精品解析：山东省济南市燕山学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

初二数学月考试题（12月6号） 一、选择题： 1. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知：如图，，，，则的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 75° 3. 如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为【 】 A. 50° B. 60° C. 70° D. 100° 4. 如图，在中，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 5 5. 如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（ ）     A. 2.5 B. 5 C. 7.5 D. 10 6. 如图折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2 7. 数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ） A. SSA B. HL C. ASA D. SSS 8. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（3a－1，b），则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G．下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，．其中正确的是（　　） A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题： 11. 如图，将两个完全相同的含有角的三角板拼接在一起，则拼接后的的形状是 ___． 12. 已知函数，当______时，是的正比例函数． 13. 已知等腰三角形的周长是，底边长为，腰长为，则与的函数关系是 ______ ． 14. 如图，，，于点，若，则______． 15. 如图，在等边△ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则∠E＝_____． 16. 解方程组： （1） （2） 17. 如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC． 求证：∠C=∠E． 18. 已知：如图，，，是的角平分线．求证：． 19. 如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE． （1）请说明∠1=∠C； （2）猜想并说明DE和DC有何特殊关系． 20. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）点在直线上，是否存在点使得的面积为？如果存在，求所有满足条件的点的坐标． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，是轴负半轴上一个动点（不与点重合），以线段为一边在其右侧作等边． （1）直接写出点的坐标； （2）在点的运动过程中，的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由； （3）连接，当时，求点的坐标． 22. 如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学月考试题（12月6号） 一、选择题： 1. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意，得x+3≠0， 解得x≠-3． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2. 已知：如图，，，，则的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理求解，再证明得到即可； 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴ 故选：B． 3. 如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为【 】 A. 50° B. 60° C. 70° D. 100° 【答案】A 【解析】 【详解】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD． ∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D．∴∠CAD=∠D． ∵在△ACD中，∠C+∠D+∠CAD=180°，即80°+∠D+∠D=180°， 解得∠D=50°，故选A． 4. 如图，在中，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握等角对等边．根据等腰三角形的判定可得，继而得出的长． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D 5. 如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（ ）     A. 2.5 B. 5 C. 7.5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形斜边的中线的性质、等边三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据三角形内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质及含有角的直角三角形的性质进行计算，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由轴对称的性质可以得出DE=DC，∠AED=∠C=90°，就可以得出∠BED=90°，根据直角三角形的性质就可以求出BD=2DE，然后解答即可． 【详解】∵△ADE与△ADC关于AD对称， ∴△ADE≌△ADC， ∴DE=DC，∠AED=∠C=90°， ∴∠BED=90°， ∵∠B=30°， ∴BD=2DE， ∵DC=1， ∴BD=2． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键． 7. 数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ） A. SSA B. HL C. ASA D. SSS 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，，根据全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，， 根据全等三角形的判定方法可得 故选B 【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是根据题意找到相等的量，再根据全等三角形的判定方法求解． 8. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，首先确定，然后再确定，，进而可得直线的图象经过的象限，从而得答案． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ， ， ∴直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（3a－1，b），则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得3a－1+b=0，整理后即可得答案． 【详解】解：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，所以点P的横坐标与纵坐标互为相反数，即3a－1+b=0， ∴3a+b=1． 故选A． 【点睛】此题主要考查了角平分线的基本作图，解题的关键是掌握角平分线的做法和第二象限的角平分线上点的坐标性质． 10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G．下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，．其中正确的是（　　） A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，由正方形的性质就可以得出EC＝FC，就可以得出AC垂直平分EF，②设BC＝x，CE＝y，由勾股定理就可以得出EF与x、y的关系，表示出BE与EF，即可判断BE+DF与EF关系不确定；③当∠DAF＝15°时，可计算出∠EAF＝60°，即可判断△EAF为等边三角形，④当∠EAF＝60°时，设EC＝x，BE＝y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出和，再通过比较大小就可以得出结论． 【详解】解：①四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， ∵BC＝CD， ∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF， ∵AE＝AF， ∴AC垂直平分EF．故①正确； ②设BC＝a，CE＝y，则BE=DF=a-y， ∴BE+DF＝2（a﹣y），EF＝y， ∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y＝（2﹣）a时成立，故②错误； ③当∠DAF＝15°时， ∵Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴∠DAF＝∠BAE＝15°， ∴∠EAF＝90°﹣2×15°＝60°， 又∵AE＝AF ∴△AEF为等边三角形．故③正确； ④当∠EAF＝60°时，则△AEF是等边三角形， 设EC＝x，BE＝y，则CF=x， ∴AB=BC=x+y，， ∴， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴．故④正确． 综上所述，正确的有①③④， 故选：C． 【点睛】本题属于四边形综合题，是中考填空题或选择题的压轴题，考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质是解题的关键． 二、填空题： 11. 如图，将两个完全相同的含有角的三角板拼接在一起，则拼接后的的形状是 ___． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定．三条边都相等的三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形是等边三角形；有一内角为的等腰三角形为等边三角形． 根据等边三角形的判定定理（有一内角为的等腰三角形为等边三角形）进行答题即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； 又∵， ∴， ∴是等边三角形； 故答案为：等边三角形． 12. 已知函数，当______时，是的正比例函数． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且），即常数项为零且一次项系数不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：3． 13. 已知等腰三角形的周长是，底边长为，腰长为，则与的函数关系是 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形的底边长等于周长减去两个腰长，即可表示出与的函数关系，利用三角形的三边关系以及边长都是正数即可求出自变量的取值范围． 【详解】解：等腰三角形的腰长为，底边长为，周长为， ， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，函数关系式，解题的关键在于根据三角形三边关系求得的取值范围． 14. 如图，，，于点，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解题的关键． 作于H，根据角平分线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质和等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：作于H． ∵，，， ∴，． ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，在等边△ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则∠E＝_____． 【答案】30° 【解析】 【分析】先证△ABO≌△AEO，可得∠ABO=∠AEO，再根据等边三角形的性质可得∠ABF=30°，进而得到∠AEO=30°即可解答． 【详解】解：∵OA平分∠BAE， ∴∠BAO＝∠EAO， ∵三角形ABC是等边三角形，AE＝AC， ∴AE＝AC=AB， 在△ABO和△AEO中 ∴△ABO≌△AEO， ∴∠ABO＝∠AEO， ∵BF为等边△ABC的高， ∴BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝30°， ∴∠AEO＝30°． 故答案为30°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形，证明三角形全等是解答本题的关键． 16. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，代入消元法和加减消元法，能正确选择消元的方式，是解答此题的关键． （1）利用代入消元法，求出方程组的解即可； （2）利用加减消元法，求出方程组的解即可． 【小问1详解】 解：， 由①，可得：， ③代入②，可得：， 解得， 把代入③，可得： ， ∴原方程组的解是． 【小问2详解】 解：， 由①，可得：， ②+③，可得， 解得， 把代入③，可得： ， 解得， ∴原方程组的解是． 17. 如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC． 求证：∠C=∠E． 【答案】 ∵∠BAE=∠DAC， ∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∵ ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠C=∠E． 【解析】 【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△ABC≌△ADE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“ SAS”、“ ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等． 18. 已知：如图，，，是的角平分线．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、含角的直角三角形，熟记角平分线的性质、在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，在中，，可得，从而结论即可得证． 【详解】证明：如图，过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 19. 如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE． （1）请说明∠1=∠C； （2）猜想并说明DE和DC有何特殊关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE=DC，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）欲证∠1=∠C，只需证明△DBE≌△DAC即可； （2）由△DBE≌△DAC，得到DE=DC． 【详解】（1）∵AD⊥BC于D， ∴∠BDE=∠ADC=90°． ∵AD=BD，AC=BE， ∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL）， ∴∠1=∠C． （2）DE=DC．理由如下： 由（1）知△BDE≌△ADC， ∴DE=DC． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；三角形全等的判定和性质是中考的热点，斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 20. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）点在直线上，是否存在点使得的面积为？如果存在，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法的应用，三角形面积计算，坐标与图形性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的纵坐标为，根据三角形面积公式列式求出，然后分情况写出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：设直线的表达式为， 将点代入得， 将代入，得， 解得， 所以直线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设点的纵坐标为，因为， 所以， 所以， 所以或． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上可知满足条件的点的坐标为或． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，是轴负半轴上一个动点（不与点重合），以线段为一边在其右侧作等边． （1）直接写出点的坐标； （2）在点的运动过程中，的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由； （3）连接，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2），始终不变，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点B作轴于点C，证明，，借助直角三角形的边角关系即可解决问题； （2）证明，得到，即可解决问题； （3）根据点P在x的负半轴上，再根据全等三角形的性质即可得出结果 【小问1详解】 解：如图1，过点B作轴于点C， ∵为等边三角形，且，即， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：，始终不变．理由如下： ∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、二次根式的应用，注意利用三角形全等的性质是解题的关键． 22. 如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等 （2） 证明：如图，作于E，于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 证明：如图，在上截取，连接． ∵在等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的性质定理解答； （2）作于E，于F，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （3）在上截取，连接，可得，可证明，结合图形证明，从而得到，进而得到，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $