河北省邯郸市第十中学2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

河北省邯郸市第十中学2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。） 1．（3分）在这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B． C．﹣1 D． 2．（3分）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a7﹣a3＝a4 B．3a2•2a2＝6a2 C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a4÷a4＝a 4．（3分）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（2，﹣2），则位于原点位置的是（　　） A．兵 B．炮 C．相 D．車 5．（3分）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝27°，则∠2的度数是（　　） A．53° B．63° C．73° D．27° 6．（3分）若a，b是正整数，且满足＝，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 7．（3分）已知是方程kx+2y＝5的一个解，则k的值为（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 8．（3分）若a﹣b＜0，则下列不等式正确的是（　　） A．3a＞3b B．﹣2a＞﹣2b C．a﹣1＞b﹣1 D．3﹣a＜3﹣b 9．（3分）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 10．（3分）下列式子中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 12．（3分）如图，长方形ABCD中，AB＝5，第1次将长方形ABCD沿AB的方向向右平移4个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移4个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，…，第n次将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向向右平移4个单位长度，得到长方形AnBn∁nDn（n＞2）．若ABn的长度为2025，则n的值为（　　） A．504 B．505 C．2021 D．2025 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分） 13．（3分）如图，当剪刀口∠AOB增大21°时，∠COD增大　 　 度． 14．（3分）已知n为正整数．若，则n＝　 　 ． 15．（3分）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝52°，为了使AM与BC平行，则∠MAC的度数为 　 　 ． 16．（3分）用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点A（1.5，3.5），则点B的坐标是　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（6分）（1）计算：； （2）（x2+3x+2）（x2﹣x）． 18．（8分）（1）解方程组：； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 19．（8分）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠DOE＝4：1． （1）试说明：OE⊥OF； （2）求∠AOF的度数． 20．（8分）某学校对“机器人创意大赛”的参赛选手进行了技能测试．小亮对本班参赛同学的成绩进行了整理，将测试结果分为三个类别：一般，良好，优秀，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据图表信息解答下列问题． （1）请将两幅统计图补充完整； （2）小亮班共有　 　 名学生参加了这次测试，如果学校决定让成绩为“优秀”的学生参加下一轮的测试，那么小亮班有　 　 人将参加下轮测试． （3）若该校共有1200名学生报名参加了这次测试，请以小亮班的测试成绩的统计结果来估算全校共有多少名学生可以参加下一轮的测试． 21．（10分）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED+∠FHD＝180°． （1）求证：CE∥GF； （2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由； （3）若∠EHF＝88°，∠D＝28°，求∠AEM的度数． 22．（10分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣3，5）的“长距”为 　 　 ； （2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“完美点”，求a的值； （3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说明：点D是“完美点”． 23．（10分）2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动．学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫贵10元，购进3件A款文化衫和4件B款文化衫共需要310元． （1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元； （2）已知一共需购进600件文化衫，在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利10元，学校计划文化衫费用不超过19000元且A款文化衫不少于B款文化衫数量的一半，请你帮学校确定购买方案． 24．（12分）（1）如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP．易证：∠APC＝∠A+∠C． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小强：如图2，过点P作PQ∥AB． 小菲：如图3，延长AP交CD于点M． 请你选择一位同学的方法进行证明． （2）如图4，E，F分别是射线AB，CD上一点，G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点P，连接AC，EG，若∠PAC+∠PEG＝∠AGE，求证：AC∥EF． （3）如图5，在（2）的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH相交于点H，HF与GP相交于点T，若∠CAH＝25°，∠H＝∠AEG，∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG，求∠CFP的度数． 河北省邯郸市第十中学2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C． A C B B A A B B D D 题号 12 答案 B 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。） 1．（3分）在这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B． C．﹣1 D． 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵﹣1＜0＜＜， ∴最小的数是：﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 2．（3分）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据﹣4＜﹣2＜﹣1＜0＜1可得答案． 【解答】解：∵﹣4＜﹣2＜﹣1＜0＜1， ∴选项A的折线统计图符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了折线统计图，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a7﹣a3＝a4 B．3a2•2a2＝6a2 C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a4÷a4＝a 【分析】利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A、a7与﹣a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意； B、3a2•2a2＝6a4，故B不符合题意； C、（﹣2a）3＝﹣8a3，故C符合题意； D、a4÷a4＝1，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 4．（3分）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（2，﹣2），则位于原点位置的是（　　） A．兵 B．炮 C．相 D．車 【分析】根据题意可以画出平面直角坐标系，根据坐标系即可得到原点位置． 【解答】解：由题可得，如图所示， 故炮所在的点是原点． 故选：B． 【点评】本题考查坐标确定位置，解题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系． 5．（3分）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝27°，则∠2的度数是（　　） A．53° B．63° C．73° D．27° 【分析】先由余角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2的度数，即可得出结论． 【解答】解：∵∠1＝27°， ∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣27°＝63°． ∵直尺对边平行， ∴∠2＝∠3＝63°． 故选：B． 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 6．（3分）若a，b是正整数，且满足＝，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 【分析】根据合并同类项法则和同底数幂的乘法法则得8×2a＝28b，即2a+3＝28b，即可得出答案． 【解答】解：根据已知得，8×2a＝28b， ∴23×2a＝28b， 即2a+3＝28b， ∴a+3＝8b． 故选：A． 【点评】本题考查了合并同类项法则和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 7．（3分）已知是方程kx+2y＝5的一个解，则k的值为（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【分析】将方程的解代入方程得到关于k的方程，从而可求得k的值． 【解答】解：将代入方程kx+2y＝5得：﹣2k+2＝5， 解得：k＝﹣． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是二元一次方程的解的定义，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 8．（3分）若a﹣b＜0，则下列不等式正确的是（　　） A．3a＞3b B．﹣2a＞﹣2b C．a﹣1＞b﹣1 D．3﹣a＜3﹣b 【分析】由a﹣b＜0可得a＜b，再根据不等式的性质求解即可． 【解答】解：由a﹣b＜0可得a＜b， A．∵a＜b， ∴3a＜3b，故本选项不合题意； B．∵a＜b， ∴﹣2a＞﹣2b，故本选项符合题意； C．∵a＜b， ∴a﹣1＜b﹣1，故本选项不合题意； D．∵a＜b， ∴﹣a＞﹣b， ∴3﹣a＞3﹣b，故本选项不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了不等式的性质，不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 9．（3分）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 【分析】根据“两直线平行，内错角相等”以及角的和差关系求解即可． 【解答】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠AMN＝∠2+∠3， ∵∠1＝80°，∠2＝40°， ∴∠3＝40°， 故选：B． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 10．（3分）下列式子中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质、算术平方根、立方根的定义进行解题即可． 【解答】解：A、＝3，故该项不正确，不符合题意； B、﹣≠﹣3.6，故该项不正确，不符合题意； C、＝6，故该项不正确，不符合题意； D、＝﹣4，故该项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的性质与性质、算术平方根、立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 11．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住， ∴7x+7＝y； ∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房， ∴9（x﹣1）＝y． ∴根据题意得可列方程组． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 12．（3分）如图，长方形ABCD中，AB＝5，第1次将长方形ABCD沿AB的方向向右平移4个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移4个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，…，第n次将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向向右平移4个单位长度，得到长方形AnBn∁nDn（n＞2）．若ABn的长度为2025，则n的值为（　　） A．504 B．505 C．2021 D．2025 【分析】根据平移的性质得出AA1＝4，AB1＝AB+AA1＝5+4，再找出ABn长度的规律，然后根据所求得出数字变化规律，再根据规律列出方程求解n的值． 【解答】解：∵AB＝5，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移4个单位，得到长方形A1B1C1D1，此时AA1＝4，AB1＝AB+AA1＝5+4， 第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1C1D1的方向向右平移4个单位，得到长方形A2B2C2D2，此时A1A2＝4，AB2＝AB+AA1+A1A2＝5+4+4＝5+2×4， 以此类推，第n次平移后，ABn＝AB+n×4＝5+4n， ∵ABn的长度为2025， ∴5+4n＝2025， 解得：n＝505， 故选：B． 【点评】此题主要考查了代数式，图形的变化规律，以及一元一次方程，根据图形变化规律得出ABn长度的规律是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分） 13．（3分）如图，当剪刀口∠AOB增大21°时，∠COD增大　21　 度． 【分析】根据对顶角相等即可解答． 【解答】解：∵两直线相交，对顶角相等，且对顶角中两个角的变化一致， ∴当∠AOB增大21°时，∠COD也增大21度． 【点评】本题主要考查了对顶角的性质，属于基础题． 14．（3分）已知n为正整数．若，则n＝　3　 ． 【分析】利用“夹逼法”估算出的范围，即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴， ∵，n为正整数， ∴n＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握“夹逼法”估算无理数的大小是解题的关键． 15．（3分）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝52°，为了使AM与BC平行，则∠MAC的度数为 　68°　 ． 【分析】根据平行线的性质定理求解即可． 【解答】解：∵AB，CD都与地面l平行， ∴AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝60°，∠BAC＝52°， ∴∠ACB＝68°， ∴当AM与BC平行时，∠MAC＝∠ACB＝68°． 故答案为：68°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 16．（3分）用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点A（1.5，3.5），则点B的坐标是　（﹣3.5，2.5）　 ． 【分析】设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，列出二元一次方程组，解得x、y的值，结合点B所在的象限，即可得出结论． 【解答】解：设小长方形纸片的长为x，宽为y， 依题意列方程组得：， 解得， ∴2.5+1＝3.5， 由图象可知点B在第二象限， 所以点B的坐标为（﹣3.5，2.5）， 故答案为：（﹣3.5，2.5）． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，坐标与图形性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（6分）（1）计算：； （2）（x2+3x+2）（x2﹣x）． 【分析】（1）利用有理数的乘方法则，算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣1+4﹣（﹣1）﹣3 ＝﹣1+4﹣+1﹣3 ＝1﹣； （2）原式＝x4﹣x3+3x3﹣3x2+2x2﹣2x ＝x4+2x3﹣x2﹣2x． 【点评】本题考查多项式乘多项式，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．（8分）（1）解方程组：； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【分析】（1）先由①得到③，再把③代入②求出y，再把y值代入③求出x即可； （2）按照解一元一次不等式组的一般步骤，求出各个不等式的解集，再根据判断不等式组解集的口诀判断不等式组的解集，然后求出其整数解即可． 【解答】解：（1）， 由①得：x＝3+y③， ③代入②得：3（3+y）﹣8y＝14， 9+3y﹣8y＝14， 9﹣5y＝14， 5y＝﹣5， y＝﹣1， 把y＝﹣1代入③得：x＝2， ∴方程组的解为：； （2）， 由①得：2x＜1， ， 由②得： 3（x﹣1）＜4x， 3x﹣3＜4x， 3x﹣4x＜3， ﹣x＜3， x＞﹣3， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：﹣2，﹣1，0． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组和一元一次不等式组的一般步骤． 19．（8分）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠DOE＝4：1． （1）试说明：OE⊥OF； （2）求∠AOF的度数． 【分析】（1）先证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）由条件可得4∠DOE+2∠DOE＝180°，求解∠DOE＝30°，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知， ∵OF平分∠COB， ∴， ∴， ∴OE⊥OF． （2）由条件可知4∠DOE+2∠DOE＝180°， ∴∠DOE＝30°， ∴∠BOE＝30°， ∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOF＝180°﹣∠BOF＝120°． 【点评】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 20．（8分）某学校对“机器人创意大赛”的参赛选手进行了技能测试．小亮对本班参赛同学的成绩进行了整理，将测试结果分为三个类别：一般，良好，优秀，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据图表信息解答下列问题． （1）请将两幅统计图补充完整； （2）小亮班共有　40　 名学生参加了这次测试，如果学校决定让成绩为“优秀”的学生参加下一轮的测试，那么小亮班有　20　 人将参加下轮测试． （3）若该校共有1200名学生报名参加了这次测试，请以小亮班的测试成绩的统计结果来估算全校共有多少名学生可以参加下一轮的测试． 【分析】（1）测试一般的有8人，所占百分比为20%，则可求出参加测试的总人数，故优秀人数可求，测试良好所占百分比为1﹣20%﹣50%； （2）由（1）求解即可； （3）用总学生数乘小亮班的测试成绩为“优秀”的学生所占百分比即可． 【解答】解：（1）∵参加测试的总人数：8÷20%＝40人， ∴优秀人数为40×50%＝20人，良好所占百分比为30%； 补全图形如下： （2）小亮班共有40名学生参加了这次测试， 如果学校决定让成绩为“优秀”的学生参加下一轮的测试，那么小亮班有20人将参加下轮测试． 故答案为：40，20； （3）若该校共有1200名学生，可以参加下一轮测试的人数为1200×50%＝600人． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21．（10分）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED+∠FHD＝180°． （1）求证：CE∥GF； （2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由； （3）若∠EHF＝88°，∠D＝28°，求∠AEM的度数． 【分析】（1）结合邻补角定义求出∠CED＝∠GHD，依据同位角相等，两直线平行即可得证； （2）依据平行线的性质，可得出∠FGD＝∠EFG，进而判定AB∥CD，即可得出∠AED+∠D＝180°； （3）依据已知条件求得∠CGF的度数，进而利用平行线的性质得出∠CEF的度数，依据对顶角相等即可得到∠AEM的度数． 【解答】（1）证明：∵∠CED+∠FHD＝180°，∠GHD+∠FHD＝180°， ∴∠CED＝∠GHD， ∴CE∥GF； （2）解：∠AED+∠D＝180°； 理由：∵CE∥GF， ∴∠C＝∠FGD， ∵∠C＝∠EFG， ∴∠FGD＝∠EFG， ∴AB∥CD， ∴∠AED+∠D＝180°； （3）解：∵∠GHD＝∠EHF＝88°，∠D＝28°， ∴∠CGF＝∠GHD+∠D＝88°+28°＝116°， 又∵CE∥GF， ∴∠C+∠CGF＝180°， ∴∠C＝180°﹣116°＝64°， 又∵AB∥CD， ∴∠AEC＝∠C＝64°， ∴∠AEM＝180°﹣64°＝116°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 22．（10分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣3，5）的“长距”为 　5　 ； （2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“完美点”，求a的值； （3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说明：点D是“完美点”． 【分析】（1）根据“长距“的定义解答即可； （2）根据“完美点“的定义解答即可； （3）由“长距“的定义求出 b 的值，然后根据“完美点“的定义求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，得点A （﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为3， 点A的“长距“为5． 故答案为：5； （2）点B （4﹣2a，﹣2）是“完美点“， ∴|4﹣2a|＝|﹣2|， ∴4﹣2a＝2或4﹣2a＝﹣2， 解得a＝1或a＝3； （3）点C （﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内， 3b﹣2＝4， 解得b＝2， ∴9﹣2b＝5， ∴点D 的坐标为（5，﹣5）， 点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴D是“完美点“． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义． 23．（10分）2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动．学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫贵10元，购进3件A款文化衫和4件B款文化衫共需要310元． （1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元； （2）已知一共需购进600件文化衫，在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利10元，学校计划文化衫费用不超过19000元且A款文化衫不少于B款文化衫数量的一半，请你帮学校确定购买方案． 【分析】（1）设A款文化衫每件x元，B款文化衫每件y元，根据每件A款文化衫比每件B款文化衫贵10元，购进3件A款文化衫和4件B款文化衫共需要310元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A款文化衫m件，则购进B款文化衫（600﹣m）件，根据学校计划文化衫费用不超过19000元且A款文化衫不少于B款文化衫数量的一半，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）设A款文化衫每件x元，B款文化衫每件y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元； （2）设购进A款文化衫m件，则购进B款文化衫（600﹣m）件， 由题意得：， 解得：200≤m≤200， ∴m＝200， ∴600﹣m＝600﹣200＝400， 答：购进A款文化衫200件，B款文化衫400件． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． 24．（12分）（1）如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP．易证：∠APC＝∠A+∠C． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小强：如图2，过点P作PQ∥AB． 小菲：如图3，延长AP交CD于点M． 请你选择一位同学的方法进行证明． （2）如图4，E，F分别是射线AB，CD上一点，G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点P，连接AC，EG，若∠PAC+∠PEG＝∠AGE，求证：AC∥EF． （3）如图5，在（2）的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH相交于点H，HF与GP相交于点T，若∠CAH＝25°，∠H＝∠AEG，∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG，求∠CFP的度数． 【分析】（1）小强的方法：先证AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质得∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠PCD，据此即可得出结论；小菲的方法：先由AB∥CD，得∠BAP＝∠PMC，再根据三角形的外角定理，得∠APC＝∠PMC+∠PCD，据此即可得出结论； （2）先根据三角形的外角定理得∠AGE＝∠APE+∠PEG，再根据∠AGE＝∠PAC+∠PEG，得∠APE＝∠PAC，然后根据平行线的判定可得出结论； （3）设∠PEG＝α，则∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG＝50°+3α，进而可得∠AGE＝130°﹣3α，根据在（2）的条件下，∠PAC+∠PEG＝∠AGE，得50°+α＝130°﹣3α，由此解出α＝20°，设∠PFH＝β，则∠PFC＝2∠PFH＝2β，再根据AB∥CD得，∠AEF＝∠PFC＝2β，进而得∠AHF＝∠AEG＝2β﹣20°，然后根据在（2）的条件下，得AC∥EF，则∠AHF＝∠CAH+∠PFH，由此得2β﹣20°＝25°+β，据此求出β即可得到∠PFC的度数． 【解答】（1）解：小强的证明如下： 过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠PCD， ∴∠APQ+∠CPQ＝∠BAP+∠PCD， 即∠APC＝∠BAP+∠PCD； 小菲的证明如下： 延长AP交CD于点M， ∵AB∥CD， ∴∠BAP＝∠PMC， ∵∠APC是△PCM的一个外角， ∴∠APC＝∠PMC+∠PCD， 即∠APC＝∠BAP+∠PCD； （2）证明：∵∠AGE是△PGE的一个外角， ∴∠AGE＝∠APE+∠PEG， ∵∠AGE＝∠PAC+∠PEG， ∴∠APE＝∠PAC， ∴AC∥EF； （3）解：∵AH平分∠PAC，∠CAH＝25°， ∴∠PAC＝2∠CAH＝50°， 设∠PEG＝α， ∴∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG＝50°+3α， ∴∠AGE＝180°﹣∠PGE＝130°﹣3α， 在（2）的条件下，知AC∥EF， ∴∠PAC+∠PEG＝∠AGE， ∴50°+α＝130°﹣3α， 解得α＝20°， ∴∠PEG＝20°， 设∠PFH＝β， ∵FH平分∠PFC， ∴∠PFC＝2∠PFH＝2β， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠PFC＝2β， ∴∠AEG＝∠AEF﹣∠PEG＝2β﹣20°， ∴∠AHF＝∠AEG＝2β﹣20°， ∵AC∥EF， ∴∠AHF＝∠CAH+∠PFH， 即2β﹣20°＝25°+β， 解得β＝45°， ∴∠PFC＝2β＝90°． 【点评】本题考查了三角形外角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的有关计算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$