精品解析：河南省新乡市原阳县路寨乡贾村实验学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级第一学期学习评价 数学（3） 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里，每题3分，共30分） 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. 0.3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义，即无限不循环小数，逐一判断各选项是否为有理数或无理数． 【详解】A、，是整数，属于有理数，不符合题意； B、是有限小数，可表示为分数，属于有理数，不符合题意； C、是分数，属于有理数，不符合题意； D、是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； 故选：D． 2. 下列各组数中，属于勾股数的是（ ） A. 3，4，6 B. 9，12，15 C. ，1 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，根据勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理且均为正整数的三个数，需逐一验证各选项是否同时满足这两个条件． 【详解】A、，不满足勾股定理，故本选项不符合题意； B、，满足勾股定理且均为正整数，故本选项符合题意； C、，1，含小数，非正整数，故本选项不符合题意； D、，，，含分数，非正整数，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，则斜边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理，直角三角形的斜边长为两条直角边平方和的平方根求出即可． 【详解】解：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4， 根据勾股定理，斜边长为， 因此，斜边长为5． 故选：B． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的运算，根据底数不变、指数相加的法则进行计算． 【详解】根据同底数幂相乘的运算法则，当底数相同时，指数相加，题目中计算的是，底数均为，因此指数相加为，结果为． 故选：C． 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 全等三角形的周长相等 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了逆命题及命题的真假，先写出命题的逆命题，再逐一判断即可求解，正确写出命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，该选项不合题意； 、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，逆命题是真命题，该选项符合题意； 、全等三角形的周长相等的逆命题是周长相等的两个三角形全等，逆命题是假命题，该选项不合题意； 、若，则 的逆命题是若，则，逆命题是假命题，该选项不合题意； 故选：． 6. 如图，在中，，平分，若，，则点D到的距离是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先利用计算出的长，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴点D到的距离等于，即点D到的距离为4． 故选：B． 7. 在中，、、的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理可判断选项A和B，利用三角形的内角和定理可判断选项C和D，由此即可得． 【详解】解：A、设，则， ∵，即不构成三角形，符合题意； B、，满足勾股定理的逆定理，则此项能说明是直角三角形，不符合题意； C、∵，， ∴，即， ∴此项能说明是直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴， ∴此项能说明是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 8. 如图，正方形是由9个边长为1的小正方形组成的，点，均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，分别在格点三角形中，根据勾股定理求出的长度，继而利用勾股定理证明是等腰直角三角形，由此可得出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， 根据勾股定理，得，． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键． 9. 若，则的平方根为（ ） A. 7 B. C. D. 49 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 10. 如图，在中，，D是上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④若，则，其中正确的为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 由、得出可判断①；由①可证明可判断②；可证明是等腰三角形但不能证明是等边三角形，可判定③；由，可求出，进而得出，继而证出可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∴，即，故②符合题意； 由，不能判定是等边三角形，则③不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④符合题意． 综上，正确的有①②④． 故选：B． 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 12. 如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是______． 【答案】52 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理求出，再根据正方形的面积公式得出答案． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理，得， 所以正方形的面积. 故答案为：52． 13. 如图，在中，，于点E，，且，则的度数为______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，，求得，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）． 【答案】m2+1 【解析】 【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】∵2m为偶数， ∴设其股是a，则弦为a+2， 根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2， 解得a=m2-1， ∴弦长为m2+1， 故答案为：m2+1． 【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15. 如图，在等腰中，，，在边AC上任取一点，延长BC到，使，得到，此时的度数为______；在边上任取一点，延长到，使，得到……按此做法继续下去，则的度数为______． 【答案】 ①. ##62度 ②. 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，找出每个等腰三角形中底角的规律是解题的关键．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，，，按此规律，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ∴， ， ， ， ， 同理，， ∴． 故答案为：，． 三．解答题．（本大题8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）-2 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算及整式的乘法运算，掌握并准确运用法则是解题的关键． （1）分别计算绝对值、三次根号、算术平方根和乘方，然后进行加减运算； （2）运用完全平方公式和平方差公式进行运算，然后合并同类项化简． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，中，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键． 18. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行海里和海里，小时后两船分别位于点，处，且相距海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，求乙船沿什么方向航行． 【答案】乙船以北偏东方向航行 【解析】 【分析】由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，海里， ∵，， ∴ ∴， 甲船沿北偏西方向航行， ∴， 乙船以北偏东方向航行． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，方向角问题，判断是直角三角形是解题的关键． 19. 如图，在中，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，，且， ∴， 又， ∴； （2） 证明：由（1）得， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，平角的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）利用三角形的内角和和平角的定义得出，，然后利用全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）利用全等三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 先化简，再求值：，其中a、b满足． 【答案】，20 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，非负数性质，准确进行整式混合运算是解题关键． 先计算整式混合运算，利用非负数求出的值，最后代入求值即可． 【详解】解：由得， ， 解得， 将代入上式得， 原式． 21. 如图，在中，，点E在边上，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在斜边上的点F处． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，勾股定理的应用； （1）由折叠可得，证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）利用勾股定理求解，由对折可得：，，设，再利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：∵将沿折叠，使点B的对应点恰好落在斜边上的点F处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 由对折可得：，，设， ∴，， ∴， 解得：， ∴，， ∴的周长为． 22. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． （1）若的周长是14，的长是3，求的周长； （2）若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】（1） （2） 解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【小问1详解】 解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； 【小问2详解】 略 23. 问题发现： （1）如图①，在中，，分别在上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接，则之间的数量关系是  ；与的数量关系是  ． 类比探究： （2）如图②，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接．直接写出的度数及与的数量关系． 拓展延伸： （3）如图③，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接．请猜想的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 解决问题： （4）在（3）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）；；（2）的度数是，； （3）结论：，， 理由：根据题意，∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∵为中边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （4） 【解析】 【分析】（1）由，分别在上，且，得，，则，得到答案； （2）由等边三角形的性质得，，，则，可根据“”证明，则，，所以； （3）由和都是等腰直角三角形，，得，，，所以，，可根据“”证明，则，，所以，； （4）由，，，得，． 【详解】解：（1）根据题意，∵，分别在上， ∴， ∴， 故答案为：； （2）根据题意，∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴的度数是，； （3）略 （4）∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级第一学期学习评价 数学（3） 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里，每题3分，共30分） 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. 0.3 C. D. 2. 下列各组数中，属于勾股数的是（ ） A. 3，4，6 B. 9，12，15 C. ，1 D. ，， 3. 直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，则斜边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 7 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 全等三角形的周长相等 D. 若，则 6. 如图，在中，，平分，若，，则点D到的距离是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 在中，、、的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形是由9个边长为1的小正方形组成的，点，均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 若，则的平方根为（ ） A. 7 B. C. D. 49 10. 如图，在中，，D是上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④若，则，其中正确的为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 分解因式：=______． 12. 如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是______． 13. 如图，在中，，于点E，，且，则的度数为______． 14. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）． 15. 如图，在等腰中，，，在边AC上任取一点，延长BC到，使，得到，此时的度数为______；在边上任取一点，延长到，使，得到……按此做法继续下去，则的度数为______． 三．解答题．（本大题8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，中，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 18. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行海里和海里，小时后两船分别位于点，处，且相距海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，求乙船沿什么方向航行． 19. 如图，在中，，．求证： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中a、b满足． 21. 如图，在中，，点E在边上，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在斜边上的点F处． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 22. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． （1）若的周长是14，的长是3，求的周长； （2）若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 23. 问题发现： （1）如图①，在中，，分别在上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接，则之间的数量关系是  ；与的数量关系是  ． 类比探究： （2）如图②，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接．直接写出的度数及与的数量关系． 拓展延伸： （3）如图③，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接．请猜想的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 解决问题： （4）在（3）的条件下，若，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $