专题2.8 直线与圆的位置关系（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题2.8直线与圆的位置关系 教学目标 1.理解直线与圆的三种位置关系: 2.能根据方程判断直线与圆的位置关系; 3.掌握判断直线与圆位置关系的两种方法，体验数形结合思想在解决问题中的应用。 教学重难点 教学重点:①能根据给定直线、圆的方程，判断直线和圆的位置关系、 ②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 教学难点:数形结合思想方法的灵活应用直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。 知识点01 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 （1）几何法（优先推荐） 图象 位置关系 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 。 ； 。 圆心到直线的距离：。 。 ； 。 圆心到直线的距离：。 。 （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ① ② ③ 【即学即练】设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 知识点02 直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【即学即练】直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 知识点03 直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的 ②过圆上一点，可以作圆的 ③过圆内一点， 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 【即学即练】已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 知识点04 圆上点到直线最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ； 【即学即练】圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型01判断直线与圆的位置关系 【典例1】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【变式1】直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【变式2】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【变式3】已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【变式4】已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 判断直线与圆的位置关系，优选几何法 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 题型02由直线与圆的位置关系求参数 【典例1】已知直线与圆相交，则实数k的取值范围为 ． 【变式1】已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 【变式3】若直线与圆只有一个公共点，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式4】若直线经过圆的圆心，则 ． 题型03直线与圆相交问题 【典例1】已知圆与圆：关于直线对称. （1）求圆的方程； （2）设过点的直线与圆交于､两点，为坐标原点，求时直线的方程. 【变式1】圆心为，的圆与直线交于P、Q两点，O为坐标原点，且满足，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则m的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】过圆与直线的两个交点，且面积最小的圆的方程为 ． 【变式4】已知直线与圆相交于A、B不同两点． (1)求m的取值范围； (2)设以AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程． 几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 题型04 求切线方程 【典例1】已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【变式1】过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）．过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 【变式3】已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为 . 【变式4】过点作圆的切线，则切线的一般式方程为 ． 过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 题型05 切线长（切点弦）问题 【典例1】已知直线与垂直，则 ；过上一动点向圆作切线，切点为，则 . 【变式1】过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【变式2】过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【变式3】经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4】若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 . 切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 题型06 已知切线求参数 【典例1】已知直线和. (1)求与直线平行且经过圆心的直线的方程； (2)若直线与直线垂直且与圆相切，求直线的方程. 【变式1】过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【变式3】（多选）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ） A． B．8 C． D．18 【变式4】已知点在圆上运动，则的最小值是 . 题型07 圆的弦长与中点弦问题 【典例1】已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【变式1】已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 【变式3】直线与圆相交于两点，则弦的长等于（    ） A． B．2 C． D．3 【变式4】已知圆，直线，直线被圆所截得的弦长最短时，实数的值为（    ） A． B． C．0 D． 几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 题型08已知圆的弦长求方程或参数 【典例1】已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. (1)求的值 (2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 【变式1】已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 【变式3】已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【变式4】已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 题型09 圆内接三角形面积 【典例1】已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【变式1】过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（    ） A．26 B． C．13 D． 【变式2】已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【变式3】已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【变式4】已知圆的圆心为原点，斜率为1且过点的直线与圆相切 (1)求圆的方程； (2)过的直线交圆于、，若面积为，求直线方程. 题型10 直线与圆的实际应用 【典例1】某沿海城市A市气象观测站测定，在A市正南方向公里的海面上生成台风B，并且台风中心正以20公里/小时的速度向北偏东30度方向直线移动，台风风圈半径（即以台风中心为圆心，风圈为半径的圆范围以内都会受到台风影响）为400公里. (1)经过多少小时A市受到台风影响？影响时间多长？ (2)若此台风经20小时以后登陆，登陆后强度减弱，风圈半径按5公里/小时的速度缩小，则台风B影响A市的持续时间为多少小时？ 【变式1】一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80处，受影响的范围是半径为49的圆形区域.已知港口位于台风中心正北60处，如果这艘轮船不改变航线，那么它将 （填“会”或“不会”）受到台风的影响. 【变式2】在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 【变式3】为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 【变式4】如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为. (1)求外籍船航行路径所在的直线方程； (2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？ 题型11 直线与圆中的定点定值问题 【典例1】已知直线与圆交于两点． (1)当最大时，求直线的方程； (2)若，证明：为定值． 【变式1】已知圆C过点A（1，2），B（2，1），且圆心C在直线上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点. (1)求圆C的方程； (2)若点P的坐标为，探究：无论l的位置如何变化，|PM||PN|是否恒为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由. 【变式2】已知点关于直线的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线相交于A，B两点，且． (1)求圆Q的方程； (2)过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：为定值． 【变式3】已知圆经过点，及.经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，两点. （1）求圆的标准方程； （2）若点，分别记直线､直线的斜率为､，求的值. 【变式4】在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 题型12 根据直线与圆位置关系求距离最值 【典例1】已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为 . 【变式1】圆上的点到直线的最大距离是 ． 【变式2】直线与直线交于点，当变化时，点到直线的距离的最大值是 ． 【变式3】动直线l：被圆C：截得弦长的最小值为 ． 【变式4】直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 题型13 直线与圆综合问题 【典例1】已知圆． (1)若直线与圆相切，求切线的方程； (2)若过点的直线与圆相交于、两点，且为直角三角形，求直线的方程. 【变式1】已知圆． (1)求圆C关于直线的对称圆的标准方程； (2)若经过点的直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，求直线l的方程． 【变式2】已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 【变式3】已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【变式4】已知圆，过定点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点. (1)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值. (2)设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由. 1．若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 2．“”是“直线与圆相切”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 4．过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 7．已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 8．过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 9．（多选）已知点和圆，下列说法正确的是（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．过点且与圆相切的直线有且只有一条 D．设点是圆上住意一点，则的最小值为 10．（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 11．已知直线与圆相交于、两点，则 . 12．已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是 . 13．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 14．已知圆C：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． (1)若P的坐标为，求过点P的切线方程； (2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由； (3)直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8直线与圆的位置关系 教学目标 1.理解直线与圆的三种位置关系: 2.能根据方程判断直线与圆的位置关系; 3.掌握判断直线与圆位置关系的两种方法，体验数形结合思想在解决问题中的应用。 教学重难点 教学重点:①能根据给定直线、圆的方程，判断直线和圆的位置关系、 ②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 教学难点:数形结合思想方法的灵活应用直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。 知识点01 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 （1）几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 【即学即练】设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离， 故直线与圆C相离． 故选：C. 知识点02 直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【即学即练】直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】直线与圆方程联立，求出点坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算，可求. 【详解】联立解得：，， 所以. 故选：D 知识点03 直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 【即学即练】已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得则，得到切线的斜率为，且，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，则， 则过点的圆的切线的斜率为，且 所以过点的圆的切线的切线方程为， 即，即. 故答案为：. 知识点04 圆上点到直线最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 【即学即练】圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到圆的圆心与半径，再利用点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为圆，所以其圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则所求距离的最小值为. 故选：A. 题型01判断直线与圆的位置关系 【典例1】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】C 【分析】先求出直线经过的定点，求出圆的圆心和半径，由即可判断. 【详解】因直线过定点， 由配方得：，可得圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内，故直线与圆相交. 故选：C. 【变式1】直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 【变式2】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】首先确定圆心和半径，再应用点线距离公式求圆心与直线的距离，即可判断. 【详解】由，即圆心，半径， 所以到的距离， 所以直线与圆相交. 故选：B 【变式3】已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】由题意可求出直线所过定点，代入圆中即可判断出答案. 【详解】由题意，直线可化为：， 直线过定点，代入圆中， 易知该点为圆上一点，所以直线1与圆相交或相切. 故选：D. 【变式4】已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【分析】由直线方程可得直线过定点，证明点在圆内，由此判断结论. 【详解】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，从而直线与圆相交. 故选：B . 判断直线与圆的位置关系，优选几何法 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 题型02由直线与圆的位置关系求参数 【典例1】已知直线与圆相交，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由圆心到直线的距离小于半径可得． 【详解】，即，直线方程为， 直线与圆相交，则，解得． 故答案为：． 【变式1】已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，列出不等式，求解即可. 【详解】由题可知，直线与圆有交点，故圆心到直线的距离，小于等于半径， 即，故，也即，解得，则的最小值为. 故选：C. 【变式2】已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】由题意知直线过定点，即可判断与圆的位置关系，最后由圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】易知，直线过定点，曲线表示圆心为，半径为2的圆， 定点在圆外.由与有且仅有一个公共点时，与圆相切， 此时圆心到直线的距离，解得， 故选：A. 【变式3】若直线与圆只有一个公共点，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】分析直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式可求的值. 【详解】因为直线与圆只有一个公共点，所以直线与圆相切. 又，所以圆心为，半径为1. 由. 故选：C 【变式4】若直线经过圆的圆心，则 ． 【答案】 【分析】圆心坐标代入直线方程直接求解. 【详解】由题意可知，圆心坐标为,代入直线方程中， 则，解得. 故答案为：. 题型03直线与圆相交问题 【典例1】已知圆与圆：关于直线对称. （1）求圆的方程； （2）设过点的直线与圆交于､两点，为坐标原点，求时直线的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，然后求出圆心关于直线的对称点，则圆的方程可求； （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），将代入圆C的方程化简，结合向量的数量积运算化简可求，即可得出直线方程. 【详解】（1）：表示圆心，半径为2的圆 设关于时对称点为，则 ∴， ∴：, 即 （2）∵与圆相交，∴的斜率存在，设为， ：代入中得， ， ∴ ∵，∴ ∴ ∴ ∴，∴或3 满足，∴或3 ∴直线的方程为或. 【变式1】圆心为，的圆与直线交于P、Q两点，O为坐标原点，且满足，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意求得，即，联立方程组，结合根与系数的关系，得到，利用，得到，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】设圆的方程为，其圆心为， 则，解得，所以圆的方程为， 设， 联立方程组，整理得， 可得， 则， 因为，即，可得，即， 可得，解得，即， 即. 故选：C. 【变式2】直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线方程与圆的方程联立，根据交点位置可得，由此可解不等式求得结果. 【详解】设直线与交于，，则， 联立，消去得： ，解得：    的取值范围为 故选： 【点睛】本题考查根据直线与圆的交点个数及位置确定参数范围的问题，关键是能够通过直线与圆方程联立，根据交点位置确定根与系数关系式所满足的不等式. 【变式3】过圆与直线的两个交点，且面积最小的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】先得到圆与直线的交点坐标，进而得到过这两个交点且面积最小的圆是以为直径的圆，得到圆心和半径，得到答案. 【详解】设圆与直线的两个交点为， 联立，解得或， 不妨设、， 则过这两个交点且面积最小的圆是以为直径的圆， 则圆心坐标为，半径为， ∴此圆方程为． 故答案为： 【变式4】已知直线与圆相交于A、B不同两点． (1)求m的取值范围； (2)设以AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据直线与圆是相交的关系，联立方程根据判别式即可求解，、 （2）根据根与系数的关系以及垂直关系，即可列方程求解或，进而得直线方程. 【详解】（1）由，得，直线与圆有两个交点，所以，即，解得 （2）设、，则，．由于以AB为直径的圆经过原点，所以, 故，即，所以，所以，解得或． 直线l的方程为或． 几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 题型04 求切线方程 【典例1】已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两点距离公式可得，即可求解， （2）利用圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）由题可设圆心的坐标为，， ∵圆的半径为2，点在圆上， ∴，解得（舍去）， 故圆的标准方程为． （2）由题知，切线的斜率存在， 设切线的方程为，即， 由题意得，解得或， ∴切线的方程为或． 【变式1】过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】经分析知点在圆上，根据过圆上点的切线与圆心和切点所在直线垂直，得到切线斜率为，结合直线点斜式方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心， 点在圆上， 过点P的切线与CP垂直，且 ， 过点的切线斜率为， 故所求直线方程为： ， 整理，得： 故选：A 【变式2】（多选）．过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 【答案】CD 【分析】根据题意，分直线的斜率存在以及不存在讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】圆，圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 直线与圆相切； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离等于半径，即，解得； 综上所述，直线的斜率为或者不存在. 故选：CD 【变式3】已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据圆的方程有圆心并求得，应用点斜式写出切线方程. 【详解】由圆，则圆心为，故，则点P处的切线斜率为， 所以圆在点P处的切线方程为，可得. 故答案为： 【变式4】过点作圆的切线，则切线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】求出圆经过点的直径所在直线的斜率即可得切线斜率，进而求出切线方程. 【详解】因为，所以点在圆上，而圆心， 直线的斜率，因此圆C在点处切线斜率为， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 题型05 切线长（切点弦）问题 【典例1】已知直线与垂直，则 ；过上一动点向圆作切线，切点为，则 . 【答案】 2 4 【分析】由直线垂直的充要条件求出，再由圆的性质得当最小时，CP连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得， 所以， 因为圆的圆心为，半径为， 由题意得当最小时，连线与直线垂直， 所以， 由勾股定理得， 所以的最小值为， 故答案为：；4. 【变式1】过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，则当取得最小值时，线段长度的最小，利用点到直线的距离公式求出的最小值即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 由题意可得，则， 则当取得最小值时，线段长度的最小， 则，所以. 故选：B. 【变式2】过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】求出圆的圆心坐标和半径，求出，根据勾股定理求出. 【详解】圆心，半径， ， 由勾股定理得. 故选：B. 【变式3】经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点为，由圆的几何性质可得，则切线长为，求出的最小值，结合勾股定理可得出切线长的最小值. 【详解】直线上任取一点作圆的切线， 设切点为，由圆，得，圆心，半径为， 由圆的几何性质可得，所以切线长为． 当与直线垂直时，取最小值， 因为，所以切线长的最小值为. 故选：A. 【变式4】若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 . 【答案】 【分析】利用垂径定理来求弦长，得用勾股定理来求切线长，即可解决问题. 【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得， 结合已知点，可得： 所以， 故答案为：. 切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 题型06 已知切线求参数 【典例1】已知直线和. (1)求与直线平行且经过圆心的直线的方程； (2)若直线与直线垂直且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出圆心和斜率，进而可得直线方程； （2）根据两直线垂直设出直线的方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】（1）即， 则圆心的坐标为，又直线的斜率为， 所以与直线平行且经过圆心的直线的方程， 即； （2）因为直线与直线垂直，设直线， 又直线与圆相切， 所以， 解得或， 所以直线的方程为或. 【变式1】过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程表示圆以及点与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由圆的一般式方程知：， 所以，，即，解得或， 又知过点可作两条切线，得点在圆外， 即，即，综上可知：. 故选：A 【变式2】若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得. 【详解】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故选：C. 【变式3】（多选）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ） A． B．8 C． D．18 【答案】AB 【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于半径列方程来求得的值. 【详解】圆的圆心为，半径为. 由于直线与圆相切， 所以，解得或. 故选：AB 【变式4】已知点在圆上运动，则的最小值是 . 【答案】 【分析】确定圆心和圆的半径，再根据的几何意义数形结合即可得到的最小值的情况进而求解即可. 【详解】由得， 故圆的圆心为，半径为1，当时，， 当时，， 如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数， 令，即，则圆心到该直线的距离满足， 两边平方整理得，解得，故此时的最小值是， 又，故的最小值为. 故答案为：. 题型07 圆的弦长与中点弦问题 【典例1】已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出范围. 【详解】由直线l：，得直线l恒过定点， 由圆C：，得，圆心，半径为， 又，即点在圆内， 当直线l经过圆心时，， 当直线时，，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以， 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：， 整理得： 故选：B 【变式2】直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，求出直线过的定点，证明定点在圆内，根据当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大即可求解. 【详解】原圆方程配方得， 所以圆心为，半径， 因为直线， 所以直线过定点，因为定点和圆心的距离， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为. 故选：C. 【变式3】直线与圆相交于两点，则弦的长等于（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先得出圆的圆心坐标和半径，然后由点到直线的距离公式、弦长公式即可求解. 【详解】因为圆即圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 因此，弦长. 故选：B. 【变式4】已知圆，直线，直线被圆所截得的弦长最短时，实数的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】首先判断直线所过定点，再由弦长最短，可知定点为弦的中点，根据斜率关系，即可求解. 【详解】直线，所以直线恒过点， 点在圆的内部，所以当点是弦的中点时，此时弦长最短， 圆心和点连线的斜率为， 所以直线的斜率为1，即，即. 故选：B 几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 题型08已知圆的弦长求方程或参数 【典例1】已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. (1)求的值 (2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题可得直线过圆心，求出圆心坐标代入运算得解； （2）根据圆的几何性质求出圆心到直线距离d，分直线l斜率存在和不存在讨论利用点到直线的距离公式求解. 【详解】（1）因为圆：可化为， 所以圆心为，半径为， 因为圆C上存在两点关于直线：对称，则直线经过圆心， 将代入，即 ，解得. （2）依题意，设圆心到直线距离为d，因为，则． 当直线l斜率不存在时，直线方程l为，符合题意； 当直线l斜率存在时，设直线l方程为，即， 所以圆心到直线l的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上所述，直线l的方程为或. 【变式1】已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式、圆的弦长公式列方程即可求解. 【详解】设圆心到直线的距离为， 则由点到直线的距离公式可得， 因为，圆的半径为，所以，解得. 故选：D. 【变式2】已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【分析】首先根据弦长和圆的半径求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式列出关于参数的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】依题意可知直线与圆相交，且圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到的距离为，则，解得. 由，化简得，解得或. 故选：D. 【变式3】已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】由题可求得圆心到直线的距离为1，讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆的半径为2，弦长为圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线距离为1得，解得． 直线的方程为或． 故答案为：或 【变式4】已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 题型09 圆内接三角形面积 【典例1】已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法可求圆的一般方程； （2）利用垂径定理求出弦长，从而可求的面积. 【详解】（1）设的一般方程为， 由题意可知， 解得， 所以， 故的标准方程为. （2）由（1）可知，，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 【变式1】过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（    ） A．26 B． C．13 D． 【答案】C 【分析】由已知可得，圆C的半径为，AB是圆C的一条直径，当时，面积取得最大值，代入数据求面积即可. 【详解】圆化成标准方程为，    圆C的半径为，O在圆C上，因为，所以AB是圆C的一条直径． 当时，面积取得最大值， 则最大值为． 故选：C. 【变式2】已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【答案】 【分析】利用弦长公式求得，进而求得三角形的面积. 【详解】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 【变式3】已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入点的坐标计算，即可得到圆的一般式方程，再化为标准式即可； （2）由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设的方程为， 由题意可得，解得， 所以的方程为， 化为标准方程可得. （2）由（1）可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 且， 因此的面积为. 【变式4】已知圆的圆心为原点，斜率为1且过点的直线与圆相切 (1)求圆的方程； (2)过的直线交圆于、，若面积为，求直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点且斜率为1的直线方程，再求出圆心到直线的距离即圆的半径，从而得到圆的方程； （2）设到直线的距离为，由面积求出，再分斜率存在与斜率不存在两种情况讨论. 【详解】（1）过点且斜率为1的直线为， 则圆心到直线的距离， 所以半径，则圆的方程为； （2）设到直线的距离为，则，解得， 若直线斜率不存在，方程为，满足题意； 若直线斜率存在，设为，直线的方程为， 因为，所以，解得， 直线的方程为，即； 综上，直线方程为或.    题型10 直线与圆的实际应用 【典例1】某沿海城市A市气象观测站测定，在A市正南方向公里的海面上生成台风B，并且台风中心正以20公里/小时的速度向北偏东30度方向直线移动，台风风圈半径（即以台风中心为圆心，风圈为半径的圆范围以内都会受到台风影响）为400公里. (1)经过多少小时A市受到台风影响？影响时间多长？ (2)若此台风经20小时以后登陆，登陆后强度减弱，风圈半径按5公里/小时的速度缩小，则台风B影响A市的持续时间为多少小时？ 【答案】(1)经过20小时A市受到台风影响，影响时间为20小时 (2)小时. 【分析】（1）判断A市受到台风影响，建立坐标系，根据台风中心到A的距离不超过400公里，列不等式求解即可得； （2）根据实际情况，由于风圈缩小，根据台风中心到A的距离不超过400公里，列不等式求解即可得. 【详解】（1）如图：以点为原点建立坐标系，则台风正以20公里/小时的速度沿直线 移动，设经过小时台风到达点，则,， 依题意得：即， 整理得：， 所以（小时）， 经过20小时A市受到台风影响，影响时间为20小时. （2）依题意得：， 整理得：，解得， 所以（小时）， 台风B影响A市的时间为小时. 【变式1】一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80处，受影响的范围是半径为49的圆形区域.已知港口位于台风中心正北60处，如果这艘轮船不改变航线，那么它将 （填“会”或“不会”）受到台风的影响. 【答案】会 【分析】以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系.进而可推断出受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程，及轮船航线所在直线l的方程，进而求得圆心到直线的距离，解果大于半径推断出轮船不受台风影响. 【详解】解：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系. 这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为① 轮船航线所在直线的方程为，即② 如果圆O与直线有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果O与直线无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向. 由于圆心到直线的距离， 所以直线与圆O有公共点.这说明轮船将受台风影响. 故答案为：会.    【变式2】在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 【答案】；4 【分析】根据题意建立数学模型，即台风中心到达点时开始受影响，计算出直线与圆相交的弦长，利用对称性得到，再计算开始影响时间即可. 【详解】以气象台A为原点建立直角坐标系， 则台风中心移动的轨迹在直线上， 距离气象台150km的轨迹为， 则台风中心经过图中弦时，气象台会受到影响， 又原点到直线的距离，所以弦， 即， 设经过时间后开始影响，持续时间为 则，， 所以气象台所在地大约小时后受到影响，持续时间为4小时. 【变式3】为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 【答案】(1)，， (2) (3)轮船会进入安全预警区，在安全预警区内会行驶小时 【分析】（1）根据实际意义可得坐标，利用两点间距离公式可得； （2）假设圆的一般方程，代入三点坐标可求得方程，进而整理得到标准方程； （3）根据直线与圆位置关系的判定可知直线与圆相交，由此得到轮船会进入该区域；根据垂径定理可得弦长，由此可求得行驶时长. 【详解】（1）由题意知：，，， ，，. （2）设经过三点的圆的方程为：， ，解得：， 所求圆的一般方程为：， 则经过三点的圆的标准方程为：. （3）由题意知：，则轮船航向所在直线方程为：，即， 由（2）知：经过三点的圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相交，即轮船会进入安全预警区； 设直线与圆的交点为，则， 则轮船在安全预警区内会行驶小时. 【变式4】如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为. (1)求外籍船航行路径所在的直线方程； (2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？ 【答案】(1)； (2)能， 小时. 【分析】（1）首先以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，再利用截距式求解直线方程即可； （2）利用直线与圆的位置关系和弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，如图所示: 则 ， 则直线，即， 外籍船航行路径所在的直线方程为: ; （2）点到直线的距离， 所以外籍轮船能被海监船监测到； 检测路线的长度， 则检测时间， 所以外籍轮船被监测到的持续时间为小时. 题型11 直线与圆中的定点定值问题 【典例1】已知直线与圆交于两点． (1)当最大时，求直线的方程； (2)若，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当最大时，直线过圆心，代入圆心坐标可求直线的方程； （2）直线与圆联立方程组，利用韦达定理证明为定值． 【详解】（1）当最大时，为直径，即直线过圆心， 把圆心代入直线的方程，有，解得，直线的方程为. （2）证明：设，，由题意知k存在， 由，得 所以 ， ，且， 因为 ， ，， 所以 ，即为定值. 【变式1】已知圆C过点A（1，2），B（2，1），且圆心C在直线上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点. (1)求圆C的方程； (2)若点P的坐标为，探究：无论l的位置如何变化，|PM||PN|是否恒为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由设圆的标准方程，由待定系数法将代入方程，即可求解， （2）联立直线与圆的方程，由根与系数的关系以及即可求解. 【详解】（1）由于圆心在，故设圆的方程为，将A（1，2），B（2，1）代入可得，解得， 所以圆的方程为： （2）当直线轴时，， 当直线有斜率时，设其方程为：， 联立直线与圆的方程，消元得， 设,则，， 由于点在圆外，所以， 因此， 综上，无论l的位置如何变化，，为定值. 【变式2】已知点关于直线的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线相交于A，B两点，且． (1)求圆Q的方程； (2)过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求出点坐标，然后根据圆心到直线的距离公式及的值求出半径即可求得圆的方程. （2）设出直线方程，联立圆和直线方程利用韦达定理来求解. 【详解】（1）解：点关于直线的对称点Q为 由Q到直线的距离，所以 所以圆的方程为． （2）当直线CD斜率不存在时，，所以． 当直线CD斜率存在时，设为k，则直线为，记， 联立，得 所以，． ． 综上，为定值5． 【变式3】已知圆经过点，及.经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，两点. （1）求圆的标准方程； （2）若点，分别记直线､直线的斜率为､，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设圆的一般方程，根据其所过的点求参数，进而写出其标准方程即可. （2）设，，直线为，联立圆的方程结合韦达定理求、，将整理化简即可求值. 【详解】（1）设圆的方程为：，由圆过，及. ∴可得， ∴圆的方程为：，其标准方程为； （2）设，，直线为， 与圆：联立得：， ∴，则，， ∴. 【变式4】在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且定值为 【分析】（1）先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可； （2）设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可. 【详解】（1）依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 题型12 根据直线与圆位置关系求距离最值 【典例1】已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，将求周长的最小值转化为求圆心到直线的距离，进而得解. 【详解】由圆知圆心，半径， 因为与圆相切于点，所以， 所以，所以越小，越小，    当时，最小， 因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为6， 此时，，， 故的周长的最小值为. 故答案为：. 【变式1】圆上的点到直线的最大距离是 ． 【答案】 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆心和半径，利用圆心到直线的距离加上半径，可求解. 【详解】将圆化为标准方程可得， 所以圆的圆心为，半径， 根据点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为， 所以可得最大距离为. 故答案为： 【变式2】直线与直线交于点，当变化时，点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】首先根据两条直线所过的定点，以及位置关系，确定点的轨迹方程，即可利用几何关系求最值. 【详解】直线过定点，直线过定点， 且直线与直线垂直， 所以点在以为直径的圆上，圆心，半径， 其方程为． 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为． 故答案为： 【变式3】动直线l：被圆C：截得弦长的最小值为 ． 【答案】8 【分析】求出直线所过定点A，判断定点A在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，即可由勾股定理求出此时的弦长. 【详解】直线，即， 所以直线过定点，又圆，且， 所以点在圆内部，， 当垂直于直线时，到直线的距离最大，此时弦长最小， 所以直线被圆截得的弦长的最小值为. 故答案为：8. 【变式4】直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出直线经过的定点，再由弦长公式|可分析出当时，最小，从而可求得结果. 【详解】因为可化为， 令，解得：，所以直线恒过定点，该点在圆内， 因为，所以要求的最小值，即求圆心到直线的最大距离， 当时，最大，最小， 又因为圆：，所以圆心，, 则，此时：. 故答案为：. 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 题型13 直线与圆综合问题 【典例1】已知圆． (1)若直线与圆相切，求切线的方程； (2)若过点的直线与圆相交于、两点，且为直角三角形，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，由此可得出直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，结合点到直线的距离公式可求出参数的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）由已知得圆心的坐标为，半径． 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 即，解得或． 故直线的方程为或． （2）在直角中，因为，所以，则为等腰直角三角形， 因此直线与圆所截的弦长， 所以，圆心到直线的距离为， 显然，当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意； 所以，直线的斜率存在，设它的方程为，即， 所以， ，解得，则直线的方程为. 综上所述，直线的方程为.    【变式1】已知圆． (1)求圆C关于直线的对称圆的标准方程； (2)若经过点的直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出圆心关于直线的对称点，进而求出圆的标准方程. （2）由给定条件求出直线l将圆C分成劣弧所对圆心角，再求出圆心到直线距离，进而分情况求出直线方程. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 设点关于直线对称点，则， 解得，而圆的半径为2， 所以圆的标准方程为. （2）由直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，得分成的劣弧所对圆心角为， 圆心到直线的距离， 直线过点，且点到该直线距离为1，则直线可以为； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 由，解得，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 【变式2】已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由圆的方程确定圆心坐标和半径，根据条件可得，结合基本不等式求的最大值； （2）先验证过点斜率不存在直线满足条件，再由直线与圆有且只有一个交点结合几何关系列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径， 因为直线经过圆心， 所以，又，， ，当且仅当时等号成立， 即， 所以的最大值为； （2）过点斜率不存在的直线为， 联立，可得， 所以直线与圆有且只有一个交点，满足条件， 过点的斜率为的直线方程为， 若直线与圆有且只有一个交点， 则点到直线距离为， 所以，化简可得， 解得，即直线方程为， 所以若直线过点且与圆有且仅有一个公共点， 则该直线方程为或. 【变式3】已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将圆的一般方程整理成标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，即可得解； （2）联立直线方程和圆的方程，根据韦达定理结合向量数量积的坐标运算可得，即可得解. 【详解】（1）由圆的一般方程可得标准方程，则，即. 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，解得，满足. 所以，. （2）由题意，联立可得， 设， 则，解得， 根据韦达定理可得， 则， 所以，满足. 所以，圆的半径满足，故. 【变式4】已知圆，过定点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点. (1)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值. (2)设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由. 【答案】(1)7 (2)是， 【分析】（1）根据圆的标准方程写出圆心坐标和半径，设过点的直线l方程及与之垂直的直线的方程，根据点到直线的距离公式及圆截直线的弦长公式，分别写出两个弦长的表达式，再写出四边形面积并根据基本不等式求其最大值即可. （2）联立直线l方程与圆的标准方程，可得韦达定理.再写出的方程，联立并化简解得即可判断. 【详解】（1）已知圆，则圆心为，. 设直线，圆心到直线的距离， 则. 直线与直线垂直，则直线. 当时，. 当且仅当时S取到最大值7. 当时，，， 综上，当时S取到最大值7. （2） 设，记，，直线，. 联立直线和圆，得. 恒成立，，，， 可得直线 ，解得， 所以点N恒在定直线. 1．若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【详解】因为圆，所以圆心为，半径为. 设圆心到直线距离为：. 因为直线与圆截得的弦长为. 所以. 解得：. 故选：. 2．“”是“直线与圆相切”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用直线与圆相切求出，再利用充分条件、必要条件的意义判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 反之，当时，直线与圆相切， 所以“”是“直线与圆相切”的充要条件. 故选：C 3．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据切线的意义知，由勾股定理可求. 【详解】由题意有，即. 故选：B. 4．过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程. 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 5．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 6．圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再根据直线方程，利用点到直线的距离公式，计算出圆心到直线的距离d，根据的大小关系，得出直线和圆不相交，从而得出距离的最小值为. 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 7．已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程可得圆的半径，利用三角形面积计算，求得圆心到直线的距离，可得答案. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得. 故选：C． 8．过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆心到直线距离等于半径得出或，再应用基本不等式计算最小值即可. 【详解】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或， 所以，所以， 所以. 当且仅当时取最小值. 故选：A. 9．（多选）已知点和圆，下列说法正确的是（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．过点且与圆相切的直线有且只有一条 D．设点是圆上住意一点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A，结合圆的标准方程即可判断，对于B和C选项，求出并和半径比较即可求解，对于D选项，根据的最小值为即可求解. 【详解】圆Q：的圆心，半径为，选项A正确； 因为， 所以点P在圆Q外，所以过点P且与圆Q相切的直线有2条，选项B正确，选项C错误； 设点M是圆Q上任意一点， 由题意可知的最小值为，选项D正确. 故选：ABD. 10．（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用勾股定理可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；分析可知直线过圆心时，可得出直线的斜率，可判断C选项；分析可知，当时，被圆截得的弦长的最小值，求出弦长的最小值，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为， 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 此时，被圆截得的弦长为，A错； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得，因此，恒过点，B对； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，C对； 对于D选项，记点，则， 当时，且直线的斜率为，此时，即当时， 圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且 因为，弦长的最小值为，D对. 故选：BCD. 11．已知直线与圆相交于、两点，则 . 【答案】 【分析】利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 12．已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，得再由，得到点在圆上，又点在直线上，求解的范围. 【详解】设，则 ，整理得，， 即点在圆上， 又点在直线上， 故直线与圆有交点， 即，则，解得. 故答案为：. 13．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即，     半径，     所以圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件；     当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得，     此时切线的方程为：， 即，     综上所述：过的切线方程为或. （3）圆心到直线的距离为，     所以弦长. 14．已知圆C：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． (1)若P的坐标为，求过点P的切线方程； (2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由； (3)直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）. 【答案】(1)或， (2) (3) 【分析】（1）设出切线方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径即可求得斜率即可得方程 （2）设，可得为直径得方程，可求得直线得方程为，即可得定点. (3)由可得，进而可得：• ，可求得其范围. 【详解】（1） 由图像易知：是其一条切线， 设另切线方程为 ，即 圆心坐标为，半径 根据圆的切线的定义可知：，即 解得： 代回方程可求得切线方程为： 所以或， 过点P的切线方程为：或， （2） ∵圆 ∴圆心，半径， 设，由题意知在以为直径的圆上，又, ∴以为直径的圆的方程为：，即 又圆C：，即 故直线的方程为，即 由，解得， 即直线AB恒过定点. （3）由，得 ∴ 设， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$