精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024—2025学年度下学期八年级 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，下列函数图象经过点的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 6，8，10 B. 10，15，20 C. 8，15，17 D. 7，24，25 5. 正比例函数的图象经过的象限是（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第一、二象限 6. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧相交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD（ ） A. 四条边相等 B. 四个角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，在矩形中，点在边上，将矩形沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 9. 下列说法：①对角线互相垂直的平行四边形是正方形；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；④矩形、菱形都具有“对角线相等”的性质；⑤对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的说法有（ ） A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，在矩形中，，，，动点从点A出发，沿路径运动，则的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 计算的结果是__________． 13. 如图，在数轴上，点表示的数为，垂直数轴，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为_____． 14. 关于一元二次方程的一个根为，则另一个根为__________． 15. 如图，在中，，点D、E、F分别是中点，若，则长为_________． 16. 若点，都在直线上，则与的大小关系是_____． 17. 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若，则线段的长为_____． 18. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，且点A的纵坐标是2，则不等式的解集是_____． 19. 已知正方形的边长为4，点G在的延长线上，点E在射线上，且，连接，过点E作交的平分线于点F，则线段的长为_____． 20. 阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为_____． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 解方程： 22. 定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． （1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 23. 某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示． （1）求y与x之间函数关系式； （2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？ 24. 已知：在四边形中，，过点A作于点E，过点C作于点F，且． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接，，连接交于点O，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个与四边形面积相等的三角形． 25. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 26. 截长补短法是初中数学几何题中的一种常用方法，也是把几何题化难为易的一种思想，常常用来探究三条线段之间的数量关系． 【探索发现】如图，在中，点为上的一点，连接，作的平分线交于点，若点为的中点，求证：； 解题思路：抓住平行四边形对边平行的性质，结合中点，只需延长交的延长线于点，通过全等将线段转移到的位置，实现补短的目的，再证明与相等，即可解决问题．请按此思路完成证明． 【类比迁移】如图，在正方形中，点为上的一点，连接，作的平分线交于点，求证：； 【综合应用】如图，在菱形中，，延长至点，使，连接，点为上一点，连接，作的平分线交于点，连接，若，，求的面积． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B、四边形是菱形，点D在x轴正半轴上． （1）如图1，求点D的坐标； （2）如图2，连接，点P为线段上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点P作轴于点Q，连接，点E为上的一点，连接交于点F，，连接，当平分时，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度下学期八年级 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程满足的条件（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐一分析选项即可． 【详解】解：A选项：方程为，最高次数为3，不符合二次项要求，故此选项不符合题意； B选项：展开得，整理为，为一元一次方程，故此选项不符合题意； C选项：含分式项，非整式方程，故此选项不符合题意； D选项：展开并整理为，满足整式、一个未知数且最高次数为2，符合定义，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案． 【详解】解：A选项：，错误． B选项：，平方根结果非负，错误． C选项：，与右边相等，正确． D选项：，而，显然不相等，错误． 综上，正确答案为C． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把分别代入每个选项，然后进行判断，即可得到答案． 【详解】解：当时，则 A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断点是否在函数图像上，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断． 4. 下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 6，8，10 B. 10，15，20 C. 8，15，17 D. 7，24，25 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，若三角形三边长满足 （其中 为最长边），则该三角形为直角三角形．逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A（6，8，10） 最长边为10，验证 ，而 ，满足勾股定理，能构成直角三角形． 选项B（10，15，20） 最长边为20，验证 ，而 ，两者不相等，不满足勾股定理，不能构成直角三角形． 选项C（8，15，17） 最长边为17，验证 ，而 ，满足勾股定理，能构成直角三角形． 选项D（7，24，25） 最长边为25，验证 ，而 ，满足勾股定理，能构成直角三角形． 综上，只有选项B不满足勾股定理， 故选：B． 5. 正比例函数的图象经过的象限是（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第一、二象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．根据正比函数的性质求解即可． 【详解】因为， 所以正比例函数的图象经过第二、四象限． 故选∶． 6. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧相交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD的（ ） A. 四条边相等 B. 四个角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定方法可以判定四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D， ∴AD=BC，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， ∴平行四边形ABCD的对角线互相平分， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法． 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式使其非负． 【详解】解：依题意，即 ． 令 ，解得 ． 综上， 且 ． 故选 C． 8. 如图，在矩形中，点在边上，将矩形沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用折叠性质可得EF＝DE，AD＝AF，根据勾股定理可得CF，设BF＝x，可得AD＝BC＝BF＋CF，在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝8， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，CD＝AB＝8， ∵DE＝5， ∴CE＝CD−DE＝3， ∵矩形ABCD沿AE所在直线折叠， ∴∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，EF＝DE＝5， 在Rt△CEF中，， 设BF＝x，则AF＝AD＝BC＝BF＋CF＝x＋4， 在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2， 即82＋x2＝（x＋4）2， 解得：x＝6， ∴AF＝x＋4＝10，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是利用折叠性质和勾股定理求出CF． 9. 下列说法：①对角线互相垂直的平行四边形是正方形；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；④矩形、菱形都具有“对角线相等”的性质；⑤对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的说法有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质；逐一分析各说法的正确性，结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质进行判断． 【详解】解：说法①：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非正方形（需对角线相等且垂直）．错误． 说法②：一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形．错误． 说法③：一组对边平行且一组对角相等的四边形，可通过同旁内角互补及对角相等推导出另一组对边平行，符合平行四边形判定．正确． 说法④：矩形对角线相等，菱形对角线垂直但不一定相等．错误． 说法⑤：对角线平分一组对角的平行四边形，邻边相等，故为菱形．正确． 综上，正确的说法为③和⑤，共2个． 故选：A． 10. 如图，在矩形中，，，，动点从点A出发，沿路径运动，则的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据四边形是矩形得到，，结合平行线间距离处处相等分点在、、上运动直接求解即可得到答案， 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ① 当点在上运动时，， ， 当点到时，； ② 点在上运动时，， 当点到时，， ③ 点在上运动时，， ， 当点到时，， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数在图形中的应用，解题的关键表示出动点在三边运动时的解析式找到端点． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 计算结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】化简每个二次根式然后计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的化简以及合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． 13. 如图，在数轴上，点表示的数为，垂直数轴，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键．先根据题意确定，，再根据勾股定理求出，即可得答案． 【详解】解：由题意可知，， 根据勾股定理，得， 点在正半轴，且 点对应的实数为， 故答案为：． 14. 关于一元二次方程的一个根为，则另一个根为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为-4，结合方程的一个根为-1，可求出方程的另一个根，此题得解． 【详解】∵a=1，b=m，c=-4， ∴x1•x2==-4． ∵关于x一元二次方程x2+mx-4=0的一个根为x=-1， ∴另一个根为-4÷（-1）=4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之积等于是解题的关键． 15. 如图，在中，，点D、E、F分别是中点，若，则长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质及三角形的中位线定理，根据直角三角形的性质及三角形的中位线定理即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵点分别是的中点， ∴是斜边的中线， ∴， ∵， ∴， ∵分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：5． 16. 若点，都在直线上，则与的大小关系是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得y随x的增大而增大，即可求解． 本题主要考查了一次函数的增减性，熟练地掌握一次函数的图像及其性质是解题的关键． 【详解】解：∵中， ， ∴y随x的增大而增大， ∵，， ， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题知是的角平分线，作于G点，由角平分线的性质可得，由可得，，进而可得，．则，可得，在中，根据勾股定理即可求得的长． 本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及利用面积法求三角形的边．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：由题知是的角平分线， 作于点G，则， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又由， 得， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，且点A的纵坐标是2，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，且点的纵坐标是2，把代入中得：．然后结合图象找出正比例函数在一次函数上方部分的解集即可． 本题主要考查了一次函数和一元一次不等式．利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，且点A的纵坐标是2， ∴把代入中， 得， ∵， ∴． 故答案为：． 19. 已知正方形的边长为4，点G在的延长线上，点E在射线上，且，连接，过点E作交的平分线于点F，则线段的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：①当E点在点C左侧时，在上截取，先证明，再证明，根据证明，则可得，利用勾股定理求得，则．②当E点在点C右侧时，在的延长线上截取．先证明，再证明，根据证明，则可得，利用勾股定理求得，则．综上所述，即可得出答案． 【详解】解：①如图，当E点在点C左侧时，在上截取． ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中, ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ②如图，当E点在点C右侧时，在的延长线上截取． ∴，， ∴， ∴等腰直角三角形， ∵， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键．并且要注意分类讨论． 20. 阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】借鉴已知解题方法，构造，和，令，，，，则长即为的最小值． 本题考查矩形的性质，线段的最值和勾股定理，利用类比思想，借鉴题目的求解方法是解题的关键． 【详解】解：如图构造图形，中，，，， 则， 延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，， 则， 由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长， 过点E作的垂线，垂足为点F， 根据勾股定理得， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，是解题的关键． 把一元二次方程华为一般形式，根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． 即，． 22. 定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． （1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）BN＝12或13 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． 【小问2详解】 设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 23. 某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？ 【答案】（1）；（2）这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果． 【解析】 【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可； （2）利用（1）的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答． 【详解】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0）， ∵y＝kx（k≠0）的图象过（15，20）， 则：20＝15k， 解得k＝， ∴y＝； 当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0）， ∵y＝k′x+b（k≠0）的图象过（15，20），（60，170）， 则：， 解得， ∴y＝， ∴； （2）当y＝80时，80＝，解得x＝33， 33﹣15＝18（天）， ∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量的值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． 24. 已知：四边形中，，过点A作于点E，过点C作于点F，且． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接，，连接交于点O，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个与四边形面积相等的三角形． 【答案】（1）详见解析 （2），，， 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，根据“”证明是解题的关键． （1）由于点，于点，得，而，，即可根据“”证明，得，则，即可证明四边形是平行四边形； （2）由于点，于点，得，由全等三角形的性质得，则四边形是平行四边形，所以，可证明，设，，则，所以，可知与四边形面积相等的四个三角形分别是，，，． 【小问1详解】 证明：于点，于点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：，，，， 理由：于点，于点， ， 由（1）得， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 设，，则， ， ， ， 与四边形面积相等的四个三角形分别是，，，． 25. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． 26. 截长补短法是初中数学几何题中的一种常用方法，也是把几何题化难为易的一种思想，常常用来探究三条线段之间的数量关系． 【探索发现】如图，在中，点为上的一点，连接，作的平分线交于点，若点为的中点，求证：； 解题思路：抓住平行四边形对边平行的性质，结合中点，只需延长交的延长线于点，通过全等将线段转移到的位置，实现补短的目的，再证明与相等，即可解决问题．请按此思路完成证明． 【类比迁移】如图，在正方形中，点为上一点，连接，作的平分线交于点，求证：； 【综合应用】如图，在菱形中，，延长至点，使，连接，点为上一点，连接，作的平分线交于点，连接，若，，求的面积． 【答案】探索发现：详见解析； 类比迁移：详见解析； 综合应用：． 【解析】 【分析】[探索发现]由四边形是平行四边形，得，，则有，，证明，所以，通过角平分线定义可得，从而，则，，从而求证； [类比迁移]延长至点，使得，连接，由四边形是正方形，则，，，证明，所以，又平分，则，令，则，，故有，则可证，又，从而求证； [综合应用]先证等边三角形，则，延长至点，使，连接，证明，所以，，又平分，则，设，则，所以，，可证，设，则，，过点作于点，得，，故有，，由勾股定理得，即，则，（舍），求得，，，，，，由勾股定理得，过点作于点，又，则，，，从而判定，则． 【详解】探索发现：证明∶如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 类比迁移：证明：如图，延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综合应用：解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 延长至点，使，连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴，， 过点作于点， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴，（舍）， ∴，，，，， ∴， 在中，， 过点作于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，直角三角形的性质，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B、四边形是菱形，点D在x轴正半轴上． （1）如图1，求点D的坐标； （2）如图2，连接，点P为线段上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点P作轴于点Q，连接，点E为上的一点，连接交于点F，，连接，当平分时，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，，利用勾股定理求得，再利用菱形的性质求解即可； （2）利用待定系数法求得直线的解析式，得到，过点P作x轴的垂线，交于点G，垂足为点R，利用列式即可求解； （3）过点A作于点H，证明，得到，证明，推出，过点D作于点M，于点N，设，，根据题意求得，，利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：直线，令，， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图1，设直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴直线的解析式为． ∴， 过点P作x轴的垂线，交于点G，垂足为点R， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，过点A作于点H， ∴， 在菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点D作于点M，于点N， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， 设直线解析式为，， ∴， ∴直线解析式为． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及菱形的性质及应用，三角形面积，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是适当作辅助线，构造全等三角形解决问题，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$