精品解析：河北省沧州市南皮县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年河北省沧州市南皮县八年级（下） 期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， 解得：． 故选：B． 2. 把一个长为8，宽为3的长方形的宽增加x(0≤x＜5)，长不变，所得长方形的面积y关于x的表达式为（ ） A. y＝8x B. y＝8x＋24 C. y＝24－x D. y＝8x－24 【答案】B 【解析】 【分析】用代数式表示出变化后长方形的宽，然后根据面积公式即可得到答案． 【详解】解：变化后长方形的宽为（x+3），长为8， 因此面积y=8（x+3）=8x+24， 故选：B． 【点睛】本题考查函数关系式，掌握长方形面积的计算方法是得出答案的前提，用代数式表示变化后长方形的长是解决问题的关键． 3. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A. 调查七年级某个班50名学生的身高情况 B. 调查2024年巴黎奥运会参赛运动员兴奋剂的使用情况 C. 调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量 D. 调查某批中性笔的使用寿命 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键． 根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．调查七年级某个班50名学生的身高情况，故A不符合题意； B．调查2024年巴黎奥运会参赛运动员兴奋剂的使用情况，故B不符合题意； C．调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量，故C不符合题意； D．调查某批中性笔的使用寿命，故D符合题意； 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，一个正方形的两个顶点坐标为、，则下列坐标表示的点不可能成为该正方形顶点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据正方形的性质回答即可，准确判断是解题的关键． 【详解】解：A、如图，点坐标为，故可以成为该正方形顶点，不符合题意； ， B、如上图，点坐标为，故可以成为该正方形顶点，不符合题意； C、不可能成为该正方形顶点，符合题意； D、如图，点坐标为，故可以成为该正方形顶点，不符合题意， ， 故选：C． 5. 如图是某大学的部分位置图，则食堂在图书馆的（ ） A. 南偏西方向米处 B. 北偏东方向米处 C. 南偏东方向米处 D. 北偏西方向米处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键，根据方向角的定义进行解答即可． 【详解】解：如图，， 所以食堂在图书馆的南偏东方向米处， 故选：． 6. 如图是某商品月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最小的是（ ） A. 1月 B. 2月 C. 3月 D. 4月 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，利润等于售价减去进价，据此根据统计图中的数据分别求出对应月份的利润即可得到答案． 【详解】解：1月该商品单个利润为元， 2月该商品单个利润大于元， 3月该商品单个利润小于元， 4月该商品单个利润为元， ∴售出该商品单个利润最小的是3月， 故选：C． 7. 已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据如果的值随的值增大而增大，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数（其中为常数，且），的值随的值增大而增大， ∴， ∴， ∴的值不可能是； 故选A． 8. 如图，在菱形中，对角线相交于点，，，过点作，过点作交于点，则四边形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，再根据菱形性质得出，，，然后证明四边形是矩形，最后根据矩形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是矩形， ∴四边形的面积为． 故选：B． 9. 如图，在四边形中，点M是上动点，点N是上一定点，点E、F分别是、的中点，当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是（ ） A. 线段EF的长度逐渐减小 B. 线段EF的长度逐渐增大 C. 线段EF的长度不改变 D. 线段EF的长度不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】连接，可证，由此可解． 【详解】 解：连接， 是定点， 是定值， 点E、F分别是、的中点， ， 是定值． 故选：C． 10. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交点的意义，得，结合交点坐标与方程组的关系解答即可． 本题考查了交点的意义，交点坐标与方程组的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故． 故选：A． 11. 、两地相距2400米，甲、乙两人准备从地出发去地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达地后，停止运动．甲乙之间的距离与甲运动时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 乙每分钟比甲多走 B. 乙出发后两人相遇 C. 乙到达 B 地时，甲距离 B 地还有 D. 相遇前，甲走或时两人相距 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息．从图象看，甲走的路程为，则甲的速度为，由图象知，乙的速度快，则时，乙到达地，所用时间为，则乙的速度为：，进而求解． 【详解】解：A、从图象看，甲走的路程为，则甲的速度为， 由图象知，乙的速度快，则时，乙到达地，所用时间为， 则乙的速度为：， 故乙每分钟比甲多走，正确，本选项不符合题愿意； B、设乙追上甲，则， 解得：， 即乙出发15 时，两人相遇，故原说法错误，本选项符合题意； C、当时，甲运动的路程为：， 则乙到达地时，甲距离地还有，故本选项不符合题意； D、甲开始走4分钟，走的路程为， 此时两人相距， 甲走8分钟时，乙走了3分钟，此时两人的距离为， 故本选项不符合题意， 故选：B． 12. 如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；四边形是平行四边形；；．正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】由，得出，可判断；证明得，证明得，可推出四边形的形状，可判断；由平行四边形的性质得，可判断；最后求出，可判断；可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴，故结论正确； ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论正确； ∴，故结论错误； 过作于，如图所示， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，故结论错误； ∴正确的个数是个． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识．掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 正多边形的一个内角等于，则该多边形是正__________边形． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角与外角，涉及正多边形的内角相等、外角相等、多边形的外角和为等知识，熟记正多边形内角相等、外角和为是解决问题的关键．根据正多边形的每个内角相等，每一个内角与其外角互补得到外角，再由正多边形的外角和为，由即可得到正多边形的边数． 【详解】解：正多边形的一个内角等于， 正多边形的一个外角等于， 正多边形的外角和为， 该正多边形的边数为， 故答案为：十． 14. 如图，在矩形中，若，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 由矩形的性质得出，，，利用勾股定理得出，再由已知条件可得出，再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为∶． 15. 为了解某校七年级名学生本学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了如图所示的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），则估计该校七年级学生参加社会实践活动的时间不少于天的人数为________人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，解题的关键是掌握相关知识．用乘以时间不少于天的占比即可求解． 【详解】解：参加社会实践活动的时间不少于天的人数为：（人）， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、正方形，使得点、、、在直线上，点、、、在轴正半轴上，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标规律探究，发现是关键，根据条件分别计算，，，发现规律，据此解答即可． 【详解】解：由一次函数可知：当时，， 则， 四边形是正方形， ， 在一次函数中，当时，， ， ， 在一次函数中，当时，， ， ， ， 发现规律， 点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）写出格点A、B坐标； （2）将点A、B、C、D的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，依次得到点E、F、G、H，用线段顺次连接起来，画出四边形，则四边形与四边形有怎样的位置关系？ （3）求四边形的面积． 【答案】（1）， （2）见详解，两个图形关于y轴对称 （3）6 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，利用网格求三角形面积，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）写出点A、B坐标即可； （2）根据横坐标分别乘，得到横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可得出两个图形关于y轴对称； （3）分割法求四边形的面积即可． 【小问1详解】 解：由图可得：，； 【小问2详解】 解：，，，， 横坐标分别乘，依次得到点、、、， 作图如下： 由图可知：两个图形关于y轴对称； 【小问3详解】 解：由图可知：四边形的面积为：． 18. 某企业为了解全体员工上班出行的方式，在全体员工中随机抽取了若干名员工进行问卷调查，问卷给出了四种上班出行方式供选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了 名员工； （2）补全条形统计图： （3）在扇形统计图中，“电动车”对应的扇形的圆心角是 度； （4）如果该企业有1200名员工，企业准备的100个停车位是否够用？ 【答案】（1）80 （2）见解析 （3） （4）准备100个停车位不够用． 【解析】 【分析】（1）从两个统计图可知，样本中“乘公交车”的有32人，占调查人数的，可求出抽取的人数； （2）求出“骑自行车”的人数即可补全条形统计图； （3）用乘以“电动车”的百分比即可得到答案； （4）求出1200名员工中驾车人数，再做出判断即可． 本题主要考查条形统计图和扇形统计图的信息关联，理解统计图中的数量关系是正确解答的关键． 【小问1详解】 解：（名）， 答：在这次调查中，一共抽取了80名员工； 故答案为：80． 【小问2详解】 解：（名），补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 ， 故答案为： 【小问4详解】 解：， ∵， ∴准备100个停车位不够用． 19. 【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 【答案】问题一：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元 问题二：，费用最少时购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用． 问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，利用数量总价单价，结合用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B种书架的单价），再将其代入中，即可求出A种书架的单价； 问题二：由购买总数量及购买A种书架的数量，可得出购买个B种书架，结合购买A种书架数量不少于B种书架数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，利用总价单价数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元； 问题二：∵现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买a个A种书架， ∴购买个B种书架， ∵购买A种书架数量不少于B种书架数量的， ， 解得：， ∵购买总费用为w元，A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元， ， 即， ， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，此时， 答：费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架． 20. 已知点P（3a﹣15，2﹣a）． （1）若点P到x轴的距离是1，试求出a的值； （2）在（1）题的条件下，点Q如果是点P向上平移3个单位长度得到的，试求出点Q的坐标； （3）若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或． 【解析】 【分析】（1）根据“点到轴的距离是1”可得，由此即可求出的值； （2）先根据（1）的结论求出点的坐标，再根据点坐标的平移变换规律即可得； （3）先根据“点位于第三象限”可求出的取值范围，再根据“点的横、纵坐标都是整数”可求出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）点到轴的距离是1，且， ，即或， 解得或； （2）当时，点的坐标为， 则点的坐标为，即， 当时，点的坐标为， 则点的坐标为，即， 综上，点的坐标为或； （3）点位于第三象限， ，解得， 点的横、纵坐标都是整数， 或， 当时，，则点的坐标为， 当时，，则点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离、象限内点的坐标特点、点的坐标平移规律和一元一次不等式组的解法等知识，属于基础题，熟练掌握平面直角坐标系的基本知识是解题关键． 21. 规定：关于的二元一次方程的解记为有序数对，将这些有序数对在平面直角坐标系下描点，连接得到一条直线，这些有序数对对应的点称为直线的“解点”，回答下列问题： （1）已知，，，是直线的“解点”的是______． （2）若，是直线的“解点”，求的值． （3）已知实数，满足，若点是直线一个“解点”，用等式表示与之间的关系，并直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） （3），最小值 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数与二元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，正确地理解“解点”是解题的关键． （1）把，，分别代入即可得到结论； （2）将，代入，列出方程组求解即可； （3）把点代入得，结合，消去t，得出与之间的关系式即可得到结论． 【小问1详解】 把，，分别代得，，，， ∴是直线的“解点”； 故答案为：； 【小问2详解】 将，代入，得 ， 解答； 【小问3详解】 把点代入得， ∵， ∴， ∴s最小值． 22. 如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，； （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，点在上且平分，求出线段的长度． 【答案】（1）平行四边形是矩形；理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形是矩形即可； （2）由平分得，由得，所以，由等角对等边得，根据勾股定理得，即可得解． 【小问1详解】 解：平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 23. 如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ （2）求直线的表达式和a的值； （3）若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图象可知时，在的下方，得出答案； （2）将点，代入，得：，求解得出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入， 求解即可得出答案； （3）设把代入得，，求出，进而得出，根据题意得出，求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，当时， x的取值范围为； 【小问2详解】 将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． 【小问3详解】 设， 把代入得，， ∴， ∴， ， 解得或． ∴或 24. 如图，在正方形中，以为边作菱形，使得点在正方形内，射线与交于点，与射线交于点． （1）当时，求的度数； （2）当点为中点时，证明：； （3）试探究：与的度数之和是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）与的度数之和是定值 【解析】 【分析】（1）由正方形性质可得，由菱形的性质可得，继而可得，由等边对等角可得，进而可得，，再根据角的和差可解； （2）连接，由正方形的性质和菱形的性质易得，进而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，进一步可得，，，即可判定，进而可得，即，即可得证； （3）由题意得，由正方形的性质得，再由菱形的性质可得，进而可得，由等边对等角可得，进而求得． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ， ∵四边形是菱形， ， ， ∴， ∵， ， ， ． 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ， ∵四边形是菱形， ， ， 四边形为平行四边形， ， 点为中点， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：由题意得：， 在正方形中，， ， 在菱形中，， ， ， ， ， 即， ∴与的度数之和是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练应用以上性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年河北省沧州市南皮县八年级（下） 期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 把一个长为8，宽为3的长方形的宽增加x(0≤x＜5)，长不变，所得长方形的面积y关于x的表达式为（ ） A. y＝8x B. y＝8x＋24 C. y＝24－x D. y＝8x－24 3. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A. 调查七年级某个班50名学生的身高情况 B. 调查2024年巴黎奥运会参赛运动员兴奋剂的使用情况 C. 调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量 D. 调查某批中性笔的使用寿命 4. 在平面直角坐标系中，一个正方形的两个顶点坐标为、，则下列坐标表示的点不可能成为该正方形顶点的是（ ） A B. C. D. 5. 如图是某大学的部分位置图，则食堂在图书馆的（ ） A. 南偏西方向米处 B. 北偏东方向米处 C. 南偏东方向米处 D. 北偏西方向米处 6. 如图是某商品月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最小的是（ ） A. 1月 B. 2月 C. 3月 D. 4月 7. 已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（ ） A. B. C. 0 D. 2 8. 如图，在菱形中，对角线相交于点，，，过点作，过点作交于点，则四边形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 9. 如图，在四边形中，点M是上动点，点N是上一定点，点E、F分别是、的中点，当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是（ ） A. 线段EF长度逐渐减小 B. 线段EF的长度逐渐增大 C. 线段EF的长度不改变 D. 线段EF的长度不能确定 10. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 11. 、两地相距2400米，甲、乙两人准备从地出发去地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达地后，停止运动．甲乙之间的距离与甲运动时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 乙每分钟比甲多走 B. 乙出发后两人相遇 C. 乙到达 B 地时，甲距离 B 地还有 D. 相遇前，甲走或时两人相距 12. 如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；四边形是平行四边形；；．正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 正多边形一个内角等于，则该多边形是正__________边形． 14. 如图，在矩形中，若，则线段的长为_______． 15. 为了解某校七年级名学生本学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了如图所示的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），则估计该校七年级学生参加社会实践活动的时间不少于天的人数为________人． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、正方形，使得点、、、在直线上，点、、、在轴正半轴上，则点的坐标是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）写出格点A、B的坐标； （2）将点A、B、C、D的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，依次得到点E、F、G、H，用线段顺次连接起来，画出四边形，则四边形与四边形有怎样的位置关系？ （3）求四边形的面积． 18. 某企业为了解全体员工上班出行的方式，在全体员工中随机抽取了若干名员工进行问卷调查，问卷给出了四种上班出行方式供选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了 名员工； （2）补全条形统计图： （3）在扇形统计图中，“电动车”对应的扇形的圆心角是 度； （4）如果该企业有1200名员工，企业准备的100个停车位是否够用？ 19. 【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 20. 已知点P（3a﹣15，2﹣a）． （1）若点P到x轴的距离是1，试求出a的值； （2）在（1）题的条件下，点Q如果是点P向上平移3个单位长度得到的，试求出点Q的坐标； （3）若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标． 21. 规定：关于的二元一次方程的解记为有序数对，将这些有序数对在平面直角坐标系下描点，连接得到一条直线，这些有序数对对应的点称为直线的“解点”，回答下列问题： （1）已知，，，是直线的“解点”的是______． （2）若，是直线的“解点”，求的值． （3）已知实数，满足，若点是直线一个“解点”，用等式表示与之间的关系，并直接写出的最小值． 22. 如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，； （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，点在上且平分，求出线段的长度． 23. 如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ （2）求直线表达式和a的值； （3）若点P在直线上，且，求点P的坐标． 24. 如图，在正方形中，以为边作菱形，使得点在正方形内，射线与交于点，与射线交于点． （1）当时，求的度数； （2）当点中点时，证明：； （3）试探究：与的度数之和是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$