抛物线方程及其几何性质【12个题型】讲义-2025年暑假新高二数学常考题型归纳

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【抛物线方程及其几何性质】 总览 题型梳理 一．抛物线的定义（共18小题） 二．抛物线的标准方程（共2小题） 三．根据定义求抛物线的标准方程（共6小题） 四．抛物线的四种标准方程及其图象（共1小题） 五．抛物线的焦点与准线（共13小题） 六．求抛物线的准线方程（共1小题） 七．直线与抛物线的位置关系及公共点的个数（共2小题） 八．由直线与抛物线位置关系及公共点个数求解方程或参数（共3小题） 九．抛物线的切线方程及性质（共4小题） 十．抛物线的弦及弦长（共2小题） 十一．抛物线的中点弦（共3小题） 十二．抛物线与平面向量（共5小题） 【知识点清单】 1．点到直线的距离公式 【知识点的认识】 ﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为： 2．抛物线的定义 【知识点的认识】 抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象． 标准方程 ①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线； ②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线． 性质 我们以y2＝2px（p＞0）为例： ①焦点为（，0）；②准线方程为：x；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等． 3．抛物线的标准方程 【知识点的认识】 抛物线的标准方程的四种种形式： （1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负） （2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负） 四种形式相同点：形状、大小相同； 四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 下面以两种形式做简单的介绍： 标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上 图形 顶点 （0，0） （0，0） 对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上 焦点 （，0） （0，） 焦距 无 无 离心率 e＝1 e＝1 准线 x y 4．直线与抛物线的综合 【知识点的认识】 直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则： 直线与抛物线相交⇔Δ＞0； 直线与抛物线相切⇔Δ＝0； 直线与抛物线相离⇔Δ＜0； 【解题方法点拨】 研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解，同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用． 直线y＝kx+b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组的解的个数． （1）若k≠0，则当Δ＞0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点． （2）若k＝0，则直线y＝b与y2＝2px（p＞0）相交，有一个公共点；特别地，当直线的斜率不存在时，设x＝m，则当m＞0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，直线l与抛物线相切，有一个公共点；当m＜0时，直线与抛物线相离，无公共点． 【命题方向】 掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力．对相对固定的题型，比如弦长问题、面积问题等，要以课本为例，理解通性通法，熟练步骤．对抛物线与直线的综合研究，涉及到定点、定值等相关结论，往往是高考考试的热点． 5．直线与抛物线的位置关系及公共点的个数 【知识点的认识】 直线与抛物线的位置关系可以是相交、切线或不相交．公共点的个数通过解直线与抛物线方程组确定． 【解题方法点拨】 1．代入直线方程：将直线方程代入抛物线方程． 2．分析解的个数：根据二次方程的判别式确定交点个数（0、1、2）． 6．抛物线的切线方程及性质 【知识点的认识】 抛物线的切线方程可以通过点斜式或标准方程表示．对于y2＝2px，切线方程为；对于x2＝2py，切线方程为． 【解题方法点拨】 1．计算切线方程：根据给定点或斜率求解切线方程． 2．分析切线性质：使用标准方程验证切线的性质． 【命题方向】 ﹣给定切点或斜率，求抛物线的切线方程． ﹣分析切线的性质及其在抛物线上的几何位置． 7．抛物线的弦及弦长 【知识点的认识】 弦是连接抛物线上的两点的线段．弦长可以通过弦中点和焦点的距离计算． 【解题方法点拨】 1．计算弦长：利用弦中点和焦点距离计算弦长． 2．使用公式：应用相关公式计算弦的长度． 8．抛物线的焦点弦及焦半径 【知识点的认识】 焦点弦是通过焦点且与抛物线的两条切线相交的弦．焦半径是从焦点到弦上任意一点的距离． 【解题方法点拨】 1．计算焦点弦：使用焦点和弦的方程计算焦点弦的长度． 2．计算焦半径：计算焦点到弦上点的距离． 9．抛物线的中点弦 【知识点的认识】 中点弦是指通过某点P与抛物线相交的弦，弦的中点为P． 【解题方法点拨】 1．计算中点弦长度：根据标准方程计算中点弦的长度． 2．应用公式：利用抛物线的标准方程确定长度． 10．抛物线与平面向量 【知识点的认识】 平面向量用于表示抛物线的长轴、短轴及焦点等几何特征． 【解题方法点拨】 1．利用向量表示：使用向量表示抛物线的参数和方程． 2．计算向量关系：求解与抛物线相关的向量问题． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．抛物线的定义（共18小题） 1．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为﹣2，则|PF|＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知点P是抛物线C：y2＝4x上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x﹣y+3＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（　　） A． B． C． D． 3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在C上，若P到直线x＝﹣3的距离为5，则|PF|＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，|AB|＝10，AB的中点横坐标为4，则p＝（　　） A．2 B． C．4 D． 5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M是y轴上一点，线段MF的延长线交C于点N，若|MF|＝|FN|＝3，则p＝（　　） A．2 B． C． D．4 6．已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，若|BF|＝8，则|AF|＝（　　） A． B．2 C． D．3 7．抛物线的焦点坐标为（　　） A． B．（a，0） C． D．（0，a） 8．动点P（x，y）到点F（3，0）的距离比它到直线x+2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是（　　） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 9．设圆C与圆x2+（y﹣3）2＝1外切，与直线y＝﹣2相切，则圆C的圆心的轨迹为（　　） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 10．点M到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为（　　） A．y2＝16x B．y2＝﹣16x C．y2＝24x D．y2＝﹣24x （多选）11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P（x0，y0）在C上，则（　　） A．抛物线C的准线方程为x＝2 B．F的坐标为（1，0） C．若y0＝2，则|PF|＝2 D．|PF|≥2 （多选）12．已知点P在抛物线y2＝12x上运动，F为抛物线的焦点，点M（4，1），则|PM|+|PF|的值可能是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 （多选）13．平面内到定点F（0，1）和到定直线l：y＝﹣1的距离相等的动点的轨迹为曲线C．则（　　） A．曲线C的方程为x2＝4y B．曲线C关于x轴对称 C．当点P（x，y）在曲线C上时，y≥0 D．当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d≥2 14．已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，点P在C上，直线l′：4x﹣3y+11＝0，点P到直线l′的距离与到直线l的距离之和的最小值是 　 　 ． 15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M在C上，且点M到y轴的距离为4，则|MF|＝ 　 　 ． 16．点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是　 　 ． 17．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M在C上，且，则M到y轴的距离为 　 　 ． 18．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若|AB|＝12，那么x1+x2＝　 　 ． 二．抛物线的标准方程（共2小题） 19．已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，若C恰过（﹣2，1），，（﹣2，﹣2）三点中的两点，则C的方程为 　 　 ． 20．若抛物线y2＝mx的准线与圆x2+y2﹣4x﹣5＝0相切，求抛物线的准线和标准方程． 三．根据定义求抛物线的标准方程（共6小题） 21．以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线4x﹣3y+11＝0上，则此抛物线的标准方程是（　　） A．y2＝11x B．y2＝﹣11x C．y2＝22x D．y2＝﹣22x 22．记抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，E上一点A满足，则直线FA的斜率为（　　） A．±1 B． C．±2 D． 23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则抛物线C的方程是（　　） A．y2＝3x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x 24．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．现有一束光线从抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F射出，经抛物线上一点B反射后，反射光线所在直线经过点A（5，5），若|AB|+|FB|＝7，则该抛物线的标准方程为（　　） A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝7x D．y2＝8x 25．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点P（1，t）满足|PF|＝2，则抛物线方程为（　　） A． B． C．y2＝2x D．y2＝4x 26．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为直线l，横坐标为3的点P在抛物线C上，过点P作l的垂线，垂足为Q，若|FQ|＝|PQ|，则P等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 四．抛物线的四种标准方程及其图象（共1小题） 27．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2x上，则这个等边三角形的边长为（　　） A．2 B． C．4 D． 五．抛物线的焦点与准线（共13小题） 28．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2＝2x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（　　） A． B． C． D． 29．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），点A在抛物线上，O是坐标原点，若△OFA的面积为，则∠OFA＝（　　） A． B． C． D． 30．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若|BC|＝2|BN|，则△AFM的面积为（　　） A． B．4 C． D．2 31．已知A，B分别为圆C：（x+3）2+（y﹣2）2＝4和抛物线E：y2＝4x上的点，抛物线E的焦点为F．若点P为以点A为圆心，以1为半径的圆上的动点，则|BP|+|BF|的最小值为（　　） A． B． C． D． 32．已知点M（2，4）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点M到抛物线C的焦点的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 33．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝（　　） A． B． C． D． 34．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点为O，焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则sin∠OAF＝（　　） A． B． C． D． 35．已知点A（1，2）在抛物线C：y2＝2px，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则三角形MFN的面积S△MFN＝（　　） A． B． C． D． 36．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F的直线交C于A，B两点，交C的准线于P，且3，|AF|＝3，则C的方程为（　　） A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝6x 37．已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，若线，则（　　） A．p＝2 B．|PF|＝2 C．准线为 D． 38．已知抛物线C的方程为为其焦点，点N坐标为（0，﹣4），过点F作直线交抛物线C于A，B两点，D是x轴上一点，且满足|DA|＝|DB|＝|DN|，则直线AB的斜率为（　　） A． B． C． D． 39．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点M，N为C上一点，且tan∠NFM＝﹣2，则tan∠NMF＝（　　） A． B． C． D． 40．已知O为坐标原点，l是抛物线C：y2＝4x的准线，M是l与x轴的交点，若A是C上的一点，则∠AMO的最大值为 　 　 ． 六．求抛物线的准线方程（共1小题） 41．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，第一象限的点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，且|PF|＝|QF|+3，|PQ|＝3．若x1+x2＝6，则抛物线C的准线方程为（　　） A． B．y＝﹣3 C．y＝﹣1 D．y＝﹣2$ 七．直线与抛物线的位置关系及公共点的个数（共2小题） 42．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上有一点M，过点M的直线交抛物线的准线于点N，若MF⊥NF，|MF|＝2|NF|＝5，则p＝（　　） A． B． C．1 D．2 43．已知动圆G过定点F（4，0），且在y轴上截得的弦长为8，圆心G的轨迹为曲线M，若过点F（4，0）的直线与曲线M交于A、B两点．则 　 　 ． 八．由直线与抛物线位置关系及公共点个数求解方程或参数（共3小题） 44．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线l的距离为2，第一象限的点A在抛物线C上，过点A作l的垂线，垂足为点B，若，且点（0，﹣3）在直线AD上，则直线AD的倾斜角为（　　） A．30° B．40° C．60° D．75° 45．已知抛物线C：x2＝2y，圆M：，过y轴上一点A作直线l分别与C和M相切于B，D两点，其中B点坐标为，则|AD|＝ 　 　 ． 46．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且经过点M（1，﹣2）． （1）求抛物线C的标准方程、焦点F坐标及准线方程； （2）抛物线C上一点N，若|NF|＝6，求N点的坐标； （3）直线l：x＝my+1与抛物线C交于A、B两点，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4，求m值． 九．抛物线的切线方程及性质（共4小题） 47．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C在第一象限部分上一点，若|AF|＝4，则抛物线C在点A处的切线方程为（　　） A． B．2x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y﹣1＝0 D． （多选）48．已知点R（x0，2）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过C的焦点F的直线与C相交于A，B两点，C在A，B两点处的切线相交于点P，AB的中点是Q，若|RF|＝3，则（　　） A． B．C的准线方程是y＝﹣1 C．点Q在抛物线上 D．点P在C的准线上 （多选）49．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，设AB的中点为M，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，则（　　） A．点P必在抛物线的准线上 B． C．△PAB面积的最小值为p2 D．过M作直线PF的平行线交y轴于点N，则|AB|＝2|MN| 50．已知F为抛物线C：x2＝﹣8y的焦点，过直线l：y＝4上的动点M作抛物线的切线，切点分别是P，Q，则直线PQ过定点 　 　 ． 十．抛物线的弦及弦长（共2小题） 51．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝（　　） A．2 B． C．1 D． 52．已知抛物线E：y2＝8x的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和E分别交于A，B两点，且∠AFB＝60°，则|AB|＝（　　） A． B． C．12 D．8 十一．抛物线的中点弦（共3小题） 53．斜率为1的直线与双曲线交于A，B两点，若线段AB的中点为（3，1），则a＝（　　） A． B． C． D． 54．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为y＝﹣2，点P，Q在抛物线C上，且线段PQ的中点为（﹣2，4），则直线PQ的方程为（　　） A．x+2y﹣6＝0 B．x+3y﹣10＝0 C．2x+y＝0 D．2x+3y﹣8＝0 55．已知抛物线Γ：y2＝2x，直线l与Γ交于A，B两点，M（2，1）为弦AB的中点，则直线l的斜率为 　 　 ． 十二．抛物线与平面向量（共5小题） 56．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与C交于M，N两点，若，则点M的横坐标为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 57．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若，若直线l的斜率为k，则k＝ （　　） A．2 B．﹣2 C．2或 D． （多选）58．已知O为坐标原点，抛物线M：y2＝2px（p＞0），抛物线N：y2＝2qx（q＞0），p≠q，点A，B分别在M，N上（异于点O），M，N的焦点分别为F1，F2，若，则（　　） A．λ≠1 B．当λ＝2时，p＝2q C．△ABF1与△ABF2的面积之比为q：p D．△OAF2的面积与△OBF1的面积相等 59．已知点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），且3（其中O为坐标原点），点P在抛物线的准线上，动点H满足：（λ＞0），0，则|PH|•|PF|的最小值为　 　 ． 60．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且抛物线C经过点，直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若直线l过定点（4，0），求△AOB面积的取值范围； （3）若，求直线l的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【抛物线方程及其几何性质】 总览 题型梳理 一．抛物线的定义（共18小题） 二．抛物线的标准方程（共2小题） 三．根据定义求抛物线的标准方程（共6小题） 四．抛物线的四种标准方程及其图象（共1小题） 五．抛物线的焦点与准线（共13小题） 六．求抛物线的准线方程（共1小题） 七．直线与抛物线的位置关系及公共点的个数（共2小题） 八．由直线与抛物线位置关系及公共点个数求解方程或参数（共3小题） 九．抛物线的切线方程及性质（共4小题） 十．抛物线的弦及弦长（共2小题） 十一．抛物线的中点弦（共3小题） 十二．抛物线与平面向量（共5小题） 【知识点清单】 1．点到直线的距离公式 【知识点的认识】 ﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为： 2．抛物线的定义 【知识点的认识】 抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象． 标准方程 ①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线； ②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线． 性质 我们以y2＝2px（p＞0）为例： ①焦点为（，0）；②准线方程为：x；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等． 3．抛物线的标准方程 【知识点的认识】 抛物线的标准方程的四种种形式： （1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负） （2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负） 四种形式相同点：形状、大小相同； 四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 下面以两种形式做简单的介绍： 标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上 图形 顶点 （0，0） （0，0） 对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上 焦点 （，0） （0，） 焦距 无 无 离心率 e＝1 e＝1 准线 x y 4．直线与抛物线的综合 【知识点的认识】 直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则： 直线与抛物线相交⇔Δ＞0； 直线与抛物线相切⇔Δ＝0； 直线与抛物线相离⇔Δ＜0； 【解题方法点拨】 研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解，同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用． 直线y＝kx+b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组的解的个数． （1）若k≠0，则当Δ＞0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点． （2）若k＝0，则直线y＝b与y2＝2px（p＞0）相交，有一个公共点；特别地，当直线的斜率不存在时，设x＝m，则当m＞0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，直线l与抛物线相切，有一个公共点；当m＜0时，直线与抛物线相离，无公共点． 【命题方向】 掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力．对相对固定的题型，比如弦长问题、面积问题等，要以课本为例，理解通性通法，熟练步骤．对抛物线与直线的综合研究，涉及到定点、定值等相关结论，往往是高考考试的热点． 5．直线与抛物线的位置关系及公共点的个数 【知识点的认识】 直线与抛物线的位置关系可以是相交、切线或不相交．公共点的个数通过解直线与抛物线方程组确定． 【解题方法点拨】 1．代入直线方程：将直线方程代入抛物线方程． 2．分析解的个数：根据二次方程的判别式确定交点个数（0、1、2）． 6．抛物线的切线方程及性质 【知识点的认识】 抛物线的切线方程可以通过点斜式或标准方程表示．对于y2＝2px，切线方程为；对于x2＝2py，切线方程为． 【解题方法点拨】 1．计算切线方程：根据给定点或斜率求解切线方程． 2．分析切线性质：使用标准方程验证切线的性质． 【命题方向】 ﹣给定切点或斜率，求抛物线的切线方程． ﹣分析切线的性质及其在抛物线上的几何位置． 7．抛物线的弦及弦长 【知识点的认识】 弦是连接抛物线上的两点的线段．弦长可以通过弦中点和焦点的距离计算． 【解题方法点拨】 1．计算弦长：利用弦中点和焦点距离计算弦长． 2．使用公式：应用相关公式计算弦的长度． 8．抛物线的焦点弦及焦半径 【知识点的认识】 焦点弦是通过焦点且与抛物线的两条切线相交的弦．焦半径是从焦点到弦上任意一点的距离． 【解题方法点拨】 1．计算焦点弦：使用焦点和弦的方程计算焦点弦的长度． 2．计算焦半径：计算焦点到弦上点的距离． 9．抛物线的中点弦 【知识点的认识】 中点弦是指通过某点P与抛物线相交的弦，弦的中点为P． 【解题方法点拨】 1．计算中点弦长度：根据标准方程计算中点弦的长度． 2．应用公式：利用抛物线的标准方程确定长度． 10．抛物线与平面向量 【知识点的认识】 平面向量用于表示抛物线的长轴、短轴及焦点等几何特征． 【解题方法点拨】 1．利用向量表示：使用向量表示抛物线的参数和方程． 2．计算向量关系：求解与抛物线相关的向量问题． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．抛物线的定义（共18小题） 1．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为﹣2，则|PF|＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】抛物线的定义；抛物线的焦点弦及焦半径．版权所有 【分析】由抛物线y2＝4x，求出焦点F（1，0），再结合题意求出直线AF的方程为：y＝﹣2x+2，在求出点A（﹣1，4）及点P（4，4），从而可求解． 【解答】解：由题意抛物线y2＝4x，则焦点F（1，0），准线l：x＝﹣1， 又因为直线AF的斜率为﹣2，则直线AF的方程为：y﹣0＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+2， 因xA＝﹣1，代入方程可得点A坐标为（﹣1，4）， 又PA⊥l，所以yp＝4，即得点P（4，4）， 则|PF|＝|PA|＝4+1＝5． 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线的方程及性质，是中档题． 2．已知点P是抛物线C：y2＝4x上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x﹣y+3＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（　　） A． B． C． D． 【考点】抛物线的定义．版权所有 【分析】由抛物线的定义可知d1＝|PF|，过点F作FE⊥m，交直线m于点E，当P在线段EF上时，d1+d2取得最小值． 【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1， 过点F作FE⊥m，交直线m于点E， 点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x﹣y+3＝0的距离为d2， 由抛物线的定义可知，d1＝|PF|，所以当P在线段EF上时， d1+d2取得最小值， ． 故选：B． 【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于中档题． 3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在C上，若P到直线x＝﹣3的距离为5，则|PF|＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】抛物线的定义．版权所有 【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等即可得到结果． 【解答】解：已知抛物线C：y2＝4x， 则C的准线为x＝﹣1， 因为P到直线x＝﹣3的距离为5， 所以P到直线x＝﹣1的距离为3， 即|PF|＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线的性质，属基础题． 4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，|AB|＝10，AB的中点横坐标为4，则p＝（　　） A．2 B． C．4 D． 【考点】抛物线的定义．版权所有 【分析】根据抛物线定义有|AB|＝x1+x2+p，结合已知即可求参数p的值． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 而AB的中点横坐标为4，即x1+x2＝8， 由抛物线定义知：|AB|＝x1+x2+p＝10， 所以8+p＝10，即p＝2． 故选：A． 【点评】本题主要考查抛物线的性质应用，考查计算能力，属于基础题． 5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M是y轴上一点，线段MF的延长线交C于点N，若|MF|＝|FN|＝3，则p＝（　　） A．2 B． C． D．4 【考点】抛物线的定义．版权所有 【分析】作ND⊥l于D点，交y轴于A点，分析|AN|，|OF|之间的关系，结合抛物线定义即可求解． 【解答】解：记抛物线的准线为， 如图，作ND⊥l于D点，交y轴于A点，则OF∥AN， 因为|MF|＝|FN|＝3，所以F为MN的中点， 所以由中位线的定理可知，， ，解得p＝2． 故选：A． 【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题． 6．已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，若|BF|＝8，则|AF|＝（　　） A． B．2 C． D．3 【考点】抛物线的定义．版权所有 【分析】由抛物线的性质，结合了抛物线的定义求解． 【解答】解：已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l，l与C的一个交点A位于第四象限，且l与C的准线交于点B，且|BF|＝8， 如图，过点A作准线的垂线，垂足为D， 则|AD|＝|AF|，， 所以， 设|AD|＝|AF|＝m， 则|AB|＝3m， 所以|BF|＝m+3m＝8， 解得|AF|＝m＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题． 7．抛物线的焦点坐标为（　　） A． B．（a，0） C． D．（0，a） 【考点】抛物线的定义．版权所有 【分析】抛物线化为标准形式，即可求解． 【解答】解：抛物线可化为：y2＝4ax，它的焦点坐标是（a，0） 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的定义，是基础题． 8．动点P（x，y）到点F（3，0）的距离比它到直线x+2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是（　　） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 【考点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；双曲线的几何特征．版权所有 【分析】根据题意，得到点P到点（3，0）的距离等于它到直线x＝﹣3的距离，由抛物线的定义可得P的轨迹是以（3，0）为焦点、x＝﹣3为准线的抛物线，由抛物线的标准方程与基本概念，即可算出点P的轨迹方程． 【解答】解：∵动点P到点（3，0）的距离比它到直线x＝﹣2的距离大1， ∴将直线x＝﹣2向左平移1个单位，得到直线x＝﹣3， 可得点P到点（3，0）的距离等于它到直线x＝﹣3的距离． 因此点P的轨迹是以（3，0）为焦点、x＝﹣3为准线的抛物线， 设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），可得 3，得2p＝12， ∴抛物线的方程为y2＝12x，即为点P的轨迹方程． 故选：D． 【点评】本题给出满足条件的动点P，求点P的轨迹方程．着重考查了抛物线的定义与标准方程、动点轨迹方程的求法等知识，属于基础题． 9．设圆C与圆x2+（y﹣3）2＝1外切，与直线y＝﹣2相切，则圆C的圆心的轨迹为（　　） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 【考点】抛物线的定义；轨迹方程．版权所有 【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹． 【解答】解：设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，圆x2+（y﹣3）2＝1的圆心为A， ∵圆C与圆x2+（y﹣3）2＝1外切，与直线y＝﹣2相切， ∴|CA|＝r+1，C到直线y＝﹣2的距离d＝r， ∴|CA|＝d+1，即动点C到定点A的距离等于到定直线y＝﹣3的距离， 由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线． 故选：A． 【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的推理能力，属于中档题． 10．点M到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为（　　） A．y2＝16x B．y2＝﹣16x C．y2＝24x D．y2＝﹣24x 【考点】抛物线的定义．版权所有 【分析】由题意得，点M到直线x＝4的距离和它到点（﹣4，0）的距离相等，故点M的轨迹是以点（﹣4，0）为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线． 【解答】解：∵点M到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0的距离小2， ∴点M到直线x＝4的距离和它到点（﹣4，0）的距离相等． 根据抛物线的定义可得点M的轨迹是以点（﹣4，0）为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线． 可设抛物线的方程为y2＝﹣2px（p＞0）， 由4得p＝8，所以其方程为y2＝﹣16x． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用．判断点M到直线x＝4的距离和它到点（﹣4，0）的距离相等是解题的关键． （多选）11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P（x0，y0）在C上，则（　　） A．抛物线C的准线方程为x＝2 B．F的坐标为（1，0） C．若y0＝2，则|PF|＝2 D．|PF|≥2 【考点】抛物线的定义；求抛物线的准线方程．版权所有 【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义、性质，即可求解． 【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F， 则2p＝4，解得p＝2， 则抛物线C的准线方程为x＝﹣1，F的坐标为（1，0），故A错误，B正确； 若y0＝2， 则x0＝1， 故|PF|，故C正确，D错误． 故选：BC． 【点评】本题主要考查抛物线的应用，属于基础题． （多选）12．已知点P在抛物线y2＝12x上运动，F为抛物线的焦点，点M（4，1），则|PM|+|PF|的值可能是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【考点】抛物线的定义；抛物线上的点到准线及其平行线的距离．版权所有 【分析】根据给定条件，作出几何图形，利用抛物线定义求出|PM|+|PF|的最小值即可． 【解答】解：抛物线y2＝12x的焦点F（3，0），准线l：x＝﹣3， 因为点P在抛物线y2＝12x上运动， 如图，过点P作PA⊥l于A，过点M作MB⊥l于B，连接PM，PF， 由抛物线的定义知|PF|＝|PA|，则|PM|+|PF|＝|PM|+|PA|≥|MB|，当且仅当点P在MB上时取等号， 又|MB|＝4+3＝7，所以|PM|+|PF|的最小值为7． 故选：ABC． 【点评】本题主要考查抛物线的性质应用，考查计算能力，属于中档题． （多选）13．平面内到定点F（0，1）和到定直线l：y＝﹣1的距离相等的动点的轨迹为曲线C．则（　　） A．曲线C的方程为x2＝4y B．曲线C关于x轴对称 C．当点P（x，y）在曲线C上时，y≥0 D．当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d≥2 【考点】抛物线的定义．版权所有 【分析】根据抛物线的定义可判断曲线C为抛物线，求出其方程，结合抛物线的性质一一判断各选项，可得答案． 【解答】解：由抛物线定义，知曲线C是以F（0，1）为焦点，直线l：y＝﹣1为准线的抛物线， 则焦准距p＝2，故其方程为x2＝4y，故A正确； 抛物线x2＝4y关于y轴对称，不关于x轴对称，故B错误； 由x2＝4y知y≥0，故C正确； 当点P在曲线C上时，由于抛物线x2＝4y开口向上， 当点P位于原点时，到直线l的距离最小为1， 故点P到直线l的距离d≥1，所以D错误． 故选：AC． 【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题． 14．已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，点P在C上，直线l′：4x﹣3y+11＝0，点P到直线l′的距离与到直线l的距离之和的最小值是 　3　 ． 【考点】抛物线的定义；点到直线的距离公式．版权所有 【分析】将问题转化为抛物线的焦点到直线的距离，即可求解． 【解答】解：如图， 因为抛物线C：y2＝4x，所以抛物线的焦点为F（1，0）， 由抛物线的定义知，点P到点F的距离等于点P到直线l的距离， 因此点P到直线l′的距离与到直线l的距离之和的最小值， 为点F到直线l′的距离，即． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查抛物线的定义以及与抛物线有关的最值问题，属于中档题． 15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M在C上，且点M到y轴的距离为4，则|MF|＝ 　5　 ． 【考点】抛物线的定义．版权所有 【分析】利用抛物线的定义可求得|MF|的值． 【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1， 由题可得：点M到准线x＝﹣1的距离为5， 由抛物线定义可得|MF|＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题． 16．点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是　y2＝16x　 ． 【考点】抛物线的定义；轨迹方程．版权所有 【分析】题意转化为点M与点F（4，0）的距离与它到直线l：x+4＝0的距离相等， 满足抛物线的定义，求解即可． 【解答】解：依题意可知：点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1， 转化为点M与点F（4，0）的距离与它到直线l：x+4＝0的距离相等， 满足抛物线的定义，所以P＝8，点M的轨迹方程是y2＝16x 故答案为：y2＝16x 【点评】本题考查抛物线的定义，轨迹方程的求法，是基础题． 17．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M在C上，且，则M到y轴的距离为 　　 ． 【考点】抛物线的定义．版权所有 【分析】根据抛物线的定义，先求出抛物线的准线方程，再结合抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，进而求出点M到y轴的距离． 【解答】解：在抛物线C：y2＝4x中，可得p＝2，所以准线方程为． 设点M的坐标为（x0，y0），由题：，即点M到焦点F的距离为，那么点M到准线x＝﹣1的距离也为． 点M到准线x＝﹣1的距离为x0﹣（﹣1）＝x0+1，所以． 解方程，可得． 所以点M到y轴的距离为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查抛物线的性质应用，考查计算能力，属于中档题． 18．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若|AB|＝12，那么x1+x2＝　10　 ． 【考点】抛物线的定义．版权所有 【分析】由过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，得|AB|＝x1+x2+2＝12，由此易得答案． 【解答】解：由题意，p＝2，故抛物线的准线方程是x＝﹣1， ∵过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点， ∴|AB|＝x1+x2+2＝12，解得x1+x2＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度． 二．抛物线的标准方程（共2小题） 19．已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，若C恰过（﹣2，1），，（﹣2，﹣2）三点中的两点，则C的方程为 　x2＝4y　 ． 【考点】抛物线的标准方程．版权所有 【分析】根据题意，得到抛物线C经过（﹣2，1）与两点，设抛物线C的方程为x2＝2py（p＞0），联立方程组，求得p＝2，即可得到C的方程． 【解答】解：因为点（﹣2，1）和（﹣2，﹣2）不关于坐标轴对称，所以抛物线不可能过（﹣2，1）和（﹣2，﹣2）两点， 因为在第一象限，（﹣2，﹣2）在第三象限， 即抛物线C不可能同时过和（﹣2，﹣2）两点， 所以抛物线C经过（﹣2，1）与两点， 设抛物线C的方程为x2＝2py（p＞0），则，解得p＝2， 则C的方程为x2＝4y． 故答案为：x2＝4y． 【点评】本题主要考查抛物线方程的求解，考查计算能力，属于中档题． 20．若抛物线y2＝mx的准线与圆x2+y2﹣4x﹣5＝0相切，求抛物线的准线和标准方程． 【考点】抛物线的标准方程．版权所有 【分析】化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，画出图形，由图可得抛物线的准线方程，然后对m分类求解抛物线的标准方程． 【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣5＝0化为标准方程，得（x﹣2）2+y2＝9， ∴圆心为C（0，2），半径r＝3， 如图， 由图可知，当m＞0时，抛物线的准线方程为x＝﹣1，当m＜0时，抛物线的准线方程为x＝5． 当m＞0时，由y2＝mx，得2p＝m，则，由，得m＝4， ∴抛物线的标准方程为y2＝4x； 当m＜0时，由y2＝mx＝﹣（﹣m）x，得2p＝﹣m，则，由，得m＝﹣20， ∴抛物线的标准方程为y2＝﹣20x． 【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，体现了分类讨论的思想方法，是中档题． 三．根据定义求抛物线的标准方程（共6小题） 21．以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线4x﹣3y+11＝0上，则此抛物线的标准方程是（　　） A．y2＝11x B．y2＝﹣11x C．y2＝22x D．y2＝﹣22x 【考点】根据定义求抛物线的标准方程．版权所有 【分析】求出焦点坐标，再由焦点坐标求出抛物线的方程即可． 【解答】解：∵4x﹣3y+11＝0，y＝0， ∴x， ∴抛物线的焦点为（，0）， 设抛物线的方程为：y2＝2px，则，即， ∴抛物线的标准方程是y2＝﹣11x． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的标准方程，是基础题． 22．记抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，E上一点A满足，则直线FA的斜率为（　　） A．±1 B． C．±2 D． 【考点】根据定义求抛物线的标准方程．版权所有 【分析】结合抛物线的定义，可求点A的横坐标，进而确定A点纵坐标，再根据斜率公式求直线FA的斜率． 【解答】解：记抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，E上一点A满足， 设A（xA，yA），由抛物线的定义可得，解得xA＝p， 代入E的方程可得，故直线FA的斜率为． 故选：D． 【点评】本题考查抛物线相关知识，属于中档题． 23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则抛物线C的方程是（　　） A．y2＝3x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x 【考点】根据定义求抛物线的标准方程．版权所有 【分析】利用点差法可求出p，可得抛物线的标准方程． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，， 所以2p（x1﹣x2），所以， 因为线段AB中点的纵坐标为3，直线l斜率为1，所以6＝2p，所以抛物线C的方程是y2＝6x． 故选：C． 【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，属于中档题． 24．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．现有一束光线从抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F射出，经抛物线上一点B反射后，反射光线所在直线经过点A（5，5），若|AB|+|FB|＝7，则该抛物线的标准方程为（　　） A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝7x D．y2＝8x 【考点】根据定义求抛物线的标准方程．版权所有 【分析】根据抛物线的定义求出p即可得解． 【解答】解：抛物线有光学性质，从焦点出发的光经抛物线反射后沿平行于抛物线的对称轴方向射出， 可得AB与x轴平行， 所以由抛物线定义可知， 解得p＝4， 所以抛物线的标准方程为y2＝8x． 故选：D． 【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，正确运用抛物线的光学性质是关键． 25．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点P（1，t）满足|PF|＝2，则抛物线方程为（　　） A． B． C．y2＝2x D．y2＝4x 【考点】根据定义求抛物线的标准方程．版权所有 【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解． 【解答】解：已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点P（1，t）满足|PF|＝2， 则， 则p＝2， 则抛物线方程为y2＝4x． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题． 26．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为直线l，横坐标为3的点P在抛物线C上，过点P作l的垂线，垂足为Q，若|FQ|＝|PQ|，则P等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】根据定义求抛物线的标准方程．版权所有 【分析】利用抛物线的方程和|FQ|＝|PQ|可求答案． 【解答】解：不妨设点P在第一象限，因为点P的横坐标为3， 所以，， ， 因为|FQ|＝|PQ|，所以， 解得p＝2或p＝﹣6（舍）． 故选：B． 【点评】本题主要考查抛物线的性质应用，属于基础题． 四．抛物线的四种标准方程及其图象（共1小题） 27．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2x上，则这个等边三角形的边长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【考点】抛物线的四种标准方程及其图象；抛物线的定义．版权所有 【分析】由题意，设该等边三角形为△OAB，结合抛物线的性质，设顶点B、C的坐标分别（，m）和（，﹣m），由此可得tan30°，解可得m的值，又由等边三角形的边长为2m可得答案． 【解答】解：由题意，设该等边三角形为△OAB，依据抛物线的对称性，易得A、B关于x轴对称， 设顶点B、C的坐标分别（，m）和（，﹣m）， 则有tan30°，解可得m＝2， 故这个等边三角形的边长为2m＝4． 故选：D． 【点评】本题考查抛物线的性质应用以及计算能力，涉及抛物线的标准方程，属于基础题 五．抛物线的焦点与准线（共13小题） 28．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2＝2x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（　　） A． B． C． D． 【考点】抛物线的焦点与准线；抛物线的定义．版权所有 【分析】假设边长，然后利用抛物线定义计算即可． 【解答】解：抛物线y2＝2x； 则焦点，准线方程为， 假设等边三角形的边长为a， 所以1﹣acos30°＝a或acos30°+1＝a， 则． 故选：D． 【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题． 29．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），点A在抛物线上，O是坐标原点，若△OFA的面积为，则∠OFA＝（　　） A． B． C． D． 【考点】抛物线的焦点与准线．版权所有 【分析】根据焦点坐标得到抛物线的方程，设A（x0，y0），根据三角形面积得到方程，求出，x0＝3，作出辅助线，由焦半径公式得到|AF|＝4，由三角函数得到，从而得到答案． 【解答】解：由F（1，0），得，即p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x． 设A（x0，y0），则△OFA的面积为，得， 代入y2＝4x，得x0＝3， 过点A作AB⊥x轴于点B，则，|AF|＝x0+1＝4． 在Rt△AFB中，有，则， 则． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题． 30．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若|BC|＝2|BN|，则△AFM的面积为（　　） A． B．4 C． D．2 【考点】抛物线的焦点与准线．版权所有 【分析】由题意画出图形，利用抛物线的定义及相似三角形对应边成比例求得|AM|与F到AM的距离，代入三角形面积公式求解． 【解答】解：由题意可知，p＝2，则F（1，0），抛物线的准线方程为x＝﹣1， ∵A，B是焦点弦的两个端点，∴|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|， 又|BC|＝2|BN|，∴|BC|＝2|BF|，可得， 则|BN|＝|BF|，|BC|，可得|CF|＝4， ∵，∴， 得|AM|＝4，则|AF|＝4，可得F到AM的距离为， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题． 31．已知A，B分别为圆C：（x+3）2+（y﹣2）2＝4和抛物线E：y2＝4x上的点，抛物线E的焦点为F．若点P为以点A为圆心，以1为半径的圆上的动点，则|BP|+|BF|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】抛物线的焦点与准线；圆与圆锥曲线的综合．版权所有 【分析】由题意画出图形，根据三角形的三边关系求解． 【解答】解：由圆C：（x+3）2+（y﹣2）2＝4，得C（﹣3，2），圆C的半径rC＝2， 由抛物线E：y2＝4x，得F（1，0），已知圆A的半径rA＝1． 如图， 因为|BP|≥|BA|﹣rA≥|BC|﹣rC﹣rA＝|BC|﹣3，当且仅当点A在线段BC上，点P在线段AB上时，等号成立， 所以， 当且仅当点A，B，C，F，P共线，且从左到右依次为点C，A，P，B，F时两等号同时成立． 故选：C． 【点评】本题考查圆与圆锥曲线位置关系的应用，考查数形结合思想，是中档题． 32．已知点M（2，4）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点M到抛物线C的焦点的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】抛物线的焦点与准线．版权所有 【分析】由题意可知：点的坐标代入抛物线方程，求出p＝4，求得焦点F（2，0），利用抛物线的定义，即可求点M到抛物线C焦点的距离． 【解答】解：由点M（2，4）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，可得16＝4p，p＝4， 抛物线C：y2＝8x，焦点坐标F（2，0），准线方程为x＝﹣2， 点M到抛物线C的准线方程的距离为4， 则点M到抛物线C焦点的距离是：4， 故选：A． 【点评】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线的两点式方程，考查计算能力，属于基础题． 33．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝（　　） A． B． C． D． 【考点】抛物线的焦点与准线．版权所有 【分析】求解PF的倾斜角为120°，通过求解三角形推出结果即可． 【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，可知PF的倾斜角为120°， ，从而，所以|PQ|． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，是基础题． 34．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点为O，焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则sin∠OAF＝（　　） A． B． C． D． 【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合．版权所有 【分析】由抛物线的性质及定义，结合正弦定理求解即可． 【解答】解：已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点为O，焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点， 由抛物线的性质可得：， 又|AF|＝2|BF|， 则， 则， 显然A在第一象限， 则， 则， 即， 在△AOF中，由正弦定理可得：， 即sin∠OAF． 故选：B． 【点评】本题考查了抛物线的性质及定义，重点考查了正弦定理，属中档题． 35．已知点A（1，2）在抛物线C：y2＝2px，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则三角形MFN的面积S△MFN＝（　　） A． B． C． D． 【考点】抛物线的焦点与准线．版权所有 【分析】将A（1，2）代入抛物线C：y2＝2px得4＝2p，解得p＝2，所以抛物线C的方差为：y2＝4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用三角形MFN的面积S△MFN|MN|•[1﹣（﹣1）]＝|y1﹣y2|可得． 【解答】解：将A（1，2）代入抛物线C：y2＝2px得4＝2p，解得p＝2，所以抛物线C的方差为：y2＝4x．焦点F（1，0），准线方程为：x＝﹣1， 直线AB的方程为：y（x﹣1）代入抛物线C：y2＝4x消去x得：y2y﹣4＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，y1y2＝﹣4， ∴|MN|＝|y1﹣y2|， ∴三角形MFN的面积S△MFN|MN|•[1﹣（﹣1）]． 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题． 36．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F的直线交C于A，B两点，交C的准线于P，且3，|AF|＝3，则C的方程为（　　） A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝6x 【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合．版权所有 【分析】作出图形，过B作BQ垂直准线于点Q，设直线AB的倾斜角为θ，则根据题意易得cosθ＝cos∠PBQ，再根据抛物线的倾斜角的焦半径公式，即可求解． 【解答】解：如图，过B作BQ垂直准线于点Q，设直线AB的倾斜角为θ， 则由3，|PB|＝3|BF|＝3|BQ|， ∴cosθ＝cos∠PBQ， 又|AF|＝p+|AF|cosθ， ∴|AF|3，解得p＝2， ∴抛物线C的方程为y2＝4x． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题． 37．已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，若线，则（　　） A．p＝2 B．|PF|＝2 C．准线为 D． 【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合．版权所有 【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解． 【解答】解：因为抛物线C：y＝4x2，即，所以，准线方程为，p，故A错误，C错误； 设P（m，n），则n＝4m2， 由题意得，且 n≥0， 故，则（舍）或n＝1， ，故B错误，D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题． 38．已知抛物线C的方程为为其焦点，点N坐标为（0，﹣4），过点F作直线交抛物线C于A，B两点，D是x轴上一点，且满足|DA|＝|DB|＝|DN|，则直线AB的斜率为（　　） A． B． C． D． 【考点】抛物线的焦点与准线．版权所有 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），D（a，0），设直线AB方程为：y＝kx+1，联立直线与抛物线方程，可得x1x2＝﹣4，又A，B在以N为圆心，为半径的圆上，从而再联立直线y＝kx+1与圆N的方程，根据根与系数的关系，建立方程，即可求解． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），D（a，0）， 设直线AB方程为：y＝kx+1，联立直线与抛物线方程，可得： x2﹣4kx﹣4＝0，∴x1x2＝﹣4， 又， 故A，B在以D为圆心，为半径的圆上， ∴A（x1，y1），B（x2，y2）是方程x2+y2﹣2ax﹣16＝0的解． 将y＝kx+1代入该方程，得（1+k2）x2+（2k﹣2a）x﹣15＝0． ∴．∴，即． 故选：B． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，方程思想，属中档题． 39．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点M，N为C上一点，且tan∠NFM＝﹣2，则tan∠NMF＝（　　） A． B． C． D． 【考点】抛物线的焦点与准线．版权所有 【分析】求出N的坐标，然后求解tan∠NMF即可． 【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点M，N为C上一点，且tan∠NFM＝﹣2， 不妨设N在第一象限，可得tan∠NFx＝2， 设|BF|＝s，|NB|＝t，2，t＝2s，则N（s，2），代入抛物线方程可得8s2＝2p（s），解得s， 所以N（p，p）， tan∠NMF． 故选：A． 【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，考查转化能力，属于中档题． 40．已知O为坐标原点，l是抛物线C：y2＝4x的准线，M是l与x轴的交点，若A是C上的一点，则∠AMO的最大值为 　　 ． 【考点】抛物线的焦点与准线．版权所有 【分析】首先确定能够使得∠AMO取得最大值的直线MA的位置，然后根据抛物线的性质求出最大值． 【解答】解：由抛物线C：y2＝4x，可得准线方程为x1， 故M（﹣1，0）， 结合图象可得：当直线MA与C相切时，∠AMO取得最大值， 设此时直线MA的方程为x＝my﹣1， 联立，得y2﹣4my+4＝0，Δ＝16m2﹣16＝0， 解得m＝±1，即MA的斜率为，倾斜角为或， 所以∠AMO的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查抛物线的性质应用，考查计算能力，属于中档题． 六．求抛物线的准线方程（共1小题） 41．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，第一象限的点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，且|PF|＝|QF|+3，|PQ|＝3．若x1+x2＝6，则抛物线C的准线方程为（　　） A． B．y＝﹣3 C．y＝﹣1 D．y＝﹣2$ 【考点】求抛物线的准线方程．版权所有 【分析】利用已知条件，联立方程组，综合求解p得到准线方程． 【解答】解：依题意．，即y1＝y2+3，则①． ，则②． x1+x2＝6③．联立②③，解得，，代入①中，解得p＝3， 故所求准线方程为． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题． 七．直线与抛物线的位置关系及公共点的个数（共2小题） 42．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上有一点M，过点M的直线交抛物线的准线于点N，若MF⊥NF，|MF|＝2|NF|＝5，则p＝（　　） A． B． C．1 D．2 【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．版权所有 【分析】利用抛物线的性质得到|MM1|＝|MF|＝5，进一步证明Rt△MNF≌Rt△MNM1，利用勾股定理求出，解三角形求出，再利用倍角公式求出，进一步求出|MF|cos∠MFx＝3，再建立p的等式即可求解． 【解答】解：因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上有一点M，过点M的直线交抛物线的准线于点N， 过M作MM1⊥l于M1， 由抛物线的定义知|MM1|＝|MF|＝5， 因为MF⊥NF， 所以Rt△MNF≌Rt△MNM1， 设∠FMN＝α， 此时∠M1MN＝α， 因为|MF|＝2|NF|＝5， 所以， 所以， 因为MM1∥x轴， 所以∠MFx＝∠M1MF＝2α， 可得， 则|MF|cos∠MFx＝3， 所以p+3＝|MM1|， 即p+3＝5， 解得p＝2． 故选：D． 【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 43．已知动圆G过定点F（4，0），且在y轴上截得的弦长为8，圆心G的轨迹为曲线M，若过点F（4，0）的直线与曲线M交于A、B两点．则 　﹣16　 ． 【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．版权所有 【分析】结合题意利用弦长公式求出圆心G的轨迹方程，再设直线方程为x＝ty+4，联立后表示出韦达定理，然后由向量的数量积的坐标化简即可． 【解答】解：已知动圆G过定点F（4，0），且在y轴上截得的弦长为8，且过点F（4，0）的直线与曲线M交于A、B两点， 设G（x，y）， 由圆的性质及勾股定理可得：， 化简可得y2＝8x， 由题意可得：直线AB的斜率不为零，设方程为x＝ty+4， 联立， 消去x可得y2﹣8ty﹣32＝0，Δ＝64t2+128＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1+y2＝8t，y1y2＝﹣32， 所以． 故答案为：﹣16． 【点评】本题考查了勾股定理，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题． 八．由直线与抛物线位置关系及公共点个数求解方程或参数（共3小题） 44．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线l的距离为2，第一象限的点A在抛物线C上，过点A作l的垂线，垂足为点B，若，且点（0，﹣3）在直线AD上，则直线AD的倾斜角为（　　） A．30° B．40° C．60° D．75° 【考点】由直线与抛物线位置关系及公共点个数求解方程或参数．版权所有 【分析】由抛物线C：x2＝2py（p＞0）中p的几何意义知p＝2，得到焦点F，设A（2t，t2）（t＞0），由题意得点B、D坐标，再根据点（0，﹣3）在直线AD上，由斜率公式求出t，得到直线AD的斜率，进而得倾斜角． 【解答】解：因为焦点F到准线l的距离为2， 所以p＝2，则F（0，1）， 设A（2t，t2）（t＞0），则B（2t，﹣1）， 因为，即（2t，﹣2）＝2（xD，yD﹣1）， 故D（t，0），又点（0，﹣3）在直线AD上， 所以，解得：，， 故直线AD的倾斜角为60°． 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 45．已知抛物线C：x2＝2y，圆M：，过y轴上一点A作直线l分别与C和M相切于B，D两点，其中B点坐标为，则|AD|＝ 　　 ． 【考点】由直线与抛物线位置关系及公共点个数求解方程或参数．版权所有 【分析】由圆与抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系及勾股定理求解即可． 【解答】解：由题意可得直线AD的斜率存在，不妨设为k， 则直线AD的方程为， 联立， 消y可得：， 由题意可得：， 即， 则直线AD的方程为， 则， 又， 则|AM|＝1， 又|MD|， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系及勾股定理，属中档题． 46．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且经过点M（1，﹣2）． （1）求抛物线C的标准方程、焦点F坐标及准线方程； （2）抛物线C上一点N，若|NF|＝6，求N点的坐标； （3）直线l：x＝my+1与抛物线C交于A、B两点，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4，求m值． 【考点】由直线与抛物线位置关系及公共点个数求解方程或参数；根据抛物线上的点求抛物线的标准方程．版权所有 【分析】（1）将M（1，﹣2）代入抛物线方程可求p，由此可求抛物线方程，再求其焦点坐标和准线方程； （2）由条件结合抛物线的定义求点N的横坐标，再代入抛物线方程求其纵坐标，由此可得结论； （3）联立方程组，结合设而不求法表示△ABO的面积，列方程求m． 【解答】解：（1）因为抛物线y2＝2px经过点M（1，﹣2）， 所以4＝2p， 所以抛物线C的方程为y2＝4x， 即抛物线C的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1； （2）由N向准线x＝﹣1引垂线，垂足为N1 若|NF|＝6， 由抛物线定义可知：|NF|＝|NN1|＝6，且准线方程：x＝﹣1， 所以点N的横坐标为5，代入抛物线方程得到y2＝20， 所以， 所以点N的坐标为． （3）因为直线AB的方程为x＝my+1， 所以直线AB过点F（1，0）， 联立， 消x可得y2﹣4my﹣4＝0， 则Δ＝16m2+16＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4， 又△ABO的面积， 所以， 则， 解得， 所以m的值为或． 【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题． 九．抛物线的切线方程及性质（共4小题） 47．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C在第一象限部分上一点，若|AF|＝4，则抛物线C在点A处的切线方程为（　　） A． B．2x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y﹣1＝0 D． 【考点】抛物线的切线方程及性质．版权所有 【分析】根据已知条件求得点A的横纵坐标，进而求解结论． 【解答】解：因为抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C在第一象限部分上一点，且|AF|＝4， 所以：yA4，可得yA＝4﹣1＝3， 故xA2， 又yx2，可得y′x， 故x＝2时，k＝y′． 可得抛物线C在点A处的切线方程为：y﹣3（x﹣2），即x﹣y﹣3＝0． 故选：A． 【点评】本题主要考查抛物线的性质应用，考查切线方程的求解，考查计算能力，属于中档题． （多选）48．已知点R（x0，2）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过C的焦点F的直线与C相交于A，B两点，C在A，B两点处的切线相交于点P，AB的中点是Q，若|RF|＝3，则（　　） A． B．C的准线方程是y＝﹣1 C．点Q在抛物线上 D．点P在C的准线上 【考点】抛物线的切线方程及性质；求抛物线的准线方程．版权所有 【分析】根据焦半径公式求出p的值，即可得抛物线方程及其准线方程，从而判断选项A和B；设直线AB的方程为y＝kx+1，，（x1≠x2），将其与抛物线方程联立，结合中点坐标公式表示出Q点坐标，即可判断选项C；利用导数的几何意义表示出切线方程，联立求得P点坐标，即可判断选项D． 【解答】解：选项A，由题意知，，准线方程为， 因为|RF|＝3，所以，解得p＝2， 所以抛物线C的方程为x2＝4y， 将点R（x0，2）代入抛物线方程，有，解得，故选项A错误； 选项B，抛物线的准线方程为y＝﹣1，故选项B正确； 选项C，设直线AB的方程为y＝kx+1，，（x1≠x2）， 联立，得x2﹣4kx﹣4＝0， 则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4， 所以AB的中点Q的横坐标，纵坐标，即Q（2k，2k2+1）， 显然成立， 所以点Q在抛物线上，故选项C正确； 选项D，由，得， 所以抛物线C在A，B两点处的切线方程分别为，， 两直线方程相减得，， 解得， 所以， 即P（2k，﹣1）， 所以点P在抛物线C的准线上，故选项D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，熟练掌握抛物线的几何性质，焦半径公式，切线方程的求法等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． （多选）49．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，设AB的中点为M，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，则（　　） A．点P必在抛物线的准线上 B． C．△PAB面积的最小值为p2 D．过M作直线PF的平行线交y轴于点N，则|AB|＝2|MN| 【考点】抛物线的切线方程及性质．版权所有 【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，设出A、B坐标，求解直线方程，求解P的坐标，判断A；求解向量的数量积，判断B；求解三角形的面积的最小值，判断C；判断四边形是平行四边形，求出|PF|，判断D． 【解答】解：设与抛物线方程联立有x2﹣2pkx﹣p2＝0，设A（x1，y1）、B （x2，y2）， 有x1+x2＝2pk，1，l2的斜率分别为，有，， 解得，所以A正确； 可得，，经计算，0，所以B正确； 对C ，易知当k＝0时 S△PAE 取最小值p2，所以C正确； 对D，由于MP∥y轴，所以四边形PFNM为平行四边形，所以|MN|＝|PF|，而|PF|＜|PM|，所以D错误． 故选：ABC． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 50．已知F为抛物线C：x2＝﹣8y的焦点，过直线l：y＝4上的动点M作抛物线的切线，切点分别是P，Q，则直线PQ过定点 　（0，﹣4）　 ． 【考点】抛物线的切线方程及性质．版权所有 【分析】由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系求解． 【解答】解：已知， 则， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则切线MP的方程为， 即， 同理切线MQ的方程为， 设M（x0，4）， 则， 即直线PQ的方程为， 即直线PQ过定点（0，﹣4）． 故答案为：（0，﹣4）． 【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题． 十．抛物线的弦及弦长（共2小题） 51．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝（　　） A．2 B． C．1 D． 【考点】抛物线的弦及弦长．版权所有 【分析】联立直线与抛物线的方程，再根据抛物线的焦点弦公式求解即可． 【解答】解：易知抛物线C的焦点为（1，0）， 所以p＝2， 此时直线AB的方程为， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得3x2﹣10x+3＝0， 由韦达定理得， 则． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 52．已知抛物线E：y2＝8x的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和E分别交于A，B两点，且∠AFB＝60°，则|AB|＝（　　） A． B． C．12 D．8 【考点】抛物线的弦及弦长．版权所有 【分析】由抛物线定义结合∠AFB＝60°得到△ABF为等边三角形，进而得到∠AFO＝60°，设准线l与x轴交点为P，求出|PF|＝4，再由锐角三角函数求出|AF|，即可得解． 【解答】解：已知抛物线E：y2＝8x的焦点为F，准线为l， 则F（2，0），准线为l：x＝﹣2， 又与x轴平行的直线与l和E分别交于A，B两点，且∠AFB＝60°， 由抛物线定义可知|BF|＝|AB|， 则△ABF为等边三角形， 故|AF|＝|AB|＝|BF|，∠BAF＝60°， 所以∠AFO＝60°， 设准线l与x轴交点为P， 则|PF|＝4， 故， 所以|AB|＝8． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线的性质与定义，属中档题． 十一．抛物线的中点弦（共3小题） 53．斜率为1的直线与双曲线交于A，B两点，若线段AB的中点为（3，1），则a＝（　　） A． B． C． D． 【考点】抛物线的中点弦．版权所有 【分析】先求出直线AB的方程，再与双曲线联立，并结合韦达定理，以及中点坐标公式，即可求解． 【解答】解：由题意可知，直线AB的方程为y﹣1＝x﹣3，即x＝y+2， 联立，化简整理可得，y2（1﹣a2）+4y+4﹣a2＝0， 若线段AB的中点为（3，1）， 则，解得（负值舍去）． 故选：B． 【点评】本题主要考查抛物线的中点弦，属于基础题． 54．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为y＝﹣2，点P，Q在抛物线C上，且线段PQ的中点为（﹣2，4），则直线PQ的方程为（　　） A．x+2y﹣6＝0 B．x+3y﹣10＝0 C．2x+y＝0 D．2x+3y﹣8＝0 【考点】抛物线的中点弦．版权所有 【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为x2＝8y，再利用点差法，即可求解． 【解答】解：由抛物线C：x2＝2py的准线为y＝﹣2， 可得， 可得p＝4， 所以x2＝8y， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 可得，且x1+x2＝﹣4， 两式相减，可得， 可得， 所以直线PQ的方程为， 即x+2y﹣6＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线的几何性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题． 55．已知抛物线Γ：y2＝2x，直线l与Γ交于A，B两点，M（2，1）为弦AB的中点，则直线l的斜率为 　1　 ． 【考点】抛物线的中点弦．版权所有 【分析】利用点差法可推得（y1+y2）•kAB＝2p，结合题目条件可求得直线l的斜率． 【解答】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以， 整理得2p，即（y1+y2）•kAB＝2p， 由抛物线标准方程为y2＝2x，以及M（2，1）为弦AB的中点知，2kAB＝2，所以kAB＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查抛物线的中点弦，属于中档题． 十二．抛物线与平面向量（共5小题） 56．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与C交于M，N两点，若，则点M的横坐标为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【考点】抛物线与平面向量．版权所有 【分析】根据题意设直线l的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理得到y1y2＝﹣4，再根据得到﹣y1＝4y2，可求出，代入抛物线方程即可求解． 【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l， 设直线l：x＝my+1， 联立可得y2﹣4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则y1y2＝﹣4， ∵，即（1﹣x1，﹣y1）＝4（x2﹣1，y2）， ∴﹣y1＝4y2，即， ∴，解得，则． ∴点M的横坐标为4． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题． 57．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若，若直线l的斜率为k，则k＝ （　　） A．2 B．﹣2 C．2或 D． 【考点】抛物线与平面向量．版权所有 【分析】由条件结合抛物线的定义，解三角形求直线的斜率． 【解答】解：当A在x轴上方时，过A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A1，B1，过B作BD⊥AA1于D， 设|FB|＝r，则|AB|＝3r，|AD|＝r， 所以， 所以， 同理可得当A在x轴下方时，k的值为， 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线的定义和性质的应用，属于中档题． （多选）58．已知O为坐标原点，抛物线M：y2＝2px（p＞0），抛物线N：y2＝2qx（q＞0），p≠q，点A，B分别在M，N上（异于点O），M，N的焦点分别为F1，F2，若，则（　　） A．λ≠1 B．当λ＝2时，p＝2q C．△ABF1与△ABF2的面积之比为q：p D．△OAF2的面积与△OBF1的面积相等 【考点】抛物线与平面向量；抛物线的焦点与准线．版权所有 【分析】由题意，根据p≠q，推出A，B不可能共点，进而可判断选项A；设点A，B均在直线y＝kx上，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出A，B两点的横坐标，代入等式即可判断选项B；易知F1，F2到直线y＝kx的距离之比等同于其到原点的距离之比，结合△OAF2与△OBF1均可看作以AB为底的三角形，进而可判断选项C；根据三角形面积公式即可判断选项D． 【解答】解：因为p≠q， 所以抛物线M，N不重合， 即A，B不可能共点， 则λ≠1，故选项A正确； 因为， 设点A，B均在直线y＝kx上， 联立，消去y并整理得k2x2﹣2px＝0， 由韦达定理得， 因为直线y＝kx经过原点O（0，0）， 所以， 同理得， 此时， 当λ＝2时，p＝2q，故选项B正确； 易知F1，F2到直线y＝kx的距离之比等同于其到原点的距离之比， 因为△OAF2与△OBF1均可看作以AB为底的三角形， 所以△ABF1与△ABF2的面积之比为，故选项C错误； 因为1，故选项D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 59．已知点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），且3（其中O为坐标原点），点P在抛物线的准线上，动点H满足：（λ＞0），0，则|PH|•|PF|的最小值为　5　 ． 【考点】抛物线与平面向量．版权所有 【分析】由题意可知，直线AB的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理结合可求出p的值，可得出抛物线的方程，求出点A的坐标，设P（﹣1，h），可得出，结合平面向量数量积的坐标运算和二次函数的基本性质可求得结果． 【解答】解：因为过焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线抛物线y2＝2px（p＞0）于A、B两点， 令A（x1，y1）、B（x2，y2）， 易知点，直线AB的方程为， 联立与y2＝2px可得， 故，， 由， 即p＝2， 故抛物线方程为y2＝4x． 由题意可知，y1＞0，y2＜0， 解方程， 可得，， 所以， 所以， 设P（﹣1，h），由，则， 即， 所以，， 可得， 所以当时，|PH|•|PF|取得最小值5． 故答案为：5． 【点评】本题考查抛物线方程的应用，属于中档题． 60．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且抛物线C经过点，直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若直线l过定点（4，0），求△AOB面积的取值范围； （3）若，求直线l的方程． 【考点】抛物线与平面向量；直线与抛物线的综合．版权所有 【分析】（1）由题意，将点M的坐标代入抛物线的方程中求出p的值，进而可解； （2）设出直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、弦长公式以及三角形面积公式求解即可； （3）设出直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理和向量的坐标运算求解即可． 【解答】解：（1）因为抛物线C经过点， 所以2＝2p， 解得p＝1， 则抛物线C的标准方程为y2＝2x； （2）易知直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为x＝ty+4，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去x并整理得y2﹣2ty﹣8＝0， 此时Δ＞0， 由韦达定理得y1+y2＝2t，y1y2＝﹣8， 则△AOB的面积， 故△AOB面积的取值范围为； （3）易知抛物线的焦点， 显然直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去x并整理得y2﹣2ty﹣1＝0， 此时Δ＝4t2+1＞0， 由韦达定理得y1+y2＝2t，y1y2＝﹣1， 因为， 解得y1＝4t，y2＝﹣2t， 此时y1y2＝﹣8t2＝﹣1， 解得t＝±． 故直线l的方程或4xy﹣2＝0． 【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$