆时针旋转，得到点B，求点B的坐标______． 15. 已知反比例函数的图像与正比例函数的图像有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外一个交点的纵坐标为，那么常数k的值是__________． 16. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2cm，以直角顶点B为圆心，AB长为半径画弧，再以AC为直径画弧，两弧之间形成阴影部分．阴影部分面积为______cm2． 17. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则k的值为______． 18. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②③；④（为实数）．其中结论正确的为______． 三、解答题（本题共7小题，共78分） 19. 小明解方程的过程如下： 解：原方程可化为． ……第一步 配方，得，……第二步 即 ．……第三步 直接开平方，得 所以，．……第五步 （1）小明是用 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来解这个方程的；他的解题过程从第 步开始出现错误． （2）请你用不同于小明的方法解该方程． 20. 如图，一名篮球运动员在距离篮球框中心A点（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面． （1）求该篮球的运行路线（抛物线）的表达式； （2）求出篮球在该运动员出手时的高度． 21. 某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． （1）求嘉淇走到十字道口向北走的概率； （2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 22. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指标数随时间(分钟)的变化规律如图所示(其中、分别为线段，为双曲线的一部分)： （1）分别求出线段和双曲线的函数关系式； （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 23. 如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． （1）与有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若，求长． 24. 如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA． （1）已知△AOB的面积是3，求k的值； （2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值． 25. 若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小． （1）如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______． （2）如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：． （3）如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第二次月考（九年级） 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共12个小题每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 为推动世界冰雪运动的发展，我国于2022年成功举办了北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：A、文字上方的图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； B、文字上方的图案既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； C、文字上方的图案是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； D、文字上方的图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键． 2. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 3. 反比例函数中，当时，y随x增大而增大，则m的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，当比例系数时，在每个象限内，y随x的增大而增大．由此建立不等式求解m的取值范围． 【详解】解：∵在反比例函数中，当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得． 故选：A 4. 半径为16的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论和勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，得 ， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，正确理解定理，灵活用定理是解题的关键． 5. 下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断 【详解】解：A、，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，错误； B、（x＞0），故当图像在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，正确； C、，k=1＞0，分别在一、三象限里，每个象限内y随x的增大而减小，错误； D、（x＞0），故当图像在对称轴右侧，y随着x的增大而减小，错误． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想是解答本题的关键. 6. 下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件、垂径定理、圆心角与弦的关系以及三角形外心的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点需逐一分析． 【详解】解：①不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定，错误； ②根据垂径定理，平分非直径弦的直径必垂直于该弦，正确； ③ 相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立，未限定条件则不成立，错误； ④ 三角形的外心是各边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等（即外接圆半径），正确； 综上，正确的有②和④，共2个． 故选：B． 7. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称， ∵点B的横坐标为2， ∴点A的横坐标为-2， 由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴当或时，， 故选：C． 【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键． 8. 已知，且，则的值为（ ）． A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把整理得，则，再因为，同理得，则和是方程 的两个根，运用根与系数的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则方程变为， ∵， ∴设，方程同样变为：， 因此，和是方程 的两个根， ∴， 故选：D． 9. 二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线＞0，∴b＞0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴的图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一三象限，只有C选项图象符合．故选C． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象． 10. 如图，直线与双曲线交于A、B两点．过点A作轴，垂足为M，连结BM．若，则k的值是（ ） A. 2 B. C. m D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设A坐标为，根据直线与双曲线的对称性得到点B坐标为，即可得到，根据点A在点第一象限，即可得到． 【详解】解：设点A坐标为，由直线与双曲线的对称性得点A和点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， ∵点A在点第一象限， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义和中心对称性，熟知反比例函数的中心对称性根据点A坐标确定点B的坐标是解题关键． 11. 如图，是的弦，，与相切，，相交于点C，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等角的余角相等，熟练运用勾股定理是解题的关键． 先证明，设，则，根据勾股定理可得，代入即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 又， ， 与相切， ， ， ， ， 设，则， ， 在中， ， ， ， 即， 故选：B． 12. 已知二次函数，当时，函数y的最小值为，则a的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据开口向下，越远离对称轴的所对应的函数值越小，再根据当时，函数y的最小值为即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数的开口向下，函数的对称轴为直线， ∴越远离对称轴的所对应的函数值越小， 把代入得， ∴函数的顶点坐标为， ∴当时，， ∵当时，函数y的最小值为， ∴在函数上 ∴， 解得或（舍去）． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，共24分） 13. 不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的概率是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可列出树状图进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ∵有6种等可能的情况，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的有2种， ∴两次都摸出白球的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键． 14. 以原点为中心，把逆时针旋转，得到点B，求点B的坐标______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一个点绕原点旋转后对应的点的坐标，掌握旋转的性质，画出旋转后的对应点的位置是解题的关键． 在坐标系内描出点 连接 画出绕点逆时针旋转的线段 再根据的位置可得答案． 【详解】解：如图，以原点为旋转中心，把点逆时针旋转，得到点，则点 故答案为：． 15. 已知反比例函数的图像与正比例函数的图像有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外一个交点的纵坐标为，那么常数k的值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据反比例函数与正比例函数的对称性可得图象经过的点坐标，进而求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像与正比例函数的图象都关于原点对称， ∴图象经过两点坐标为（1，3）与（-1，-3）， ∴k=1×3=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是熟练掌握两种函数的性质． 16. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2cm，以直角顶点B为圆心，AB长为半径画弧，再以AC为直径画弧，两弧之间形成阴影部分．阴影部分面积为______cm2． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得AC的长，再仔细分析图形特征可得阴影部分的面积等于半圆AC的面积减去扇形面积与等腰直角三角形ABC的面积的差. 【详解】∵等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2cm ∴ ∴阴影部分面积. 【点睛】解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：，注意在使用公式时度不带单位. 17. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则k的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键，设，先求出，则，根据得出方程求出即可． 【详解】解：设， 在中，令，得， 令，得， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是方程的解，符合题意， 故答案为：2． 18. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②③；④（为实数）．其中结论正确的为______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象判断式子的符号，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，特殊点结合对称轴判断②，特殊点结合平方差公式判断③，最值判断④即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴， ∴；故①错误， 当时，， ∴；故②正确； ∵时，函数有最小值，且由图象可知最小值为：， ∴，故③正确； ， ∴；故④正确； 故答案为：②③④ 三、解答题（本题共7小题，共78分） 19. 小明解方程的过程如下： 解：原方程可化为． ……第一步 配方，得，……第二步 即 ．……第三步 直接开平方，得 所以，．……第五步 （1）小明是用 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来解这个方程的；他的解题过程从第 步开始出现错误． （2）请你用不同于小明的方法解该方程． 【答案】（1）配方法，二 （2） 解： ，， ∴ ∴ 解得，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【小问1详解】 由小明的解答过程可知，他采用的是配方法解方程， ∴ 解得，， ∴他的解题过程从第二步开始出现错误， 故答案为：配方法，二； 【小问2详解】 略 20. 如图，一名篮球运动员在距离篮球框中心A点（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面． （1）求该篮球的运行路线（抛物线）的表达式； （2）求出篮球在该运动员出手时的高度． 【答案】（1） （2）篮球在该运动员出手时的高度是2.25米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设出抛物线的解析式为：，将点A的坐标代入，即可求出解析式； （2）将点C的横坐标代入，即可得出结论． 【小问1详解】 根据题意得：，，点C的横坐标为， 设抛物线的表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， ∴篮球在该运动员出手时的高度是2.25米． 21. 某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． （1）求嘉淇走到十字道口向北走的概率； （2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 【答案】（1），（2）嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大． 【解析】 【分析】（1）嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，根据概率公式求解即可； （2）根据树状图的画法补全树状图，再根据向哪个方向出现的次数求概率即可． 【详解】解：（1）嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口向北走的概率为； （2）补全树状图如图所示： 嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能，向西的概率为：；向南的概率为；向北的概率为；向东的概率为；嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大． 【点睛】本题考查了概率的应用，解题关键是根据题意准确画出树状图，正确进行求解判断． 22. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指标数随时间(分钟)的变化规律如图所示(其中、分别为线段，为双曲线的一部分)： （1）分别求出线段和双曲线的函数关系式； （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】（1）线段的函数关系式为；双曲线的函数关系式为 （2）能 【解析】 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法求解； （2）令（1）中两个函数关系式中的函数值大于等于36，求出x值的取值范围，结合图形即可得出结论． 【小问1详解】 解：由图可知，点A，B，C的坐标分别为，，， 设线段的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得， 线段的函数关系式为； 设双曲线的函数关系式为， 将代入，得：， 解得， 双曲线的函数关系式为； 【小问2详解】 解：令， 解得， 令， 解得， 结合图形可知，当时，， ， 经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的应用，解题的关键利用待定系数法求出函数解析式． 23. 如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． （1）与有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若，求长． 【答案】（1） 解：相切．理由如下： 连接， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，弧长公式. （1）连接，只需证明即可； （2）由（1）中的结论可得，可求得的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：若，可得， ∴， 又∵， ∴， ∴的长． 24. 如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA． （1）已知△AOB的面积是3，求k的值； （2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】（1）依据△AOB的面积是3，即可得到mn=6，进而得出k的值； （2）延长DC交x轴于E，依据四边形ABED是矩形，即可得到DE=AB=n，CE=n-m，OE=m+n，进而得到C（m+n，n-m），根据点A，C都在双曲线上，即可得到mn=（m+n）（n-m），进而得出的值． 【详解】解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B， ∴AB＝n，OB＝m， 又∵△AOB的面积是3， ∴mn＝3， ∴mn＝6， ∵点A在双曲线y＝上， ∴k＝mn＝6； （2）如图，延长DC交x轴于E， 由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°， ∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°， ∵AB⊥x轴， ∴∠ABE＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴∠DEB＝90°， ∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n， ∴C（m+n，n﹣m）， ∵点A，C都在双曲线上， ∴mn＝（m+n）（n﹣m）， 即m2+mn﹣n2＝0， 方程两边同时除以n2，得 +﹣1＝0， 解得＝， ∵n＞m＞0， ∴＝． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题时注意：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 25. 若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小． （1）如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______． （2）如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：． （3）如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值． 【答案】（1）150° （2） 证明：∵点P为△ABC的费马点， ∴， ∴， 又∵， ∴APD为等边三角形 ∴，， ∴， ∴， 在△APC和△ADE中， ∴ (ASA)； ∴， ∵， ∴BE＝PA＋PB＋PC； （3） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质得到AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，再根据旋转性质，证明△APP′为等边三角形，△PP′C为直角三角形，最后由∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C解答； （2）由费马点的性质得到，，再证明 (ASA)，由全等三角形对应边相等的性质解得，最后根据线段的和差解答； （3）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，由勾股定理解得，由旋转的性质，可证明△BPP′是等边三角形，再证明C、P、A′、P′四点共线，最后由勾股定理解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PAP′＝60°， ∴△APP′为等边三角形， PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°， 由旋转的性质可得：AP′＝AP＝PP′=3，CP′＝4，PC=5， ∵32+42=52 ∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°； 故答案为：150°； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴， 把△APB绕点B顺时针方向旋转60°得到△A′P′B， ∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′P′B， ∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP， ∴△BPP′是等边三角形， ∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°， ∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°， ∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°， ∴C、P、A′、P′四点共线， 在Rt△A′BC中，， ∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $