11.3《公式法》课件 2024--2025学年青岛版七年级数学下册

11.3 公式法 学习目标 1、理解和掌握平方差公式的结构特征. 2、会应用平方差公式进行因式分解. 课前准备 （1）4x²= （2）9y²= （3）16m²= （4）25a²= （5）a²b²= （6）49x²y²= 将下列式子改写成（ )2的形式 一 复习引入 1、什么是因式分解？ 2、什么是提公因式法因式分解？ 把一个多项式分解成几个整式的积的形式. 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 2.计算下列多项式的积: （1）（x+5）（x-5） = ； （2）（3+y）（3-y）= ； 反之，你能将第2题的结果分解因式吗? x2-25 9-y2 1.把下列式子分解因式: ax-ay = ； 3a2-9ab= a（x-y） 一.勤探索，善发现 3a（a-3b) 平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 明概念，析结构 整式乘法 运用平方差公式分解因式 因式分解 火眼金睛： 下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ × × √ √ （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) y2-x2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2 x2-（5y）2 （6）m2-1 m2-12 （7）992-1 √ （8）-a4+16 √ 42-(a2)2 思考：多项式满足什么样的特征能用平方差公式分解因式？ 两数的平方， 减号在中央． ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式. 可以形象地表示为 2 - 2=（ + ）（ - ） 小结 这就是用平方差公式将多项式进行因式分解。 3、a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2、m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1、x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，你会吗？ m m - 3 3 x 2 m 3 典例精析 例 分解因式：（1）16x2+24x+9； 分析：在（1）中， 16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + 32 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + 32 = (4x + 3)2； (首)²+2·首·尾+(尾)² （2）-x2+4xy-4y2. (2)-x2+ 4xy-4y2 = - (x2-4xy+4y2) = - (x -2y)2. 分解因式: 4x2＋4x＋1 小聪解答过程如下： 他做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来. 解: 原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2 × 想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式 平方差公式： 探索新知 a2- b2=(a+b)(a-b) 整式乘法 因式分解 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 （4）-x2+y2 （5）m2-1 探索新知 ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式. 两数是平方， 减号在中央． 例分解因式： 解:原式= 典例精析 （1）4x2-9 （2）(x+2)2-(x+3)2 (2x)2-32 =(2x+3)(2x-3) a2-b2=(a+b)(a-b) =[(x+2)+(x+3)]· a2- b2 =( a + b ) ( a - b ) =(2x+5)×（-1） 整体思想 [(x+2)- (x+3)] =-2x-5 a2- b2=(a+b)(a-b) 当场编题，考考你！ 20152－20142 = (x+z)2 -(y+p)2 = (2mn)2 －(3xy)2 = 针对训练 例 分解因式： 解：原式＝(x2)2-(y2)2 ＝(x2+y2)(x2-y2) ＝(x2+y2)(x+y)(x-y) 解：原式＝ab(a2-1) ＝ab(a+1)(a-1) 典例精析 (1)x4-y4 (2)a3b-ab 分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查. 要点归纳 公式法解方程的步骤 1. 化：化已知方程为一般形式； 2. 定：确定各项系数a，b，c的值； 3. 求：求Δ=b2 − 4ac 的值； 4. 判：若Δ= b2 − 4ac≥0，则方程有实数根； 若 b2 − 4ac＜0，则方程没有实数根. 5. 代：将a，b，c的值代入求根公式，写出方程的根. (1) 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 . (2) 若关于 x 的一元二次方程 (m − 1)x2 − 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值范围. 解：化为一般式，得 (m − 1)x2 − 2mx + m − 2 = 0． Δ= 4m2 − 4(m − 1)(m − 2)≥0，且 m − 1≠0. 解得 且 m≠1. 课堂小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） 务必将方程 化为一般形式 判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根情况的方法： Δ=b2 − 4ac > 0 Δ=b2 − 4ac = 0 Δ=b2 − 4ac＜ 0 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 x2 + 17 = 8x. 方程没有实数根. a = 1，b = −8，c = 17. Δ= b2 − 4ac = (−8)2 − 4×1×17 = −4＜0. 解：方程化为 x2－8x + 17 = 0. 小结 利用平方差公式因式分解的一般步骤： 一、提（提公因式） 二、套（套平方差公式） 三、验（检验分解是否彻底） $$