2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 一、单选题 1．已知圆：与圆：相交于，两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若圆被直线截得的弦长为，则等于（   ） A． B． C． D． 4．已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．直线被圆所截得的弦长等于（    ） A． B． C． D． 6．已知圆，直线，若直线l与圆C两交点记为A，B，点P为圆C上一动点，且满足，则最大值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 7．已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 二、多选题 8．已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（     ） A．直线与圆相离 B．当最大时， C．点到直线的距离最大值为 D．点到直线的距离最小值为 9．已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．的最小值为4 C．的取值范围为 D．当最小时，其余弦值为 10．已知圆 与直线 和 都相切，且圆心 在 轴上，直线 与 轴相交于点 ，过点 作圆 的两条切线.切点分别为 ，直线 与 交于点 ， 则（   ） A．圆 的方程是 B．当 时，四边形 的面积为 C． 的取值范围为 D．若点 ，则 为定值 三、填空题 11．若圆：和圆：的交点为A，B，则线段的中垂线方程为 . 12．圆与圆的公共弦长为 . 13．若圆与圆 外切，则 . 14．已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 15．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 四、解答题 16．已知圆，直线. (1)判断直线与圆C的位置关系； (2)求该圆过点的切线方程. 17．已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】两圆作差即可求得公共弦的方程. 【详解】圆，圆的方程可以化简为，，将两圆方程相减，得，即直线的方程为. 故选:A. 2．B 【分析】根据圆上点到直线距离为1的点的个数可知圆心到直线的距离为1，计算可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径为2， 若圆上恰有三个点到直线的距离等于1可知圆心到直线的距离为1， 即，解得. 故选：B 3．C 【分析】利用几何法可表示弦长，解方程即可. 【详解】由已知圆，即（）， 圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则弦长，所以， 解得. 故选：C. 4．A 【分析】求出公共弦所在的直线方程以及公共弦长，利用面积公式计算即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即，则圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交； 联立,相减可得直线：， 所以到直线的距离为， 利用圆与直线相交可得：， 所以. 故选：A. 5．C 【分析】求出圆心到直线的距离，再根据半径为5，利用弦长公式求得弦长． 【详解】圆心到直线的距离为，圆的半径， 故弦长为， 故选：C． 6．C 【分析】先求出直线过定点，设中点为，则圆心到直线的距离的取值范围，将转化为，利用向量数量积的运算律计算即可求解. 【详解】由题意知，圆心，半径， 直线，即， 由得，即直线过定点，故， 设中点为，则，且， 又因为，所以， 所以, 当时等号成立. 故选：C. 7．B 【分析】将两圆方程化为标准方程，根据两圆恰有一条公切线得出两圆的位置关系，进而得到满足的关系式，最后利用三角换元求出的最大值. 【详解】圆，即，圆心，半径 圆，即，圆心，半径 两圆恰有一条公切线，说明两圆内切，圆心距等于半径之差： 令，则最大值为 故选：B. 8．BC 【分析】写出直线方程，根据圆心到该直线距离判定直线与圆位置，数形结合判断最大时的位置，即可判断各项的正误. 【详解】由题意，，即， 又的圆心为，半径为， 所以到的距离为，故直线与圆相交，A错； 要使最大，只需与圆相切，则，B对； 由A分析知，点到直线的距离，最大值为，最小值为，C对，D错. 故选：BC.    9．ABC 【分析】A.直线方程变形为，即可判断定点坐标；B.根据定点是弦的中点时，此时最短；C.根据向量数量积公式，转化为求的最值；D.根据C即可判断. 【详解】A.直线，即，直线恒过点，故A正确； B.当定点是弦的中点时，此时最短， 圆心和定点的距离为，此时，故B正确； C.当最小时，最小，此时， 此时， 当是直径时，此时最大，， 此时， 所以的取值范围为，故C正确； D.根据C可知当最小时，其余弦值为，故D错误. 故选：ABC 10．ACD 【分析】对于A，由题意可得圆的方程，故可判其正误，对于B，根据距离公式求出切线长，根据直线三角形的面积公式，可得其正误；对于C，根据数量积的定义及同角三角函数的平方式，可得数量积的函数解析式，根据对勾函数的性质，可得其正误；对于D，利用圆系可得公共弦所在直线的方程，根据垂直可得动点的轨迹，结合圆的性质，可得其正误. 【详解】 因为圆的圆心在x轴上，且与直线和都相切， 所以圆M的标准方程为，故A正确； 对于B，因为是圆的切线，所以. 在Rt△APM中，. 当时，，又，所以， 则，所以四边形PAMB的面积， 故B错误. 对于C， . 因为，所以， 因为对勾函数在上单调递增，所以.故C正确. 对于D，由题意，知，，，， 所以四点共圆， 记此圆为圆D，则PM为圆D的直径，圆心，半径为， 圆D的方程为. 因为AB是圆D与圆M的相交弦， 所以直线AB的方程为； 化简得，所以直线经过定点. 因为，所以， 因为点在直线AB上，所以，即点在以为直径的圆上. 因为，，所以圆心为点，恰为Q点，半径为. 因为点C在该圆上，所以为定值.故D正确. 故选：ACD. 11． 【分析】先求出两个圆的圆心，利用相交两圆的对称性可得即为线段的中垂线，求出即可.. 【详解】由可得，，圆心为， 由可得，，圆心为， 根据圆的对称性可知，即为线段的中垂线， 故其方程为：，即. 故答案为：. 12． 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 13． 【分析】由两圆外切可得圆心距等于半径，即可得解. 【详解】由已知，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为圆与圆外切，所以，解得. 故答案为：. 14． 【分析】先求圆心的轨迹,再设切线方程计算即可求出公切线. 【详解】圆心坐标为，所以圆心在直线上， 设圆的切线为，即， 所以两直线间的距离为圆的半径，，所以直线方程为. 故答案为: . 15． 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 16．(1)相交 (2)和 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【详解】（1）圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. （2）若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 17．(1) (2)或 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【详解】（1）设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$