精品解析：河南省商丘市民权实验中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

河南省商丘市民权实验中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 1，，2 D. ，，8 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器成功在月球背面南极——艾特肯盆地着陆，并采样，是世界首次在月球背面采集土壤样品，对月球的探索有着重要的意义．下表记录了甲、乙、丙、丁四种着陆方案的平均时间与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分钟） 15 16 18 15 方差 0.2 0.2 0.3 0.3 根据表中数据，要从中选择一种平均时间短且着陆稳定的方案，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 有一个角是直角且对角线相等四边形是矩形 D. 一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形 8. 在中，，点、、分别是边、、的中点，若，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在矩形中，是对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形和菱形（点D在边CG上）中，连接相交于点P，连接.若，，，则的长是（ ）． A. 8 B. 9 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则可以是__________（写出一个符合条件的值即可）． 12. 已知点 在一次函数的图象上，则代数式的值为___________． 13. 某测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场一款智能手机进行测评，各项得分如下表： 测试项目 操作系统 硬件规格 屏幕尺寸 电池寿命 项目成绩/分 8 8 6 4 最后将操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命这四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩，则该手机的综合成绩为________分． 14. 如图，的顶点，)，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，画射线交于点G，则点G的坐标是______． 15. 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算． （1）． （2）． 17. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18. 已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求： （1）这个一次函数的表达式． （2）当时，函数y的值． （3）当时，自变量x的取值范围． 19. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为海港，并且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求的度数； （2）海港受台风影响吗？为什么？ 20. 某中学在七、八年级学生中开展科技文化知识比赛，随机各抽取20名学生的成绩（百分制）进行整理分析（成绩用x表示，共分为四组：A组，B组，C组，D组）． 七年级20名学生成绩是：77，78，83，83，85，85，86，87，89，89，90，90，90，93，93，94，95，96，97，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94． 七、八年级被抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 a 八年级 89 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　 ，　　 ，　　 ； （2）你认为这次知识比赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由； （3）此次该校七、八年级分别有500名、600名学生参加知识比赛，估计七、八年级成绩优秀（）的学生总共有多少人？ 21. 某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为80元，售价为100元；乙商品的进价为100元，售价为130元． 设购进甲种商品 件，商场售完这100件商品的总利润为 元． （1）写出与的函数关系式； （2）该商场计划最多投入9600元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调 元出售，且限定商场最多购进甲种商品60件． 在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3300元、求 的值． 22. 如图，在中，点是的中点，点是线段的延长线上的一点，连接，过点C作，与线段的延长线交于点D，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，． ①当四边形是矩形时，求长； ②当　　 时，四边形是菱形．（请直接写出答案） 23. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，为对角线，其中． （1）求点B，C的坐标； （2）求所在直线解析式； （3）已知点，问：在直线上是否存在一点P，使得最小？若存在，求点P的坐标与的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省商丘市民权实验中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数．根据一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数即可求解． 【详解】解：是的一次函数的有：， 故选：B． 2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 1，，2 D. ，，8 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，判定选项中的值能否组成直角三角形即可． 【详解】解：∵， 故A选项中不能组成直角三角形，错误； ∵， 故B选项中不能组成直角三角形，错误； ∵， 故C选项中能组成直角三角形，正确； ∵， 故D选项中不能组成直角三角形，错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，掌握定理的内容是解题的关键． 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的邻角互补，先求，再根据平行四边形的对角相等求即可． 【详解】解：四边形是平行四边形 ． 故选：B． 4. 2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器成功在月球背面南极——艾特肯盆地着陆，并采样，是世界首次在月球背面采集土壤样品，对月球的探索有着重要的意义．下表记录了甲、乙、丙、丁四种着陆方案的平均时间与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分钟） 15 16 18 15 方差 0.2 0.2 0.3 0.3 根据表中数据，要从中选择一种平均时间短且着陆稳定的方案，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方差以及平均数的意义，解题的关键是掌握：方差越小数据越稳定、平均数越小时间越短．据此判断即可． 【详解】解：∵平均时间短的着陆方案是甲和丁，着陆稳定的方案甲和乙， ∴选择一种平均时间短且着陆稳定的方案，应该选择甲． 故选：A． 5. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而增大即可确定结论． 【详解】解：A、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项A不符合题意； B、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴选项B不符合题意； C、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而增大，选项C符合题意； D、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项D不符合题意； 故选：C． 6. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把点P代入直线求出n，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可. 【详解】解：∵直线与直线交于点P（3，n）， ∴， ∴， ∴， ∴1=3×2+m， ∴m=-5, ∴关于x，y的方程组的解. 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键． 7. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 D. 一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断．根据题意，逐项判断即可． 【详解】解：A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，此项不符合题意； B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，此项符合题意； C.有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，此项不符合题意； D.一个角为且一组邻边相等的四边形不一定是正方形，此项不符合题意． 故选：B． 8. 在中，，点、、分别是边、、的中点，若，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理．根据直角三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，再根据，进而求得． 【详解】解：∵，点是边的中点， ∴， ∵、分别是边、的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，是对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和三角形中位线定理得出解答．根据矩形的性质和三角形中位线定理得出，进而利用勾股定理得出，再根据直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 是边的中点 是的中位线， ， ， ， 是矩形的对角线的中点， ， 故选：D． 10. 如图，在菱形和菱形（点D在边CG上）中，连接相交于点P，连接.若，，，则的长是（ ）． A. 8 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用菱形的性质成为解题的关键． 如图：连接交于O，连接，由菱形的性质可得、、、、,再由勾股定理可得；再证明是的中位线，进而得到、三点共线、；然后证明可得，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：连接交于O，连接， ∵菱形和菱形，，， ∴，，，,, ∴， ∵， ∴ ∵, ∴是的中位线， ∴, ∵, ∴三点共线，,， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴． 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则可以是__________（写出一个符合条件的值即可）． 【答案】6（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及求一元一次不等式的解集．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围，即可得到答案． 详解】解：若二次根式有意义， 则， 解得． 故答案为：6（答案不唯一）． 12. 已知点 在一次函数的图象上，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点 在一次函数的图象上，可得，然后即可求得所求式子的值． 【详解】点 在一次函数的图象上， ， ． 故答案为：． 13. 某测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场一款智能手机进行测评，各项得分如下表： 测试项目 操作系统 硬件规格 屏幕尺寸 电池寿命 项目成绩/分 8 8 6 4 最后将操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命这四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩，则该手机的综合成绩为________分． 【答案】6.8 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算方法．利用加权平均数按照比例计算，即可求解． 【详解】解：根据题意， 该手机的综合成绩为：； 故答案为：； 14. 如图，的顶点，)，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，画射线交于点G，则点G的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求得，根据作图过程可得，由四边形是平行四边形，可得，从而得出，进一步得到，由等腰三角形判定可得，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题中作图可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握坐标与图形的性质． 15. 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可． 【详解】解：当时， ∵四边形矩形， ∴，则， 由平行线分线段成比例可得：， 又∵M为对角线的中点， ∴， ∴， 即：， ∴， 当时， ∵M为对角线的中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵四边形矩形， ∴，则， ∴ ∴， 综上，的长为2或， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算． （1）． （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法，化简二次根式，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算二次根式的乘法，化简二次根式，然后计算加减； （2）首先利用平方差公式和完全平方公式化简，然后计算加减． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，根据角平分线得到，即可证得． （2）根据角平分线得到，根据平行线可得，再根据得，再利用平行四边形性质，即可证得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵平分， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， 即， 又∵， ∴，解得， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形性质、角平分线，熟练掌握其性质是解题的关键． 18. 已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求： （1）这个一次函数的表达式． （2）当时，函数y的值． （3）当时，自变量x取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数解析式的值，一次函数的性质． （1）设，利用待定系数法求解即可； （2）将代入一次函数解析式，即可求解； （3）根据的值，可知随的增大而减小，分别求出和对应的的取值，即可求解． 小问1详解】 解：设， ∵当时，；当时，， ∴， 解得， 函数解析式为； 【小问2详解】 解：将代入得，； 【小问3详解】 解：∵， ∴y随x的增大而减小， 把代入得，， 解得：， ∴当时，， ∴当时，自变量x的取值范围为． 19. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为海港，并且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求的度数； （2）海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】（1）90°；（2）受台风影响，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数； （2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响． 【详解】解：（1）∵AC=300km，BC=400km，AB=500km， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°； （2）海港C受台风影响， 理由：过点C作CD⊥AB， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC=CD×AB， ∴300×400=500×CD， ∴CD=240（km）， ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 20. 某中学在七、八年级学生中开展科技文化知识比赛，随机各抽取20名学生的成绩（百分制）进行整理分析（成绩用x表示，共分为四组：A组，B组，C组，D组）． 七年级20名学生的成绩是：77，78，83，83，85，85，86，87，89，89，90，90，90，93，93，94，95，96，97，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94． 七、八年级被抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 a 八年级 89 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　 ，　　 ，　　 ； （2）你认为这次知识比赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由； （3）此次该校七、八年级分别有500名、600名学生参加知识比赛，估计七、八年级成绩优秀（）的学生总共有多少人？ 【答案】（1）90、90.5、25 （2）八年级成绩更好，详见解析 （3）估计七、八年级成绩优秀（）的学生总共有580人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据八年级在D组人数可求出“D组”所占的百分比，即可求出m的值，根据中位数、众数的意义可求出a、b的值； （2）通过中位数进行分析得出答案； （3）分别求出七、八年级样本中的优秀率，进而根据七、八年级的优秀率求出七、八年级的满分人数，再求出总体中的优秀人数． 【小问1详解】 解：七年级成绩中数据90出现次数最多，则七年级成绩的众数， 八年级成绩位于A、B组的人数为（人）， 所以八年级成绩的中位数， ∵D组人数为（人）， ∴，即； 故答案为：90、90.5、25； 【小问2详解】 解：八年级成绩更好， 因为七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级， 所以八年级成绩的高分人数多于七年级， 所以八年级成绩更好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计七、八年级成绩优秀（）的学生总共有580人． 21. 某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为80元，售价为100元；乙商品的进价为100元，售价为130元． 设购进甲种商品 件，商场售完这100件商品的总利润为 元． （1）写出与的函数关系式； （2）该商场计划最多投入9600元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调 元出售，且限定商场最多购进甲种商品60件． 在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3300元、求 的值． 【答案】（1） （2）2800元 （3）15 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据利润等于（售价减去进价）乘以销售量进行求解即可； （2）根据最多投入9600元，列出不等式，再根据一次函数的性质，即可求解； （3）根据利润等于（售价减去进价）乘以销售量列出函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 即与 的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为2800， 即商场可获得的最大利润是2800元； 【小问3详解】 解：根据题意得：， ∵限定商场最多购进甲种商品60件， ∴， ∵， 当，即时，y随x的增大而增大， 此时当时，商场可获得的最大利润， ∴， 解得：（舍去）； 当，即时，所获得利润为3000元，不符合题意； 当，即时，y随x的增大而减小， 当时，商场可获得的最大利润， ∴， 解得：； 综上所述，a的值为15． 22. 如图，在中，点是的中点，点是线段的延长线上的一点，连接，过点C作，与线段的延长线交于点D，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，． ①当四边形是矩形时，求的长； ②当　　 时，四边形是菱形．（请直接写出答案） 【答案】（1）详见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可证明； （2）①首先得出，再利用矩形的性质得出，再利用所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出的长； ②根据菱形的性质，四边相等和对角线互相垂直平分，结合，在中用勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中： ∵ ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ①∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴； ②若四边形是菱形， 则，且互相平分， ∵， ∴， 又∵， ∴为直角三角形， ∴， 设，则， 在中， ， ， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，所对的直角边是斜边的一半，解题关键是熟练掌握相关知识点． 23. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，为对角线，其中． （1）求点B，C的坐标； （2）求所在直线的解析式； （3）已知点，问：在直线上是否存在一点P，使得最小？若存在，求点P的坐标与的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）B点坐标为，C点坐标为 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，从而可求出点B，C的坐标； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）连接,设与交于点P，运用待定系数法求出的解析式，联立方程组可求出点P的坐标，再运用勾股定理求出的长即可解决问题． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形，， ∴ ∴B点坐标为，C点坐标为； 【小问2详解】 ∵， ∴. 又. 设直线的解析式为：， 把A，C两点代入解析式得： 解得,， ∴直线的解析式为：. 【小问3详解】 连接，直线与直线的交点即为点P， 证明：∵四边形是正方形， ∴点B与O关于直线对称， ∴即为的最小值. ∴直线与直线的交点即为点P. 设直线的解析式为：，把点代入解析式得： ， 解得，， ∴直线的解析式为：. 联立方程组， 解得，， ∴点P的坐标 过点E作轴，垂足为F， ∴. 所以的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，运用待定系数法求一次函数解析式以及线段最值问题，正确运用待定系数法求一次函数解析式是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $