11.3《公式法》运用完全平方公式因式分解 课件 2024--2025学年青岛版数学下册

11.3公式法 —— 运用完全平方公式因式分解 1. 理解并掌握用完全平方公式分解因式；（重点） 2. 灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解 进行计算．（难点） 学习目标 导入新课 复习引入 1. 因式分解的定义： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式的过程. 2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1. 提公因式法 2. 平方差公式 a2 - b2 = (a + b)(a - b) ma + mb + mc = m(a + b + c) 用完全平方公式分解因式 你能把下面 4 个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？ 拼出的图形为： a a b b a b a b ab a² b² ab 这个大正方形的面积可以怎么求？ a2 + 2ab + b2 (a + b)2 = a b a b a² ab ab b² (a + b)2 a2 + 2ab + b2 = 将上面的等式逆过来看，能得到： a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2 我们把 a² + 2ab + b² 和 a² - 2ab + b² 这样的式子叫做完全平方式. 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且是和的形式. 是第一项和第三项底数的积的±2 倍. 完全平方式的特点： 1. 必须是三项式(或可以看成三项的)； 2. 有两个数或式的平方和； 3. 有两底数之积的 ±2 倍. 完全平方式： 知识迁移 在括号里填上适当的式子，使等式成立： (1) (a+b)2= (2) (a-b)2= (3) a2+ +1=(a+1)2 (4) a2- +1=(a-1)2 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 2a 2a 思考:多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点? 你能将它们因式分解吗? 这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍,这恰是两个数的和或差的平方,我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式,利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解. 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 等号两边互换位置,就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方. 完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 完全平方式: 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. a2 2 a b b2 ± . + . = （ a ± b)² a2 2 a b b2 ± . + . = （ a ± b)² 3、a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2、m²-6m+9=( )² - 2· ( )·( )+( )² =( )² 1、x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，你会吗？ m m - 3 3 x 2 m 3 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 例 分解因式：（1）16x2+24x+9； 分析：在（1）中， 16x2=(4x)2, 24x=2·4x·3, 9=3², 所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2； (首)²+2·首·尾+(尾)² （2）-x2+4xy-4y2. (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =- (x -2y)2. 典型精析 首尾平方系数都是负号，先提取负号 因式分解： (1) -3a2x2 + 24a2x - 48a2； (2) (a2 + 4)2 - 16a2. 针对训练 ＝(a2 + 4 + 4a)(a2 + 4 - 4a) 解：(1) 原式＝-3a2(x2 - 8x + 16) ＝-3a2(x - 4)2. (2) 原式＝(a2 + 4)2 - (4a)2 ＝(a + 2)2(a - 2)2. 有公因式要先提公因式 要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解 例 简便计算： (1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2 本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算 = 1. = 2500. 例 已知 x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求 x2y2＋2xy＋1 的值. ＝112＝121. 解：由题意得 x2－4x＋4＋y2－10y＋25＝0， 即 (x－2)2＋(y－5)2＝0. ∵ (x－2)2≥0，(y－5)2≥0， ∴ x－2＝0，y－5＝0. ∴ x＝2，y＝5. ∴ x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2 几个非负式的和为 0，则这几个非负式都为 0 方法总结：此类问题一般情况是将原式进行变形，将其转化为非负式的和的形式，然后利用非负式的性质求出未知数的值，再代值计算． 例 把下列各式分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2 ； 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； 分析：（1）中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式； （2）（a+b)2-12(a+b)+36. (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 典例精析 例 分解因式：（1）16x2+24x+9； 分析：在（1）中， 16x2=(4x)2, 24x=2·4x·3, 9=3², 所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2； (首)²+2·首·尾+(尾)² （2）-x2+4xy-4y2. (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =- (x -2y)2. 思考：运用完全平方公式分解因式应注意什么？ (1)先找平方项，再运用公式; (2)若平方项前面是负号，先把负号提到括号前面，然后再考虑用完全平方公式. 例 把下列各式分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2 ； 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； 分析：（1）中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式； （2）（a+b)2-12(a+b)+36. (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 练习1 把下列完全平方公式分解因式： 1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)² =1. 本题利用完全平方公式分解因式的方法，大大减少计算量，结果准确. 把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36， （2）4a2-4a+1. 解：（1）原式 =x2－2·x·6+（6）2 =（x－6）2 （2）原式=（2a）² － 2·2a·1+（1）² =（2a － 1）2. 归纳小结 1．运用完全平方公式分解因式有什么条件？ 2．归纳因式分解的一般步骤? 巩固练习，用完全平方公式分解因式： 解：原式=2(16m4-24m2n2+9n2 ) =3a(4m2 - 3n2)2 解：原式=-2(x2-4xy+4y2 ) 2. 解：原式=(x+y-3)2 整体思想 用完全平方公式分解因式： 巩固练习，用完全平方公式分解因式： 解：原式=3 (m +n)2 - 4m(m+n)+4m2 =3(m +n-2m)2 =3(n-m)2 整体思想 巩固练习： 解原式=(x+y)2 -2(x+y)(x-y)+(x-y)2 整体思想 = x+y -(x-y) 2 =4y2 THANK YOU! 感谢聆听 $$