2.4圆的方程章节检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4圆章节检测 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知圆和圆，则与的位置关系是（   ） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 2．已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 3．已知点在直线上，若以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．直线l：与圆C：的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 5．已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（      ） A． B．9 C．6 D．5 6．圆与圆的位置关系是（   ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 7．若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知圆，点，下列说法正确的是（    ） A．点A在圆外 B．点是的定点 C．已知，过点B作圆的最短弦长为 D．过点作圆:的切线，则的方程为 10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（    ） A．圆的方程是 B．的取值范围为 C．圆与圆有两条公切线 D．过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，该直线斜率为 11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（    ） A．的“欧拉线”方程为 B．若点在圆M上，则的最大值是7 C．圆M上点到直线的最大距离为 D．若点在圆M上，则的最小值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数 ． 13．已知点为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为 . 14．“晚旁”徽标是借两个圆设计而成，其状如月（如图阴影部分）．已知圆，，其中．为圆与圆的交点，若弦将圆分为长度之比为1:2的两段弧，则组成“晚旁”的两段弧长之比为 ．（请写出长度较小的弧与长度较长的弧的长度之比，即该比值小于1．）    四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知圆经过点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； (3)求与圆关于直线对称的圆的一般方程． 16.（本小题15分） 平面直角坐标系中，圆经过直线与的交点，且过点，圆心在直线上 (1)求圆的方程； (2)若，直线上有且仅有一点A满足：过点A作圆的两条切线、，切点分别为，，且使得四边形为正方形，求的值. 17.（本小题15分） 一个小岛（点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．    (1)若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由； (2)若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值． 18.（本小题17分） 在平面直角坐标系中，已知点，点满足.记的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知点，设点M，N在上，点M，N与点不重合，且直线MN不与轴垂直，记分别为直线AM，AN的斜率. （ⅰ）对于给定的数值入（且，若，证明：直线MN经过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的定点为Q，求点的轨迹方程. 19.（本小题17分） 已知圆经过，两点，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)是圆上一动点，求的范围； (3)已知为的中点，若的面积为2，求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4圆章节检测解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知圆和圆，则与的位置关系是（   ） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 【答案】A 【详解】由圆方程知：圆心，半径； 由，得， 所以圆心，半径； 圆心距，所以圆与圆外切. 故选：A 2．已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】，则其圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 3．已知点在直线上，若以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点在直线上， 所以，即，则， 因为圆可化为， 所以圆A的圆心为，半径为， 因为以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点， 所以，即， 即，解得， 则，即，则. 故选：B. 4．直线l：与圆C：的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【详解】由题，圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相交. 故选：A. 5．已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（      ） A． B．9 C．6 D．5 【答案】C 【详解】由点，，得直线，， 圆的圆心，半径，点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值为. 故选：C 6．圆与圆的位置关系是（   ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 【答案】D 【详解】， ，，因此两圆相交， 故选：D． 7．若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径 四边形中，， 则，整理得， 又， 最小值即为圆心到直线的距离， 则 故选：D 8．圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径. 因为，所以两圆外切，所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知圆，点，下列说法正确的是（    ） A．点A在圆外 B．点是的定点 C．已知，过点B作圆的最短弦长为 D．过点作圆:的切线，则的方程为 【答案】ABC 【详解】圆的圆心为，半径为， A选项，，得出点A在圆外，A正确； B选项，直线，过定点，B正确； C选项，当弦垂直于时，弦长最短，，最短弦长为，C正确； 对于D，点在圆外，过A点作圆的切线有2条，还有一条直线过点，且与圆相切，D错误.    故选：ABC. 10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（    ） A．圆的方程是 B．的取值范围为 C．圆与圆有两条公切线 D．过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，该直线斜率为 【答案】ABCD 【详解】对A，设， 由，可得， 即，化简可得，故A正确； 对B，由选项A可知：圆的圆心为，半径， 设，可知直线与圆有公共点， 则，解得， 所以的取值范围为，故B正确； 对C，圆圆心到圆圆心的距离为， 又因为且， 故两圆相交，有两条公切线，故C正确； 对D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为不合题意， 设直线，则由题意C到的距离等于， 即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确； 故选：ABCD. 11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（    ） A．的“欧拉线”方程为 B．若点在圆M上，则的最大值是7 C．圆M上点到直线的最大距离为 D．若点在圆M上，则的最小值是 【答案】ABD 【详解】对于A，，由题意可得的欧拉线为的中垂线， 由，可得的中点为，且， 线段的中垂线方程为，即，故A正确； 对于B，的“欧拉线”与圆相切， 圆心到直线的距离， 圆的方程为， 因为表示圆上的点与连线的斜率， 设，则，即， 所以，即，解得， 所以的最大值为7，故B正确； 对于C，圆心到直线的距离， 圆上点到直线的距离的最大值为，故C错误； 对于D，令，，代入圆的方程， 可得，由于在圆上，有根， 则，整理得， 解得， 的最小值为，即的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数 ． 【答案】或 【详解】由题意得，圆心为，半径为2， 若圆上恰有3个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离等于， 可得，解得. 故答案为：或. 13．已知点为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】可知圆的圆心为，半径， 设，，则， 所以 ， 所以，， 过点作⊥，交圆于点， 故的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：9. 14．“晚旁”徽标是借两个圆设计而成，其状如月（如图阴影部分）．已知圆，，其中．为圆与圆的交点，若弦将圆分为长度之比为1:2的两段弧，则组成“晚旁”的两段弧长之比为 ．（请写出长度较小的弧与长度较长的弧的长度之比，即该比值小于1．）    【答案】 【详解】易知圆的圆心为，半径； 圆圆心为，半径； 两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程为， 由弦将圆分为长度之比为1:2的两段弧可知， 因此圆心到直线的距离为， 即，又，解得或（舍），即； 此时在弦方程上，所以为圆的直径； 易知，； 所以截得的圆的弧长为，截得的圆的弧长为； 此时组成“晚旁”的两段弧长之比为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知圆经过点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； (3)求与圆关于直线对称的圆的一般方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）设圆的圆的半径为， 因为圆经过点，故    所以圆的方程为． （2）依题意，圆的圆心到直线的距离为 当直线无斜率时，方程为，圆心到直线的距离为2，不符合题意， 设直线方程为，即， 则，解得，， ∴直线的方程为或 （3）由题意得圆和圆的圆心和圆心关于直线对称，且半径相同 ， 直线的斜率为                            设圆心，则,的中点坐标为，， 则,解得 所以圆的标准方程为， 16.（本小题15分） 平面直角坐标系中，圆经过直线与的交点，且过点，圆心在直线上 (1)求圆的方程； (2)若，直线上有且仅有一点A满足：过点A作圆的两条切线、，切点分别为，，且使得四边形为正方形，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）联立方程，解得，即两直线交点为， 可知线段的中垂线为， 联立方程，解得， 即圆心为，半径 所以圆的方程为. （2）由题意可知：有且仅有1个点A，使得， 即点到直线的距离为， 则，且，解得， 所以的值为. 17.（本小题15分） 一个小岛（点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．    (1)若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由； (2)若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值． 【答案】(1)轮船没有触礁风险，理由见解析． (2)； 【详解】（1）由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为：． 轮船航线所在直线过点，所在直线的倾斜角为，斜率为，直线方程为，即． 原点到轮船航线所在直线的距离为， 所以，轮船没有触礁风险． （2）记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则， 直线的方程为：，其一般式方程为：． 易知原点到直线的距离为， 直线与圆相离， 圆上动点到直线的距离的最小值为：． 18.（本小题17分） 在平面直角坐标系中，已知点，点满足.记的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知点，设点M，N在上，点M，N与点不重合，且直线MN不与轴垂直，记分别为直线AM，AN的斜率. （ⅰ）对于给定的数值入（且，若，证明：直线MN经过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的定点为Q，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）点的轨迹方程为直线（除去点） 【详解】（1）设，由得， 整理得，所以的方程为. （2）设直线MN的方程为：，其中. 点M，N满足： 所以满足：，即. 从而. （ⅰ）证明：因为， 所以，整理得，其中（即直线MN不经过点）. 所以直线MN的方程为：，且直线MN不经过点. 所以直线MN过定点 . （ⅱ）解：由得（其中）, 所以点的轨迹方程为直线（除去点）. 19.（本小题17分） 已知圆经过，两点，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)是圆上一动点，求的范围； (3)已知为的中点，若的面积为2，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）设圆心并解方程即可求出半径； （2）将几何问题转代数，转化为圆上动点到定点距离； （3）转化为直线与圆的交点问题，注意点的轨迹是圆. 【详解】（1）设圆心，由， 得 解得， 所以圆的标准方程为. （2）设，则 ， 因为表示圆上一动点到点的距离， 于是， 所以的范围是. （3）因为的面积为2，而， 到直线的距离为， 又直线的方程为， 设与直线平行且距离为的直线方程为， 令，得或， 设,,由（2）得点是圆上一动点， 则,即, 所以, 解得点的轨迹方程为， 直线与点的轨迹有交点，则， 联立方程， 解得或， 于是直线的方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$