精品解析：河北省石家庄市平山县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

河北省石家庄市平山县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中化简后等于的是（ ） A. B. C. D. 2. 一次函数的图象不会经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 4. 老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A. B. 平均数为8 C. 添加一个数8后方差不变 D. 这组数据的众数是6 5. 如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图像描述大致是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，原命题和逆命题都是真命题的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 菱形的四条边相等 D. 四个角都相等的四边形是正方形 7. 已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A. 2 B. 3 C. 8 D. 11 8. 一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（ ） A. 方程的解是 B. 不等式和不等式的解集相同 C. 不等式组的解集是 D. 方程组的解是 11. 如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（　　） ①图1中长； ②图1中的长是； ③图2中点M表示4时y值为； ④图2中点N表示时y值为． A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 12. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是，方差分别为，，则这两个合唱队的队员身高比较整齐的是______队．（填“甲”或“乙”） 14. 在平行四边形中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧交于点P；作射线交边于点E，若，则________． 15. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． 16. 如下图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是______． 三、解答题（本大题8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米． （1）求小溪流的长； （2）求四边形的面积（结果保留根号）． 19. 如图，在中，，点是中点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 20. 为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，制作了如图的统计图（1）和图（2）． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查的学生人数为_____，在图（2）中，“①”的描述应为“7分”，其中m的值为______； （2）求抽取的学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数； （3）若该校九年级共有名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？ 21. 某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户集约化运输，并制定如下计价规则． 计价规则 货物质量不超过时，单价为6元； 货物质量超过但不超过时，超过部分单价为5元； 货物质量超出时，超出的部分单价为4元，并一次性额外收取30元的碳排放附加费． 设货物质量为，运费为y（元）． （1）若货物A质量为，货物B质量为，分别计算两个货物的运费； （2）当时，求y与x的函数解析式； （3）若某货物的运费为170元，求该货物质量为多少？ 22. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B、A，以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠ABC=90°，过C作CD⊥x轴于点D，OB的垂直平分线交AB于点E，交x轴于点G，连接CE． （1）求点C的坐标； （2）判定四边形EGDC的形状，并说明理由； （3）点M在直线上，使得，求点M的坐标． 23. 如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． （1）该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； （2）在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； （3）若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 24. 定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）． （1）由定义可知，一次函数的“亮点”为________． （2）一次函数的“亮点”为，求p，q的值． （3）若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”． ①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． ②点Q在直线（）上，若点Q与边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省石家庄市平山县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中化简后等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质将各个选项进行化简即可． 【详解】解：A. ，因此选项A不符合题意； B. ，因此选项B不符合题意； C. ，因此选项C不符合题意； D. ，因此选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是正确解答的前提． 2. 一次函数的图象不会经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由解析式可得，，可知一次函数图象经过一、三、四象限，进而即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数， ∴，， ∴一次函数图象经过一、三、四象限，不会经过第二象限， 故选：． 3. 如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．根据平行四边形的性质，得到，在中，根据三角形中位线的判定与性质，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形, ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 4. 老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A. B. 平均数为8 C. 添加一个数8后方差不变 D. 这组数据的众数是6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方差，平均数，众数．根据方差的公式可得该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，再根据方差，众数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B选项正确，不符合题意； 添加一个数8后方差为 即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意； 这组数据，6出现的次数最多， 即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 5. 如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图像描述大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为： 当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长等于火车长，此时y最大，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C． 故选：B． 6. 下列命题中，原命题和逆命题都是真命题的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 菱形的四条边相等 D. 四个角都相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据矩形、菱形、正方形的性质和判定判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，逆命题是对角线相等的四边形是矩形，是假命题，不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是矩形，是假命题，逆命题是矩形的对角线互相平分，是真命题，不符合题意； C、菱形的四条边相等，是真命题，逆命题是四条边相等的四边形是菱形，是真命题，符合题意； D、四个角都相等的四边形是正方形，是假命题，逆命题是正方形的四个角都相等，是真命题，不符合题意； 故选：C． 7. 已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A. 2 B. 3 C. 8 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论． 【详解】解：由题意得：，解得， 又因为是整数， ∴是完全平方数， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键． 8. 一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据选项中正比例函数图象确定k值，再去判定一次函数经过的象限即可判定． 【详解】解：A、选项中没有过原点的直线，此选项不符合题意； B、由正比例函数图象可知，则，故一次函数图象经过第一、三、四象限，此选项符合题意； C、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； D、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； 故选：B． 9. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了七巧板拼图，勾股定理．先结合图得出长方形的长是正方形的对角线长为，长方形的宽是正方形对角线长的一半为，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：由图可知，长方形的长等于正方形的对角线长为，长方形的宽是正方形对角线长的一半为， 根据勾股定理可得：． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（ ） A. 方程的解是 B. 不等式和不等式的解集相同 C. 不等式组的解集是 D. 方程组的解是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项结论正确，不符合题意； ∴不等式的解集为，不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故B选项结论正确，不符合题意； 将点P的坐标代入直线与直线可得直线与直线 ∴直线与x轴交于点， ∴不等式组的解集是，故C选项结论正确，不符合题意； 由题意可知方程组，即方程组的解是， 无法求出方程组的解，故D选项结论错误，符合题意． 故选：D． 11. 如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（　　） ①图1中长； ②图1中的长是； ③图2中点M表示4时y值为； ④图2中点N表示时y值为． A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的动点问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．依据题意，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 【详解】解：由图象可得：0～2秒，点P在上运动，则， ∵点G是中点， ∴，故①正确． 由图象可得：2﹣4秒，点P在上运动，则第4秒时，,故③正确． 由图象可得：4﹣7秒，点P在上运动，则，故②正确． 由图象可得：当第秒时，点P在H处， ∵， ∴， ∴． ∴．故④不正确． ∴结论正确为①②③． 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得， 设直线AB的解析式为y=kx+b 则 解得： ∴直线AB的解析式为：y=x-4， ∴x=y+4， 设直线AC的解析式为y=mx+n 则 解得： ∴直线AC的解析式为：， ∴， ∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：， ∴， ∵EP=3PF， ∴， ∴点P的横坐标为：， ∵， ∴． ∴ 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是，方差分别为，，则这两个合唱队的队员身高比较整齐的是______队．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差越小，数据越稳定，进行判断即可． 【详解】解：∵甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是，，， ∴， ∴这两个合唱队的队员身高比较整齐的是乙队； 故答案为：乙． 【点睛】本题考查利用方差判断稳定性．熟练掌握方差越小，数据越稳定，是解题的关键． 14. 在平行四边形中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧交于点P；作射线交边于点E，若，则________． 【答案】##145度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的尺规作图，熟练掌握平行四边形的性质及角平分线的尺规作图是解题的关键．角平分线的尺规作图可得，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 15. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查多边形，理解“邻等四边形”的定义是正确解答的关键． 据“邻等四边形”以及网格点的意义在网格中找出符合条件的点D的位置即可． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格点的意义可知， 所有符合条件的点D共有3个，即图形中的， 故答案为：3 16. 如下图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数综合应用、轴对称的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．将点代入直线，求解即可确定该直线的解析式为，进而确定，作点关于轴的对称点，连接交轴与点，连接，由轴对称的性质可得，即有的周长，此时的周长取最小值，然后求解即可． 【详解】解：将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线的解析式为， 将点代入直线， 可得， ∴， ∴， 如下图，作点关于轴的对称点，连接交轴与点，连接， 则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， 此时的周长取最小值， ∵， ∴， ∴的周长取最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2； （2）26 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1 ）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可； （2 ）先根据平方差公式和二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后进行有理数的加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米． （1）求小溪流的长； （2）求四边形的面积（结果保留根号）． 【答案】（1）千米 （2）平方千米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，二次根式的乘法运算，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）根据勾股定理已知直角边求斜边即可； （2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，千米， ∴（千米）； 【小问2详解】 解：∵（千米），千米，千米． ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴（平方千米）． 19. 如图，在中，，点是中点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论； （2）由已知得，再由勾股定理得的长，然后由菱形的性质和三角形面积关系得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，点D是的中点， ∴． 20. 为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，制作了如图的统计图（1）和图（2）． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查的学生人数为_____，在图（2）中，“①”的描述应为“7分”，其中m的值为______； （2）求抽取的学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数； （3）若该校九年级共有名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？ 【答案】（1） （2）平均数为分，众数是9分，中位数为8分 （3）估计该校理化生实验操作得满分的学生有人 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图可求出抽查学生人数；根据扇形统计图即可求出m的值； （2）根据条形统计图即可求出平均数、众数和中位数； （3）根据样本估计总体的原则即可求解． 【小问1详解】 解：本次随机抽查的学生人数为（人）， ，即； 故答案为：40，15； 【小问2详解】 解：平均数为：（分）， 由图表得知，众数是9分． 名同学，中位数为从小到大排名第和第名同学的平均数， 由图表得知，排名后第和第名同学得分均为8分， 因此，中位数为8分； 【小问3详解】 解：根据题意得： （人）， 答：估计该校理化生实验操作得满分的学生有人． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图信息关联．掌握各统计数据的意义是解题关键． 21. 某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户集约化运输，并制定如下计价规则． 计价规则 货物质量不超过时，单价为6元； 货物质量超过但不超过时，超过部分单价为5元； 货物质量超出时，超出的部分单价为4元，并一次性额外收取30元的碳排放附加费． 设货物质量为，运费为y（元）． （1）若货物A质量为，货物B质量为，分别计算两个货物的运费； （2）当时，求y与x的函数解析式； （3）若某货物的运费为170元，求该货物质量为多少？ 【答案】（1）货物A的运费为48元；货物B的运费为85元 （2） （3）27.5千克 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、求代数式的值、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）直接根据计价规则计算即可得解； （2）根据计价规则列出函数解析式即可； （3）先判断出当运费为170元时，，再根据题意得出，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：当时，元； 当时，元； 【小问2详解】 解：由题意可得：当时，； 【小问3详解】 解：∵当时，； ∴当运费为170元时，， ∴， 解得． ∴包裹质量为27.5千克． 22. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B、A，以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠ABC=90°，过C作CD⊥x轴于点D，OB的垂直平分线交AB于点E，交x轴于点G，连接CE． （1）求点C的坐标； （2）判定四边形EGDC的形状，并说明理由； （3）点M在直线上，使得，求点M的坐标． 【答案】（1）；（2）平行四边形EGDC是矩形，理由见解析；（3）M点坐标为或 【解析】 【分析】(1)由题意可以知道△AOB≌△BDC，从而根据OA、OB的长度可以得到C点坐标； （2）根据EG是OB的垂直平分线且G点在直线上，可以得到EG 的长度等于CD的长度，结合题意可以知道四边形EGDC的形状； （3）因为点M在OB的垂直平分线上，所以可设M点的坐标为，根据即可得到关于的方程，从而求得M点坐标． 【详解】（1）当时，，∴，； 当时，，∴， ∵∠AOB=∠ABC=90°，∴∠OAB=∠CBD， 在△AOB和△BDC中，∵AB=BC，∠AOB=∠BDC=90°，∠OAB= ∠CBD， ∴△AOB≌△BDC ∴DC=OB=2，BD=AO=4，OD=6， （2）∵EG是OB的垂直平分线， ∴G点坐标为（1,0），E点坐标为（1,2），∴EG=2 ∵CD⊥x轴于点D，，∴EG=CD=2，EG//CD， ∴四边形EGDC是平行四边形 ∵轴，∴平行四边形EGDC是矩形 （3）在△ABC中，，∴ 设M点的坐标为，则，过A作于H，则 依题意，，即 解得或，M点坐标为或 【点睛】本题考查直角三角形全等和一次函数的综合应用，熟练掌握直角三角形的有关知识及数形结合思想方法的应用是解题关键． 23. 如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． （1）该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； （2）在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； （3）若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 【答案】（1），否； （2）①；②； （3）． 【解析】 【分析】（）根据速度路程时间即可求出货车行驶的平均速度，进而根据限速即可判断是否超速； （）①利用待定系数法即可求解；②利用待定系数法求出射线的函数表达式，再联立两函数表达式得到方程组，解方程组即可求解； （）当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，利用待定系数法可得，把代入得，据此即可求出激光射线与射线有交点的时长； 本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数函数表达式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，该货车行驶的平均速度为， ∵限速， ∴该货车没有超速， 故答案为：，否； 【小问2详解】 解：①设射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴； ②设射线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴， 由，解得， ∴射线、射线的交点坐标为； 【小问3详解】 解：当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∵， ∴， ∴激光射线与射线有交点的时长为． 24. 定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）． （1）由定义可知，一次函数的“亮点”为________． （2）一次函数的“亮点”为，求p，q的值． （3）若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”． ①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． ②点Q在直线（）上，若点Q与边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①或；②或； 【解析】 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）①根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可．②由点Q与边上的三点能构成平行四边形，如图，的临界位置为：，，再由直线（）过临界点求解的值即可得到答案； 【小问1详解】 解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得， 一次函数的“亮点”为； 【小问2详解】 解：根据定义可得，点在上， ， 解得， 点又在上， ， 又， ， 解得， ； 【小问3详解】 ①直线上没有“亮点”， 直线与平行， ， ，令，， 令，则， ， ， 设， ， ， ， ， 即或， 解得或， 或； ②由①得：， 而点Q与边上的三点能构成平行四边形， 如图，的临界位置为：，， ∵点Q在直线（）上， ∴当过时， ∴， 解得：； 当过时， ∴， 解得：， ∴的取值范围为：或； 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，平行四边形的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $