专题27：第22章直角三角形章节复习（5大知识点+8大题型+真题检验） 2025—2026学年沪教版（五四制）（2024）数学八年级上册

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题27 第22章直角三角形章节复习 知识点一、直角三角形的性质和判定 1.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 2.直角三角形的判定 （1）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （2）如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点二、直角三角形全等的判定 1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 2.直角三角形全等的条件（A表示对应角相等、S表示对应边相等） 知识点三、角平分线的性质定理与判定定理 性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在叫的平分线上。 知识点四、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边的c的平方，即a2＋b2=c2。 2.在直角三角形中，已知任意两条边长，可以根据勾股定理求出第三边的长。 知识点五、勾股定理的逆定理 1. 定理：如果三角形的三边长满足,那么这个三角形是直角三角形,我们称它为勾股定理的逆定理 2.勾股数的概念 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数,即中,a,b,c为正整数时,称a,b,c 为一组勾股数 【注意：小数（含分数）、无理数就算满足，也不能称为勾股数，因为它们不是正整数.】 3.常见的勾股数 ①3,4,5 ;②6,8,10 ;③ 8,15,17 ;④7,24,25 ;⑤ 5,12,13 ;⑥9.12,15 ;⑦9,40,41.这些勾股数同学们请背诵下来，我们熟悉了常见的勾股数之后，将有利于我们快速判断一个三角形是否为直角三角形. 题型01：直角三角形的两个锐角互余 【例1】如图，△ABC中，，于，，，则 °． 【跟踪训练】 1.如图所示，在中，，是两条高，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，则的度数是 ． 3.如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 4.如图，等腰中，腰上的高线为，的平分线为，，则为（   ） A． B． C． D． 题型02：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【例2】若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是 ． 【跟踪训练】 1.如图，中，，，D为边上的中点，E为上的一动点（不与A、C点重合），过点D作的垂线交于点F．求证：． 2.如图，是与的斜边，，，位于的异侧，是的中点，连接，，，若，，则的大小是 ．    题型03：含30°角的直角三角形的有关计算 【例3】如图，在中，，是边上的高，若，，则的长是（   ） A．3 B． C． D．4 【例4】如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交于点D，E，连接．若，则的长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【例5】在△ABC中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为、． (1)当点在的什么位置时，？并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【跟踪训练】 1．如图，是等边三角形，是中线，于点，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.如图，在中，，点D是上一点，过点D作交于点E，交延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 题型04：直角三角形的判定 【例6】在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【例7】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【跟踪训练】 1.下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1) 6，8，10； (2) 5，12，13； (3) 8，15，17； (4) 4，5，6，其中能构成直角三角形的有 ( ) A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 3.已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 题型05：直角三角形全等的判定 【例8】已知：如图，于为上一点，交于，，． （1）求证：； （2）若，，求． 【跟踪训练】 1.如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 2.如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ；若，则 ． 3.如图，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 4.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5.在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 6.如图，中，，点D在上，于点．若，，则 ． 题型06：角平分线的性质定理与判定定理 【例9】如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论．①；②；③点到各边的距离相等；④设，则，正确的结论有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练】 1.如图，点F在射线上，，点E在的角平分线上，，．若，则的面积是（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 2.如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点． （1）求证：； （2）求的大小． （3）连接，求证：平分． 题型07：利用勾股定理解三角形 【例10】如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为（   ） A．4 B． C． D．或 【跟踪训练】 1．如图，△ABC中，于点，则的长为 ． 2.如图，数轴上点A表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 题型08：与勾股定理有关的证明 【例11】下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．B．C． D． 【例12】如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 【跟踪训练】 1.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 2.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    题型9：与勾股数有关的问题 【例13】下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．，，2 C．1，1，2 D．9，12，15 【跟踪训练】 1.三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 2.下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 3.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 4.勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 5.如图是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为 ． 题型10： 勾股定理与折叠问题 【例14】如图，在△ABC中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕的长等于 ．    【跟踪训练】 1.如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ． 2．已知正方形的边长为3，点E在边上，，如图，若把线段绕点A旋转，使点E落在直线上的点F处，则的长为 ． 3．如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点E．已知．（长方形的对边相等，四个角都为直角） （1）求证：； （2）求的长； （3）请直接写出中上的高为_______． 题型11：利用勾股定理逆定理求解 【例15】已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【跟踪训练】 1.如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． （1）用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，连接，求的度数． 2.如图，，，，，求的度数． 3.如图，四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、C两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 4.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为 ，的长为 ，的长为 ； (3)为 三角形，点A到的距离为 ． 题型12：勾股定理的实际应用 【例16】如图，一架25米长的云梯AC斜靠一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C离墙7米．如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了（    ）米 A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 【例17】如图，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是 ． 【跟踪训练】 1.如图所示，四个规格相同的正方形网格，按下列要求画格点正方形（4个顶点均在格点的正方形）． (1)在图1中画出与图甲中阴影部分面积相等的正方形． (2)在图2中画出与图乙中阴影部分面积相等的正方形． 2.如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 秒． 3．（24-25八年级上·重庆万州·期末）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的距离为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． (1)求此时风筝的垂直高度的长； (2)若放风筝的同学站在点不动，风筝沿的方向继续上升到处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿方向上升的高度的长． 3.如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么： (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？ 题型13：综合提升 【例18】阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在中，，，，动点从点出发，沿射线运动，动点从点出发，沿射线运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)当为多少时，是等腰三角形？请说明理由． (2)当为多少时，是直角三角形？请说明理由． 【跟踪训练】 1.如图，是等边三角形，边长为，点、分别是边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，分别沿边、运动，设运动时间为，且它们的速度都为． (1)连接、交于点，则在点、运动的过程中，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数； (2)连接，当为何值时，为直角三角形？ 2.已知：如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是直角三角形？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)设四边形的面积为，求与的关系式． 3.在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题27 第22章直角三角形章节复习 知识点一、直角三角形的性质和判定 1.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 2.直角三角形的判定 （1）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （2）如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点二、直角三角形全等的判定 1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 2.直角三角形全等的条件（A表示对应角相等、S表示对应边相等） 知识点三、角平分线的性质定理与判定定理 性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在叫的平分线上。 知识点四、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边的c的平方，即a2＋b2=c2。 2.在直角三角形中，已知任意两条边长，可以根据勾股定理求出第三边的长。 知识点五、勾股定理的逆定理 1. 定理：如果三角形的三边长满足,那么这个三角形是直角三角形,我们称它为勾股定理的逆定理 2.勾股数的概念 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数,即中,a,b,c为正整数时,称a,b,c 为一组勾股数 【注意：小数（含分数）、无理数就算满足，也不能称为勾股数，因为它们不是正整数.】 3.常见的勾股数 ①3,4,5 ;②6,8,10 ;③ 8,15,17 ;④7,24,25 ;⑤ 5,12,13 ;⑥9.12,15 ;⑦9,40,41.这些勾股数同学们请背诵下来，我们熟悉了常见的勾股数之后，将有利于我们快速判断一个三角形是否为直角三角形. 题型01：直角三角形的两个锐角互余 【例1】如图，△ABC中，，于，，，则 °． 【答案】16 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质．先根据得出，再由可得出，由可得出的的度数，进而得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 【跟踪训练】 1.如图所示，在中，，是两条高，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高的定义，直角三角形两个锐角互余，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形中的两个锐角互余求得：，根据三角形的外角性质可得，即可求解． 解： 在中，，是两条高，， ，， ， 故选：C． 2.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，掌握旋转的性质是解题的关键．由，，可得，由旋转得，即得为等边三角形，得到，再根据角的和差即可求解． 解：∵，， ∴， 由旋转可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 3.如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 【答案】58 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 4.如图，等腰中，腰上的高线为，的平分线为，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，角平分线的计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互以及等边对等角得到，由角平分线得到，再根据角度和差计算即可． 【详解】解：∵腰上的高线为，， ∴， ∵等腰，， ∴， ∵的平分线为， ∴， ∴， 故选：B． 题型02：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【例2】若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出斜边长为，再根据三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长是， ∴斜边长为， ∵直角三角形斜边上的高是， ∴直角三角形的面积为． 故答案为：． 【跟踪训练】 1.如图，中，，，D为边上的中点，E为上的一动点（不与A、C点重合），过点D作的垂线交于点F．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．连接，先根据等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，，，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证． 解：证明：如图，连接， ∵中，，，为边上的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2.如图，是与的斜边，，，位于的异侧，是的中点，连接，，，若，，则的大小是 ．    【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据直角三角形的性质得到，所以，进而求出的度数，再根据等腰三角形的性质得到，即可求出的度数． 解：点是的斜边的中点， ， ， ， 点是的斜边的中点，， ， ， ， 故答案为：． 题型03：含30°角的直角三角形的有关计算 【例3】如图，在中，，是边上的高，若，，则的长是（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及直角三角形两锐角互余、高的定义、含的直角三角形性质等知识，先由直角三角形两锐角互余得到，在和中，由、含的直角三角形性质求出，数形结合表示出即可得到答案，熟练掌握直角三角形两锐角互余、含的直角三角形性质等知识是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则， 是边上的高， ， ， ， 在中，，，，则， 在中，，，，则， ， 故选：A． 【例4】如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交于点D，E，连接．若，则的长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据直角三角形的性质，可得，根据垂直平分线的性质可得，在中，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【例5】在△ABC中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为、． (1)当点在的什么位置时，？并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)当点在的中点时，；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）当点在的中点时，，根据等腰三角形的性质得出平分，再根据角平分线的性质即可得到结论； （2）由题意得，进而得出，，得到，，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当点在的中点时，，理由如下， 如图，连接， 是的中点， 平分， ，， ； （2）解：是的中点，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【跟踪训练】 1．如图，是等边三角形，是中线，于点，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，根据等边三角形及为中线，可得：，，再根据含直角三角形的性质可得出，即可得出答案． 解：∵在等边三角形中，为中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2.如图，在中，，点D是上一点，过点D作交于点E，交延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）7 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，，然后可得是等边三角形，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型04：直角三角形的判定 【例6】在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形． 【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意； D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C 【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键． 【例7】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； B、设a＝3k，b＝4k，c＝5k，（3k）2+（4k）2＝（5k）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； C、由∠A+∠B＝∠C，可得∠C＝90°，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意； D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，不能判断△ABC是直角三角形，符合题意． 故选：D． 【跟踪训练】 1.下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可。 解：①，， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ②， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ③， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ④，， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； 能确定是直角三角形的条件有①②③，共有个， 故选：． 2．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1) 6，8，10； (2) 5，12，13； (3) 8，15，17； (4) 4，5，6，其中能构成直角三角形的有 ( ) A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【答案】B 【详解】 (1)，符合勾股定理的逆定理； 符合勾股定理的逆定理； 符合勾股定理的逆定理； 不符合勾股定理的逆定理； 故选B. 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 3.已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【答案】,，理由见分析． 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，直角三角形的两锐角互余，垂直定义．通过证明，可得，进而得，进而得，从而即可得解． 解：，，理由如下： ∵ ∴ 又∵在和中， ∴（） ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型05：直角三角形全等的判定 【例8】已知：如图，于为上一点，交于，，． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法及性质是解题的关键． （1）根据垂直可得，在和中，运用“斜边直角边”的方法即可求证； （2）根据，，得到，由即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，即， ∴． 【跟踪训练】 1.如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键． 根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答． 解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等， 和满足定理“”， 故选：B． 2.如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ；若，则 ． 【答案】 或 /60度 【分析】本题考查了直角三角形的判定“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等”，理解并掌握这个知识点是解题的关键，本题容易忽略两种情况，要注意分类讨论． 本题要使和全等，已知和斜边，要想证明全等，还需要一个直角边相等条件，即或．当，根据内角和为，且，可求得． 解：当 时，点和点重合， 在和中， ， ∴． 当 时，在和中， ， ∴． 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或；． 3.如图，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的判定得，即可得出结论． 解：（1）证明：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握网格的特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证，得到，则有，由网格的性质可得是等腰直角三角形，，由此即可求解． 解：如图所示， ∵网格是正方形网格， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A ． 5.在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由，，求得，然后证明，推导出，即可求解． 解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：35． 6.如图，中，，点D在上，于点．若，，则 ． 【答案】25 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，，求得，再根据“HL”证明，则，于是得到问题的答案． 解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， 故答案为： 题型06：角平分线的性质定理与判定定理 【例9】如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论．①；②；③点到各边的距离相等；④设，则，正确的结论有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①先由角平分线的定义得，再由得，由此得，进而得，同理，据此可对结论①进行判断；②先根据角平分线的定义得，，进而得，然后根据即可对结论②进行判断；③过点作于，于，连接，根据角平分线的性质得，，由此可得，据此可对结论③进行判断；④由③得，则，，进而得，据此可对结论④进行判断． 解：①是的平分线， ， ， ， ， ， 同理：， ， 故结论①正确； ②和的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， 故结论②正确； ③过点作于，于，连接，如图所示： 是的平分线， ， 是的平分线，， ， ， 点到各边的距离相等， 故结论③正确； ④，， 由③正确得：， ，， ． 故结论④正确． 故选：D． 【点拨】此题考查了角平分线的定义及性质，平行线的性质，等角对等边，三角形的面积等知识点，熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 【跟踪训练】 1.如图，点F在射线上，，点E在的角平分线上，，．若，则的面积是（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线、含角直角三角形、等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识点．过点E作，交于点D，根据角平分线的性质可得和，再根据含角直角三角形的性质计算求得的长，利用平行线的性质证明，求得，利用三角形面积公式即可解答． 解：如图，过点E作，交于点D，如图所示：      ∵点E在的平分线上，， ∴，， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的面积是， 故选：C． 2.如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点． （1）求证：； （2）求的大小． （3）连接，求证：平分． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质得到，，，进而得到，即可证明出； （2）首先根据全等三角形的性质得到，然后根据对顶角相等得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）首先根据全等三角形的性质得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可． 解：（1）∵与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∴ ∴； （2）设与交于点B， ∵ ∴ 又∵ ∴； （3）如图所示，连接，过点D作，， ∵，，，， ∴ ∴平分． 【点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的判定定理，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 题型07：利用勾股定理解三角形 【例10】如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为（   ） A．4 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，分两种情况：①2和3为两条直角边；②3为斜边；再利用勾股定理进行求解即可． 解：①2和3为两条直角边时，由勾股定理得第三条边长为； ②3为斜边时，由勾股定理得第三条边长为； 即第三条边长为或， 故选：D． 【跟踪训练】 1．如图，△ABC中，于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用，根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 2.如图，数轴上点A表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，即的长度即可得出结果． 解：由勾股定理知：， 所以． 所以点D表示的数为． 故选：B． 题型08：与勾股定理有关的证明 【例11】下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法． 根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 解：A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． 故选：D． 【例12】如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 【跟踪训练】 1.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【难度】0.85 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 2.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【难度】0.65 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 题型09：与勾股数有关的问题 【例13】下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．，，2 C．1，1，2 D．9，12，15 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； B、不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； C、∵，∴不能构成勾股数，不符合题意； D、∵，∴能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 【跟踪训练】 1.三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，观察可知本原勾股数的第一个数是从3开始的连续的奇数，且第一个数的平方等于第二个数加上第三个数，并且第三个数等于第二个数加1，据此规律求解即可． 【详解】解：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41…， …．．， 以此类推，可知，第n组本原勾股数的第一个数为，且第三个数比第二个数大1，且第二个数和第三个数的和等于第一个数的平方， 设第n组本原勾股数的第二个数为，则第三个数为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2.下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； C、由可知，7，24，25不是勾股数，符合题意； D、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； 故选：B． 3.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 【答案】37 【分析】本题考查勾股定理，根据勾为偶数，弦与股相差为2，设弦为，则：股为，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 解：设弦为，则：股为， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：37． 4.勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 【答案】（19，180，181） 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 【详解】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 故答案为（19，180，181）． 5.如图是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为 ． 【答案】16 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为，，，，白色正方形的边长为，如图所示： ∴由勾股定理可得：，，， ∴， ∴图中阴影正方形的面积之和为； 故答案为：． 题型10： 勾股定理与折叠问题 【例14】如图，在△ABC中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕的长等于 ．    【答案】 【分析】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质求线段的长度等知识与方法，熟练掌握这些基础知识点是解题的关键． 由勾股定理得，由折叠得，确定，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ， ∴， ∵把△ABC沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处， ， ∴， 设，则， ， 解得：， ∴， ∴ 故答案为：． 【跟踪训练】 1.如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】1或2 【分析】此题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握折叠性质，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 由折叠性质得到，，，由三角形外角性质得到，分和，两种情况，进行求解即可． 解：由折叠知，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， 如图1，若， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵； 如图2，若， 则， ∴， ∴ ∴为直角三角形时，的长为：1或2． 故答案为：1或2． 2．如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点E．已知．（长方形的对边相等，四个角都为直角） （1）求证：； （2）求的长； （3）请直接写出中上的高为_______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据翻折的性质与平行线的性质可得，进而根据等边对等角即可证明； （2）设，根据（1）的结论，在中，勾股定理即可求得的长，进而可得的长； （3）先根据勾股定理求得的长，设中上的高为，根据等面积法求解即可 【详解】（1）证明：四边形是长方形，四个角都为直角， ，∠B=90°， 翻折， （2）设， 在中 即 解得 （3）在中，， 设中上的高为，则， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键． 3．已知正方形的边长为3，点E在边上，，如图，若把线段绕点A旋转，使点E落在直线上的点F处，则的长为 ． 【答案】1或5 【分析】分点F在线段上或点F在线段的延长线上，分别画图解决问题． 解：在正方形中，，， 由旋转的性质得， 在与中， ， （）， ∵正方形的边长为3， 如图，当点F在线段上时， 如图，当点F在线段的延长线上时， 综上所述，的长为1或5， 故答案为：1或5． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，运用分类思想是解题的关键． 题型11：利用勾股定理逆定理求解 【例15】已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 【跟踪训练】 1.如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． （1）用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，连接，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据折叠的对称性，即可作折叠后的； （2）根据折叠的性质，求证是等边三角形，由勾股定理逆定理得是直角三角形，得到即可求； 解：（1）解：以点D为圆心，分别以为半径，画弧，二弧交于点E， 连接， 则即为所求． （2）解：根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，且， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查轴对称的基本作图，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，掌握折叠的尺规作图实质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的应用是解题关键． 2.如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 3.如图，四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、C两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． （1）由勾股定理可直接求得结论； （2）根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【详解】（1）解：连接，如图． 在中，，，，， ∴， 解得（负值舍去） 即A、C两点之间的距离为； （2）解：∵， ∴， ∴四边形纸片的面积 ． 4.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为 ，的长为 ，的长为 ； (3)为 三角形，点A到的距离为 ． 【答案】(1)见解析 (2)，，5 (3)直角，2 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、平移(作图) 【分析】本题考查作图-应用与设计、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用平移的性质画出图形即可； （2）利用勾股定理计算即可； （3）利用勾股定理的逆定理证明，再运用等积法即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所画， （2）解：由勾股定理得： ； ； 故答案为：；；5； （3）解：∵, ∴， ∴是直角三角形，且 设点A到的距离为，则有： ， ∴ 即：点A到的距离为2， 故答案为：直角；2． 题型12：勾股定理的实际应用 【例16】如图，一架25米长的云梯AC斜靠一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C离墙7米．如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了（    ）米 A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 【例17】如图，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是 ． 【跟踪训练】 1.如图所示，四个规格相同的正方形网格，按下列要求画格点正方形（4个顶点均在格点的正方形）． (1)在图1中画出与图甲中阴影部分面积相等的正方形． (2)在图2中画出与图乙中阴影部分面积相等的正方形． 【答案】(1)画图见详解 (2)画图见详解 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意可以选取边长为的正方形，画出正方形即可． （2）根据题意可以选取边长为的正方形，根据勾股定理画出边长为正方形即可． 【详解】（1）解：图甲中四边形由两个底边为4，高为1的三角形组成， ∴图甲中四边形的面积为， 图1中的正方形边长为，如图所示． （2）图乙中四边形的面积为， 图2中的正方形边长为，且， 如图所示． 2.如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 秒． 3．（24-25八年级上·重庆万州·期末）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的距离为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． (1)求此时风筝的垂直高度的长； (2)若放风筝的同学站在点不动，风筝沿的方向继续上升到处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿方向上升的高度的长． 3.如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么： (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？ 题型13：综合提升 【例18】阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在中，，，，动点从点出发，沿射线运动，动点从点出发，沿射线运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)当为多少时，是等腰三角形？请说明理由． (2)当为多少时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)或时，是等腰三角形，见解析 (2)或时，是直角三角形，见解析 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由题知，，，再分两种情况：①当点，点在线段，上运动时，即时；②当点，点在线段，延长线上运动时，即时；分别根据等腰三角形的性质列出方程，求解即可； （2）分情况讨论，根据直角三角形的性质列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ， 由题知，， ①当点，点在线段，上运动时，即时 是等腰三角形 是等边三角形 ， 解得， ②当点，点在线段，延长线上运动时，即时 是等腰三角形 ， 解得， 综上所述，或时，是等腰三角形 （2）解：当点，点在线段，上运动时，即时 ①当时 ， ， 解得， ②当时 ， ∴，      解得， 当点，点在线段，延长线上运动时，是钝角三角形，不符合题意，舍去. 综上所述，或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【跟踪训练】 1.如图，是等边三角形，边长为，点、分别是边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，分别沿边、运动，设运动时间为，且它们的速度都为． (1)连接、交于点，则在点、运动的过程中，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数； (2)连接，当为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)秒或秒 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质， （1）根据等边三角形的性质得和，根据运动得，即可得，得到，根据三角形的外角的性质解答即可； （2）设点P，Q运动x秒时，则，，分和两种情况，根据含角的直角三角形性质计算即可． 【详解】（1）的大小不发生变化，理由如下， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点P、Q的速度相同， ∴， 在和中 ∴． ∴， ∴ 则 （2）设点P，Q运动x秒时，是直角三角形， 则，， ①当时， ∵， ∴，即，解得，； ②当时， ∵， ∴，即，解得； 故当t为秒或秒时，是直角三角形． 2.已知：如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是直角三角形？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)设四边形的面积为，求与的关系式． 【答案】(1)当的值为1秒或2秒时，是直角三角形 (2)当的值为秒时，是等腰三角形． (3) 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的定义 【分析】（1）分情况进行讨论：①；②．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可． （2）根据构建方程即可解决问题． （3）先用的面积的面积表示出四边形的面积，即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 中，，， ， 中，，若是直角三角形，则或， 当时，， 即， 解得：（秒）， 当时，， 即， 解得：（秒）， 答：当的值为1秒或2秒时，是直角三角形； （2）解：，是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， 则秒时，是等腰三角形． （3）解：如图，过P作于，过A作于， 在中，， ， ， 是等边三角形，， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的判定、等边三角形的面积公式，图形面积的求法、勾股定理等知识点，解题的关键是学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型． 3.在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$