精品解析：江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期5月检测数学试题

江苏省海门中学2024级第二学期5月检测 一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 1. 满足条件的复数的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模的运算法则求出，再求其共轭复数为，在根据复数的几何意义知其对应的点为，显然在第四象限. 【详解】， 的复数的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是第四象限. 故选：D 2. 若是不相同的空间直线，是不重合的两个平面，则下列命题正确的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线线、线面和面面平行与垂直的有关定理，对四个选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A选项，相当于的法向量，两个法向量垂直，则这两个平面垂直，A选项正确.对于B选项，直线可能在平面内，故B选项错误.对于C选项，两条直线必须相交才可以，故C选项错误.对于D选项，两条直线可能异面，故D选项错误.综上所述，本小题选A. 【点睛】本小题主要考查空间点线面有关命题真假性判断，属于基础题. 3. 已知圆柱的轴截面是面积为100的正方形，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. 200 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得圆柱的底面圆的半径和母线长，利用侧面积公式，即可求解. 【详解】由题意，圆柱的轴截面是面积为100的正方形， 可得圆柱的轴截面边长为10，所以圆柱的底面半径为5，母线长为10， 所以侧面积为. 故选：C. 4. 设向量，，且，，则的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先由向量共线的坐标公式及余弦倍角公式求得，再由平方关系求得即可. 【详解】因为,，所以共线，则， 即，，则. 故选：C. 5. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】切化弦，以及二倍角的正弦可得，变形可得，从而可求. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，， 所以，所以． 故选：B． 6. 是所在平面上一点满足的形状是（   ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的减法，数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得， 即， 两边平方得， 所以，则，即， 所以是直角三角形. 故选：B. 7. 骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为（ ） A. 50 B. 48 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用向量的线性运算、数量积的运算律、数量积的定义列式计算即得. 【详解】依题意，连接，在中，，， 则，， 因此 ，当且仅当与同向时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 8. 如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°（B、D、E在同一水平面上），山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，在和中分别求出AE，CE，再利用余弦定理计算作答. 【详解】在中，，，则， 在中，，，则， 在，由余弦定理得：， 即，解得， 所以两山顶A，C之间的距离为． 故选：B 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，现给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为 C. 函数在上单调递增 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为 【答案】BD 【解析】 【分析】 首先利用三角恒等变形化简函数，再根据函数的性质依次判断选项，AB选项根据解析式直接判断，C选项可以先求的范围，再判断函数的单调性，D选项根据平移规律直接求解平移后的解析式. 【详解】 ， 函数的周期，故A不正确；B.函数的最大值是，故B正确； C.时，，当时函数单调递减，即时函数单调递减，时，函数单调递增，故C不正确； D. 向左平移个单位长度，得到，故D正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证此区间是否是函数的增或减区间. 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则外接圆半径为10 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则三角形面积 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角形性质和正弦定理可知A正确，利用正弦定理可知B,C的正误，利用余弦定理及三角形面积公式可知D正确. 【详解】因为，所以，由正弦定理，可得，即，A正确； 由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B不正确； 因为，所以，即， 整理可得，即， 因为为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C正确； 因为，，，由余弦定理得，解得，所以，D正确. 故选：ACD. 11. 已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角为 D. 平面截正方体所得截面的面积为18 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行的判断定理，即可判断A；根据线面垂直的定义，结合垂直关系，即可判断B；根据异面直线所成角的定义，以及平行关系的转化，即可判断C，首先作出平面截正方体所得截面，再计算截面的面积. 【详解】对于A，如图，由条件可知，，平面，平面， 所以平面，故A正确；     对于B，取的中点，连结， 因为，，，所以, 则 ，不满足勾股定理， 所以不垂直于，则不垂直于平面， 所以不垂直于平面，故B错误；     对于C，连结，是等边三角形，所以直线与所成角为， 所以异面直线与所成角为，故C正确；     D.连结，所以四点共面， 四边形是平面截正方体所得截面， 如图，四边形是等腰梯形，， ， 作于，则， 所以四边形的面积，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角的对边分别是.若，则是________ 【答案】等腰三角形或直角三角形 【解析】 【分析】化简已知得或，即得解. 【详解】由题得， 所以， 所以， 所以， 所以或， 因为， 所以或. 所以是等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形. 13. 已知复数满足，则的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设出的代数形式，利用复数相等求出，再借助复数的几何意义求解即得. 【详解】设复数，由，得， 整理得，于是，即，， 由，得复平面内表示复数的对应点在以表示复数的对应点为圆心，1为半径的圆上， 表示这个圆上的点到表示复数的对应点的距离， 距离的最大值是. 故答案为： 14. 在中，已知，，点P在内，且满足，，则四边形面积的最大值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】设，，分别在和中，由余弦定理得到与的关系式，然后根据四边形的面积可得到面积与和的关系式，利用同角三角函数的关系最终得到面积与的关系式，利用基本不等式即可求出最大值. 【详解】如图所示 设，，则，，. 分别在和中，由余弦定理得， ， ， 所以， ，由，可知. 所以四边形的面积： ， 又， 当且仅当，即，，时，四边形的面积最大，最大值为2. 故答案为：2. 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求在方向上的投影向量． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设出坐标，根据已知条件解方程，从而求得. （2）根据向量垂直列方程，化简求得，从而求得在方向上的投影向量． 【小问1详解】 设，则，解得或， 所以或. 【小问2详解】 ∵与垂直，∴, ∴, ∴在方向上的投影向量为． 16. 已知，. （1）求的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定的三角函数值，再用余弦差公式求解； （2）先确定的三角函数值，然后用倍角公式确定的三角函数值，再用余弦和公式求解. 【小问1详解】 由知，故. 所以. 【小问2详解】 由知，故. 从而，. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于用角度的范围判断正弦或余弦值的正负. 17. 如图，已知四棱柱底面为矩形，E、F分别为线段，的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点M，连接，，由已知可得，且，可得四边形为平行四边形，可得，可得平面． （2）由已知可得，连接，可证，，可证平面，进而得平面，可证结论. 【小问1详解】 取的中点M，连接，， 又E为的中点，所以为的中位线，则，且， 又，且，F为的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 由四棱柱的性质可知，，则． 在中，由余弦定理得， ， 则，所以为等腰三角形． 连接，则． 因为底面为矩形，所以， 又，则， 因为，，平面，所以平面， 又，，所以， 则平面， 因为平面，故． 18. 如图，在凸四边形中，. （1）若，求的长； （2）若该四边形有外接圆，求的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角公式及差角的余弦公式，结合余弦定理求解即得. （2）根据给定条件，利用正弦定理求出，再利用三角恒等变换结合三角函数的性质即可求出最值. 【小问1详解】 在中，由，得， 则， 在中，由余弦定理得， 所以. 【小问2详解】 由四边形有外接圆，得，令此圆直径为， 由正弦定理得，又，则， 而，因此， 设，则， 在中，由正弦定理，得，则， 在中，同理得， 因此， 由，得，则当，即时，取得最大值1， 所以的最大值是. 19. 如图，在斜三棱柱中，侧面为菱形，，为中点，与的交点为. （1）求证：//平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线线平行推得线面平行即得； （2）由等边三角形证，再由勾股定理逆定理证，由线线垂直推导线面垂直即得； （3）作，证平面，作，证，得为二面角的平面角，由题设求得即得. 【小问1详解】 如图（1），连接. 由三棱柱可知侧面为平行四边形，所以为中点； 又因为中点，所以//， 又平面平面，所以//平面； 【小问2详解】 如图（2），连接. 由菱形可知，因为，可得为等边三角形； 因是中点，则，且；由可得，； 因为，则有，即， 又平面平面，故平面； 【小问3详解】 由（2）可知平面，因为平面，所以平面平面； 如图（3），过点作，垂足为，过作，垂足为，连接. 因为平面平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以； 因为平面平面，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角. 中，，可得， 在中，，可得， 在中，，可得， 因为，所以， 即二面角的正弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和应用，以及运用几何法求解二面角，属于较难题. 解题关键在于深刻把握线面垂直的判定定理，执果索因，寻找线线垂直条件；求二面角的关键在于找到一个平面中的一点在另一个平面的射影，为作出平面角奠定基础. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省海门中学2024级第二学期5月检测 一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 1. 满足条件的复数的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 若是不相同的空间直线，是不重合的两个平面，则下列命题正确的是 A. B. C. D. 3. 已知圆柱的轴截面是面积为100的正方形，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. 200 C. D. 4. 设向量，，且，，则的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 0 5. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 是所在平面上一点满足的形状是（   ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 7. 骑自行车是一种环保又健康运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为（ ） A. 50 B. 48 C. 60 D. 72 8. 如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°（B、D、E在同一水平面上），山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，现给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数最大值为 C. 函数在上单调递增 D. 将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则外接圆半径为10 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则三角形面积 11. 已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角为 D. 平面截正方体所得截面的面积为18 三、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角的对边分别是.若，则是________ 13. 已知复数满足，则的最大值为________． 14. 在中，已知，，点P在内，且满足，，则四边形面积的最大值为__________. 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求在方向上的投影向量． 16. 已知，. （1）求值； （2）若，，求值. 17. 如图，已知四棱柱的底面为矩形，E、F分别为线段，的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，证明：． 18. 如图，在凸四边形中，. （1）若，求的长； （2）若该四边形有外接圆，求的最大值. 19. 如图，在斜三棱柱中，侧面为菱形，，为中点，与的交点为. （1）求证：//平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$