精品解析：辽宁省沈阳市沈北新区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

辽宁省沈阳市沈北新区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将多项式因式分解，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点），跷跷板的一头着地时，点在同一水平线上，若时，则的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 5. 已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（ ） A. 0是这个不等式的解 B. 不是这个不等式的解 C. 小于的数都是这个不等式的解 D. 小于的数都是这个不等式的解 6. 不论为何值，等式都成立，则代数式的值为（ ） A. B. C. 6 D. 4 7. 若不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线与交于点，于点，连接，若， ，则菱形的边长为（ ） A. 13 B. 11 C. 12 D. 10 9. 如图，已知钝角三角形，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤：以为圆心，为半径画弧①； 步骤：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤：连结，交的延长线于点． 下列叙述正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 10. 在平行四边形中，点E为边上的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 当分式的值为0时，则实数x的取值是________． 12. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是__________． 13. 如图，四边形为平行四边形，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，则_____________ ． 14. 如图，平行四边形对角线、相交于点O，，点E是的中点，连接、，若，下列结论：①；②；③，其中正确的序号为 _________ ． 15. 如图，已知四边形是平行四边形，，，，点M是上一动点，N为的中点，连接，，当时，点M的坐标为 ____________ ． 三、解答题 16. 解方程：． 17. （1）先化简，再求值：，其中； （2）先化简，再从，0，1，2中选择一个恰当的数代入求值． 18. 解不等式组 ，并在数轴上表示解集． 19. 某单位为美化环境，计划对面积为平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的倍，并且在独立完成面积为平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用天． （1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？ （2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为元，付给乙队的费用为元，要使这次的绿化总费用不超过元，至少安排甲队工作多少天？ 20. ［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ （1）因式分解：． （2）因式分解：． ［拓展应用］ （3）已知一三角形的三边长分别是，且满足：．试判断这个三角形的形状，并说明理由． 21. 如图，已知是的角平分线，于点，于点，． （1）求证：是等腰三角形： （2）若，，求长． 22. 如图，在中，，点是边上的中点，过点C作，，连接、，交于点F． （1）求证：四边形平行四边形； （2）若，求的面积． 23. （1）如图1，O是等边内一点，连接，且，将绕点B顺时针旋转后得到，连接． 求：①旋转角的度数　　； ②线段的长　　； ③求的度数． （2）如图2所示，O是等腰直角内一点，连接，将绕点B顺时针旋转后得到，连接OD．当满足什么条件时，？请给出证明． 24. 已知：在△ABC年，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF. （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF. ②. （2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变： ①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系， ②若连接正方形对角线AE，DF，交点为0，连接OC，探究△AOC形状，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省沈阳市沈北新区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两边的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；如果将图形旋转后仍与原图形重合，这个图形即是中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故该选项正确； B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故该选项错误； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误； D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故该选项错误； 故选：A． 2. 将多项式因式分解，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用十字相乘法分解因式即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 3. 如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点），跷跷板的一头着地时，点在同一水平线上，若时，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：∵，点在同一水平线上， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 5. 已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（ ） A. 0是这个不等式的解 B. 不是这个不等式的解 C. 小于的数都是这个不等式的解 D. 小于的数都是这个不等式的解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据不等式解集，然后逐项分析求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴0不是这个不等式的解，故选项A不符合题意； 是这个不等式的解，故选项B不符合题意； 小于的数都是这个不等式的解，故选项C符合题意； 小于的数都是这个不等式的解，故选项D不符合题意； 故选：C． 6. 不论为何值，等式都成立，则代数式的值为（ ） A. B. C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出答案． 【详解】解： ∵ ，且不论为何值，等式都成立， ∴， ∴， 则． 故选：B． 7. 若不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查已知不等式组的解集，求字母的取值范围，根据不等式组的解集得到，求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故选：C 8. 如图，在菱形中，对角线与交于点，于点，连接，若， ，则菱形的边长为（ ） A. 13 B. 11 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，推导出，进而求得是解题的关键． 由菱形的性质得，，，因为于点，所以，则，所以，，由，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是菱形，对角线与交于点， ，，， 于点，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 菱形的边长为13， 故选：A． 9. 如图，已知钝角三角形，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤：以为圆心，为半径画弧①； 步骤：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤：连结，交的延长线于点． 下列叙述正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质以及判定定理；连接，先证明，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出 【详解】解：连接， 由题意得， ∴是等腰三角形 在和中 ∴， ∴ ∴是的角平分线， 又∵ ∴ 故选：D． 10. 在平行四边形中，点E为边上的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．取的中点，连接，则，而，所以，因为为的中点，所以，则，求得，即可得解； 【详解】解：取的中点，连接，则， ∵点为的中点，， ， ， ∵为的中点，为的中点， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 当分式的值为0时，则实数x的取值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，解一元二次方程，分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：2． 12. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是__________． 【答案】a＞﹣1 【解析】 【分析】由不等式的基本性质2：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．可判断a+1的符号，再求a的取值范围． 【详解】解：由不等式（a+1）x＞a+1，解集为x＞1， 可知，不等号方向没有改变， 由不等式性质2，得a+1＞0， 解得a＞﹣1， 故答案为a＞﹣1． 【点睛】本题考查了不等式的解集．关键是通过观察不等式的解集，由不等式性质2，判断x的系数的符号． 13. 如图，四边形为平行四边形，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，则_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，关键是判定是等边三角形，由平行四边形的性质，得出是等边三角形，过点E作于点F，根据勾股定理和含角的直角三角形的性质得出，的长，进而即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接， ， 是等边三角形， ， 如图，过点E作于点F， ∵ ∴，则 ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 14. 如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，点E是的中点，连接、，若，下列结论：①；②；③，其中正确的序号为 _________ ． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，判定是等边三角形，得到，，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质推出，由平行线的性质得到，由三角形中位线定理推出，即可得到，由三角形面积公式得到． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴， ∵的对角线互相平分， ∴， ∴， ∴， 故③不符合题意， ∴其中正确序号为①②． 故答案为：①②． 15. 如图，已知四边形是平行四边形，，，，点M是上一动点，N为的中点，连接，，当时，点M的坐标为 ____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、中点坐标公式及两点间距离公式，先根据平行四边形性质确定点B坐标，进而得出中点N坐标，设出点M坐标，利用，结合两点间距离公式列方程求解． 【详解】解：∵平行四边形中，，，，且（O为坐标原点）， ∴，， ∵N为中点，，， ∴， 设， ∵， ∴， 解方程得， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．首先去分母，两边都乘以，将分式方程化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】解：， 两边都乘以，去分母，得： ， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 17. （1）先化简，再求值：，其中； （2）先化简，再从，0，1，2中选择一个恰当的数代入求值． 【答案】（1），；（2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键． （1）根据分式的除法运算法则将原式化简，然后将代入求值即可； （2）根据分式的运算法则将原式化简，然后在，0，1，2中选取一个使原式有意义的数代入求值即可． 【详解】解：（1）， 当时，原式． （2）， ∵，且， ∴且， ∴当时，原式． 18. 解不等式组 ，并在数轴上表示解集． 【答案】≤x＜3 【解析】 【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集． 【详解】， 解不等式①得：x＜3， 解不等式②得：x≥， 不等式组的解集为：≤x＜3， 在数轴上表示为： 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确计算出两个不等式组的解集． 19. 某单位为美化环境，计划对面积为平方米区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的倍，并且在独立完成面积为平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用天． （1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？ （2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为元，付给乙队的费用为元，要使这次的绿化总费用不超过元，至少安排甲队工作多少天？ 【答案】（1）乙队每天绿化面积为40平方米，甲队为60平方米；（2）至少安排甲队工作天． 【解析】 【分析】（1）由题意设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为360平方米区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据题意设安排甲队工作y天，则需安排乙队工作天，根据总费用=700×甲队工作时间+500×乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过14500元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设乙队每天绿化面积为平方米，甲队为平方米，于是得： 解得： 经检验，是原方程的解，， 答：甲、乙两队每天绿化的面积分别是平方米、平方米； （2）设至少安排甲队工作天， 于是得： 解得： 答：至少安排甲队工作天． 【点睛】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程以及根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 20. ［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ （1）因式分解：． （2）因式分解：． ［拓展应用］ （3）已知一三角形的三边长分别是，且满足：．试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用． （1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可； （2）利用“”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可； （3）整理后，利用“”分组，再利用完全平方公式分解得到，根据非负数的性质求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， ， ． ， ， ， 这个三角形是等边三角形． 21. 如图，已知是的角平分线，于点，于点，． （1）求证：是等腰三角形： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）证明得到即可求证； （）由等腰三角形的性质可得，，进而由勾股定理可得，最后由三角形的面积即可求解； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． 小问1详解】 证明：∵是的角平分线，于点，于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 22. 如图，在中，，点是边上的中点，过点C作，，连接、，交于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的三线合一、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）先根据等腰三角形的三线合一可得，，再根据平行四边形的性质可得，，然后设，则，，利用勾股定理可得的值，从而可得的长，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【小问1详解】 证明：∵在中，，点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵在中，，点是边上的中点， ∴，， 由（1）已证：四边形是平行四边形， ∴，， 设，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴的面积为． 23. （1）如图1，O是等边内一点，连接，且，将绕点B顺时针旋转后得到，连接． 求：①旋转角的度数　　； ②线段的长　　； ③求的度数． （2）如图2所示，O是等腰直角内一点，连接，将绕点B顺时针旋转后得到，连接OD．当满足什么条件时，？请给出证明． 【答案】（1）①；②4；③；（2）当满足时，，见分析 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，于是可确定旋转角的度数为； ②由旋转的性质得，加上，则可判断为等边三角形，所以； ③由为等边三角形得到，再利用旋转的性质得，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，，所以； （2）根据旋转的性质得，则可判断为等腰直角三角形，则，然后根据勾股定理的逆定理，当 时，为直角三角形，． 【详解】解：（1）①为等边三角形， ， 绕点B顺时针旋转后得到， ， 旋转角的度数为； ②绕点B顺时针旋转后得到， ， 而， 为等边三角形； ； ③为等边三角形， ， 绕点B顺时针旋转后得到， ， 在中，， ， ， 为直角三角形，， ； （2）时，．理由如下： 绕点B顺时针旋转后得到， ， 等腰直角三角形， ， 当时，为直角三角形，， ， 当满足时，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定与性质，根据熟练掌握旋转性质并灵活运用是解答本题的关键． 24. 已知：在△ABC年，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF. （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF. ②. （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变： ①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系， ②若连接正方形对角线AE，DF，交点为0，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由. 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析（3）①见解析；②见解析. 【解析】 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，从而求出CF=BC-CD； （2）与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=BC+CD； （3）①与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD-BC；②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形． 【详解】（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°， ∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD=45°， ∴∠ACF+∠ACB=90°， ∴BD⊥CF； ②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF， ∵BD=BC-CD， ∴CF=BC-CD； （2）与（1）同理可得BD=CF， 所以，CF=BC+CD； （3）①与（1）同理可得，BD=CF， 所以，CF=CD-BC； ②∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， 则∠ABD=180°-45°=135°， ∵四边形ADEF正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°， ∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°， ∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°， 则△FCD为直角三角形， ∵正方形ADEF中，O为DF中点， ∴OC=DF， ∵在正方形ADEF中，OA=AE，AE=DF， ∴OC=OA， ∴△AOC是等腰三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$