暑期综合提升测试01【范围：第三章 勾股定理】-2025-2026学年八年级数学上册暑假提升试题（苏科版2024）

2025-2026学年八年级数学上册暑假单元专题提升测试（苏科版2024） 第三章 勾股定理 综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．6，8，10 B．10，15，20 C．8，15，17 D．7，24，25 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，若三角形三边长满足 （其中 为最长边），则该三角形为直角三角形．逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A（6，8，10） 最长边为10，验证 ，而 ，满足勾股定理，能构成直角三角形． 选项B（10，15，20） 最长边为20，验证 ，而 ，两者不相等，不满足勾股定理，不能构成直角三角形． 选项C（8，15，17） 最长边为17，验证 ，而 ，满足勾股定理，能构成直角三角形． 选项D（7，24，25） 最长边为25，验证 ，而 ，满足勾股定理，能构成直角三角形． 综上，只有选项B不满足勾股定理， 故选：B． 2．（本题3分）如图，在中，，，是的角平分线若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质得出，由题意可知，知是等腰直角三角形，根据勾股定理得出的长即可推出结果． 【详解】解：如图，过点作于点， 又是的角平分线． ， 在中，， ， 是等腰直角三角形， ∴， ， ， 故选：C． 3．（本题3分）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据题意可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：∵一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形， ∴“生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形面积和为； “生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为； ……； ∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； ∴经过2025次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； 故选：B． 4．（本题3分）如图，在中，，，，点D是和的角平分线的交点，且于E，则的长度为（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查的是勾股定理、角平分线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再由角平分线的性质得，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过点D作，，垂足分别为N，M，连接DA， ，，， ， 点D是、的角平分线的交点，且于E， ， ， ， ，即，解得：． 故选：A． 5．（本题3分）如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B，则点B表示的实数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，推出即可推出结果． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B， ∴， ∴点B表示的实数是， 故选：D． 6．（本题3分）若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由非负数的性质可得各部分的值为零，求出边长后判断三角形的形状． 本题考查了实数的非负性，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：由， 得，，， 故，， 故， ∴三角形为等腰三角形， 又，， 故， ∴三角形为直角三角形， 故等腰直角三角形． 故选：D． 7．（本题3分）如图，在中，，边，上的高，相交于点．若，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先在中，由勾股定理求出，证明是等腰直角三角形得，再根据同角的余角相等，进而依据“”判定和全等得，继而得，然后根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】解：是的高， ， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 在中，， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质， 等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理和三角形的面积公式是解决问题的关键． 8．（本题3分）小明家的花洒装置示意图如图所示，花洒安装在距离地面厘米的处，花洒的长度为厘米．当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到地面的位置与墙面之间的距离为厘米，则水流的长度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，连接，在，中，根据勾股定理可得，代入数据计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 依题意，， 在中，， 在中，， ∴ ∴ 故选：A． 9．（本题3分）如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，．则（   ） A．5 B．12 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，掌握直角三角形的三边关系是解答本题的关键．根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵如图，中，， ∴, ∵， ∴． 故选：D． 10．（本题3分）在中，，垂足为，为上一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，证明可得，即得是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）已知的两直角边分别是，，则的斜边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高，即可． 【详解】解：设斜边上的高为， 的两直角边分别是，， 斜边长， ， ， 即的斜边上的高是 故答案为： 12．（本题3分）如图，在中，， ， ，则点C 到斜边的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等面积法求三角形的高，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，再利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到斜边的距离为， 故答案为：． 13．（本题3分）如图，在四边形中，，，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质．连接，先判定是等边三角形，是直角三角形，再根据勾股定理求出的长． 【详解】解：连接，如图． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：4． 14．（本题3分）如图，在中，是中点，则的长是： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，， ， 是中点， ， 故答案为：． 15．（本题3分）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点落在的位置上，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．先由长方形的性质和折叠的性质证得，再设，则，由勾股定理得出方程，即可得出结果． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 17．（本题3分）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到． 由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， 如图所示， ∴， ∵阴影部分的面积为，与正方形等底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 18．（本题3分）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，则的长为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，根据正方形，全等三角形的性质得到，，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：5 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，求网格中的周长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 根据勾股定理分别求出、、，根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得：，，， 则的周长为：． 20．（本题8分）如图，在等腰中，，点是上一点，． (1)试说明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． （1）根据得出是直角三角形，且，即可得证； （2）过点作于点，设，根据等腰三角形的性质可得，在，中，得出，解方程，得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是直角三角形，且 ∴； （2）解：如图，过点作于点， 设，则， ∵， ∴ 在中， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ 21．（本题8分）如图，在中，，延长至点E，过点E作，垂足为F，交边于点D． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，且D为边的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理. （1）根据等边对等角得到，根据垂直的定义得到，，进而可知，根据对顶角得到，进而得到，即可证明是等腰三角形； （2）由题意及等腰三角形的定义可知，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵D为的中点， ∴， 由（1）知是等腰三角形， ∴， ∴在中，． 22．（本题8分）小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．他进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．若小明牵线放风筝手到地面的距离为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【答案】(1)风筝的垂直高度AD的长为米； (2)他应该再放出8米线． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）依题意，得，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意，得，米， 在中，米，米， （米）， （米）， 答：风筝的垂直高度的长为米； （2）解：风筝沿方向再上升12米，则（米）， 由勾股定理得，（米）， （米）， 答：他应该再放出8米线． 23．（本题8分）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点E，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质可得，在中，根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）根据垂直平分线的性质得出，进而可得，在中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：垂直平分，， ． 在中，，，， ， ，即． （2）解：是线段的垂直平分线， ， ． ， ， ， ． 即的长为． 24．（本题8分）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； （2）解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 25．（本题8分）如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点E，D，连接，与的延长线交于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点E作，交延长线于点G．求证：； (3)如图3，若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用旋转的性质，互余关系即可完成证明； （2）由得；由（1）即可得，从而有；再由旋转性质即可得，从而证明，即可得； （3）过点E作交的延长线于点H，由旋转的性质及等边三角形的性质得，，从而可求得；由（2）的证明可知；由勾股定理求得，再由等边三角形的性质得，再由勾股定理求得，从而求得，由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由旋转知，，， ∴，； ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴； 由（1）得：， ∴， ∴； 由旋转性质知， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点E作交的延长线于点H， 由旋转的性质知，，； ∴都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得； 由（2）的证明知， ∴； 由勾股定理得， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 26．（本题10分）如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质，，则，再由全等三角形的性质得，，则，然后由勾股定理即可解决问题； （3）分两种情况，①点在延长线上时，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由（2）可知，，，再由勾股定理求出的长即可； ②点在延长线上时，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，同（2）得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ； （2）解：，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由（1）可知，≌， ，， ， ， ， ； （3）解：和是等腰直角三角形，，， ，， ，，， 分两种情况： ①如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， 由（2）可知，，， ； ②如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同（2）得：， ； 综上所述，的值为或． 第24页，共24页 第23页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上册暑假单元专题提升测试（苏科版2024） 第三章 勾股定理 综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．6，8，10 B．10，15，20 C．8，15，17 D．7，24，25 2．（本题3分）如图，在中，，，是的角平分线若，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．（本题3分）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 4．（本题3分）如图，在中，，，，点D是和的角平分线的交点，且于E，则的长度为（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 5．（本题3分）如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B，则点B表示的实数是（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 7．（本题3分）如图，在中，，边，上的高，相交于点．若，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 8．（本题3分）小明家的花洒装置示意图如图所示，花洒安装在距离地面厘米的处，花洒的长度为厘米．当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到地面的位置与墙面之间的距离为厘米，则水流的长度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 9．（本题3分）如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，．则（   ） A．5 B．12 C．15 D．16 10．（本题3分）在中，，垂足为，为上一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）已知的两直角边分别是，，则的斜边上的高是 ． 12．（本题3分）如图，在中，， ， ，则点C 到斜边的距离为 ． 13．（本题3分）如图，在四边形中，，，，，则 ． 14．（本题3分）如图，在中，是中点，则的长是： ． 15．（本题3分）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点落在的位置上，已知，，则 ． 16．（本题3分）如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 17．（本题3分）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 18．（本题3分）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，则的长为 ．    三、解答题（共66分） 19．（本题8分）图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，求网格中的周长． 20．（本题8分）如图，在等腰中，，点是上一点，． (1)试说明：； (2)求的长． 21．（本题8分）如图，在中，，延长至点E，过点E作，垂足为F，交边于点D． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，且D为边的中点，求的长． 22．（本题8分）小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．他进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．若小明牵线放风筝手到地面的距离为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 23．（本题8分）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点E，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)求的长． 24．（本题8分）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 25．（本题8分）如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点E，D，连接，与的延长线交于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点E作，交延长线于点G．求证：； (3)如图3，若，，，求的面积． 26．（本题10分）如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 第8页，共8页 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