精品解析：江苏省如皋中学2024-2025学年高一下学期4月检测数学试题

如皋中学高一数学4月检测 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理代入计算即可. 【详解】由余弦定理可知， 又因为，所以可得. 故选：A 2. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b=ccosA，则△ABC的形状为（ ）. A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理解三角形即可. 【详解】由余弦定理可得，化简得， 由勾股定理的逆定理可知是以角为直角的直角三角形. 故选：B. 3. 已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线、平面之间的位置关系作出判断. 【详解】对于A选项，若，则或，故A错误； 对于B选项，若，则，故B正确； 对于C选项，若，则与可以异面，故C错误； 对于D选项，若，如果与相交，则，但如果，则或或与斜交，故D错误. 故选：B. 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用余弦定理求出的长度，再根据余弦定理求出的值. 【详解】在中，； 由余弦定理，解得. 再根据余弦定理，解得. 故选：. 5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由侧面展开图为扇形，扇形的弧长为底面圆的周长，扇形半径为圆锥的母线，据此计算即可求解. 【详解】由圆锥的特征可知圆锥的侧面展开图形成的扇形弧长为底面圆的周长， 则该弧长为，又，由扇形的弧长公式可知：圆锥的母线长为． 故选：A. 6. 在正四棱锥中，是中点，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线平行可得即为异面直线与所成的角或其补角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】连接相交于，连接,则是的中点， 故，故即为异面直线与所成的角或其补角， 由于，故， 由于, 故, 故,结合, 故，即异面直线与所成的角为， 故选：C 7. 如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由， 可得： 解得： 故选：A 8. 在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设为的中点，则即为所在直线，判断与是异面直线，即可判断A；由，与不垂直，即可判断B；由条件可证得平面，而，可得平面，从而，即可判断C，D. 【详解】设为的中点，连接， ∵为的中点，为的中点，∴， 又∵，∴， ∴四点共面， ∴平面与平面的交线为，则即为所在直线， ∵与是异面直线，即与是异面直线，故A错误； ∵，而在直角中，，则与不垂直， 故与不垂直，即与不垂直，故B错误； ∵平面，平面，∴， 又，，平面， ∴平面，又， ∴平面，即平面， ∵平面，∴，故C错误，D正确， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. D. 的内切圆半径是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式即可求，利用余弦定理即可求得，由求，进而得的面积，利用数量积的定义即可判断C，设的内切圆半径为，由即可求解. 【详解】由，所以， 由余弦定理有：， 所以，故A正确； 由，所以，故B正确； ，故C错误； 设的内切圆半径为，则有， 即，故D正确. 故选：ABD. 10. 在正方体中，为四边形的中心，平面∩平面，则下列结论正确的是（　　） A. 直线与异面 B. C. 平面⊥平面 D. l∥平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意作图，由线线平行得到两直线共面，从而找到交线，由线线平行证明线面平行判断D选项；利用假设法和点线面的关系证明A选项；证明线面垂直，从而得到线线垂直，判断B选项；由锐二面角的定义得到两平面夹角，设正方体棱长，求出二面角即可判断C选项. 【详解】根据题意作图，取中点，连接，连接交与点，连接，如下： ∵为中点，∴且，∴平面， 同理可得：平面，即为直线，不在平面内， ∴，平面，∴l∥平面，D选项正确； ∵平面，∴平面平面， 又∵平面， 假设若直线与直线共面，则，显然假设不成立， 即直线与异面，A选项正确； 在正方形中，在正方体中平面，平面， ∴，又，平面，平面， ∴平面，又平面，∴，B选项正确； ∵，∴平面，平面，平面， ∴，，由∵平面，平面， 即为平面与平面的锐二面角，设正方体边长为2， 则， ∴，即，即平面⊥平面不成立，C选项错误. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到平面的距离为定值 B. 直线与所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. 若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：由，从而平面判断；选项B：由直线与所成的角即直线与所成的角，由为的中点和与（或）重合角最大和最小判断；选项C：将沿直线翻折，使其与平面共面，连接，再在中，利用余弦定理求解判断；选项D：过作于点，连接，则，从而平面，再由平面，得到平面平面，从而平面求解. 【详解】选项A：如图1，由题易知，因为平面，平面， 所以平面， 所以动点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，A正确. 选项B：直线与所成的角即直线与所成的角， 当为的中点时，所成的角最大，为， 当与（或）重合时，所成的角最小，为， 所以与所成角的取值范围为，B正确. 选项C：将沿直线翻折，使其与平面共面， 记翻折后点对应的点为，连接，如图2， 则，在中，由余弦定理可得： ， 即的最小值为，C错误. 选项D：如图3，过作于点，连接， 则，平面，平面，所以平面， 又平面，，，平面， 所以平面平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. 设，则，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，D正确. 故选；ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式可求得所求代数式的值. 【详解】. 故答案为：. 13. 在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先证明线面平行，得到直线到平面的距离等于点到平面的距离，证明线面垂直，得到即为点到平面的距离，求出答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 直线到平面的距离等于点到平面的距离， 连接，与相交于点，则⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故即为点到平面的距离， 因为正方体的棱长为2， 所以， 故直线到平面的距离. 故答案为： 14. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若的面积为，则角C等于_________，的最小值为_______. 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】第一空利用正弦定理将已知条件中的式子角化边，再利用余弦定理即可求出角；第二空利用三角形的面积公式可求出，再利用余弦定理和基本不等式即可求出的最小值. 【详解】第一空： 因为， 所以由正弦定理得，，即， 所以由余弦定理得，， 因为，所以； 第二空： 因为的面积为，所以，所以， 由余弦定理得，， 当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为6. 故答案为：；6. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，与的夹角为120°． （1）求角C的大小； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积定义和坐标运算，结合二倍角余弦公式得的值，解得角； （2）由三角形面积公式得，再根据余弦定理求的值． 【小问1详解】 根据题意，，， ， 又， ，又， . 【小问2详解】 由，解得， 又，即， ， . 16. 如图，四棱台中，上、下底面分别为边长1，2的正方形，平面，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1） 连接，交于点，连接,. 由题意：，且，，为中点， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）可通过证明线线平行得到线面平行. （2）作出直线与平面所成的角，在直角三角形中，利用边角关系求正切. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以平面， 又平面，所以. 又，，平面， 所以平面. 所以为直线与平面所成的角. 在中，. 17. 如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点. （1）证明：平面； （2）证明：； 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）只需通过证明两次线面平行得到平面平面，再结合面面平行的性质即可得证； （2）只需证明平面，再结合线面垂直的性质即可得证. 【小问1详解】 连接CM，，，是AB中点， 且， 四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 平面平面，又平面， 平面. 【小问2详解】 ，平面， 平面， 平面， ， 又，四边形是平行四边形， 平行四边形为正方形，． 又，平面，平面， 所以平面，平面，. 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，． （1）求； （2）若的面积为，是上的点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理结合可得出，再利用余弦定理可求得的值； （2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的长. 【小问1详解】 因为，所以，，即， 因为，则，即，故， 由余弦定理可得. 【小问2详解】 因为，则， 因为，可得， 因为，，故，，， 是上的点，且，则，， 所以，， 在中，由正弦定理可得， 故. 19. 如图，长方体中，，，点为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小； （3）求点与平面的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）设与交于点，证明，然后由线面平行判定定理得证线面平行； （2）证明是异面直线与所成的角或其补角，再在中求出此角即得； （3）证明平面，得的长等于到平面的距离，求出此线段长即可． 【小问1详解】 设与交于点，则是中点，如图，连接，又是中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为，所以是异面直线与所成的角或其补角， 由已知，，所以， 所以异面直线与所成的角是； 【小问3详解】 是正方形，所以， 又是长方体，因此平面， 而平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以的长等于到平面的距离， 正方形的边长为1，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 如皋中学高一数学4月检测 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b=ccosA，则△ABC的形状为（ ）. A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 3. 已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6. 在正四棱锥中，是中点，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. D. 的内切圆半径是 10. 在正方体中，为四边形的中心，平面∩平面，则下列结论正确的是（　　） A. 直线与异面 B. C. 平面⊥平面 D. l∥平面 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到平面的距离为定值 B. 直线与所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. 若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算______． 13. 在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________. 14. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若的面积为，则角C等于_________，的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，与的夹角为120°． （1）求角C的大小； （2）已知，，求的值． 16. 如图，四棱台中，上、下底面分别为边长1，2的正方形，平面，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 17. 如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点. （1）证明：平面； （2）证明：； 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，． （1）求； （2）若的面积为，是上的点，且，求的长． 19. 如图，长方体中，，，点为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小； （3）求点与平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $