专题 1.6 三角形（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 1.6 三角形 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）三角形中的线段和角 2 【题型1】三角形构造条件 2 【题型2】利用三角形高、中线、角平分线求值 2 知识点（二）全等三角形的性质与判定 3 【题型3】利用全等三角形性质求值与证明 3 知识点（三）全等三角形的判定 4 【题型4】利用全等三角形判定求值与证明 4 【题型5】利用全等三角形性质与判定求值与证明 5 【题型6】利用三角形全等几何模型求值证明 6 知识点（四）线段垂直平分线与角平分线 7 【题型7】利用线段垂直平分线性质与判定求值证明 7 【题型8】利用角平分线性质与判定求值证明 8 知识点（五）等腰三角形 9 【题型9】利用等腰三角形定义求值 9 【题型10】利用“等边对等角”求值证明 9 【题型11】利用“三线合一”求值证明 10 【题型12】利用“等角对等边”求值证明 11 知识点（六）等边三角形 12 【题型13】利用等边三角形性质求值证明 12 【题型14】利用等边三角形性质与达到综合求值证明 13 【题型15】利用等腰三角形性质与判定综合求值证明 14 知识点（七）直角三角形 15 【题型16】利用直角三角形两个锐互余求值 15 【题型17】利用两个锐角互余的三角形是直角三角形求值证明 16 【题型18】利用含30度直角三角形性质求值证明 17 【题型19】利用直角三角形中，90度所对的边中线等于这边的一半求值证明 17 二．同步练习 18 【基础巩固（24题）】 18 【能力提升（24题）】 24 【中考真题12题】 30 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）三角形中的线段和角 （1）三角形三边关系 三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。 【题型1】三角形构造条件 【例题1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知的三边长是． （1）若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； （2）化简． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列长度的三条线段首尾顺次连接能组成三角形的是（   ） A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·期末）已知三角形的三边长分别是，，，且为奇数，则 ． （2） 三角形三条重要线段 （1）从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作的垂线段叫做三角形的高. （2）连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线； （3）在三角形中；一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与对边交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 【题型2】利用三角形高、中线、角平分线求值 【例题2】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，是的中线，已知． （1）求与的周长之差； （2）若边上的高为，求边上的高． 【变式1】（24-25七年级下·河北保定·期末）数学课上，同学们用三角形纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字说明，线段是的角平分线的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，点、是线段、的中点，若四边形的面积是22，则的面积是 ． 知识点（二）全等三角形的性质与判定 性质：1.全等三角形对应角相等；2. 全等三角形对应边相等. 【题型3】利用全等三角形性质求值与证明 【例题3】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若，，求四边形的面积． 【变式1】（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，，点恰好在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知．点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若运动过程中存在与全等，则点的运动速度为每秒 个单位长度． 知识点（三）全等三角形的判定 （1）三条边分别对应相等的两个三角形全等.（简写成“边边边”或“SSS”） （2）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（简写成“边角边”或“SAS”） （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”） （4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“ASA”） （5）斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”） 【题型4】利用全等三角形判定求值与证明 【例题4】（20-21七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O． （1）求证：； （2）若，，求∠ADB的度数． 【变式1】（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图是南阳光武大桥及其侧面示意图，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 【题型5】利用全等三角形性质与判定求值与证明 【例题5】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求． 【变式1】（2025·湖北武汉·二模）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，若______，则． 请从：①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． （1）求证：． （2）求证：G是线段的中点． 【题型6】利用三角形全等几何模型求值证明 【例题6】（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点． 知识点（四）线段垂直平分线与角平分线 线段垂直平分线： （1）性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，​ （2）判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【题型7】利用线段垂直平分线性质与判定求值证明 【例题7】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若，，，求的面积． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为 ． 角的平分线： （1）性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; （2）判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上; 【题型8】利用角平分线性质与判定求值证明 【例题8】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，，平分，平分，若，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是它的一条角平分线，是它的一条中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 知识点（五）等腰三角形 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 【题型9】利用等腰三角形定义求值 【例题9】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）能用一根长为的细铁丝围成一个边长为的等腰三角形吗？为什么？ 【变式1】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．16或20 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如果二元一次方程组的解和的值是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长是 ． 等腰三角形的性质（1）:等腰三角形的两个底角相等（简称为 “等边对等角”）. 【题型10】利用“等边对等角”求值证明 【例题10】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，是边延长线上一点，连接，过作，且，连接交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点B顺时针旋转，得到，若点E恰好在的延长线上，则的度数为 ． 等腰三角形的性质（2）:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称 “三线合一”）. 【题型11】利用“三线合一”求值证明 【例题11】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 【变式1】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为 “等角对等边”）. 【题型12】利用“等角对等边”求值证明 【例题12】（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作，分别交、于点M、N，若，，则的周长是（   ） A．60 B．66 C．72 D．78 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为 ． 知识点（六）等边三角形 1. 等边三角形的性质 （1）等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形的三个角都相等，且每个角都等于 60°； 【题型13】利用等边三角形性质求值证明 【例题13】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）（1）如图1，已知，以为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：． （2）如图2，已知，以为边分别向外作正方形和正方形，连接，猜想与有什么数量关系？并说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（   ） 如图，等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，且，则等 A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，在等边三角形中，P是内的一点，连接．若将绕点B逆时针旋转到的位置，点P的对应点为，则的度数是 °． 2. 等边三角形的判定 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型14】利用等边三角形性质与达到综合求值证明 【例题14】（24-25八年级下·山东聊城·期末）点为中内任一点，连接，，，将绕点逆时针旋转，得到． （1）如图，试判断的形状，并说明理由． （2）若点是内一个动点，试说明当点B，P，D，E四个点满足什么位置条件时，PA的和最小． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为 ． 【题型15】利用等腰三角形性质与判定综合求值证明 【例题15】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，，点D、E在上，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图所示，，是等腰的斜边上的两个动点，,且． （1）求证：； （2）求证；． 【变式2】（24-25七年级下·广东河源·期末）【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 知识点（七）直角三角形 直角三角形性质1：直角三角形的两个锐角互余； 直角三角形判定：有两个锐角互余的三角形是直角三角形。 【题型16】利用直角三角形两个锐互余求值 【例题16】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，AE平分，AD是BC边上的高． （1）在图中将图形补充完整； （2）当，时，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，是斜边的垂直平分线，连接，若，则 度． 【题型17】利用两个锐角互余的三角形是直角三角形求值证明 【例题17】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 直角三角形性质2： 含 30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于第三边的一半。 【题型18】利用含30度直角三角形性质求值证明 【例题18】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在等边中，是角平分线，作，垂足为F，作，垂足为若等边的边长为16，求的长． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，，交于点，于点，若，则等于（　　） A．3 B．2 C．1.5 D．1 【变式2】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，在中，，，，P是边上的动点（点P不与点C，B重合），则的取值范围是 ． 直角三角形性质3： 在直角三角形中，90度所对的边中线等于这边的一半。 【题型19】利用直角三角形中，90度所对的边中线等于这边的一半求值证明 【例题19】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，若，则 ． 【变式1】（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为24，则的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【变式2】（24-25九年级下·北京·阶段练习）在中，，，点在边上，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在边上． （1）如图1，点与点重合，，求证：是的中点； （2）如图2，点在的延长线上时，作交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 二．同步练习​ 【基础巩固（24题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图所示，是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小颖（点B）到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，若，则点D到直线的距离是（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（24-25八年级上·广东东莞·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 9．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·山东济南·期末）等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 二、填空题 11．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，是的中线，延长至点，使，连接，若的面积为3，则的面积是 ． 12．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，点在上，，若，，则 ． 13．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是 ．    14．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）如图，在中,，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ． 15．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，绕点按逆时针方向旋转得，则的度数为 度． 16．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ． 17．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为 ． 18．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图．在中，，，D是上一点，连接，，过点C作于点E，此时平分，则的长为 ． 19．（2025·江西新余·三模）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为 ． 20．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线，点在直线与之间，点在直线上，连接，的平分线交于点，连接，过点分别作交于点，于点．若，，则的度数为 ． 三、解答题 21．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，点为直线上一点，，，连接交于．，为中点，求证： 22．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 23．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）________度； （3）如图2，连接，平分吗？请说明理由． 24．（24-25七年级下·陕西西安·期末）综合与实践 问题情境： 如图1，在四边形中，，，E是一点，连接，，，． 问题探究： （1）求证：是等腰直角三角形； （2）“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形，，，点B，E，C在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； （3）“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，E，C在直线上，，，若，，求的长． 【能力提升（24题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，AE平分交BC于点E，于点D，如果，，那么的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 5．（24-25七年级下·四川资阳·期末）如图，分别延长的边，使得．若的面积为1，则的面积为（   ） A．14 B．12 C．11 D．10 6．（2025·云南昆明·三模）如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形， 、、三点共线，与相交于点，与分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知：如图，在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①；②；③，④． 其中结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（    ）   A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·四川德阳·期中）已知的三边长分别为，，10．则的取值范围 ． 12．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，是的中线，点在上，若，，则的值为 ． 13．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，D是内一点，且平分，连接，若的面积为9，那么的面积是 ． 14．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是的平分线，，垂足为点是的边上的中线，，的面积为6，则的面积为 ． 15．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，是它的高，点E是外一点，连接，，，在上截取，使得，连接．若，，则的面积为 ． 16．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，，是的垂直平分线．若，，则的长为 ． 17．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ． 18．（2025·浙江温州·三模）如图，已知四边形中，，平分，点E在边上且，连接，若，，，则，，之间的数量关系是 ． 19．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，上，且，．若，，，则 ． 20．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 三、解答题 21．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知：如图，在中，，D为中点，于点E，于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证： （1）； （2）试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 23．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）如图1，在等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，请直接写出之间的等量关系． （2）如图2，在中，，点，分别在边，上，且，． ①求证：； ②若，求的长度（用含的代数式表示）． （3）如图3，在中，，点分别是边上的动点，以为腰作等腰（点按逆时针排列），使得，且 ，连接，若． ①求证：； ②在点，运动过程中，点位置也随之发生改变，当，，三点共线，且时，请直接写出的面积． 24．（24-25七年级下·山东泰安·期末）综合与实践 在中，，，是的角平分线，于． （1）如图1，小明小组连接，发现是等边三角形．请你判断其发现是否正确，如正确请给出证明，如不正确请说明理由； （2）如图2，小颖小组进一步探究，在上找一点，连接，作等边，连接，发现，请你判断其发现是否正确，如正确请给出证明，如不正确请说明理由； （3）如图3，在图1基础上，老师提出进一步探索，在线段上找一点，连接，作，交的延长线于点，探究发现线段．小智小组认为成立，并提出一种添加辅助线证明的方法，延长至，使，连接（如图4）．请你判断小智小组的判断是否正确？如你认为正确，请借助其添加辅助线的方法给与证明（也可以用其它添加辅助线的方法证明），如不正确请说明理由． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 6．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ．    7．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，若，，，则 ．    8．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    三、解答题 9．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 10．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 11．（2025·山东青岛·中考真题）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 12．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.6 三角形 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）三角形中的线段和角 2 【题型1】三角形构造条件 2 【题型2】利用三角形高、中线、角平分线求值 3 知识点（二）全等三角形的性质与判定 6 【题型3】利用全等三角形性质求值与证明 6 知识点（三）全等三角形的判定 8 【题型4】利用全等三角形判定求值与证明 9 【题型5】利用全等三角形性质与判定求值与证明 11 【题型6】利用三角形全等几何模型求值证明 14 知识点（四）线段垂直平分线与角平分线 18 【题型7】利用线段垂直平分线性质与判定求值证明 18 【题型8】利用角平分线性质与判定求值证明 20 知识点（五）等腰三角形 24 【题型9】利用等腰三角形定义求值 24 【题型10】利用“等边对等角”求值证明 25 【题型11】利用“三线合一”求值证明 28 【题型12】利用“等角对等边”求值证明 31 【题型13】利用等腰三角形性质与判定综合求值证明 34 知识点（六）等边三角形 38 【题型14】利用等边三角形性质求值证明 38 【题型15】利用等边三角形性质与达到综合求值证明 41 知识点（七）直角三角形 44 【题型16】利用直角三角形两个锐互余求值 44 【题型17】利用两个锐角互余的三角形是直角三角形求值证明 46 【题型18】利用含30度直角三角形性质求值证明 49 【题型19】利用直角三角形中，90度所对的边中线等于这边的一半求值证明 51 二．同步练习 54 【基础巩固（24题）】 54 【能力提升（24题）】 72 【中考真题12题】 101 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）三角形中的线段和角 （1）三角形三边关系 三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。 【题型1】三角形构造条件 【例题1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知的三边长是． （1）若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； （2）化简． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 解：（1）解：的三边长是，， ，， ， 的周长是小于的偶数， ，即， ； （2）解：的三边三边长是a，b，c， ， 原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列长度的三条线段首尾顺次连接能组成三角形的是（   ） A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，是解题的关键． 根据三角形三边关系定理，若两较小边之和大于较长边即能组成三角形，逐项验证即可． 解：A、，∴2，2，3能组成三角形．故此选项符合题意； B、，∴2，3，5不能组成三角形．故此选项不符合题意； C、，∴3，4，7不能组成三角形．故此选项不符合题意； D、，∴4，5，11不能组成三角形．故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·期末）已知三角形的三边长分别是，，，且为奇数，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再根据x为奇数进行取值． 解：∵三角形的三边长分别是，，， ∴，即， ∵x为奇数， ∴． 故答案为：5 （2） 三角形三条重要线段 （1）从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作的垂线段叫做三角形的高. （2）连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线； （3）在三角形中；一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与对边交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 【题型2】利用三角形高、中线、角平分线求值 【例题2】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，是的中线，已知． （1）求与的周长之差； （2）若边上的高为，求边上的高． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形中线将与的周长之差转换为和的差即可得出答案； （2）设边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 解：（1）解：的周长为， 的周长为， ∵是的边上的中线， ∴， ∴； （2）设边上的高为， ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 解得． 【点拨】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·河北保定·期末）数学课上，同学们用三角形纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字说明，线段是的角平分线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的折叠，角平分线． 根据作图分别分析选项即可． 解：A、由折叠可知，线段是的角平分线，不是的角平分线，不符合题意； B、由折叠可知，线段是的角平分线，是的角平分线，符合题意； C、由折叠无法判断线段是角平分线，不符合题意； D、由折叠可知，线段是的角平分线，不是的角平分线，不符合题意； 故选：B 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，点、是线段、的中点，若四边形的面积是22，则的面积是 ． 【答案】11 【分析】连接，证明，，解答即可． 本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，熟练掌握中线的意义是解题的关键． 解：连接， ∵点、是线段、的中点， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积是22，， ∴． 故答案为：11． 知识点（二）全等三角形的性质与判定 性质：1.全等三角形对应角相等；2. 全等三角形对应边相等. 【题型3】利用全等三角形性质求值与证明 【例题3】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2）6 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可知，，结合，即可证明； （2）根据题意可知，再由全等三角形的性质可得到，最后由四边形的面积即可求得答案． 解：（1）证明：， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：，， ， ， ， 四边形的面积． 【变式1】（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，，点恰好在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和公式等知识点，掌握相关性质定理成为解题的关键． 由全等三角形的性质可得、，再结合可得是等边三角形，则；然后根据三角形内角和公式可得，最后根据角的和差即可解答． 解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知．点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若运动过程中存在与全等，则点的运动速度为每秒 个单位长度． 【答案】1或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．由题意知当与全等，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 解：设运动时间为t，由题意知，， 与全等，， ∴分两种情况求解： ①当时，，即，解得； ②当时，，即, 解得， ，即6， 解得； 综上所述，x的值是1或， 故答案为：1或． 知识点（三）全等三角形的判定 （1）三条边分别对应相等的两个三角形全等.（简写成“边边边”或“SSS”） （2）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（简写成“边角边”或“SAS”） （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”） （4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“ASA”） （5）斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”） 【题型4】利用全等三角形判定求值与证明 【例题4】（20-21七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O． （1）求证：； （2）若，，求∠ADB的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断； （2）根据，，求出，根据，即可求出． 解：（1）解：证明：和相交于点， ． 在和中，， ． 又， ， ． 在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定． 【变式1】（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图是南阳光武大桥及其侧面示意图，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，由于，则，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 解：， ， 当添加时，不能判定，所以A选项符合题意； 当添加时，，所以B选项不符合题意； 当添加时，，所以C选项不符合题意； 当添加时，，所以D选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由是边上的高，推导出 ，即可证明，则，于是得到问题的答案． 解：∵在中，是边上的高，是边上一点， ∴于点， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：4． 【题型5】利用全等三角形性质与判定求值与证明 【例题5】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求． 【答案】（1）见分析；（2）5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，据此可证明； （2）证明得到；再由全等三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 解：（1）证明：∵E为中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（2025·湖北武汉·二模）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，若______，则． 请从：①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】②或③，理由见分析 【分析】此题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由，得，，若选择①，不能证明，不能得出；若选择②，可根据证明，则；若选择③，可根据证明，则． 解：选择①，不能证明，不能得出； 选择②，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ； 选择③，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：②或③． 【变式2】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． （1）求证：． （2）求证：G是线段的中点． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由得，证明，即可证明； （2）证明，得到即可． 解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 【题型6】利用三角形全等几何模型求值证明 【例题6】（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）60度；（3），见分析 【分析】（1）利用等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （3）同（1）易证，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质解答即可． 解：（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 【变式1】如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 【答案】见分析. 【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°． 解：如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∴CE＝CF， ∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°， ∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL）， ∴∠ACF＝∠ECB， ∴∠ACB＝∠ECF， ∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ACB+∠AOB＝180°， ∴∠OAC+∠OBC＝180°． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. 【变式2】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点． 【答案】见分析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，过点作交的延长线于点，先证明，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 解：证明：过点作于点，过点作交的延长线于点， 则， 由旋转的性质得， ， 由旋转的性质得， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， 是的中点． 知识点（四）线段垂直平分线与角平分线 线段垂直平分线： （1）性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，​ （2）判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【题型7】利用线段垂直平分线性质与判定求值证明 【例题7】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． 解：（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，，， ∴ ． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键． 先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得． 解：∵，且点为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为 ． 【答案】/25厘米 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，作图-基本作图，先由作图得出是中垂线，则，，得到的周长，进而可得答案． 解：由题意得到：是中垂线， ∴，， ∴， ∵的周长为，即， ∴周长． 故答案为：． 角的平分线： （1）性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; （2）判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上; 【题型8】利用角平分线性质与判定求值证明 【例题8】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 【答案】【定理】平分；【运用】证明见分析 【分析】本题考查角平分线的判定定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的判定定理，通过于于，即可判定平分； （2）通过作垂线构造全等三角形，得，进而利用角平分线的判定定理，即可完成证明． 解：定理：于于， 平分， 故答案为：平分； 运用：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，，平分，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后证明，根据全等三角形的面积相等可得，同理可得：，设，，表示出，然后求解即可． 解：如图，过点作于，      ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∵ 设，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是它的一条角平分线，是它的一条中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，三角形中线的定义，掌握角平分线的性质定理，等高的三角形面积的计算方法是关键． 过点作于，于，则，，求出，由中点得到，根据即可求解． 解：如图，过点作于，于， 平分， ， ， ， ， ， 是的中线，， ， ∴， 故选：D． 知识点（五）等腰三角形 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 【题型9】利用等腰三角形定义求值 【例题9】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）能用一根长为的细铁丝围成一个边长为的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】能，见分析 【分析】根据等腰三角形的定义，三角形存在性解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键． 解：∵等腰三角形的一边长为，周长为， 当为腰时，另一腰长为，此时，底边长为， 且，此时，三角形是不存在的； 当为底时，此时，腰长为， 且，此时，三角形存在； 故能围成一个边长为的等腰三角形，三边长分别为，，． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．16或20 【答案】C 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系等知识点，结合等腰三角形的特点进行分类讨论，利用三边关系进行验证是解题关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定周长． 解：由题意，， 因平方和绝对值均非负，故，解得，， 等腰的两边为4和8，需分情况讨论： 1. 若腰为4，则三边为4、4、8。此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），无法构成三角形， 2. 若腰为8，则三边为8、8、4，此时，，满足三边关系，周长为． 综上，的周长为20， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如果二元一次方程组的解和的值是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】11或13 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是要分两种情况讨论．求出方程组的解为，由三角形三边关系定理得到等腰三角形的腰长可能是5或3，即可求出等腰三角形的周长． 解：方程组的解为， 当等腰三角形的腰长是5时， ，满足三角形三边关系， ∴此时等腰三角形的周长； 当等腰三角形的腰长是3时， ，满足三角形三边关系， ∴此时等腰三角形的周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长是11或13． 故答案为：11或13． 等腰三角形的性质（1）:等腰三角形的两个底角相等（简称为 “等边对等角”）. 【题型10】利用“等边对等角”求值证明 【例题10】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，是边延长线上一点，连接，过作，且，连接交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角． （1）根据题意、，只需证明其对应两边的夹角相等即可证明； （2）根据等边对等角得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到，进而可知，即可求出的度数． 解：（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ， ∴， ． 【变式1】（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题围绕图形旋转，结合等腰直角三角形、等边三角形的性质，通过连接辅助线 ，利用角的和差关系求解的度数．解题思路为：先由旋转性质得出且，判定为等边三角形；再结合是等腰直角三角形，求出相关角的度数，最终通过角的组合算出 ． 解：连接， 绕点逆时针旋转得到 ， 是等边三角形 ， 在中，， 是等腰直角三角形 ∵，，， ∴（） ∴ ∴ 故选： ． 【点拨】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定及性质，等边三角形和等腰直角三角形的判定与性质．熟练掌握旋转前后图形的对应关系，以及特殊三角形的角度、边长性质，通过连接辅助线、，构建角的和差关系是解题关键． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点B顺时针旋转，得到，若点E恰好在的延长线上，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角．根据旋转的性质得到，，利用等边对等角可以求得的度数，据此求解得以解决． 解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 等腰三角形的性质（2）:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称 “三线合一”）. 【题型11】利用“三线合一”求值证明 【例题11】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 【答案】见详解 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是熟悉等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质得出，，平分，再利用全等三角形的判定和性质证明即可． 解：证明：∵在中，，是边上的中线， ∴，，平分，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 即平分． 【变式1】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质三线合一、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点F，根据题意证明，得，即可求得答案． 解：作交的延长线于点F， 是的角平分线， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：16． 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为 “等角对等边”）. 【题型12】利用“等角对等边”求值证明 【例题12】（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题考查了余角性质，对顶角的性质，等腰三角形的判定等，由余角性质可得，进而由对顶角相等得，即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作，分别交、于点M、N，若，，则的周长是（   ） A．60 B．66 C．72 D．78 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边的性质是解题关键．根据角平分线的定义和平行线的性质，得到，，进而得出，，即可求解． 解：的平分线与的平分线相交于点O， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，过A作于H，过D作于E，过A于F，则四边形是长方形，得出，，证明，得出，，设，，则，，求出，，得出，解方程即可求解． 解：解∶如图，过A作于H，过D作于E，过点A作于F， 则四边形是长方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵以为斜边作等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【题型13】利用等腰三角形性质与判定综合求值证明 【例题13】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，，点D、E在上，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）18 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据等边对等角得出，再根据证，即可得出结论； （2）由可得，根据可求出，得出，由三角形内角和定理得，可得，，得是等边三角形，得出，从而可得出结论． 解：（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图所示，，是等腰的斜边上的两个动点，,且． （1）求证：； （2）求证；． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）根据等腰三角形的性质可得，再由，得到，从而证得； （2）由（1）知，得到，，进而推出，即可得到． 解：（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴． （2）证明：由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·广东河源·期末）【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】（1）是，理由见分析；（2），理由见分析；（3） 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． （1）由角平分线可得，由平行线的性质得，，从而，进而可证是等腰三角形； （2）同理（1）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 解：（1）是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 知识点（六）等边三角形 1. 等边三角形的性质 （1）等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形的三个角都相等，且每个角都等于 60°； 【题型14】利用等边三角形性质求值证明 【例题14】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）（1）如图1，已知，以为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：． （2）如图2，已知，以为边分别向外作正方形和正方形，连接，猜想与有什么数量关系？并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）．理由见分析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别以A、B为圆心，以的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则即为所求；同理作出；由等边三角形的性质得到，再证明，即可证明． （2）由正方形的性质得到，再证明，即可得到． 解：（1）如图所示，即为所求； 证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即． ∴． ∴． （2）．理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即． ∴． ∴． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（   ） 如图，等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，且，则等 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，，，再证明，进一步可得答案． 解：在等边中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A 【变式2】（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，在等边三角形中，P是内的一点，连接．若将绕点B逆时针旋转到的位置，点P的对应点为，则的度数是 °． 【答案】60 【分析】本题主要是旋转图形的性质，等边三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据旋转的性质可得：，进而得到是等边三角形，继而求出，然后由图中相关角与角之间的和差关系来求的度数． 解：根据旋转的性质知，得 ， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 2. 等边三角形的判定 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型15】利用等边三角形性质与达到综合求值证明 【例题15】（24-25八年级下·山东聊城·期末）点为中内任一点，连接，，，将绕点逆时针旋转，得到． （1）如图，试判断的形状，并说明理由． （2）若点是内一个动点，试说明当点B，P，D，E四个点满足什么位置条件时，PA的和最小． 【答案】（1）等边三角形，理由见分析；（2）四个点在一条直线上时，的和最小，理由见分析 【分析】该题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由旋转可得，，即可证明； （2）由（1）可知为等边三角形，则，故，即可得当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，的和最小． 解：（1）解：由题意可知由旋转得到， ， ， 又， 为等边三角形． （2）解：当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，的和最小． 理由：由（1）可知为等边三角形， ， ， 观察图可知，当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，的和最小． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最短路径问题，在周长最小时找到点和的位置是解题的关键．要使的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决，作点关于的对称点为，点关于的对称点为，当点共线时，的周长为，此时周长最小为，根据判定是等边三角形，即可求出的度数． 解：作点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接，交于于，连接，如图所示： 则当点共线时，的周长为，此时周长最小， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由直角三角形的性质可得，，进而由旋转的性质得为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵，，， ∴，， 由旋转可得，，， ∴为等边三角形， ∴ 故答案为：． 知识点（七）直角三角形 直角三角形性质1：直角三角形的两个锐角互余； 直角三角形判定：有两个锐角互余的三角形是直角三角形。 【题型16】利用直角三角形两个锐互余求值 【例题16】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，AE平分，AD是BC边上的高． （1）在图中将图形补充完整； （2）当，时，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据高的定义补充图形； （2）根据角平分线性质求出，最后结合直角三角形的性质求出． 解：（1）（1）解：如图所示： （2）解：∵在中，平分， ， 是边上的高， ， ， ． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质，主要围绕三角形中的角平分线和高展开，通过三角形内角和定理以及角之间的关系来求解角度，熟练运用三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质来建立角之间的关系是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了做垂线，直角三角形的两个锐角互余，先由作图过程得出，则，根据，解得，又因为，则，即可作答． 解：依题意，由作图过程得出， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故， ∵在中，， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，是斜边的垂直平分线，连接，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形锐角互余等知识点． 根据垂直平分线得到，则，再根据直角三角形锐角互余即可求解． 解：∵是斜边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【题型17】利用两个锐角互余的三角形是直角三角形求值证明 【例题17】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 解：（1）证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. （2）证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形中线的性质．根据与互余求得，根据三角形的面积公式求出的面积，再根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 解：∵与互余，即， ∴， ∴． ∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：阴影部分的面积为3． 故答案为：3 直角三角形性质2： 含 30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于第三边的一半。 【题型18】利用含30度直角三角形性质求值证明 【例题18】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在等边中，是角平分线，作，垂足为F，作，垂足为若等边的边长为16，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，由等边三角形的性质得到，，由含30度角的直角三角形的性质推出，，即可求出BH的长． 解：是等边三角形，是角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，，交于点，于点，若，则等于（　　） A．3 B．2 C．1.5 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质．过P点作，垂足为E，结合平行线的性质可得，利用三角形外角的性质可得，由含角的直角三角形的性质可求解PE的长，再根据角平分线的性质可求解． 解：过P点作，垂足为E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，在中，，，，P是边上的动点（点P不与点C，B重合），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线段最短，含角的直角三角形的性质．掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．利用垂线段最短分析可知：与重合时为3，根据含角的直角三角形的性质得出，结合点P不与点C，B重合，由此可得到答案． 解：根据垂线段最短，可知的最小值为3， ∵在中，，，， ∴， ∵点P不与点C，B重合， ∴的取值范围是， 故答案为：． 直角三角形性质3： 在直角三角形中，90度所对的边中线等于这边的一半。 【题型19】利用直角三角形中，90度所对的边中线等于这边的一半求值证明 【例题19】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，若，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据题意先求出，，利用直角三角形两锐角互余求得，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，求得的度数，进而得到答案． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为24，则的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一得到，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 解：为边上的高， ， 的周长为24， ， ， 在中，点为的中点， 的周长． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·北京·阶段练习）在中，，，点在边上，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在边上． （1）如图1，点与点重合，，求证：是的中点； （2）如图2，点在的延长线上时，作交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据30°角的直角三角形的性质解答即可； （2）在于取一点M，使得，连，取的中点N，连接，即可得到，，然后证明，得到，，即可得到，解答即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴点是的中点； （2）解：，理由为： 在于取一点M，使得，连，取的中点N，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 二．同步练习​ 【基础巩固（24题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系，第三边必须大于其他两边之差且小于其他两边之和判断即可． 解：已知三角形的两边分别为3和5， 根据三角形三边关系可知：，， 因此，第三边的取值范围为． 故选：C． 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．利用“”证明，得到，即可求出的长． 解：， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键．证明，利用全等三角形的对应边相等即可求解． 解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图所示，是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小颖（点B）到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 解：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， ∴小颖到地面的距离为， 故选：D． 5．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，若，则点D到直线的距离是（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，根据作图得到是角平分线，根据角平分线的性质定理得到点D到直线的距离等于，由此即可求解． 解：根据作图得到是的角平分线， 如图所示，过点作，则是点D到直线的距离， ∵，即， ∴， 故选：C． 6．（24-25八年级上·广东东莞·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的判定，平行线性质及等角对等边，解题的关键是根据图形判断出角平分线．根据图形可得是的角平分线，再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案． 解：过点作，垂足为，，垂足为， 是两把完全相同的长方形直尺， ， ， ， ， ， ， ， 点在这把直尺上的刻度读数分别是， ， 故选：A．    7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识，根据等边对等角和三角形外角的性质可求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，等腰三角形的定义；根据等腰三角形的定义得到或，再结合三角形的三边关系计算结果即可． 解：当为等腰三角形时， ∴或； 当时 满足， 在满足； 当时， 在中，，不满足条件，舍掉； ∴； 故选：C． 9．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 解：由题意可知：， 在中，是的中线， ， 故选：A． 10．（24-25七年级下·山东济南·期末）等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类思想的应用，熟练掌握性质和定理．当为顶角时，答案就是本身；当为底角时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 解：当为顶角时，答案就是本身； 当为底角时，另一个底角为，顶角为， 故顶角为或． 故选：D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，是的中线，延长至点，使，连接，若的面积为3，则的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了中线的性质，三角形的面积公式，掌握知识点是解题的关键． 由可得，由三角形的中线的性质，可得，即可解答． 解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴． 故答案为：18． 12．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，点在上，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的性质推出，即可求出的长． 解：， ， ． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据，可知，根据平角定义即可求解． 解：如图：    在和中， （SAS） ， ． 故答案为： 14．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）如图，在中,，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质得，由，于是可判断为等边三角形，根据等边三角形的性质得，然后利用进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，绕点按逆时针方向旋转得，则的度数为 度． 【答案】40 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质等知识，求得，并推导出是解题的关键．由，，求得，由旋转得，则，于是得到问题的答案． 解：∵，， ∴， ∵绕点按逆时针方向旋转得， ∴， ∴， 故答案为：40 16．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，可得，从而得到 ∴四边形的面积，即可求解． 解：如图，连接， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：9 17．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，可得，从而得到重叠部分四边形的面积，即可求解． 解：如图，连接， ∵和均是等腰直角三角形， ∴，， ∵点M是斜边的中点， ∴，， ∴，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积． 故答案为： 18．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图．在中，，，D是上一点，连接，，过点C作于点E，此时平分，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关知识是解决此题的关键．由且平分，可推出，则可得，，由等角对等边可知，根据题目所给数据即可求得的长． 解：平分， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：2． 19．（2025·江西新余·三模）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，直角三角形斜边中线等于斜边一半．根据数轴上两点之间的距离得到，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 解：由题意可得， ，点为的中点， ， 故答案为：8． 20．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线，点在直线与之间，点在直线上，连接，的平分线交于点，连接，过点分别作交于点，于点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，先整理得，再结合，平分，得，则，故，，最后在中，列式进行计算，即可作答． 解：，， ， ，平分， ， ， ∴ 则，， ， ， 在中，． 故答案为：． 三、解答题 21．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，点为直线上一点，，，连接交于．，为中点，求证： 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是他的关键． 证明，得到． 解：， ， ∵为中点， ∴， ， ， 在和中， ， ， ． 22．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 过点作于点，利用平行线的性质得出，进而利用得出，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可． 解：证明：过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 23．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）________度； （3）如图2，连接，平分吗？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）平分．理由见分析 【分析】（1）根据旋转性质可得，，结合等边三角形的性质可证明即可得出结论； （2）过点作，，垂足分别为，，利用（1）中证得的全等得到； （3）利用面积相等求得，可证得，从而得到，则平分． 解：（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：平分．理由如下， 如图，过点作，，垂足分别为，，    ， ， ， ， 在和中， ， ， ，平分． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键． 24．（24-25七年级下·陕西西安·期末）综合与实践 问题情境： 如图1，在四边形中，，，E是一点，连接，，，． 问题探究： （1）求证：是等腰直角三角形； （2）“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形，，，点B，E，C在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； （3）“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，E，C在直线上，，，若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析；（3）12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先运用证明可得，再说明即可证明结论； （2）证明可得，然后根据线段的和差即可解答； （3）先根据三角形外角的性质、角的和差以及已知条件可得，再证明可得，最后根据即可解答． 解：（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【能力提升（24题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 利用全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 解：A.∵， ∴， ∴， 即，该选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴， 由A.选项得， 又， ， ∴，该选项正确，不符合题意； C. ∵， ∴， 由B.选项得， ∴， 即， 又， , ∴，该选项正确，不符合题意； D.由以上条件，无法确定 ，该选项错误，符合题意； 故选：D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 解：段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，AE平分交BC于点E，于点D，如果，，那么的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据角平分线的性质定理，然后根据线段的和差得到求解即可． 解：∵平分，，， ∴． ∵， ∴， 故选A． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，证明，得，再证明得，进而得，由此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图， ∵点为的中点，，， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25七年级下·四川资阳·期末）如图，分别延长的边，使得．若的面积为1，则的面积为（   ） A．14 B．12 C．11 D．10 【答案】A 【分析】本题考查三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度． 连接和，要求的面积，可以分成三部分来分别计算，是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行分析计算，即可解得的面积． 解：连接和， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 2， 则； ； ∴． 故选A． 6．（2025·云南昆明·三模）如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定等知识，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定依次判断即可． 解：A、∵，， ∴， ∴，选项正确，不符合题意； B、∵，平分， ∴，选项正确，不符合题意； C、根据题意得：，选项错误，符合题意； D、平分， ， ∵， ，选项正确，不符合题意； 故选：C． 7．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形， 、、三点共线，与相交于点，与分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 解：①∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和均是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③由①得， ∴， 由②得， 又， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④由③得， ∴，故④正确，符合题意； ⑤由③得，由②得， ∴为等边三角形， ∴，故⑤正确，符合题意； 故选：A． 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接，证明点G是点D关于的对称点，当F与H重合时，取得最小值，此时，解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，将军饮马河原理的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 解：如图，取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接， ∵等边， ∴， 点D，E分别是边的中点，的中点H， ∴， ∴都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点G是点D关于的对称点， ∴当F与H重合时，取得最小值，此时， 故选：C． 9．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知：如图，在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①；②；③，④． 其中结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的证明以及全等的性质．因为且有公共角，所以，结合，，由SAS可知；在与中，有为公共边，，但没有，所以无法证明；由全等三角形对应角相等，可得，，所以=，． 解：，中，，，， ，都为等腰直角三角形， ， , ， 在与中 （SAS）， 所以①正确； 由可得，， =， ， ， 所以③，④正确； 在与中，有为公共边，，但不能证明，所以无法证明与全等，即不能证明， 所以②错误； 综上，正确的有①，③，④三个， 故选：C． 10．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，证明即可判定①；过点作于，于，由全等三角形的性质得，即得，根据角平分线的判定即可判定③；由全等三角形的性质和三角形内角和定理可得，即得，即可判定②；在线段上截取，连接，证明得，根据②可得为等边三角形，即得，即得，即可判定④；综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； 过点作于，于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴， ∴，故②错误； 在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由②得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 二、填空题 11．（24-25八年级上·四川德阳·期中）已知的三边长分别为，，10．则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，由此得到关于的不等式组，即可求出的取值范围．关键是掌握三角形三边关系定理． 解：由三角形三边关系定理得到：， 解①得， 解②得， 解③得， 不等式组的解集为． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，是的中线，点在上，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中线的性质，设到的距离为，由是的中线，则，求出，然后由即可求解，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 解：设到的距离为， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，D是内一点，且平分，连接，若的面积为9，那么的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积． 延长交于点，证明，得到，和是等底等高的三角形，进而得到，即可求解． 解：延长交于点， 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， 和是等底等高的三角形， ， ， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是的平分线，，垂足为点是的边上的中线，，的面积为6，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，关键是由角平分线的性质推出，判定， 推出． 由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到的面积，求出，判定，推出，求出，得到，即可求出的面积． 解：∵， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴的面积的面积的面积， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，是它的高，点E是外一点，连接，，，在上截取，使得，连接．若，，则的面积为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意先证明，进一步推得，再证明，求出的长，即可利用三角形面积公式求出答案． 解：，是高， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ∴， ∵， ． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，，是的垂直平分线．若，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，结合已知条件和三角形外角的性质可得，因此，进而即可求出的长． 解：是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 17．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质．连接，证明，可得，从而得到四边形的面积，即可求解． 解：如图，连接， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：9 18．（2025·浙江温州·三模）如图，已知四边形中，，平分，点E在边上且，连接，若，，，则，，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据得，证明和全等得，，设，则，再证明得，得到①，再根据，得②，①+②即可得出答案． 解：，， ， 平分， ， 在和， ， ， ，， 设， 则， ，， ， ， ，， ， 即①， ， 即②， ②+①，得：， 故答案为： 19．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，上，且，．若，，，则 ． 【答案】 【分析】在上截取，由可判定，由全等三角形的性质得，，由四边形的内角和及补角的性质、角的和差得，由等腰三角形的判定得，由，结合线段和差，即可求解． 解：在上截取， ， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在四边形中， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了多边形的内角和，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等，掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 20．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】连接，交于点，连接，利用垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短得到的和的最小值为的长，根据的面积计算出高，从而得出的最小值． 解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为线段， ∵等腰中,点为的中点，，， ∴，， ∴， 即：，解得， ∴， 故答案为：4． 【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短是解题的关键． 三、解答题 21．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知：如图，在中，，D为中点，于点E，于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）8 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）证明，得； （2）证明是等边三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，点D是的中点， ∴． 22．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证： （1）； （2）试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． （1）求出，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由，， 三角形内角和定理可求解． 解：（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： 如图，设与于G， ∵， ， ，， ， 23．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）如图1，在等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，请直接写出之间的等量关系． （2）如图2，在中，，点，分别在边，上，且，． ①求证：； ②若，求的长度（用含的代数式表示）． （3）如图3，在中，，点分别是边上的动点，以为腰作等腰（点按逆时针排列），使得，且 ，连接，若． ①求证：； ②在点，运动过程中，点位置也随之发生改变，当，，三点共线，且时，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）①见分析；②；（3）①见分析；②25 【分析】（1）证明，得出，，即可得出结论； （2）根据三角形外角的性质可证明，根据等边对等角得出，然后根据证明即可； ②根据全等三角形的性质即可求解； （3）①在上取点G，使，根据三角形外角的性质可证明，根据证明，得出，，根据三角形外角的性质可求出，根据等角对等边得出，结合，，可得出，即可得证； ②过F作于H，取中点G，连接，根据三角形的内角和定理，等边对等角可求出，，根据三角形的外角的性质可求出，进而求出，根据等角对等边得出，结合（3）①中可得出，根据证明，得出，，，等量代换得出，根据等边对等角得出，结合三角形外角的性质得出，进而求出，证明、都是等腰直角三角形，得出，即可求解． 解：（1）解：， 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， 又， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； ②∵， ∴，， ∵，， ∴； （3）在上取点G，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即； ②当C、F、E三点共线时，如图，过F作于H，取中点G，连接， ∵，， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，G为中点， ∴， ∴ 又，， ∴， ∴，，， 又， ∴， ∴ 又， ∴， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 24．（24-25七年级下·山东泰安·期末）综合与实践 在中，，，是的角平分线，于． （1）如图1，小明小组连接，发现是等边三角形．请你判断其发现是否正确，如正确请给出证明，如不正确请说明理由； （2）如图2，小颖小组进一步探究，在上找一点，连接，作等边，连接，发现，请你判断其发现是否正确，如正确请给出证明，如不正确请说明理由； （3）如图3，在图1基础上，老师提出进一步探索，在线段上找一点，连接，作，交的延长线于点，探究发现线段．小智小组认为成立，并提出一种添加辅助线证明的方法，延长至，使，连接（如图4）．请你判断小智小组的判断是否正确？如你认为正确，请借助其添加辅助线的方法给与证明（也可以用其它添加辅助线的方法证明），如不正确请说明理由． 【答案】（1）正确，理由见分析；（2）正确，理由见分析；（3）正确，理由见分析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，30度角的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）由直角三角形的性质得出，，由角平分线的定义得出，证出，由线段垂直平分线的性质得出，可知，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得出，证出，证明，得出，得出，即可得出结论； （3）延长至F，使，连接，证出为等边三角形，得出， ，得到，证出，证明，得出，证出，即可得出结论． 解：（1）解：正确，理由如下： ∵， ， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 ∵， ∴是等边三角形； （2）解：正确，理由如下： ∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确，理由如下： 如图，延长至F，使，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 3．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 4．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 二、填空题 5．（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．根据三角形内角和定理结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可． 解：∵等腰三角形的一个底角的度数为， ∴它的顶角度数为：． 故答案为：． 6．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ．    【答案】4 【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得． 解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 7．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，若，，，则 ．    【答案】 【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点拨】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键． 8．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 三、解答题 9．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 解：（1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 10．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，，证明即可. 解：证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 11．（2025·山东青岛·中考真题）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 【答案】见分析 【分析】本题考查了尺规作——角平分线，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 先作的平分线，再过点作角平分线的垂线，与射线的交点即为点，根据角平分线以及垂线的定义可得，则，故等腰即为所作． 解：如图，等腰即为所作： 12．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）详见分析；（2）详见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 解：（1）证明：， ． ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ． ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$