直线和圆的位置关系【10个题型】讲义-2025年暑假新高二数学常考题型归纳

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【直线和圆的位置关系】 总览 题型梳理 一．过圆上一点的圆的切线方程（共5小题） 二．过圆外一点的圆的切线方程（共7小题） 三．切线段及切点弦的长度（共7小题） 四．切点弦及所在直线的方程（共5小题） 五．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长（共8小题） 六．过圆内一点的弦及弦长的最值（共5小题） 七．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系（共5小题） 八．根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系（共4小题） 九．由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数（共5小题） 十．圆上的点到定点的距离及其最值（共5小题） 十一．圆上的点到直线的距离及其最值（共4小题） 【知识点清单】 1．圆的切线方程 【知识点的认识】 圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线． 圆的切线方程的类型： （1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程 （2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程． 2．过圆上一点的圆的切线方程 【知识点的认识】 ﹣切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和圆上的点（x1，y1），切线的方程为： 【解题方法点拨】 ﹣求切线方程： 1．代入点坐标：将圆上的点（x1，y1）代入切线方程公式． 2．简化方程：得到切线的方程形式． 3．过圆外一点的圆的切线方程 【知识点的认识】 ﹣外切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外点（x0，y0），可以使用切线公式： 其中R是与圆外切的圆的半径． 【解题方法点拨】 ﹣求切线方程： 1．计算切点：找到外点到圆的距离，即切线半径． 2．应用公式：使用切线方程公式计算得到切线方程． 4．切线段及切点弦的长度 【知识点的认识】 ﹣切线段长度：从圆外一点到切点的切线长度相等，可以使用切线定理： 5．切点弦及所在直线的方程 【知识点的认识】 ﹣切点弦的方程：给定圆和切线的方程，可以找到切点弦的方程． 【解题方法点拨】 ﹣求弦方程： 1．计算切点：通过切线方程和圆的交点得到切点坐标． 2．求弦方程：根据切点和圆的几何性质计算弦的方程． 6．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长 【知识点的认识】 ﹣弦长公式：给定直线方程和圆的方程，可以计算直线截得圆的弦长． 【解题方法点拨】 ﹣计算弦长： 1．求交点：计算直线和圆的交点． 2．弦长公式：用交点坐标计算弦的长度． 7．过圆内一点的弦及弦长的最值 【知识点的认识】 ﹣弦长的最值：给定圆和圆内点，可以通过优化方法求弦长的最大值和最小值． 【解题方法点拨】 ﹣最值计算： 1．利用几何性质：圆内点到圆的弦长最大为直径． 2．应用最值理论：通过几何分析或导数法计算弦长的最值． 8．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系 【知识点的认识】 ﹣位置关系：直线与圆的位置关系取决于直线到圆心的距离与圆半径的比较： ﹣相交：距离小于半径 ﹣切线：距离等于半径 ﹣外离：距离大于半径 9.圆上的点到定点的距离及其最值 【知识点的认识】 ﹣最值问题：圆上的点到定点的距离范围是最小和最大值，分别是圆心到定点距离减去半径和加上半径． 【解题方法点拨】 ﹣最值计算： 1．计算距离：使用点到圆心的距离和半径计算最小值和最大值． 2．应用几何性质：利用圆的几何性质计算距离的范围． 10．圆上的点到直线的距离及其最值 【知识点的认识】 ﹣最值问题：圆上的点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减去半径，最大值是圆心到直线的距离加上半径． 【解题方法点拨】 ﹣最值计算： 1．计算距离：利用圆心到直线的距离和半径计算最小值和最大值． 2．应用几何方法：通过几何方法确定最值范围． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/1 0:12:58；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 题型分类 知识讲解与常考题型 一．过圆上一点的圆的切线方程（共5小题） 1．过点M（﹣1，2）且与圆x2+y2＝5相切的直线方程为（　　） A．x﹣2y+5＝0 B．x+2y+5＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．2x+y+5＝0 2．已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则四边形OAPB面积的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 3．已知点M（1，2）在圆C：x2+y2＝r2上，则过点M的圆C的切线方程为 　 　 ． 4．已知圆C过三点（0，0），（6，0），（0，8），则圆C的标准方程为 　 　 .过圆C上的一点N（6，8）的圆的切线方程为 　 　 （填一般式方程）． 5．已知圆A经过两点B（4，﹣2），C（﹣1，3），且圆心A在直线3x﹣4y＝0上． （1）求圆A的标准方程； （2）求过点D（﹣1，0）且与圆A相切的直线方程． 二．过圆外一点的圆的切线方程（共7小题） 6．过圆O：x2+y2＝1外的点P（3，2）作O的一条切线，切点为M，则|MP|＝（　　） A．2 B． C． D．4 7．过直线y＝﹣x+1上任一点P向圆x2+（y+1）2＝1作两条切线，切点为A，B．则|AB|的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．若过点（0，3）且与圆（x﹣2）2+y2＝2相切的两条直线的夹角为θ，则cosθ＝（　　） A． B． C． D． 9．过点P（0，2）作圆C：x2+y2﹣4x﹣1＝0的切线PA，PB，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积为（　　） A．2 B． C． D． 10．已知直线l：2x+y﹣5＝0与y轴交于点A，点P在直线l上（异于点A），过点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN最大时，四边形PMON的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 11．若过点P（2，2）向圆C：x2+y2＝1作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　） A． B． C． D． 12．过点A（﹣2，﹣1）向圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4作切线，切点为B，则|AB|＝ 　 　 ． 三．切线段及切点弦的长度（共7小题） 13．已知圆C：（x﹣2）2+（y+a）2＝2（a∈R）关于直线l：y＝x﹣1对称，过点P（2a，a）作圆C的两条切线PA和PB，切点分别为A、B，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 14．已知圆C：x2+y2＝1，过圆C外一点P作C的两条切线，切点分别为A，B．若∠APB＝120°，则|AB|＝（　　） A． B．1 C． D． 15．过圆O：x2+y2＝4外一点P（3，4）作圆O的切线，切点分别为A，B，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 16．已知圆M：（x﹣4）2+y2＝4，点P为直线x﹣y＝0上的动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则|AB|的最小值为（　　） A． B． C． D． （多选）17．过原点的直线l与圆M：x2+y2+2x﹣2y﹣16＝0交于A，B两点，且l不经过点M，则（　　） A．弦AB长的最小值为8 B．△MAB面积的最大值为 C．圆M上一定存在4个点到l的距离为 D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线x﹣y﹣16＝0上 18．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A、B，当|PM|•|AB|最小时，点P坐标为 　 　 ． 19．已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，﹣1），B（﹣2，2），且圆心C在直线x﹣y﹣1＝0上． （1）求圆C的方程； （2）过直线l：x+y+5＝0上一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，当|PC|•|AB|最小时，求|PC|的值． 四．切点弦及所在直线的方程（共5小题） 20．已知⊙M：x2+y2+2x﹣4y+1＝0，直线l：x﹣y﹣1＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（　　） A．x﹣y+1＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x+y+2＝0 D．x+y+1＝0 21．已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1和直线l：y＝x，点P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，当|AB|最小时，直线AB的方程为（　　） A．x﹣y+1＝0 B．2x﹣2y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x﹣2y+1＝0 22．已知圆C的方程为x2+y2＝9，直线l：x+2y﹣10＝0，点P是直线l上的一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为（　　） A．2x+4y+9＝0 B．4x+2y+9＝0 C．4x+2y﹣9＝0 D．2x+4y﹣9＝0 23．若一个圆的圆心为（0，2），且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 　 　 ．过点P（﹣2，﹣1）作该圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 　 　 ． 24．已知P为直线x﹣y+4＝0上一动点，过点P作圆O：x2+y2＝4的切线，切点分别为A，B则当四边形PAOB面积最小时，直线AB的方程为 　 　 ． 五．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长（共8小题） 25．若直线l：x+y﹣m＝0（m＞0）被圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4截得的弦长为，则m＝（　　） A． B． C．2 D． 26．若直线y＝kx+1与圆x2+y2＝1相交于A、B两点，且（其中O是原点），则k的值为（　　） A． B．1 C．±1 D． 27．已知点M是圆x2+y2＝1上一点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2＝3上一点，则∠CMN的最大值为（　　） A． B． C． D． 28．已知直线y＝kx+1与圆x2+（y﹣3）2＝4相交于M，N两点，且，则k值为（　　） A．2或﹣2 B．或 C．1或﹣1 D．或 29．已知直线l：mx+ny＝3（m＞0，n＞0），若直线l被圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0所截得的弦长为，则mn的最大值为　 　 ． 30．已知直线l：y﹣1＝k（x﹣1）被圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）截得的最短弦长为，则r＝ 　 　 ． 31．直线x﹣y﹣1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝1（a＞0）相交于A，B两点，若|AB|，则实数a＝ 　 　 ． 32．已知△ABC的三个顶点坐标为A（3，1）、B（0，﹣2）、C（3，﹣5）． （1）求边BC上的高所在的直线方程； （2）若圆M是△ABC的外接圆，且经过点P（2，0）的直线l被圆C所截得的弦长为，求直线l的方程． 六．过圆内一点的弦及弦长的最值（共5小题） 33．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1＝0，设该圆过点（2，2）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　） A．32 B． C．16 D． 34．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，直线l：mx+y﹣2m﹣3＝0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 35．直线（m+1）x+y﹣m﹣2＝0与圆x2+y2＝9交于M，N两点，则弦长|MN|的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D．2 36．已知圆C：x2+y2＝1，则经过圆C内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（　　） A．3x﹣6y﹣5＝0 B．3x﹣6y+5＝0 C．x﹣y+1＝0 D．6x﹣3y+4＝0 37．已知圆心为M（﹣2，﹣1）的圆经过点（1，3），直线l：x+my+m＝0． （1）求圆M的方程； （2）写出直线l恒过定点Q的坐标，并求直线l被圆M所截得的弦长最短时m的值及最短弦长． 七．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系（共5小题） 38．已知直线l：x﹣my﹣4＝0与圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+5＝0相交于M，N两点，且，则m＝（　　） A． B． C． D． 39．若直线y＝k（x﹣3）﹣1与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 40．设圆O：x2+y2＝2上两点A（x1，y1）B（x2，y2）满足y1﹣y2＝x1﹣x2﹣4，则|AB|＝（　　） A．1 B． C．2 D． 41．已知直线y＝kx+1（k∈R）与圆O：x2+y2＝4相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则|3x1+4y1+12|+|3x2+4y2+12|的最小值为（　　） A． B． C． D．23 42．已知直线l与圆O：x2+y2＝5相交，且直线l被圆O所截得的弦长为4，则直线l的方程可能是（　　） A．x+2y+5＝0 B． C．x+2y+2＝0 D． 八．根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系（共4小题） 43．圆x2+y2＝1与直线xsinθ+y﹣1＝0的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 （多选）44．在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），则下列曲线中存在两个不同的点M，N使得|MA|＝|MB|且|NA|＝|NB|的有（　　） A． B． C．x2﹣y2＝1 D．y2＝2x （多选）45．已知圆O：x2+y2＝9，直线，下列说法正确的是（　　） A．直线l与圆O的位置关系与k有关 B．直线l截圆O所得弦长最短时，直线l的方程是 C．圆心O到直线l距离的最大值为2 D．直线l截圆O所得弦长范围是 46．已知圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1＝0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣5＝0． （1）试判断圆C1与圆C2是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由； （2）若直线y＝kx+1与圆C1交于A，B两点，且OA⊥OB，求实数k的值． 九．由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数（共5小题） 47．过直线l：y＝x+4上一点A作圆C：（x﹣m）2+y2＝4的两条切线，切点为P，Q，无论点A在直线l上如何运动，始终有，则实数m的取值范围是（　　） A．{m|m＞0或m＜﹣8} B．{m|﹣8＜m＜0} C．{m|m＞4或m＜﹣12} D．{m|﹣12＜m＜4} 48．已知实数x1，x2，y1，y2满足4，4，x1x2+y1y2＝0，则的最大值为（　　） A． B．6 C． D．12 49．若直线l：y＝x+m与曲线有公共点，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 50．若存在a∈R，使得直线ax+2y﹣b＝0与圆C：x2+（y+1）2＝1相切，则实数b的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣4] B．[0，+∞） C．[﹣4，0] D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞） 51．已知实数x，y满足x2+y2﹣6x+5＝0，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 十．圆上的点到定点的距离及其最值（共5小题） 52．已知b是a，c的等差中项，直线l：ax+by+c＝0，点P为圆x2+（y+2）2＝9上任意一点，则点P到直线l距离的最大值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 53．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A． B． C． D． 54．若P，Q分别是圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+21＝0上的点，则|PQ|的最小值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 55．已知实数x1，x2，y1，y2满足：4，9，x1x2+y1y2＝x1+x2﹣1，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最大值为 　 　 ． 56．点O为平面直角坐标系的原点，A（﹣3，0），点P满足，点Q为圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上一动点，则|PQ|+|PC|的最小值为 　 　 ． 十一．圆上的点到直线的距离及其最值（共4小题） 57．圆C：x2+y2﹣16x﹣12y+98＝0上的点到直线l：x+y﹣10＝0的最小距离为（　　） A． B． C． D．4 58．若圆上恰有2个点到直线l：3x+4y+15＝0的距离为1，则实数r的取值范围为（　　） A．（3，+∞） B．（5，+∞） C．（3，5） D．[3，5] 59．已知圆（x﹣2）2+（y+1）2＝9，直线x+y+m＝0，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则m可以是（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 60．已知直线l1：ax﹣y+5＝0与直线l2：x+ay﹣a+4＝0（a∈R）的交点为P，则点P到直线l：y＝x﹣3距离的取值范围是（　　） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【直线和圆的位置关系】 总览 题型梳理 一．过圆上一点的圆的切线方程（共5小题） 二．过圆外一点的圆的切线方程（共7小题） 三．切线段及切点弦的长度（共7小题） 四．切点弦及所在直线的方程（共5小题） 五．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长（共8小题） 六．过圆内一点的弦及弦长的最值（共5小题） 七．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系（共5小题） 八．根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系（共4小题） 九．由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数（共5小题） 十．圆上的点到定点的距离及其最值（共5小题） 十一．圆上的点到直线的距离及其最值（共4小题） 【知识点清单】 1．圆的切线方程 【知识点的认识】 圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线． 圆的切线方程的类型： （1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程 （2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程． 2．过圆上一点的圆的切线方程 【知识点的认识】 ﹣切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和圆上的点（x1，y1），切线的方程为： 【解题方法点拨】 ﹣求切线方程： 1．代入点坐标：将圆上的点（x1，y1）代入切线方程公式． 2．简化方程：得到切线的方程形式． 3．过圆外一点的圆的切线方程 【知识点的认识】 ﹣外切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外点（x0，y0），可以使用切线公式： 其中R是与圆外切的圆的半径． 【解题方法点拨】 ﹣求切线方程： 1．计算切点：找到外点到圆的距离，即切线半径． 2．应用公式：使用切线方程公式计算得到切线方程． 4．切线段及切点弦的长度 【知识点的认识】 ﹣切线段长度：从圆外一点到切点的切线长度相等，可以使用切线定理： 5．切点弦及所在直线的方程 【知识点的认识】 ﹣切点弦的方程：给定圆和切线的方程，可以找到切点弦的方程． 【解题方法点拨】 ﹣求弦方程： 1．计算切点：通过切线方程和圆的交点得到切点坐标． 2．求弦方程：根据切点和圆的几何性质计算弦的方程． 6．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长 【知识点的认识】 ﹣弦长公式：给定直线方程和圆的方程，可以计算直线截得圆的弦长． 【解题方法点拨】 ﹣计算弦长： 1．求交点：计算直线和圆的交点． 2．弦长公式：用交点坐标计算弦的长度． 7．过圆内一点的弦及弦长的最值 【知识点的认识】 ﹣弦长的最值：给定圆和圆内点，可以通过优化方法求弦长的最大值和最小值． 【解题方法点拨】 ﹣最值计算： 1．利用几何性质：圆内点到圆的弦长最大为直径． 2．应用最值理论：通过几何分析或导数法计算弦长的最值． 8．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系 【知识点的认识】 ﹣位置关系：直线与圆的位置关系取决于直线到圆心的距离与圆半径的比较： ﹣相交：距离小于半径 ﹣切线：距离等于半径 ﹣外离：距离大于半径 9.圆上的点到定点的距离及其最值 【知识点的认识】 ﹣最值问题：圆上的点到定点的距离范围是最小和最大值，分别是圆心到定点距离减去半径和加上半径． 【解题方法点拨】 ﹣最值计算： 1．计算距离：使用点到圆心的距离和半径计算最小值和最大值． 2．应用几何性质：利用圆的几何性质计算距离的范围． 10．圆上的点到直线的距离及其最值 【知识点的认识】 ﹣最值问题：圆上的点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减去半径，最大值是圆心到直线的距离加上半径． 【解题方法点拨】 ﹣最值计算： 1．计算距离：利用圆心到直线的距离和半径计算最小值和最大值． 2．应用几何方法：通过几何方法确定最值范围． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/1 0:12:58；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 题型分类 知识讲解与常考题型 一．过圆上一点的圆的切线方程（共5小题） 1．过点M（﹣1，2）且与圆x2+y2＝5相切的直线方程为（　　） A．x﹣2y+5＝0 B．x+2y+5＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．2x+y+5＝0 【考点】过圆上一点的圆的切线方程．版权所有 【分析】先判断出点M在圆上，进而求出切线斜率即可得到答案． 【解答】解：因为（﹣1）2+22＝5，所以点M在圆上， 而，则切线斜率为， 所以切线方程为：即x﹣2y+5＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了圆的切线方程的求解，属于基础题． 2．已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则四边形OAPB面积的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【考点】过圆上一点的圆的切线方程．版权所有 【分析】利用切线长最小时即是面积最小时，求出最小弦长即可求出面积的最小值． 【解答】解：已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B， 如图，， 因为当M，O，P三点共线时，， 此时|OP|min＝|MP|﹣|OM|＝5﹣2＝3， 所以四边形OAPB面积的最小值为． 故选：B． 【点评】本题考查了圆的切线长的计算，属于中档题． 3．已知点M（1，2）在圆C：x2+y2＝r2上，则过点M的圆C的切线方程为 　x+2y﹣5＝0　 ． 【考点】过圆上一点的圆的切线方程．版权所有 【分析】根据点M在圆C上求出圆C的方程为x2+y2＝5，由圆的切线的性质求出圆C经过点M的切线的斜率，进而求得所求切线方程． 【解答】解：若点M（1，2）在圆C：x2+y2＝r2上，则12+22＝r2，解得r2＝5， 所以圆C的方程为x2+y2＝5，圆心为O（0，0），半径r， 若直线经过点M（1，2）与圆C相切，则该直线与OM垂直，斜率k， 所以过点M的圆C的切线方程为y﹣2（x﹣1），即x+2y﹣5＝0． 故答案为：x+2y﹣5＝0． 【点评】本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆相切的性质等知识，属于基础题． 4．已知圆C过三点（0，0），（6，0），（0，8），则圆C的标准方程为 　（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25　 .过圆C上的一点N（6，8）的圆的切线方程为 　3x+4y﹣50＝0　 （填一般式方程）． 【考点】过圆上一点的圆的切线方程．版权所有 【分析】根据题意，将三个点的坐标代入到圆的标准方程中算出圆的标准方程，然后根据过圆上一点的圆的切线方程求出点N（6，8）处的切线方程，可得答案． 【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2， 根据题意，可得，解得， 所以圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25； 因为点N（6，8）在圆C上，所以过圆C在点N处的切线方程为： （6﹣3）（x﹣3）+（8﹣4）（y﹣4）＝25，化简得：3x+4y﹣50＝0． 故答案为：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25；3x+4y﹣50＝0． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于基础题． 5．已知圆A经过两点B（4，﹣2），C（﹣1，3），且圆心A在直线3x﹣4y＝0上． （1）求圆A的标准方程； （2）求过点D（﹣1，0）且与圆A相切的直线方程． 【考点】过圆上一点的圆的切线方程；根据圆的几何属性求圆的标准方程．版权所有 【分析】（1）设出圆的标准方程，结合题意建立关于a、b、r的方程组，解之即可得到圆A的标准方程； （2）根据直线的斜率是否存在进行讨论，利用圆的切线的性质、点到直线的距离公式加以计算，可得所求切线的方程． 【解答】解：（1）设圆A的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）， 根据题意，可得，解得， 所以圆A的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25； （2）①当直线过点D（﹣1，0）且斜率不存在时，方程为x＝﹣1， 此时圆心A到直线的距离d＝|﹣1﹣4|＝5，可得d＝r，直线与圆相切，符合题意； ②当切线过点D（﹣1，0）且斜率存在时，设其方程y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0． 圆心A到切线的距离d＝r，即，解得k， 所以切线的方程为y（x+1），即8x+15y+8＝0． 综上所述，过点D（﹣1，0）且与圆A相切的直线方程是x＝﹣1或8x+15y+8＝0． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、圆的切线的性质、点到直线的距离公式等知识，属于中档题． 二．过圆外一点的圆的切线方程（共7小题） 6．过圆O：x2+y2＝1外的点P（3，2）作O的一条切线，切点为M，则|MP|＝（　　） A．2 B． C． D．4 【考点】过圆外一点的圆的切线方程．版权所有 【分析】根据已知条件，结合勾股定理，即可求解． 【解答】解：圆O：x2+y2＝1， 则圆心为O（0，0），半径r＝1， ． 故选：B． 【点评】本题主要考查过圆外一点的圆的切线方程，属于基础题． 7．过直线y＝﹣x+1上任一点P向圆x2+（y+1）2＝1作两条切线，切点为A，B．则|AB|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】过圆外一点的圆的切线方程．版权所有 【分析】根据圆心到直线的距离，再根据勾股定理，结合锐角三角函数可得，即可求解|PC|的最小值． 【解答】解：圆x2+（y+1）2＝1的圆心和半径分别为C（0，﹣1），R＝1， 圆心C（0，﹣1）到直线l：y＝﹣x+1的距离为d， |AB|＝2|PA|sin∠APC＝2|PA|•22， 故当|PC|最小时，此时|AB|最小，又知|PC|的最小值为， 故． 故选：C． 【点评】本题主要考查圆上的点到直线距离的最值，属于中档题． 8．若过点（0，3）且与圆（x﹣2）2+y2＝2相切的两条直线的夹角为θ，则cosθ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】过圆外一点的圆的切线方程．版权所有 【分析】根据题意有半径且（0，3）与圆心的距离，结合及二倍角余弦公式求cosθ． 【解答】解：圆（x﹣2）2+y2＝2的圆心为C（2，0），半径， 所以点（0，3）与圆心的距离， 所以，则． 故选：B． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题． 9．过点P（0，2）作圆C：x2+y2﹣4x﹣1＝0的切线PA，PB，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积为（　　） A．2 B． C． D． 【考点】过圆外一点的圆的切线方程．版权所有 【分析】由圆的方程求圆心坐标和半径，再求|PC|，结合切线性质求|PA|，|PB|，再利用三角形面积公式求△PAB和△PBC的面积，结合对称性可得结论． 【解答】解：由已知可得圆x2+y2﹣4x﹣1＝0的圆心为C（2，0），半径， 根据切线性质可得，PA⊥CA，PB⊥CB， 又因为点P的坐标为（0，2）， 所以， 所以， 所以△PBC的面积， △PAC的面积， 所以四边形PACB的面积． 故选：D． 【点评】本题考查过圆外一点的圆的切线方程，属于中等题． 10．已知直线l：2x+y﹣5＝0与y轴交于点A，点P在直线l上（异于点A），过点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN最大时，四边形PMON的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【考点】过圆外一点的圆的切线方程．版权所有 【分析】根据题意，当∠MPN最大时，∠MPO同时达最大值，此时sin∠MPO也最大，|PO|最小，从而运用点到直线的距离公式与三角形的面积公式求出答案． 【解答】解：连接OP，可得A（0，5），∠OPN＝∠OPM， 在Rt△OPM中，， 结合0＜∠MPO，可得：当∠MPN最大时，∠MPO同时达最大值． 此时sin∠MPO也最大，即|PO|最小， |PO|的最小值等于点O到直线l的距离， 所以当∠MPN最大时，四边形PMON的面积为． 故选：A． 【点评】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、锐角三角函数的定义等知识，属于中档题． 11．若过点P（2，2）向圆C：x2+y2＝1作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】过圆外一点的圆的切线方程．版权所有 【分析】求出以PC为直径的圆的方程，再与已知圆的方程相减即得公共弦AB所在直线的方程． 【解答】解：过点P（2，2）向圆C：x2+y2＝1作两条切线，切点分别为A、B，则CA⊥PA，CB⊥PB， 于是点A、B在以PC为直径的圆上，而C（0，0），则PC的中点为Q（1，1），， 因此以PC为直径的圆Q方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2， 圆Q与圆C方程相减，得公共弦AB所在直线的方程为2x+2y﹣1＝0， 所以直线AB的方程为． 故选：A． 【点评】本题考查了圆的方程，属于基础题． 12．过点A（﹣2，﹣1）向圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4作切线，切点为B，则|AB|＝ 　　 ． 【考点】过圆外一点的圆的切线方程．版权所有 【分析】由圆的方程，可得圆心C的坐标及半径，求出|AC|的值，由勾股定理可得|AB|的值． 【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4可得圆心C（1，2），半径r＝2， 点A（﹣2，﹣1），则|AC|3， 所以切线长|AB|． 故答案为：． 【点评】本题考查切线长的求法，属于基础题． 三．切线段及切点弦的长度（共7小题） 13．已知圆C：（x﹣2）2+（y+a）2＝2（a∈R）关于直线l：y＝x﹣1对称，过点P（2a，a）作圆C的两条切线PA和PB，切点分别为A、B，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 【考点】切线段及切点弦的长度．版权所有 【分析】将圆心C的坐标代入直线l的方程，求得a的值，再写出以CP为直径的圆的方程，将其与圆C的方程相减，可得弦AB所在直线的方程，然后根据弦长的计算方法，求解即可． 【解答】解：由题意知，C（2，﹣a）， 因为圆C关于直线l对称，所以点C在直线l上，即﹣a＝2﹣1，解得a＝﹣1， 所以P（﹣2，﹣1），C（2，1），圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2①， 所以|CP|＝2，线段CP的中点坐标为（0，0）， 故以CP为直径的圆的方程为x2+y2＝5②， 因为PA，PB是切线，所以A，B两点也在以CP为直径的圆上， ②﹣①得，弦AB所在的直线方程为2x+y﹣4＝0， 所以圆心C到直线AB的距离d， 所以|AB|＝2． 故选：D． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握圆与圆的公共弦所在直线方程的求法，弦长的计算公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 14．已知圆C：x2+y2＝1，过圆C外一点P作C的两条切线，切点分别为A，B．若∠APB＝120°，则|AB|＝（　　） A． B．1 C． D． 【考点】切线段及切点弦的长度．版权所有 【分析】根据圆心和半径以及切线性质可知△ABC为正三角形，即可得|AB|＝1． 【解答】解：易知圆C的圆心坐标为C（0，0），半径AC＝1，连接AC，BC，PC，如下图所示： 利用对称性由∠APB＝120°可知∠APC＝60°，又易知PA⊥AC，所以可得∠ACP＝∠BCP＝30°， 即∠ACB＝60°，又|AC|＝|BC|＝1， 所以△ABC为正三角形，即可得|AB|＝1． 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 15．过圆O：x2+y2＝4外一点P（3，4）作圆O的切线，切点分别为A，B，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 【考点】切线段及切点弦的长度．版权所有 【分析】根据题意作出图形，利用切线的性质算出PA的长，然后根据圆的对称性质加以计算，可得线段AB的长． 【解答】解：圆O：x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径r＝2， 如图所示，可知，所以， 根据圆的对称性，可知OP⊥AB，则，解得． 故选：A． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、解直角三角形等知识，属于基础题． 16．已知圆M：（x﹣4）2+y2＝4，点P为直线x﹣y＝0上的动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则|AB|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】切线段及切点弦的长度．版权所有 【分析】由圆的切线性质可知PA⊥AM，PB⊥BM，AB⊥PM，由面积相等和勾股定理可得|AB|，由M到直线x﹣y＝0的距离即为|PM|的最小值即可求得． 【解答】解：因为PA，PB是圆M的切线，切点分别为A，B， 所以PA⊥AM，PB⊥BM，AB⊥PM， 所以四边形APBM的面积为2S△PAM， 所以， 当|PM|取得最小值时，|AB|有最小值， 当PM垂直于直线x﹣y＝0时，|PM|最小，且， 所以． 故选：C． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题． （多选）17．过原点的直线l与圆M：x2+y2+2x﹣2y﹣16＝0交于A，B两点，且l不经过点M，则（　　） A．弦AB长的最小值为8 B．△MAB面积的最大值为 C．圆M上一定存在4个点到l的距离为 D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线x﹣y﹣16＝0上 【考点】切线段及切点弦的长度．版权所有 【分析】化简圆的方程为标准方程，结合已知条件求解选项即可． 【解答】解：M：x2+y2+2x﹣2y﹣16＝0化为标准方程：M：（x+1）2+（y﹣1）2＝18．设M到直线l的距离为d，则d≤|OM|， 对于A：由垂径定理，即|AB|≥8，当且仅当d，即OM⊥l时取等号，故弦AB长的最小值为8，故A正确； 对于B：△MAB面积为，令t＝d2，则：△MAB面积为，t∈（0，2]，而y＝﹣t2+18t＝﹣（t﹣9）2+81在（0，2]上单调递增，所以ymax＝y|t＝2＝32，于是△MAB面积的最大值为，B正确； 对于C：当OM⊥l时，d，到l的距离为的点由3个，C错误； 对于D：A，B两点处圆的切线的交点坐标为（m，n），则直线AB为切点弦所在直线方程，为：mx+ny+m+x﹣（n+y）﹣16＝0，由于直线AB过原点，所以m﹣n﹣16＝0，即A，B两点处圆的切线的交点位于直线x﹣y﹣16＝0上． 故选：ABD． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长、面积、点到直线距离、切点弦直线方程，属于综合性较强的中档题． 18．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A、B，当|PM|•|AB|最小时，点P坐标为 　（﹣1，0）　 ． 【考点】切线段及切点弦的长度．版权所有 【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得，所以|PM|•|AB|最小转化为|PM|最小，此时PM与直线l垂直．求出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标． 【解答】解：将⊙M的方程整理成标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4， 所以圆心M（1，1），半径r＝2． ∵， ∴要使|PM|•|AB|最小，只需|PM|最小， 显然当PM与直线l垂直时，|PM|有最小值， 此时直线PM的方程为，即， 联立，解得x＝﹣1，y＝0， 即P（﹣1，0）， 故答案为：（﹣1，0）． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，属于中档题． 19．已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，﹣1），B（﹣2，2），且圆心C在直线x﹣y﹣1＝0上． （1）求圆C的方程； （2）过直线l：x+y+5＝0上一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，当|PC|•|AB|最小时，求|PC|的值． 【考点】切线段及切点弦的长度．版权所有 【分析】（1）先求出点A，B的中垂线，并与直线x﹣y﹣1＝0联立，即可求出圆心与半径； （2）结合等面积法，勾股定理，以及点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：（1）A（﹣1，﹣1），B（﹣2，2）， 则，点A，B的中点为（）， 圆心C在线段AB的中垂线上，即，即， 联立，解得x＝3，y＝2， 所以圆心C（3，2），圆的半径为|AC|， 故圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25； （2）∵PC⊥AB， ∴|PC|•|AB|＝2S四边形PACB＝4S4S△PAG＝10|PA|＝10， 当CP取最小值时|PC|•|AB|最小，此时PC⊥l，|PC|． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题． 四．切点弦及所在直线的方程（共5小题） 20．已知⊙M：x2+y2+2x﹣4y+1＝0，直线l：x﹣y﹣1＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（　　） A．x﹣y+1＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x+y+2＝0 D．x+y+1＝0 【考点】切点弦及所在直线的方程．版权所有 【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM|•|AB|＝2，所以|PM|•|AB|最小转化为|PM|最小，此时PM与直线l垂直，求出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标；然后写出以PA为半径的圆的方程，再与圆M的方程相减可得公共弦AB所在直线方程． 【解答】解：⊙M的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，其圆心为M（﹣1，2），半径为2． 因为， 所以当|PM|最小时，|PM|•|AB|最小， 此时PM与直线l垂直，所以直线PM的方程为y﹣2＝﹣（x+1）， 即x+y﹣1＝0． 联立， 解得， 所以点P的坐标为P（1，0），|PM|2， 在Rt△PAM中，，同理|BP|＝2． 以P为圆心，|AP|为半径的⊙P的方程为（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0， 则线段AB为⊙M与⊙P的公共弦， 两圆方程相减得x﹣y+1＝0， 即直线AB的方程为x﹣y+1＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，属于中档题． 21．已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1和直线l：y＝x，点P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，当|AB|最小时，直线AB的方程为（　　） A．x﹣y+1＝0 B．2x﹣2y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x﹣2y+1＝0 【考点】切点弦及所在直线的方程．版权所有 【分析】结合题意，利用等面积法表示出|AB|，通过分析转化为圆心到直线的距离最小，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程就可以得到直线AB的方程． 【解答】解：由题意可得：， 所以， 要使得|AB|最小，只需直线上的动点P到点M的距离最小， 其最小值是圆心（0，2）到直线y＝x的距离，此时，且满足PM⊥l． 所以此时直线PM的方程为：y﹣2＝﹣1（x﹣0），即y＝﹣x+2， 联立，解得：，即P（1，1）， 由于P，A，B，M四点共圆，以|PM|为直径的圆的方程：， 即：x2+y2﹣x﹣3y+2＝0，联立两个圆的方程， 得到直线AB的方程为：x﹣y+1＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了圆与直线问题，转化与化归思想，属于中档题． 22．已知圆C的方程为x2+y2＝9，直线l：x+2y﹣10＝0，点P是直线l上的一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为（　　） A．2x+4y+9＝0 B．4x+2y+9＝0 C．4x+2y﹣9＝0 D．2x+4y﹣9＝0 【考点】切点弦及所在直线的方程．版权所有 【分析】由题意可得当点A与圆心的距离最小时，切线长PA、PB最小，此时四边形PACB的面积最小，求出P的坐标，以CP为直径的圆的方程，两圆方程相减可得直线AB的方程． 【解答】解：∵圆x2+y2＝9的圆心为C（0，0），半径r＝3， 当点P与圆心的距离最小时，切线长PA、PB最小，此时四边形PACB的面积最小， ∴直线PC与直线l：x+2y﹣10＝0垂直， ∴PC的方程为2x﹣y＝0， 两方程联立可得x＝2，y＝4，∴P（2，4）， ∴以CP为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5． 两圆方程相减可得2x+4y﹣9＝0． 故选：D． 【点评】本题考查圆的切线方程，得出当点P与圆心的距离最小时PACB的面积最小是解决问题的关键，属中档题． 23．若一个圆的圆心为（0，2），且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 　x2+（y﹣2）2＝4　 ．过点P（﹣2，﹣1）作该圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 　2x+3y﹣2＝0　 ． 【考点】切点弦及所在直线的方程；由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；圆的标准方程．版权所有 【分析】由点到直线的距离求出半径，写出圆的方程；讨论斜率是否存在，当斜率不存在时由相切求出切点，由圆切线的性质可知两切点连线与圆心和两切线交点连线垂直，从而求出切点直线的斜率，由点斜式写出直线方程． 【解答】解：点（0，2）到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为x2+（y﹣2）2＝4； 当斜率不存在时，切线：x＝﹣2，与圆相切于点（﹣2，2）， 由圆的切线的性质可知，AB⊥OP， ∴， ∴，即2x+3y﹣2＝0． 故答案为：x2+（y﹣2）2＝4；2x+3y﹣2＝0． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 24．已知P为直线x﹣y+4＝0上一动点，过点P作圆O：x2+y2＝4的切线，切点分别为A，B则当四边形PAOB面积最小时，直线AB的方程为 　x﹣y+2＝0　 ． 【考点】切点弦及所在直线的方程．版权所有 【分析】表示出四边形PAOB的面积得到四边形PAOB面积最小时，点P的坐标，由此求得AB的方程． 【解答】解：因为圆O：x2+y2＝4，所以圆心为O（0，0），半径 r＝2， 所以四边形PAOB的面积为， 所以当OP最小，也即OP垂直于直线x﹣y+4＝0时，四边形PAOB面积最小， 此时直线OP的方程为y＝﹣x，由，解得， 即P（﹣2，2），对应，， 以P为圆心，半径为2的圆的方程为：（x+2）2+（y﹣2）2＝4， 即x2+y2+4x﹣4y+4＝0， 由， 两式相减并化简得x﹣y+2＝0，即直线AB的方程为x﹣y+2＝0． 故答案为：x﹣y+2＝0． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 五．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长（共8小题） 25．若直线l：x+y﹣m＝0（m＞0）被圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4截得的弦长为，则m＝（　　） A． B． C．2 D． 【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．版权所有 【分析】根据点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d（m＞0），利用圆内的弦长公式可得，解出m验证即可求解． 【解答】解：圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝4，圆心为（1，﹣1），半径r＝2， 直线l的方程为x+y﹣m＝0，圆心到直线的距离为）， 因为直线l：x+y﹣m＝0（m＞0）被圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4截得的弦长为， 则根据弦长公式可得， 解得m＝2， 将m＝2代入原方程，验证弦长是否匹配，结果符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，属于中档题． 26．若直线y＝kx+1与圆x2+y2＝1相交于A、B两点，且（其中O是原点），则k的值为（　　） A． B．1 C．±1 D． 【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．版权所有 【分析】根据圆心到直线距离以及弦长公式，解方程可得结果． 【解答】解：易知圆x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径为r＝1，直线y＝kx+1即为kx﹣y+1＝0， 所以圆心O到直线距离d， 所以弦长， 所以， 解得k＝±1． 故选：C． 【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用及直线与圆相交弦长的求法，属于基础题． 27．已知点M是圆x2+y2＝1上一点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2＝3上一点，则∠CMN的最大值为（　　） A． B． C． D． 【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．版权所有 【分析】利用圆的最值问题和正弦定理即可求解． 【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心O（0，0），半径r1＝1， 圆C：（x﹣3）2+y2＝3的圆心C（3，0），半径， 在三角形CMN中，， 根据正弦定理可得，，即， 所以， 因为|CM|≥|CO|﹣r1＝3﹣1＝2，sin∠CNM≤1， 所以， 因为|CN|＜|CM|，所以∠CMN是锐角， 所以∠CMN的最大值为． 故选：B． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 28．已知直线y＝kx+1与圆x2+（y﹣3）2＝4相交于M，N两点，且，则k值为（　　） A．2或﹣2 B．或 C．1或﹣1 D．或 【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．版权所有 【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解． 【解答】解：圆x2+（y﹣3）2＝4， 则圆心为（0，3），半径r＝2， ， 则圆心（0，3）到直线kx﹣y+1＝0的距离d，即，解得k． 故选：B． 【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，以及垂径定理，是基础题． 29．已知直线l：mx+ny＝3（m＞0，n＞0），若直线l被圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0所截得的弦长为，则mn的最大值为　　 ． 【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．版权所有 【分析】得到直线l过圆心，推得m+n＝3，再结合基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2， 则圆心为（1，1），半径为， 直线l被圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0所截得的弦长为， 则直线l过圆心（1，1），即m+n＝3， mn，当且仅当m＝n时，等号成立， 故mn的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线与圆的应用，属于基础题． 30．已知直线l：y﹣1＝k（x﹣1）被圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）截得的最短弦长为，则r＝ 　2　 ． 【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．版权所有 【分析】由已知结合直线与圆相交的性质即可求解． 【解答】解：因为直线l：y﹣1＝k（x﹣1）经过点P（1，1），C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）， 则C（2，2）， 所以， 如果直线l被圆C截得弦长最短，则l⊥PC，那么r2＝2+2＝4， 所以r＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质的应用，属于基础题． 31．直线x﹣y﹣1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝1（a＞0）相交于A，B两点，若|AB|，则实数a＝ 　2　 ． 【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．版权所有 【分析】根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：圆（x﹣a）2+y2＝1（a＞0）， 则圆心C（a，0），半径r＝1， |AB|， 则圆心C（a，0）到直线x﹣y﹣1＝0的距离d， 故，解得a＝2或a＝0（舍去）， 故a＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 32．已知△ABC的三个顶点坐标为A（3，1）、B（0，﹣2）、C（3，﹣5）． （1）求边BC上的高所在的直线方程； （2）若圆M是△ABC的外接圆，且经过点P（2，0）的直线l被圆C所截得的弦长为，求直线l的方程． 【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长；直线的点斜式方程．版权所有 【分析】（1）先求B、C两点的斜率，再利用垂直关系求出高线的斜率，最后由点斜式求出直线方程； （2）设利用待定系数法求出圆的一般方程，进一步化为标准方程，讨论当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝2，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣2），由点到直线的距离公式结合垂径定理列式求得k，即答案可求． 【解答】解：（1）由题意△ABC的三个顶点坐标为A（3，1）、B（0，﹣2）、C（3，﹣5）， 可得直线BC斜率为， 所以边BC上的高所在直线的斜率为：， 则边BC上的高所在直线方程为：y﹣1＝x﹣3，整理得y＝x﹣2； （2）设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，代入三点坐标可得： 则，解得D＝﹣6，E＝4，F＝4， 所以圆M的方程为x2+y2﹣6x+4y+4＝0，化为标准方程：（x﹣3）2+（y+2）2＝9； 当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝2， 代入圆M的方程（x﹣3）2+（y+2）2＝9得：， 此时直线l被圆M所截得的弦长为，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0， 由垂径定理可得，当弦长为时，可知圆心到直线的距离， 再由圆心到直线的距离公式得：，解得， 所以直线方程为3x+4y﹣6＝0， 即直线l的方程为x＝2或3x+4y﹣6＝0． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题． 六．过圆内一点的弦及弦长的最值（共5小题） 33．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1＝0，设该圆过点（2，2）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　） A．32 B． C．16 D． 【考点】过圆内一点的弦及弦长的最值．版权所有 【分析】分析可知AC⊥BD，计算出|BD|，|AC|，即可求得四边形ABCD的面积． 【解答】解：由x2+y2﹣6x﹣2y+1＝0，则圆心坐标是（3，1），半径是3．因为圆心到点（2，2）的距离为， 所以点（2，2）在圆内，最长弦为圆的直径， 由垂径定理，得最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直， 故最短弦的长为，最长弦即直径|AC|＝6， 所以四边形ABCD的面积为． 故选：D． 【点评】本题主要考查直线与圆相交的基本性质，解题的关键在于掌握直线与圆相交的基本性质，为中档题． 34．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，直线l：mx+y﹣2m﹣3＝0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【考点】过圆内一点的弦及弦长的最值．版权所有 【分析】求出直线l所过定点，定点在圆内，因此当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短，由勾股定理可得结论． 【解答】解：直线l方程变形为（x﹣2）m+y﹣3＝0， 由得，即直线l过定点（2，3）， 圆心为C（1，2），半径为， 定点到圆心距离为，即定点在圆内部， 所以当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短， 最短弦长为． 故选：D． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 35．直线（m+1）x+y﹣m﹣2＝0与圆x2+y2＝9交于M，N两点，则弦长|MN|的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D．2 【考点】过圆内一点的弦及弦长的最值．版权所有 【分析】首先求出直线经过的定点，进一步利用弦长公式求出结果． 【解答】解：直线（m+1）x+y﹣m﹣2＝0，整理得m（x﹣1）+（x+y﹣2）＝0，故，解得， 故该直线经过定点（1，1）； 故点（1，1）到（0，0）的距离d； 故． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点：定点直线系，直线与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 36．已知圆C：x2+y2＝1，则经过圆C内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（　　） A．3x﹣6y﹣5＝0 B．3x﹣6y+5＝0 C．x﹣y+1＝0 D．6x﹣3y+4＝0 【考点】过圆内一点的弦及弦长的最值．版权所有 【分析】根据题意，由条件可得过点P且弦长最短的弦应是垂直于直线CP的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果． 【解答】解：直线PC的斜率为， 过点P且弦长最短的弦应是垂直于直线CP的弦，其斜率为k1，则k1•k2＝﹣1，得， 所以过P点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即3x﹣6y+5＝0． 故选：B． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 37．已知圆心为M（﹣2，﹣1）的圆经过点（1，3），直线l：x+my+m＝0． （1）求圆M的方程； （2）写出直线l恒过定点Q的坐标，并求直线l被圆M所截得的弦长最短时m的值及最短弦长． 【考点】过圆内一点的弦及弦长的最值．版权所有 【分析】（1）根据圆心与圆上点的距离求出半径，即可由圆心和半径直接写出圆的标准方程； （2）将直线改成关于m的一次方程形式，根据方程恒成立列方程组求解定点；当半径确定时，利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形知弦长最小时，弦心距最大，即可求出m的值． 【解答】解：（1）∵圆M的半径， ∴圆M的方程为（x+2）2+（y+1）2＝25； （2）∵直线l的方程为x+my+m＝0，∴x+m（y+1）＝0， 令，解得：，∴定点Q的坐标为（0，﹣1）， ∵（0+2）2+（﹣1+1）2＝4＜25，∴点Q在圆M的内部，故直线l恒与圆M相交， 又圆心M到直线l的距离， ∴l被圆M截得的弦长为， 当d取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为，此时m＝0． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 七．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系（共5小题） 38．已知直线l：x﹣my﹣4＝0与圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+5＝0相交于M，N两点，且，则m＝（　　） A． B． C． D． 【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．版权所有 【分析】根据，可得∠MCN＝90°，及△MCN为等腰直角三角形可得到∠CMN＝45°，可得到圆心到直线的距离d＝rsin∠CMN，再根据点到直线的距离公式即可求出m的值． 【解答】解：由圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+5＝0得圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝8，圆心C（3，2），半径r＝2， 因为∠MCN＝90°，且△MCN为等腰直角三角形，所以∠CMN＝45°， 因为|CM|＝|CN|＝r，所以圆心C到直线l：x﹣my﹣4＝0的距离d＝rsin∠CMN＝2sin45°＝2， 根据点到直线的距离公式d2， 解得m． 故选：A． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属中档题． 39．若直线y＝k（x﹣3）﹣1与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．版权所有 【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的x轴的上半部分（含x轴），求出直线与圆相切时k的值，再结合图形即可求解． 【解答】解：由得x2+y2＝2（y≥0）， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的x轴的上半部分（含x轴）， 当直线y＝k（x﹣3）﹣1与圆x2+y2＝2（y≥0）相切时， 圆心到直线的距离， 解得k＝﹣1或（舍去）， 当直线y＝k（x+2）+1过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数k的取值范围是． 故选：C． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 40．设圆O：x2+y2＝2上两点A（x1，y1）B（x2，y2）满足y1﹣y2＝x1﹣x2﹣4，则|AB|＝（　　） A．1 B． C．2 D． 【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．版权所有 【分析】设，，，，α、β∈[0，2π），根据y1﹣y2＝x1﹣x2﹣4利用三角恒等变换公式化简得2cos（α）﹣2cos（β）＝4，结合余弦函数的性质算出cos（α）＝1，cos（β）＝﹣1，可得α，β，从而得到A、B的坐标，利用两点间的距离公式算出|AB|． 【解答】解：根据题意，可得2，2， 设，，，，α、β∈[0，2π）， 因为y1﹣y2＝x1﹣x2﹣4，即x1﹣x2﹣y1+y2＝4，所以cosαcosβsinαsinβ＝4， 即（cosα﹣sinα）（cosβ﹣sinβ）＝4，可得2cos（α）﹣2cos（β）＝4． 因为cos（α）∈[﹣1，1]，cos（β）∈[﹣1，1]， 所以2cos（α）﹣2cos（β）最大值为4，此时cos（α）＝1，cos（β）＝﹣1， 结合α∈[0，2π），β∈[0，2π），可得α2π，βπ，即α，β． 所以x1cos1，y1sin1，x2cos1，y2sin1． 即A（1，﹣1），B（﹣1，1），可得|AB|． 故选：D． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、两角和与差的三角函数公式、余弦函数的性质、两点间的距离公式等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题． 41．已知直线y＝kx+1（k∈R）与圆O：x2+y2＝4相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则|3x1+4y1+12|+|3x2+4y2+12|的最小值为（　　） A． B． C． D．23 【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．版权所有 【分析】先求得弦MN的中点E（x，y）的轨迹方程，则的几何意义为P（x1，y1），Q（x2，y2）两点到直线3x+4y+12＝0的距离之和，即点E（x，y）到直线3x+4y+12＝0距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：已知直线y＝kx+1（k∈R）与圆O：x2+y2＝4相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点， 直线l：y＝kx+1与y轴的交点为A（0，1），设弦MN的中点为E（x，y）， 连接OE，则OE⊥MN，即OE⊥AE，所以， 即（x，y）•（x，y﹣1）＝x2+y（y﹣1）＝0， 所以点E的轨迹方程为， 即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设直线l为3x+4y+12＝0，则E到l的最小距离为， 过M、E、N分别作直线l的垂线，垂足分别为P，R，Q， 则四边形MNQP是直角梯形，且R是PQ的中点， 则ER是直角梯形的中位线，所以|MP|+|NQ|＝2|ER|， 即， 即|3x1+4y1+12|+|3x2+4y2+12|＝10|ER|≥23， 所以|3x1+4y1+12|+|3x2+4y2+12|的最小值为23． 故选：D． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 42．已知直线l与圆O：x2+y2＝5相交，且直线l被圆O所截得的弦长为4，则直线l的方程可能是（　　） A．x+2y+5＝0 B． C．x+2y+2＝0 D． 【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．版权所有 【分析】根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：圆O：x2+y2＝5的圆心为（0，0），半径为， 直线l被圆O所截得的弦长为4， 则圆心到直线的距离d， 对于A，d，故A错误； 对于B，d，故B正确； 对于C，d，故C错误； 对于D，d，故D错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查直线与圆相交的性质，属于基础题． 八．根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系（共4小题） 43．圆x2+y2＝1与直线xsinθ+y﹣1＝0的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【考点】根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系．版权所有 【分析】求出圆心坐标和半径r，求出直线系经过的定点，判断定点与圆的位置关系，可得出直线与圆位置关系． 【解答】解：由圆的标准方程：x2+y2＝1， ∴圆心坐标为（0，0），半径r＝1， ∵直线xsinα+y﹣1＝0，恒过（0，1），而（0，1）是圆周上的点． ∴直线与圆的位置关系是相交或相切． 故选：D． 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及正弦函数的值域，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系确定（d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径），当d＞r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交．本题是直线系与圆的位置关系，转化为点与圆的位置关系判断． （多选）44．在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），则下列曲线中存在两个不同的点M，N使得|MA|＝|MB|且|NA|＝|NB|的有（　　） A． B． C．x2﹣y2＝1 D．y2＝2x 【考点】根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系．版权所有 【分析】将条件转化为曲线与线段AB的垂直平分线有两个不同的交点，依次验证即可． 【解答】解：由题，线段AB的垂直平分线为：x﹣y＝0，与曲线有两个不同的交点， 对于A，圆心，圆心到直线的距离为，直线与圆只有一个交点，不合题意，故A错误； 对于B，联立，故B正确； 对于C，无解，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD． 【点评】本题主要考查了曲线与方程的应用，方程解的存在条件的判断，圆的性质的应用，属于中档题． （多选）45．已知圆O：x2+y2＝9，直线，下列说法正确的是（　　） A．直线l与圆O的位置关系与k有关 B．直线l截圆O所得弦长最短时，直线l的方程是 C．圆心O到直线l距离的最大值为2 D．直线l截圆O所得弦长范围是 【考点】根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系．版权所有 【分析】对于A，直接算出即可判断；对于B，算出直线过定点，当且仅当OP⊥l满足题意，从而可以算出k验证；对于C，由B选项分析结合两点间的距离公式计算即可；对于D，结合A选项分析可知，通过算出的范围，即可根据弦长公式验证即可． 【解答】解：作出示意图如图所示： 对于A，因为圆O：x2+y2＝9的圆心O（0，0）到直线的距离为， 而圆O：x2+y2＝9的半径为r＝3， 所以， 而， 所以d＜r，即直线l与圆O的位置关系一直相交，与k无关，故A错误； 对于B，由弦长公式可知，若直线l截圆O所得弦长最短时，圆心到直线的距离d应该最大， 而直线即过定点， 所以当且仅当OP⊥l时，d最大，此时，解得， 所以此时直线l的方程是，故B正确； 对于C，由B选项分析可知当OP⊥l时，d最大，此时，故C正确； 对于D，由A选项分析可知， 令，即， 从而，， 当t＝0时，g（t）＝g（0）＝6， 当t＞0时，， 当且仅当t＝4时，g（t）＝g（4）＝9， 当t＜0时，， 当且仅当t＝﹣4时，g（t）＝g（﹣4）＝5， 综上所述，r2﹣d2∈[5，9]，从而直线l截圆O所得弦长，故D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，考查点到直线的距离公式，属中档题． 46．已知圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1＝0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣5＝0． （1）试判断圆C1与圆C2是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由； （2）若直线y＝kx+1与圆C1交于A，B两点，且OA⊥OB，求实数k的值． 【考点】根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系．版权所有 【分析】（1）用圆心距与两圆半径的关系判断两圆位置关系；用两圆方程相减消去二次项得相交弦所在直线方程； （2）联立直线与圆的方程，根据韦达定理以及两线垂直的向量关系列式可解得k． 【解答】解（1）由已知得C1（﹣1，2），r1＝2，C2（2，0），r2＝3， 所以r1+r2＝5，|r1﹣r2|＝1，|C1C2|， 因为|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，所以圆C1与圆C2相交， 将两个圆方程相减，得（x+1）2+（y﹣2）2﹣（x﹣2）2﹣y2＝﹣5， 化简得两圆公共弦所在直线方程为：3x﹣2y+3＝0 （2）由，得（x+1）2+（kx﹣1）2＝4， 化简得（1+k2）x2+（2﹣2k）x﹣2＝0且Δ＝（2﹣2k）2+8（1+k2）＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2，x1x2， 因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2＝0，即x1x2+（kx1+1）（kx2+1）＝0， 化简得：（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝ 所以﹣21＝0，化简得k2﹣2k﹣1＝0， 解得k＝1或k＝1． 【点评】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定．属中档题． 九．由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数（共5小题） 47．过直线l：y＝x+4上一点A作圆C：（x﹣m）2+y2＝4的两条切线，切点为P，Q，无论点A在直线l上如何运动，始终有，则实数m的取值范围是（　　） A．{m|m＞0或m＜﹣8} B．{m|﹣8＜m＜0} C．{m|m＞4或m＜﹣12} D．{m|﹣12＜m＜4} 【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；圆的切线方程．版权所有 【分析】根据直线与圆的几何性质，得到无论点A在直线l上如何运动，，转化为C到直线l的距离大于即可． 【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣m）2+y2＝4，圆心为（m，0），半径为2， 如图，由于圆C半径为2，无论点A在直线l上如何运动，始终有， 故，即， 即无论点A在直线l上如何运动，， 所以圆心C（m，0）到直线l的距离，解得：m＞0或m＜﹣8， 即m的取值范围为{m|m＞0或m＜﹣8}． 故选：A． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离，属于基础题． 48．已知实数x1，x2，y1，y2满足4，4，x1x2+y1y2＝0，则的最大值为（　　） A． B．6 C． D．12 【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系．版权所有 【分析】确定A（x1，y1），B（x2，y2）在圆x2+y2＝4上，且AO⊥BO，题目转化为A，B到直线x+y﹣4＝0的距离之和，变换得到|AC|+|BD|＝2|EF|，计算得到答案． 【解答】解：根据题意，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由于4，4，x1x2+y1y2＝0， 则点A（x1，y1），B（x2，y2）在圆x2+y2＝4上，且AO⊥BO， 表示A，B到直线x+y﹣4＝0的距离之和， 原点O到直线x+y﹣4＝0的距离为， 如图所示：AC⊥CD，BD⊥CD，E是AB的中点，EF⊥CD于F， |AC|+|BD|＝2|EF|，， 故E在圆x2+y2＝2上，． 故的最大值为． 故选：C． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于中档题． 49．若直线l：y＝x+m与曲线有公共点，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．版权所有 【分析】先对曲线C进行变形，发现其图象为以（3，2）为圆心，2为半径的圆的一部分，画出曲线C及直线l的图象，采用数形结合，列出等式即可求得结果． 【解答】解：根据题意，曲线，有x≤3，且4y﹣y2≥0， 解得x≤3，0≤y≤4，曲线方程可变形为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4（x≤3）， 其集合图形是以（3，2）为圆心，半径为2的圆的左半部分， 直线l：y＝x+m，所以l是斜率为1的直线， 如图： 当直线l过（3，0）时，即0＝3+m，解得：m＝﹣3， 当直线l与圆相切时，有|2，解可得m＝21或m＝﹣21， 又由m为y＝x+m在y轴上的截距，由图象可知m＞0，则m＝21， 故﹣3≤m≤21，即m的取值范围为[﹣3，21]． 故选：C． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及曲线的方程，属于中档题． 50．若存在a∈R，使得直线ax+2y﹣b＝0与圆C：x2+（y+1）2＝1相切，则实数b的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣4] B．[0，+∞） C．[﹣4，0] D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞） 【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数．版权所有 【分析】根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，即可得解． 【解答】解：由圆C：x2+（y+1）2＝1可得，圆心C（0，﹣1），半径r＝1， 因为直线ax+2y﹣b＝0与圆C：x2+（y+1）2＝1相切， 所以圆心C到直线ax+2y﹣b＝0的距离d， 则， 解得b≥0或b≤﹣4． 故选：D． 【点评】本题考查直线与圆相切的性质的应用，属于基础题． 51．已知实数x，y满足x2+y2﹣6x+5＝0，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；直线的斜率；圆的一般式方程与标准方程的互化．版权所有 【分析】确定圆心和半径，将题目转化为过点（x，y）和点A（﹣1，0）直线的斜率，然后求解即可． 【解答】解：x2+y2﹣6x+5＝0可化为（x﹣3）2+y2＝4， 则x2+y2﹣6x+5＝0表示圆心为（3，0），半径为2的圆， 表示过点（x，y）和点A（﹣1，0）的直线的斜率， 如图所示：直角△ADM中，|AM|＝4，|DM|＝r＝2， 则， 故， 同理可得， 所以． 故选：B． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了直线的斜率公式，属中档题． 十．圆上的点到定点的距离及其最值（共5小题） 52．已知b是a，c的等差中项，直线l：ax+by+c＝0，点P为圆x2+（y+2）2＝9上任意一点，则点P到直线l距离的最大值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】圆上的点到定点的距离及其最值．版权所有 【分析】先求出直线l的定点，再结合两点之间的距离公式，即可求解． 【解答】解：b是a，c的等差中项， 则c＝2b﹣a， 直线l：ax+by+c＝0，即a（x﹣1）+b（y+2）＝0， 则直线l恒过点（1，﹣2）， 圆x2+（y+2）2＝9， 则圆心为（0，﹣2），半径为3， 故点P到直线l距离的最大值为． 故选：C． 【点评】本题主要考查圆上的点到直线的距离的最值，属于基础题． 53．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A． B． C． D． 【考点】圆上的点到定点的距离及其最值．版权所有 【分析】先求出点A关于直线x+y＝4的对称点A'，由点A'到圆心的距离减去圆的半径即为“将军饮马”的最短总路程． 【解答】解：设点A关于直线x+y＝4的对称点A'（a，b），设军营所在区域的圆心为C， 根据题意，A'C﹣1为最短距离，先求出A'的坐标， AA'的中点为（，），直线AA'的斜率为1， 故直线AA'为y＝x﹣3， 由，联立得a＝4，b＝1， ∴A′（4，1），则A'C， 故A'C1， 则“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点关于直线的对称点的求法，是中档题． 54．若P，Q分别是圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+21＝0上的点，则|PQ|的最小值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【考点】圆上的点到定点的距离及其最值．版权所有 【分析】结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解． 【解答】解：圆C1：x2+y2＝1， 则圆心C1（0，0），半径r1＝1， 圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+21＝0，即（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4， 则圆心C2（4，3），半径r2＝2， |C1C2|， 故|PQ|的最小值为|C1C2|﹣r1﹣r2＝5﹣1﹣2＝2． 故选：B． 【点评】本题主要考查圆上的点到定点的距离，属于基础题． 55．已知实数x1，x2，y1，y2满足：4，9，x1x2+y1y2＝x1+x2﹣1，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最大值为 　　 ． 【考点】圆上的点到定点的距离及其最值．版权所有 【分析】直接利用三角换元法结合辅助角公式求解即可 【解答】解：依题可设x1＝2cosα，y1＝2sinα，x2＝3cosβ，y2＝3sinβ， 由x1x2+y1y2＝x1+x2﹣1，可得6cos（α﹣β）+1＝2cosα+3cosβ． 为求cos（α﹣β）的最小值， 设γ＝α﹣β，则6cosγ+1＝2cos（β+γ）+3cosβ， 从而有|6cosy+1|＝|（2cosγ+3）cosβ﹣2sinγsinβ|， 因此（6cosγ+1）2≤13+12cosγ， 解得． 再由13+4， 可知（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用三角换元求解最值问题，是中档题． 56．点O为平面直角坐标系的原点，A（﹣3，0），点P满足，点Q为圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上一动点，则|PQ|+|PC|的最小值为 　　 ． 【考点】圆上的点到定点的距离及其最值．版权所有 【分析】先求出P的轨迹方程，再根据两圆相离可求线段和的最小值． 【解答】解：设P（x，y），A（﹣3，0），点P满足， 则，整理得到（x﹣1）2+y2＝4， 设该圆的圆心为M，则M（1，0），半径为2， 而C（3，4），圆C的半径为1，如图：， 故圆M与圆C相离，故|PQ|的最小值为， 当且仅当M，P，Q，C共线时且P，Q在M，C之间时取最小值． 而|PC|的最小值为，当且仅当M，P，C共线且P在M，C之间时取最小值， 故|PQ|+|PC|的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，距离公式的应用，是中档题． 十一．圆上的点到直线的距离及其最值（共4小题） 57．圆C：x2+y2﹣16x﹣12y+98＝0上的点到直线l：x+y﹣10＝0的最小距离为（　　） A． B． C． D．4 【考点】圆上的点到直线的距离及其最值；点到直线的距离公式．版权所有 【分析】由圆的方程及性质，结合点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：圆C：x2+y2﹣16x﹣12y+98＝0可变形为（x﹣8）2+（y﹣6）2＝2， 即此圆的圆心为（8，6），半径为， 又圆心（8，6）到直线l：x+y﹣10＝0的距离为， 则圆C：x2+y2﹣16x﹣12y+98＝0上的点到直线l：x+y﹣10＝0的最小距离为． 故选：C． 【点评】本题考查了圆的方程，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题． 58．若圆上恰有2个点到直线l：3x+4y+15＝0的距离为1，则实数r的取值范围为（　　） A．（3，+∞） B．（5，+∞） C．（3，5） D．[3，5] 【考点】圆上的点到直线的距离及其最值．版权所有 【分析】利用平行线间距离公式根据圆上满足题意的点的个数即可求得结果． 【解答】解：如图所示： 由题意圆上恰有2个点到直线l：3x+4y+15＝0的距离为1， 可设与直线l行且与直线l之间的距离为1的直线方程为3x+4y+c＝0， 则，解得c＝10或c＝20， 圆心C1（﹣1，2）到直线3x+4y+10＝0的距离为， 圆C1（﹣1，2）到直线3x+4y+20＝0的距离为， 由图可知，圆C1与直线3x+4y+10＝0相交，与直线3x+4y+20＝0相离， 所以d1＜r＜d2，即3＜r＜5． 故选：C． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题． 59．已知圆（x﹣2）2+（y+1）2＝9，直线x+y+m＝0，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则m可以是（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【考点】圆上的点到直线的距离及其最值．版权所有 【分析】根据已知条件，推得圆心到直线的距离小于等于1，再结合点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2＝9， 则圆心为（2，﹣1），半径为3， 圆上至少有3个点到直线的距离为2， 则圆心到直线的距离小于等于1， 故d，解得，故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查圆上的点到直线的距离，属于基础题． 60．已知直线l1：ax﹣y+5＝0与直线l2：x+ay﹣a+4＝0（a∈R）的交点为P，则点P到直线l：y＝x﹣3距离的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】圆上的点到直线的距离及其最值；恒过定点的直线．版权所有 【分析】求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案． 【解答】解：根据题意，直线l1：ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，恒过定点（0，5），设A的坐标为（0，5）， 直线l2：x+ay﹣a+4＝0（a∈R），变形可得a（y﹣1）＝﹣（x+4），恒过定点（﹣4，1），设B的坐标为（﹣4，1）， 又由直线l1：ax﹣y+5＝0与直线l2：x+ay﹣a+4＝0（a∈R），则有1×a+（﹣1）a＝0， 则直线l1，l2分别过定点A（0，5），B（﹣4，1），且互相垂直， 所以点P的轨迹是以AB为直径的圆（不含点（0，1））， 这个圆的圆心坐标为（﹣2，3），半径r|AB|， 圆心到直线l距离为， 因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是（0，1），因此取值范围是． 故选：D． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，属于中档题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$