精品解析：湖南省常德市澧县城关中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

城关中学九年级第一学期第三次月考 数学试卷 （时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知线段，，是线段，的比例中项，则线段的长为（ ） A. 或 B. C. D. 4. 如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为（ ） A. 18 B. 36 C. D. 5. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，在直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心， 在第一象限内作 的位似图形， 位似比为，则点A 坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，底边上的高为，底边上的高为，则有（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 8. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9. 如图所示，在正方形网格中的位置如图所示（均在格点上），于点.下列四个选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；；；；其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共8小题，每题3分，满分24分） 11. 一元二次方程的一般形式为______（二次项的系数为正数） 12. 若，则的值是______． 13. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 ____m． 14. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC． 若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=5m，则路灯的高度OP为 _____m． 15. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 16. 已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接） 17. 若函数y=ax2+3x-1的图像与x轴有交点，则a的取值范围是________． 18. 如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线；交x轴于另一点…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则m的值为______． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 20. 将二次函数化成的形式；并写出其对称轴和顶点坐标． 21. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 22. 随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，西宁市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查，调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：A．积极参与，B．一定参与，C．可以参与，D．不参与．根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图． 学生参与“朗读”的态度统计表 类别 人数 所占百分比 A 18 a B 20 C m D 4 b 合计 n 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，并将条形统计图补充完整； （2）该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若P是y轴上一点，且满足的面积是5，求点P坐标． 24. 南海诸岛自古以来都是中国的领土，2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，军委主席习近平登上长沙舰检阅海军舰艇编队，包括辽宁号航母在内的48艘舰艇参加了阅兵仪式．如图，A、B是两处海港，其中A在B南偏东方向千米处，辽宁号航母从海港A出发，沿北偏东方向，以15千米/小时的速度匀速航行，两小时后，长沙舰从海港B出发，沿北偏东的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅兵地点C． （1）长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了多少时间？ （2）求长沙舰的航行速度．（结果保留根号） 25. 如图，在中，点，分别是边和上的点，． （1） 求证：； （2）若，求的长． 26. 如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城关中学九年级第一学期第三次月考 数学试卷 （时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，函数（是常数，）叫做反比例函数．根据反比例函数的定义即可判断． 【详解】解：A.是正比例函数，故A不符合题意； B.是二次函数，故B不符合题意； C. ，y是x的反比例函数，故C符合题意； D.不是x的反比例函数，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】函数． 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，可得，即可求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：D． 3. 已知线段，，是线段，的比例中项，则线段的长为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例中项的性质可得，即可求解． 【详解】解：由题意可得且，即，解得 故选B 【点睛】此题考查了比例中项的性质，比例中项的平方等于两个数的乘积，掌握比例中项的概念是解题的关键，易错点为线段． 4. 如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为（ ） A. 18 B. 36 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，反比例函数比例系数的几何意义．根据点与点关于轴对称，求出，再根据三角形中线平分三角形的面积和反比例函数系数的几何意义可求出的值． 【详解】解：连接， 点是点关于轴的对称点， ， ， 的面积为18， ， ． 又反比例函数的图象在第二象限， ． 故选：C． 5. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据，，可计算出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，在直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心， 在第一象限内作 的位似图形， 位似比为，则点A 坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查位似与坐标，熟练掌握位似与坐标的关系是解题的关键．根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把点的横纵坐标乘以，即可得到答案． 【详解】解：∵的顶点为，，，以点O为位似中心， 在第一象限内作 的位似图形， 位似比为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； 故选B． 7. 如图，底边上的高为，底边上的高为，则有（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，然后根据图形及三角函数可直接进行排除选项． 【详解】解：分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，如图所示： 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握利用三角函数求解问题是解题的关键． 8. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可． 【详解】解：过点D作，交于H， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 如图所示，在正方形网格中的位置如图所示（均在格点上），于点.下列四个选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】由图知未在直角三角形中，所以直接排除； 在中，， ∴，， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了在网格中，借助直角三角形进行三角函数值的计算，熟知三角函数的定义是解题的关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；；；；其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线开口向下，与轴交于正半轴，可确定，．再根据对称轴是直线，即，可确定，从而可判断①④；根据当时，即可判断②；根据当时，，即可判断③；由，，即可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，． 对称轴是直线， ， ， ，故①④错误； 当时，． ，故②错误； 当时，， ，故③正确； ， ． ，故⑤错误． 综上可知正确结论的个数是1个． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 二、填空题（共8小题，每题3分，满分24分） 11. 一元二次方程的一般形式为______（二次项的系数为正数） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了将一元二次方程化为一般形式 先去括号，再移项化为一般形式即可． 【详解】解：去括号得：， ∴， 故答案为： 12. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，设，则，代入计算即可． 【详解】解：， 设，则， ， 故答案为：． 13. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 ____m． 【答案】50 【解析】 【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：根据题意得：∠ACB=90°，sinα＝， ∴， ∵BC＝30m， ∴， 解得：AB=50m， 即迎水坡面AB的长度为50m． 故答案为：50 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键． 14. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC． 若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=5m，则路灯的高度OP为 _____m． 【答案】 【解析】 【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解． 【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变： ∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=5m ∴ ，代入得： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查利用相似三角形测高，掌握同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变是解题关键． 15. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数图象的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数图象过一，三象限，在每一个象限内，随着的增大而减小， ∵点，，均在反比例函数的图象上，且， ∴； 故答案为： 17. 若函数y=ax2+3x-1的图像与x轴有交点，则a的取值范围是________． 【答案】a≥- 【解析】 【分析】二次函数与x轴的交点个数，即令y=0时，方程的解个数即为与x轴的交点个数；当有交点时，则方程的判别式≥0，代入相应的数据求解即可. 【详解】令y=0，则 ax2+3x-1=0， 因为函数 y=ax2+3x-1的图像与x轴有交点， 所以 =9+4a≥0， 解得 a≥-. 故答案为 a≥-. 【点睛】本题考查了二次函数图像与x轴的交点问题，熟知二次函数图像与x轴的交点与的关系是解决本题的关键. 18. 如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线；交x轴于另一点…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的基本规律，结合题意确定函数图象变化规律是解题关键．根据确定，，的解析式为，图象开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等，计算，判定m与时的函数值相等，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的解析式为， 根据题意，得函数图象开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等， ∵， ∴m与时的函数值相等， 当时，， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先进行开方，零指数幂，特殊角的三角函数值，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 20. 将二次函数化成的形式；并写出其对称轴和顶点坐标． 【答案】，对称轴为直线，顶点坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了将二次函数的解析式化为顶点式及的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．先把解析式化为顶点式，再根据顶点式的性质即可得到答案． 【详解】解： 可化为 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 21. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 22. 随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，西宁市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查，调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：A．积极参与，B．一定参与，C．可以参与，D．不参与．根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图． 学生参与“朗读”的态度统计表 类别 人数 所占百分比 A 18 a B 20 C m D 4 b 合计 n 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，并将条形统计图补充完整； （2）该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？ 【答案】（1），8， 补全条形统计图如解图所示； （2）“朗读”活动可以顺利开展 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，列表法求概率，从统计图表中获取信息以及掌握列表法求概率是解题的关键． （1）根据B项的人数与占比求得总人数，进而求得a，m的值，进而补全统计图； （2）根据样本估计不参与的人数，与150比较，即可求解． 【小问1详解】 解：∵B项的人数为20人，所占百分比为， ∴本次共调查人数（人）， ∴，， 故答案为：，8； 【小问2详解】 解：∵， ∴1500人中，不参与的人数约有（人）（人）， ∴“朗读”活动可以顺利开展． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若P是y轴上一点，且满足的面积是5，求点P坐标． 【答案】（1），； （2）或； （3）或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）可先把代入反比例函数解析式，求得的值，进而求得的值，把，两点分别代入一次函数解析式即可． （2）利用图象法解决问题即可； （3）令求出的值，确定出坐标，得到的长，三角形面积由三角形面积与三角形面积之和求出，由已知的面积求出的长，即可求出的长． 【小问1详解】 点在上， ， 反比例函数解析式为； 又点在上， ， 点的坐标为， 把和两点的坐标代入一次函数得 解得， 一次函数的解析为． 【小问2详解】 观察图象可知：不等式的解集为或； 【小问3详解】 如图，设一次函数与y轴交于点C， 对于一次函数，令，求出， 即，， 根据题意得：， 解得：， 所以，或． 24. 南海诸岛自古以来都是中国的领土，2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，军委主席习近平登上长沙舰检阅海军舰艇编队，包括辽宁号航母在内的48艘舰艇参加了阅兵仪式．如图，A、B是两处海港，其中A在B南偏东方向千米处，辽宁号航母从海港A出发，沿北偏东方向，以15千米/小时的速度匀速航行，两小时后，长沙舰从海港B出发，沿北偏东的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅兵地点C． （1）长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了多少时间？ （2）求长沙舰的航行速度．（结果保留根号） 【答案】（1）长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了2小时 （2）长沙舰的航行速度为千米/小时 【解析】 【分析】(1)根据方位角可以得出的各个内角的度数，根据所给的条件，可以求出三条边的长，于是可以求出辽宁号舰从点A到点C的时间，进而求出长沙舰从点B到点C的时间； (2)根据路程除以时间就是速度，即求可出的长度和长沙舰行驶所有时间． 【小问1详解】 解：由题意得：千米，，， ， 如图：过点A作，垂足为D， 在中，（千米）， 在中，， ，（千米）， 千米， ∴辽宁号航母从A到C的时间为（小时）， 则长沙舰从B到C所用时间为（小时）， 答：长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了2小时； 【小问2详解】 解：长沙舰的速度为(千米/小时)， 答：长沙舰的航行速度为千米/小时． 【点睛】本题考查了方位角的意义和解直角三角形等知识，将方位角转化到三角形的内角是关键，正确地解直角三角形是前提． 25. 如图，在中，点，分别是边和上的点，． （1） 求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， 又，， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由（1）可知，则有，然后可得，进而根据三角函数可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 26. 如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），的面积S有最大值 （3）存在，点F的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，运用待定系数法，建立方程组求解； （2）运用待定系数法，确定直线解析式为，联立二次函数解析式，求解得，过点E作轴，交于点G，设的面积：，根据二次函数性质求得的面积有最大值． （3）存在．设点，则；；；分情况讨论：①若，②若，③若，根据勾股定理，建立方程求解得点F的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，，其对称轴为直线， ∴，解得 ∴． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，则 解得 ∴直线解析式为． 联立直线与抛物线解析式，得 ，解得 ∴ 过点E作轴，交于点G， 设，则 的面积 ∴ ∴当时，的面积有最大值． 此时，， ∴． 【小问3详解】 解：存在． 设点，则 ； ； ； ①若，则， ∴，解得， ∴；      ②若，则， ∴，解得， ∴；      ③若，则， ∴， 解得， ∴或    综上，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，函数图象交点与方程组的联系，勾股定理，二次函数的性质；根据勾股定理建立方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $