精品解析：山东省临沂市临沭县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年山东省临沂市临沭县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，D为中点，若，则的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知M、N是线段AB上两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 某校践行“五育并举”，期末时李梅的五育得分如表所示，则对于这5个数据，下列说法错误的是（ ） 项目 德 智 体 美 劳 得分 9 8 6 9 8 A. 众数是9 B. 中位数是8 C. 平均数是8 D. 方差是 6. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，点D的坐标是，则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 9. 已知一次函数，若当时，函数有最大值为3，则k值为（ ） A. 3 B. 3或4 C. 6 D. 0或3 10. 如图，正方形的边长为6，以边为底向外作等腰，点P是对角线上的一个动点，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 要使式子有意义，则的取值范围是__________． 12. 清代数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中运用“出入相补”原理证明了勾股定理如图，已知，四边形，，均为正方形若四边形，的面积分别为和，则的长为______． 13. 若正比例函数过点，当时，______． 14. 如图，的对角线，交于点，点是的中点，若，则的长是______. 15. 如图1，点P从的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2） 17. 归纳与应用 归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言，例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；并且，我们判定一个四边形是平行四边形也可以从边、角、对角线这几个角度进行．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙． （1）尝试归纳：请你根据图2，写出2条直角三角形的性质； ①______； ②______； （2）实践应用：如图3，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A，B，C都是格点． 小明发现图3中是直角，小明的证明过程： 如图4，过点B作一条水平线l，过点A作，垂足为E，，垂足为 ，，， ， ， ， ， 请借助图3用一种不同于小明的方法证明是直角． 18. 国家安全是民族复兴的根基．2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，为此，某校组织了一次以“一起成为国家安全最坚定的捍卫者”为主题的书画作品征集活动．征集活动结束后，校团委随机抽取了本校20个班级，统计这些班级征集到的作品数量，并将统计结果绘制成如下统计图： 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）本次调查数据的众数为___________件，中位数为___________件； （2）请计算这20个班级本次征集到的作品的平均数量； （3）若该校共有45个班级，请你估计本次活动征集到的作品总数量． 19. 请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，已知为菱形的对角线，请过点B作的垂线； （2）如图2，已知四边形，，且，点E为线段中点，请过点E作的平行线． 20. 如图，折线表示距离（米）与时间（分）之间的函数关系． （1）求出线段所对应的函数表达式，并注明相应的的取值范围； （2）请你想象一个符合函数图象的实际情境，并用语言进行描述（不必描述具体的速度） 21. 在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为，，为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，三款机器人的得分（满分为分）分别为分、分、分，运动能力测试由位专业测试员根据一系列动作任务进行打分，每位测试员最高打分，运动能力测试成绩为各位测试员打分之和．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 和 任务：______，______，______； 【数据分析与运用】 任务：通过图表信息，可判断______（填“”“”或“”）款机器人运动能力测试得分更稳定； 任务：若按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你计算款机器人的综合成绩； 任务：结合以上信息，对三款机器人的性能进行评价（写出一条即可） 22. 为了吸引顾客，某市内游乐园推出了两种游玩活动方案，活动方案如下： 方案一：不购买会员卡，每小时收费元； 方案二：购买会员卡，售价为160元/张，每小时另收10元，有效期一个月． 设某个月内游玩时间为（时），按照方案一所需费用为（元），其关系图象如图所示；按照方案二所需费用为（元）． （1）分别求出与之间函数关系式； （2）在图中画出的函数图象； （3）你会如何向朋友推荐方案． 23. 问题情境： 在矩形纸片中，点是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．操作探究： （1）如图1，若点落在边上，则四边形的形状是______； （2）若点落在矩形内部． ①如图2，过点作，垂足为，交于点，连接请判断四边形形状，并说明理由； ②如图3，为边的三等分点，且点在点的左侧．连接并延长，交边于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图4，，，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年山东省临沂市临沭县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义解题即可．理解最简二次根式的定义是解题的关键．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 如图，在中，，D为中点，若，则的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，D为边的中点， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的乘法及减法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 逐一验证各选项二次根式运算是否正确，依据二次根式的化简及运算法则进行判断． 【详解】解：选项A：， 化简得，则左边为，右边，显然，故选项A错误，不符合题意； 选项B：， 根据二次根式乘法法则，，与右边相等，故选项B正确，符合题意； 选项C：， 合并同类项得，而右边为2，显然，故选项C错误，不符合题意； 选项D：， 化简，则左边为，右边为，显然，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 4. 已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形． 【详解】如图所示， AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 5. 某校践行“五育并举”，期末时李梅的五育得分如表所示，则对于这5个数据，下列说法错误的是（ ） 项目 德 智 体 美 劳 得分 9 8 6 9 8 A. 众数是9 B. 中位数是8 C. 平均数是8 D. 方差是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数和方差的计算，逐一计算各选项即可判断错误选项． 【详解】解：A、数据中9和8各出现2次，故众数为8和9，原说法错误，符合题意； B、数据排序后为6、8、8、9、9，中间数为第3个数据8，故中位数是8，原说法正确，不符合题意； C、平均数为，原说法正确，不符合题意； D、方差为，原说法正确，不符合题意； 故选A． 6. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与轴的交点位置再判断即可． 【详解】解：由一次函数：的图象可得： ，， 由一次函数：的图象可得： ，， ∴，，，， 正确的结论是A，符合题意， 故选A． 7. 水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断各容器的水的高度随时间上升的快慢进行判断即可． 【详解】解：根据图象，水的高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢， 选项A、B、C中容器上下粗细均匀，水的高度随滴水时间变化，上升速度一致，不符合题意； 选项D中容器下细上粗，水的高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系，从图象中得到水的高度随时间上升的快慢以及各容器的结构是解答的关键． 8. 如图，在矩形中，点D的坐标是，则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据勾股定理求出，然后根据矩形的性质得出即可． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， 点D的坐标是， ∴， ， 故选：C． 9. 已知一次函数，若当时，函数有最大值为3，则k的值为（ ） A. 3 B. 3或4 C. 6 D. 0或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据一次函数的增减性，分和两种情况求解即可． 【详解】解：当，即时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值为3， 即， 解得； 当，即时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为3， 即， 解得； 所以k的值为0或3． 故选：D． 10. 如图，正方形的边长为6，以边为底向外作等腰，点P是对角线上的一个动点，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形，正方形，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题，作辅助线，等腰直角三角形的性质，正方形的性质． 利用轴对称-最短路线问题，作辅助线，根据等腰直角三角形的性质，正方形的性质解答． 【详解】解：如图，作B点关于直线的对称点，正好落于点D，连接交于点P，连接，此时的值最小， 由作图知道，， ， 正方形的边长为6，是等腰直角三角形，由勾股定理得， ，，， 在中， ， 的最小值 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 要使式子有意义，则的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件可得关于x的不等式，解不等式即可得． 【详解】由题意得： 2-x≥0， 解得：x≤2 故答案为x≤2． 12. 清代数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中运用“出入相补”原理证明了勾股定理如图，已知，四边形，，均为正方形若四边形，的面积分别为和，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理的证明．根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形，的面积分别为和， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 若正比例函数过点，当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及正比例函数的性质，准确的计算是解题的关键．根据题意，将点代入计算求出的值，得到正比例函数表达式，再将代入表达式计算即可得到答案． 【详解】解：正比例函数过点， 将点代入，得， 则正比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 14. 如图，的对角线，交于点，点是的中点，若，则的长是______. 【答案】3 【解析】 【分析】先说明OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解． 【详解】∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴OB=OD，AD=BC=6 ∵点E是CD的中点， ∴CE=DE， ∴OE是△BCD的中位线， ∵AD=6， ∴OE=AD=3. 故答案为3 【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于利用OE是△BCD的中位线 15. 如图1，点P从的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是______． 【答案】84 【解析】 【分析】先分析出点P在和上运动时的大小变化，再结合函数图象得到相应线段长． 【详解】解：由图象分析可得：当点P在上运动时，不断增大，到达C点时，达到最大值，此时； 当P在上运动时，先减小再增大， 在此过程中，时，此位置记为，有最小值为，由勾股定理可得， P点到达C点时，可得，由勾股定理可得， ∴， ∴ 故答案为84． 【点睛】本题考查了函数图象的理解和应用，勾股定理的应用，把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 先算乘除，化为最简二次根式，再合并即可； 先算算术平方根和完全平方，再去括号算加减． 【详解】（1）， ， ； （2）， ， ， 17. 归纳与应用 归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言，例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；并且，我们判定一个四边形是平行四边形也可以从边、角、对角线这几个角度进行．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙． （1）尝试归纳：请你根据图2，写出2条直角三角形的性质； ①______； ②______； （2）实践应用：如图3，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A，B，C都是格点． 小明发现图3中是直角，小明的证明过程： 如图4，过点B作一条水平线l，过点A作，垂足为E，，垂足为 ，，， ， ， ， ， 请借助图3用一种不同于小明方法证明是直角． 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和的定理、勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理以及三角形内角和定理进行推论即可解答； （2）根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到解答． 【小问1详解】 解：①由勾股定理可得：；②由三角形内角和的定理可得：． 故答案为：；． 【小问2详解】 证明：，，， ． ∴是直角． 18. 国家安全是民族复兴的根基．2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，为此，某校组织了一次以“一起成为国家安全最坚定的捍卫者”为主题的书画作品征集活动．征集活动结束后，校团委随机抽取了本校20个班级，统计这些班级征集到的作品数量，并将统计结果绘制成如下统计图： 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）本次调查数据的众数为___________件，中位数为___________件； （2）请计算这20个班级本次征集到的作品的平均数量； （3）若该校共有45个班级，请你估计本次活动征集到的作品总数量． 【答案】（1）7，7 （2）这20个班级本次征集到的作品的平均数量为7.2件 （3）本次活动征集到的作品总数量约为324件 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、平均数、用样本估计总体，能正确从条形统计图中获取有用信息是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数的定义即可求解； （2）根据平均数公式计算即可； （3）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：所抽取班级征集到的作品数量的众数为7件， 中位数为件， 故答案为：7，7； 【小问2详解】 解：（件）， ∴这20个班级本次征集到的作品的平均数量为7.2件； 【小问3详解】 解：（件）， ∴估计本次征集到的作品总数量为324件． 19. 请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，已知为菱形的对角线，请过点B作的垂线； （2）如图2，已知四边形，，且，点E为线段的中点，请过点E作的平行线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、三角形中位线的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质等知识点，掌握三角形的中线相交于三角形内一点是解题的关键． （1）连接，作所在的直线即可； （2）连接交于点J，连接，延长交于点 K，作直线即可． 【小问1详解】 解：如图1中，直线即为所求； ∵菱形， ∴， ∴直线即为所求． 小问2详解】 解：如图2中，直线即为所求． 连接与交于点O， ∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∴，即是的中线， ∵点E为线段的中点， ∴是的中线， ∵三角形的中线相交于三角形内一点， ∴是的中线， ∴点K为线段的中点， ∴是的中位线， ∴． 20. 如图，折线表示距离（米）与时间（分）之间的函数关系． （1）求出线段所对应的函数表达式，并注明相应的的取值范围； （2）请你想象一个符合函数图象的实际情境，并用语言进行描述（不必描述具体的速度） 【答案】（1） （2）小明匀速步行20分钟到达距家900米的超市购物，在超市停留了10分钟，又用了15分钟匀速步行返回家中（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 利用待定系数法列二元一次方程组求解即可得到答案； 数形结合，将图象用语言描述出来即可得到答案． 【小问1详解】 解：设线段所对应的函数表达式为为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 线段所对应的函数表达式及的取值范围为； 【小问2详解】 解：如图所示： 根据图象，可描述为：小明匀速步行20分钟到达距家900米的超市购物，在超市停留了10分钟，又用了15分钟匀速步行返回家中．答案不唯一 21. 在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为，，为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，三款机器人的得分（满分为分）分别为分、分、分，运动能力测试由位专业测试员根据一系列动作任务进行打分，每位测试员最高打分，运动能力测试成绩为各位测试员打分之和．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 和 任务：______，______，______； 【数据分析与运用】 任务：通过图表信息，可判断______（填“”“”或“”）款机器人运动能力测试得分更稳定； 任务：若按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你计算款机器人的综合成绩； 任务：结合以上信息，对三款机器人的性能进行评价（写出一条即可） 【答案】任务：，，；任务：；任务：分；任务：见解析 【解析】 【分析】任务：分别根据中位数、众数和加权平均数的定义解答即可； 任务：由折线统计图可判断款机器人的得分波动比款机器人的得分波动小，即，又由表知，即可得款机器人运动能力测试的方差最小，进而根据方差的意义即可判断求解； 任务：根据加权平均数公式计算即可； 任务：根据统计表数据，结合中位数、众数和方差的意义解答即可答案不唯一 本题考查了扇形统计图，折线统计图，加权平均数和统计表，解题的关键是读懂题意，掌握中位数，众数，方差等概念． 【详解】解：任务：由折线统计图可知，款机器人测试员打分从低到高排列为：， 款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分， ， 分， 款机器人的运动能力测试成绩为分； 故答案为：，，； 任务：由折线统计图可知，款机器人的得分波动比款机器人的得分波动小， ， 又由表知，， ∴款机器人运动能力测试的方差最小，即款机器人运动能力测试得分更稳定， 任务：款机器人的综合成绩为分； 任务：在图象识别能力测试中，三款机器人的得分分别为分、分、分，说明款机器人图象识别能力较强；运动能力测试的方差最小的是款机器人，说明款机器人运动能力的稳定性较好；款机器人测试员打分的中位数最高，说明款机器人运动能力整体较好． （答案不唯一） 22. 为了吸引顾客，某市内游乐园推出了两种游玩活动方案，活动方案如下： 方案一：不购买会员卡，每小时收费元； 方案二：购买会员卡，售价为160元/张，每小时另收10元，有效期一个月． 设某个月内游玩时间为（时），按照方案一所需费用为（元），其关系图象如图所示；按照方案二所需费用为（元）． （1）分别求出与之间的函数关系式； （2）在图中画出的函数图象； （3）你会如何向朋友推荐方案． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）如果在一个月内，游玩时间为小时，当时，推荐方案一；当时，两个方案都可以推荐；当时，推荐方案二 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出的函数图象过点，即可； （3）求出两函数图象交点的横坐标，再结合函数图象，即可． 【小问1详解】 解：（1）方案一：设， ∵图象过点， ∴， ∴； 方案二：由题意，得：； 【小问2详解】 解：对于， 当时，，当时，， ∴的函数图象过点， 画出函数图象，如图所示： 【小问3详解】 解：令，解得， ∴与图象相交于点， 观察函数得：如果在一个月内，游玩时间为小时， 当时，方案一更优惠，推荐方案一； 当时，两个方案费用一样，两个方案都可以推荐； 当时，方案二更优惠，推荐方案二． 23. 问题情境： 在矩形纸片中，点是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．操作探究： （1）如图1，若点落在边上，则四边形的形状是______； （2）若点落矩形内部． ①如图2，过点作，垂足为，交于点，连接请判断四边形的形状，并说明理由； ②如图3，为边的三等分点，且点在点的左侧．连接并延长，交边于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图4，，，若，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形 （2）①四边形BEMF为菱形，理由见解析；②，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出，，根据，证明四边形为矩形，再由，即可证明四边形为正方形； （2）①根据折叠得出，，，，证明，得出，证明，即可证明结论； ②先证明，根据矩形中，，，证明四边形为平行四边形，得出，求出，即可得出结论； （3）根据矩形的性质得到，，，根据折叠根据折叠的性质得到，，，过点作，如图所示：求得，根据矩形的性质得到，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：四边形为矩形， ， 根据折叠可知：，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， 故答案为：正方形； 【小问2详解】 解：①四边形为菱形； 理由如下： 根据折叠可知：，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； ②； 理由如下： ，为边的三等分点， ， 根据折叠可知：，， ， ， ， ， ， 矩形中，，， 四边形为平行四边形， ， ， ； 【小问3详解】 解：四边形为矩形，，， ，，， 根据折叠可知：，，， 过点作，如图所示： ， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， 即， ， ， ， 设， 则， 根据勾股定理得，即， 解得， 即． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合应用，涉及折叠性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，数形结合，分类讨论是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$