精品解析：四川省成都市锦江区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

四川省成都市锦江区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1. 在北师大版数学教材中，《制作万花筒》这一节介绍了万花筒是一种光学玩具，从孔中看去即可观测到对称的美丽图案，不可能从万花筒中看到的是（　　） A. B. C. D. 2. 碳化硅（SiC）是一种新型超级材料，它在微芯片传感器中起着非常重要的作用．碳化硅每两个相邻碳原子间的键长，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，木条a、b、c通过如图方式钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法不正确的是（　　） A. 你最喜爱的球队将夺得冠军是随机事件 B. 太阳从东方升起是确定事件 C. 直线外一点与直线上各点连接所有线段中，垂线段最短 D. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 6. 如图，要测量池塘两岸相对两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 7. 在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（　　） A. 一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球 B. 任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 C. 从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率 D. 在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀 8. 如图，为直角三角形，，，平分，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图1所示是中国古代的一种打击乐器编钟．老师绘制了从正面看到的编钟形状的一部分．如图2所示，操作如下：将四边形沿直线翻折．点A，B的对应点分别为，其中点A，E，三点在同一条直线上．则下列说法不正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在一个透明的大圆柱形器皿底部放置一个透明的小圆柱形器皿，现先向小圆柱形器皿内匀速注水，注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，直到注满大圆柱形器皿，设注水时间为x，大、小圆柱形器皿中的水位高度差为y（），则下列图象适合y与x之间关系的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_______． 12. 已知、为等腰的边长，且满足，则的周长是_____． 13. 要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，水渠从村沿方向修建到村，已知的方向与的方向一致，工程队从村沿开始施工，则的大小为 ________． 14. 大衍数列：0，2，4，8，12，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大街之数五十”的推论．对于按一定规律排列的数：，，，，…，依此规律排列，则大衍数列的第10个数是_______，第11个数是_______． 15. 已知在中，，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于E、D．作直线，点F为中点，点P为直线上任意一点，连接，．若，的面积为6，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共9个小题，共65分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 补充完成下列推理过程： 如图，在等边中，是边上一点，以为边向上作等边，连接． 求证：． 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴（ ）． 即（ ）． 在和中， ∵ ∴（ ）． ∴（ ）． ∵是等边三角形， ∴． ∴（ ）． ∴（ ）． 19. 如图，是由边长为1的小正方形组成的长方形网格，小正方形的顶点为格点，和的顶点都在格点上． （1）作关于直线l对称的； （2）与是否关于某条直线m对称？若是，画出直线m，若不是，请说明理由； （3）在直线l上找一点P，使得，请画出点P． 20. “项目式学习”是一种新型学习方式．请根据下列材料，完成以下任务： 背景 2024年国家对青少年电子产品的管理进一步细化，强制推行“青少年模式”：青少年应控制电子产品使用，非学习目的的使用单次不宜超过15分钟，周末累计不宜超过1小时． 素材 某校调研了七年级（1）班同学周末电子产品的使用时间，并制作了如下两幅不完整的统计图． 问卷调查 周末在家，使用电子产品的时长为 A．0～15分钟 B．15～30分钟 C．30～45分钟 D．45～60分钟 问题解决 任务1 求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图； 任务2 若七年级共有600人，根据调查估算周末电子产品使用时长小于15分钟学生人数？ 任务3 若从D中随机抽取一名学生，抽到男生的概率为，则D中女生有多少人？ 21. 如图，在四边形中，，对角线平分，平分交于点G，过点G的直线分别交于点E，F． （1）求证：； （2）求证：； （3）若与之间的距离为6，，求的值． 22. 2025年4月19日举办的北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松赛中，北京人形机器人创新中心自研的全尺寸人形机器人“天工Ultra”夺冠，第二名是松延动力N2“小顽童”．赛前科研人员对以上两种新型智能机器人进行测试，已知“天工Ultra”与N2“小顽童”同时从A地出发前往B地，出发1分钟后，N2“小顽童”的速度减慢为原来的，最终比“天工Ultra”晚到2分钟，“天工Ultra”与N2“小顽童”所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的关系如图所示． 请回答下列问题： （1）直接写出a，b的值； （2）求“天工Ultra”与N2“小顽童”相遇的时间； （3）在“天工Ultra”到达终点前，当x为何值时，“天工Ultra”与N2“小顽童”相距30米？ 23. 【基于教材】 （1）如图1，在边长为a大正方形中有一个边长为b的小正方形，将图1的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，分别表示图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的等式是 ； 【知识迁移】 （2）为落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育意见》文件精神，成都市锦江区某校在图1的基础上重新设计了如图3所示的图案，其中阴影部分种植番茄．若，，求种植番茄的面积； 拓展应用】 （3）将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图4方式不重叠地放置在矩形内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．若四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，求长方形纸片的面积． 24. 如图，在中，，，点D为射线上一点，连接． 【初步感知】 （1）如图1，当点D在线段上时，作点B关于直线的对称点，连接，，延长，交于点H，填空：若，则 ； ； 【深入探究】 （2）如图2，当点D在线段上时，在上方作，延长，交于点H，连接，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）点D为射线上一点，作点B关于直线的对称点，直线交直线于点H，连接，若，点C到直线的距离为4．求由顶点B，C，A，H围成的四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市锦江区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1. 在北师大版数学教材中，《制作万花筒》这一节介绍了万花筒是一种光学玩具，从孔中看去即可观测到对称美丽图案，不可能从万花筒中看到的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A，B，D是轴对称图形，C不是轴对称图形， 则不可能从万花筒中看到的是C图形， 故选：C． 2. 碳化硅（SiC）是一种新型超级材料，它在微芯片传感器中起着非常重要的作用．碳化硅每两个相邻碳原子间的键长，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算、完全平方公式和平方差公式的应用，逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：A、，计算错误； B、，与选项结果一致，计算正确； C、，计算错误； D、，计算错误； 故选：B． 4. 如图，木条a、b、c通过如图方式钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，由同位角相等，两直线平行，即可得到答案． 【详解】解：当时，， ∵，， ∴木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是． 故选：A． 5. 下列说法不正确的是（　　） A. 你最喜爱球队将夺得冠军是随机事件 B. 太阳从东方升起是确定事件 C. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件类型的判断及几何性质的理解，必然事件是指一定会发生的事件；不可能事件是指不可能发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、球队夺冠的结果无法提前确定，属于可能发生也可能不发生的随机事件，正确； B、太阳东升是必然发生的自然现象，属于确定事件中的必然事件，正确； C、直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短是几何基本性质（垂线段公理），正确； D、等腰三角形中，只有顶角的角平分线、底边上的中线和高线互相重合。若未明确“顶角”或“底边”，则底角的角平分线与中线、高线不一定重合，因此该说法不严谨，错误； 故选：D． 6. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴依据是， 故选B． 7. 在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（　　） A. 一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球 B. 任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 C. 从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率 D. 在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率， A、一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球的概率为，故此选项不符合题意； B、任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3的概率为，故此选项不符合题意； C、从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率的概率为，故此选项不符合题意； D、在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀的概率为，故此选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，为直角三角形，，，平分，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题关键．过点C作，则，由可得出，故，据此可得出的度数，根据平分可得出的度数． 【详解】解：如图，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 9. 如图1所示是中国古代的一种打击乐器编钟．老师绘制了从正面看到的编钟形状的一部分．如图2所示，操作如下：将四边形沿直线翻折．点A，B的对应点分别为，其中点A，E，三点在同一条直线上．则下列说法不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，根据翻折的性质可得，判断A，B，C都正确，选项D不一定成立，即可得到答案． 【详解】解：∵将四边形沿直线l翻折．点A，B的对应点分别为， ∴， ∴选项A，B，C都正确； 选项D不一定成立，故选项D符合题意； 故选：D． 10. 如图，在一个透明的大圆柱形器皿底部放置一个透明的小圆柱形器皿，现先向小圆柱形器皿内匀速注水，注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，直到注满大圆柱形器皿，设注水时间为x，大、小圆柱形器皿中的水位高度差为y（），则下列图象适合y与x之间关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图象，先向小圆柱形器皿内匀速注水，y随x的增大而增大，且增加速度较快；注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，y随x的增大而减小；当大圆柱形器皿的水位高度与小圆柱形器皿的高度相同，即y减小至0后，y随x的增大而增大，且增加速度比第一段慢，据此解答即可． 【详解】解：分三段： 先向小圆柱形器皿内匀速注水，y随x的增大而增大； 注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水；y随x的增大而减小， 当大圆柱形器皿的水位高度与小圆柱形器皿的高度相同时即y减小至0后，y随x的增大而增大且增加速度比第一段慢． 故选项B的图象符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方．熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键． 利用积的乘方法则将原式变形后再计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知、为等腰的边长，且满足，则的周长是_____． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形三边的关系等知识；由非负数的性质可求得a与b的值，根据等腰三角形的定义结合三角形三边的关系即可求得周长． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴； 若三边是11，11，5，则；若三边是11，5，5，则，不能构成三角形，不符合题意； ∴的周长为27； 故答案为：27． 13. 要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，水渠从村沿方向修建到村，已知的方向与的方向一致，工程队从村沿开始施工，则的大小为 ________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】根据题意可得：，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 大衍数列：0，2，4，8，12，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大街之数五十”的推论．对于按一定规律排列的数：，，，，…，依此规律排列，则大衍数列的第10个数是_______，第11个数是_______． 【答案】 ①. 50 ②. 60 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，乘方的运算，理解材料的计算方法，找出规律是关键，根据材料提示的计算方法，设为序号（的正整数），即第个数，其计算规律为：当序号是奇数时，第个数为，当序号是偶数时，第个数为，由此得到第10个数为偶数，第11个数为奇数，由此代入计算即可求解． 【详解】解：设为序号（的正整数），即第个数， ∴，即第1个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第2个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第3个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第4个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第5个数，序号为奇数，对应的数字为：， ， ∴当，即第10个数，序号为偶数，对应的数字为：， 当，即第11个数，序号为奇数，对应的数字为：， 故答案为：①；② ． 15. 已知在中，，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于E、D．作直线，点F为中点，点P为直线上任意一点，连接，．若，的面积为6，则的最小值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，交直线于点，连接，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，可知当点P与点重合时，，为最小值．由题意得为等腰三角形，则可得．根据三角形的面积公式可得，进而可得答案． 本题考查了线段垂直平分线的基本作图，等腰三角形的性质，轴对称性质的应用，三角形面积公式，熟练掌握基本作图，轴对称性质是解题的关键． 【详解】解：连接，交直线于点，连接， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，可知当点P与点重合时，，为最小值．由题意得，点F为中点， 故． 根据题意，得 解得， 故的最小值为4． 故答案为：4． 三、解答题（本大题共9个小题，共65分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）9；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解一元一次方程，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）根据负整数指数幂运算法则，零指数幂运算法则，绝对值，有理数的乘方运算法则计算即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】解：（1）； ； （2）， 去分母，得， 移项、合并同类项得：， 将系数化为1，得． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，根据运算法则进行整式化简，再代入数值求出结果即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 18. 补充完成下列推理过程： 如图，在等边中，是边上一点，以为边向上作等边，连接． 求证：． 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴（ ）． 即（ ）． 在和中， ∵ ∴（ ）． ∴（ ）． ∵是等边三角形， ∴． ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． 根据等边三角形性质得，，，进而得，由此可依据“”判定和全等得，然后根据“内错角相等，两直线平行”，即可得出结论． 【详解】证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴． 即． 在和中， ∵ ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 19. 如图，是由边长为1的小正方形组成的长方形网格，小正方形的顶点为格点，和的顶点都在格点上． （1）作关于直线l对称的； （2）与是否关于某条直线m对称？若是，画出直线m，若不是，请说明理由； （3）在直线l上找一点P，使得，请画出点P． 【答案】（1）图见解析 （2）是，图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、图形的对称变换以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义和性质，能准确进行图形变换及运用垂直平分线性质找点． （1）分别作出点 关于直线l的对称点，连接三点得到． （2）观察与对应点连线是否被同一直线垂直平分，若存在则该直线为m，并画出来． （3）作线段的垂直平分线，其与直线l的交点即为点P（利用垂直平分线性质：其上的点到两端距离相等）． 【小问1详解】 如图，即为所求． 【小问2详解】 是．如图，直线m即为所求． 【小问3详解】 如图，作线段BC的垂直平分线， 则点P即为所求． 【点睛】 20. “项目式学习”是一种新型学习方式．请根据下列材料，完成以下任务： 背景 2024年国家对青少年电子产品的管理进一步细化，强制推行“青少年模式”：青少年应控制电子产品使用，非学习目的的使用单次不宜超过15分钟，周末累计不宜超过1小时． 素材 某校调研了七年级（1）班同学周末电子产品的使用时间，并制作了如下两幅不完整的统计图． 问卷调查 周末在家，使用电子产品的时长为 A．0～15分钟 B．15～30分钟 C．30～45分钟 D．45～60分钟 问题解决 任务1 求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图； 任务2 若七年级共有600人，根据调查估算周末电子产品使用时长小于15分钟学生人数？ 任务3 若从D中随机抽取一名学生，抽到男生的概率为，则D中女生有多少人？ 【答案】任务1：，图见解析 任务2：120人 任务3：3人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，利用样本频数估计总体频数等，解题的关键是从统计图中获取准确信息． 任务1：先根据C组人数及其所占百分比可得总人数，用B组人数除以总人数可得m的值，总人数乘A组人数所占比例即可补全图形； 任务2：总人数乘以A组对应百分比可得其人数； 任务3：用D组人数乘以女生的概率即可得出答案． 【详解】解：任务1：被调查的总人数为（人）， 则， ∴； A组人数（人）， 补全图形如下： 任务2：（人）， 答：估算周末电子产品使用时长小于15分钟学生人数约为120人； 任务3：（人）， 答：D中女生有3人． 21. 如图，在四边形中，，对角线平分，平分交于点G，过点G的直线分别交于点E，F． （1）求证：； （2）求证：； （3）若与之间的距离为6，，求的值． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3）24 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）根据得，根据平分得，再根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得，由此可判定，进而根据全等三角形的性质可得出结论； （3）过点A作于点H，根据三角形的面积不变性解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点A作于点H，如图所示： ∵与之间的距离为6， ∴， ∵， ∴由三角形的面积公式得：， ∴， ∴， ∴． 22. 2025年4月19日举办的北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松赛中，北京人形机器人创新中心自研的全尺寸人形机器人“天工Ultra”夺冠，第二名是松延动力N2“小顽童”．赛前科研人员对以上两种新型智能机器人进行测试，已知“天工Ultra”与N2“小顽童”同时从A地出发前往B地，出发1分钟后，N2“小顽童”的速度减慢为原来的，最终比“天工Ultra”晚到2分钟，“天工Ultra”与N2“小顽童”所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的关系如图所示． 请回答下列问题： （1）直接写出a，b的值； （2）求“天工Ultra”与N2“小顽童”相遇的时间； （3）在“天工Ultra”到达终点前，当x为何值时，“天工Ultra”与N2“小顽童”相距30米？ 【答案】（1）7，300 （2）2.5分钟 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查函数图像的应用，实际问题与一元一次方程，理解函数图像是解题的关键． （1）由题意及图像，可得（分钟），，即可解答． （2）由题意及图像，可得，即可解答； （3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐一分析，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意及图像，得 （分钟）， 则有， 解得． 答：a，b的值分别为7，300． 【小问2详解】 当“天工Ultra”与N2“小顽童”相遇时，有 解得． 答：“天工Ultra”与N2“小顽童”相遇的时间为2.5分钟． 【小问3详解】 ①当时，由天工Ultra”与N2“小顽童”相距30米，得 ， 解得． ②当时，由天工Ultra”与N2“小顽童”相距30米，得 ， 解得． ③当时，由天工Ultra”与N2“小顽童”相距30米，得 ， 解得． 答：天工Ultra”到达终点前，当x为或或时，“天工Ultra”与N2“小顽童”相距30米． 23. 【基于教材】 （1）如图1，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将图1的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，分别表示图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的等式是 ； 【知识迁移】 （2）为落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》文件精神，成都市锦江区某校在图1的基础上重新设计了如图3所示的图案，其中阴影部分种植番茄．若，，求种植番茄的面积； 【拓展应用】 （3）将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图4方式不重叠地放置在矩形内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．若四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，求长方形纸片的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）12 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）根据两个图形中阴影部分面积相等，得出答案即可； （2）用大正方形面积减去两个直角三角形的面积，和一个正方形的面积，得出阴影部分的面积即可； （3）设长方形的两边分别为m、n，得出正方形的边长为，正方形的边长为，根据四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，得出，，求出，，得出答案即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为：， 图2中阴影部分的面积为：， ∴可以得到的等式为； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴种植番茄的面积为： ； （3）设长方形的两边分别为m、n， ∵长方形纸片和正方形纸片的周长相等， ∴正方形的边长为， ∴正方形的边长为， ∵四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16， ∴， ， 即，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴长方形纸片的面积为12． 24. 如图，在中，，，点D为射线上一点，连接． 【初步感知】 （1）如图1，当点D在线段上时，作点B关于直线的对称点，连接，，延长，交于点H，填空：若，则 ； ； 【深入探究】 （2）如图2，当点D在线段上时，在上方作，延长，交于点H，连接，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）点D为射线上一点，作点B关于直线的对称点，直线交直线于点H，连接，若，点C到直线的距离为4．求由顶点B，C，A，H围成的四边形的面积． 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）16或48 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质以及三角形面积，合理构造全等三角形是本题解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和依次求出，，然后根据对称的性质得到以及，进而求得，最后根据三角形内角和求出和即可； （2）延长到F，使得，连接，根据全等三角形的判定与性质得出和全等，然后根据三角形内角和求出，从而得到，从而得证； （3）过C作，根据（2）的结论可以得到是等腰直角三角形，从而可以求出和，再根据三角形全等，可以将四边形的面积转化为和的面积，从而得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由对称的性质可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）证明：延长到F，使得，如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过C作， ∴， ①当D在线段上时，如图： 由对称的性质可知，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ②当D在延长线上时，如图： 同理可得，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，由顶点B，C，A，H围成的四边形的面积为16或48． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $