4.5　等腰三角形 课件 2025-2026学年 湘教版（2024）八年级数学上册

过教材　要点概览 第3课时　等边三角形的性质和判定 1.等边三角形的性质 (1)等边三角形三条边　 　;  (2)等边三角形的三个内角　 　,且都等于　 　°;  (3)等边三角形是　 　图形,它有　 　条对称轴,分别是三个内角的　 　所在的　 　.  2.等边三角形的判定定理 三个角都相等的三角形是　 　三角形;有一个角是60°的 　 　三角形是　 　三角形.  相等 相等 60 轴对称 三 平分线 直线 等边 等腰 等边 初中同步学习导与练·数学·XJ·八上 精讲练　新知探究 探究点一　等边三角形的性质 例1　如图所示,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,以AD为一边向右作等边三角形ADE.请判断AC,DE的位置关系,并给出证明. 2 解:AC,DE的位置关系:AC⊥DE. 证明如下: 因为△ABC和△ADE是等边三角形, 所以∠C=60°,∠ADE=60°. 因为AD⊥BC, 所以∠ADC=90°. 在△CDF中, ∠CDF=90°-∠ADE=30°, 所以∠CFD=180°-∠C-∠CDF=180°-60°-30°=90°. 所以AC⊥DE. 3 等边三角形是特殊的等腰三角形,每个角都等于60°,经过每个顶点的角平分线、中线、高都符合三线合一的性质,分得的两个直角三角形锐角分别是30°和60°. 归纳提升 4 巩固训练 1.如图所示,△ABC是等边三角形,AD平分∠BAC,若BD=3,则AB的长为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 C 5 2.如图所示,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E是AD延长线上一点,若AE=AC,则∠AEC的度数为( ) A.45° B.60° C.65° D.75° D 6 3.如图所示,BD,CE是等边三角形ABC的中线,则∠EFD=　 　.  120° 7 探究点二　等边三角形的判定 例2　如图所示,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC,AE⊥AB. (1)求∠C的度数; (2)求证:△ADE是等边三角形. (1)解:因为AB=AC,∠BAC=120°, 所以∠B=∠C=30°. (2)证明:因为∠B=∠C=30°,AD⊥AC,AE⊥AB. 所以∠ADC=∠AEB=60°. 所以∠ADC=∠AEB=∠EAD=60°. 所以△ADE是等边三角形. 8 判定一个三角形是等边三角形,可证明在三角形中有两个角等于60°;或有两条边相等,证明一个角等于60°;或证明三条边相等. 方法技巧 9 巩固训练 4.下列说法不正确的是( ) A.三边相等的三角形是等边三角形 B.三个角相等的三角形是等边三角形 C.有一个角是60°的三角形是等边三角形 D.顶角为60°的等腰三角形是等边三角形 C 10 5.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放,若∠1=60°,则△ABC是( ) A.不等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 D 11 6.在△ABC中,如果AB=AC,∠A=∠C,那么△ABC的形状为　 　.  7.如图所示,已知OA=a,P是射线ON上一动点,∠AON=60°,当OP=　 　时, △AOP为等边三角形.  等边三角形 a 12 谢谢观赏！ 13 $$ 过教材　要点概览 4.5　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 (1)等腰三角形是　 　对称图形,对称轴是　 　所在的直线; (2)等腰三角形底边上的　 　、　 　及　 　重合(简称“　 　”);  (3)等腰三角形的两个　 　相等(简称“等边对　 　”).  轴 顶角平分线 高线 中线 顶角平分线 三线合一 底角 等角 初中同步学习导与练·数学·XJ·八上 精讲练　新知探究 探究点　等腰三角形的性质 例1　如图所示,BD=BA,CE=CA,∠ABC=50°,∠ACB=70°,求△ADE的各内角的度数. 解:因为BD=BA,所以∠D=∠DAB. 所以∠ABC=2∠D=50°. 所以∠D=25°. 因为CE=CA,所以∠E=∠CAE. 所以∠ACB=2∠E=70°. 所以∠E=35°. 所以∠DAE=180°-∠D-∠E=120°. 故∠D=25°,∠E=35°,∠DAE=120°. 2 例2　如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,∠CAD=40°,EF为过点A的一条直线,且EF∥BC,求∠BAE的度数. 解:在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线, 所以AD⊥BC,且AD平分∠BAC. 所以∠ADB=90°,∠BAD=∠CAD=40°. 所以∠B=50°. 因为EF∥BC,所以∠BAE=∠B=50°. 3 等腰三角形中,利用等边对等角的性质,结合三角形的内角和定理可求得三角形各角的度数,利用三线合一的性质,可求得角的度数或边的 长度. 方法技巧 4 巩固训练 1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠ADC的度数为( ) A.35° B.40° C.42° D.50° B 5 2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,且BC=6,则BD的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.等腰三角形的两个底角相等,顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是( ) A.30° B.40° C.50° D.60° C B 6 谢谢观赏！ 7 $$ 过教材　要点概览 第2课时　等腰三角形的判定 等腰三角形判定定理 有两个角相等的三角形是　 　三角形(简称　 　).  等腰 等角对等边 初中同步学习导与练·数学·XJ·八上 精讲练　新知探究 探究点　等腰三角形的判定 例题　如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,∠B=30°,∠DAB= 45°. 求证:△ADC是等腰三角形. 2 证明:因为AB=AC, 所以∠B=∠C=30°. 因为∠C+∠BAC+∠B=180°, 所以∠BAC=180°-30°-30°=120°. 因为∠DAB=45°, 所以∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°. 因为∠DAB=45°,∠B=30° 所以∠ADC=∠B+∠DAB=75°. 所以∠DAC=∠ADC.所以DC=AC. 所以△ADC是等腰三角形. 3 在含有角平分线和平行线时,通常能够推理出等腰三角形;在一个三角形中证明两条边相等,通常利用等角对等边,先考虑证明角相等. 方法技巧 4 巩固训练 1.在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,能判定△ABC是等腰三角形的是( ) A.∠A=30°,∠B=60° B.∠A=70°,∠B=50° C.∠A=40°,∠B=70° D.∠A=60°,∠B=80° C 5 2.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D.下列条件:①BD=CD;②∠B=∠DAC;③∠B=∠C.其中能使△ABC是等腰三角形的是　 　(填序号).  ①③ 6 3.如图所示,已知∠ACE是△ABC的一个外角,CD平分∠ACE,且CD∥AB,求证:△ABC为等腰三角形. 7 谢谢观赏！ 8 证明:因为CD平分∠ACE, 所以∠ACD=∠ECD=∠ACE. 因为CD∥AB, 所以∠A=∠ACD,∠B=∠ECD. 所以∠A=∠B. 所以AC=BC. 所以△ABC为等腰三角形. $$