专题2.1 坐标法（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题2.1 坐标法 教学目标 1、理解实数与数轴上的点的一一对应关系. 2、探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式. 3、通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性. 教学重难点 重点：两点间的距离公式和中点坐标公式 难点：坐标法在解决几何问题中的运用 知识点01 数轴上的基本公式 (1)数轴的定义 给定了原点、单位长度与正方向的直线是数轴,数轴上的点与实数是一一对应的. (2)数轴上的基本公式 如果数轴上点对应的数为(即的坐标为，记作，且，则向量的坐标为，数轴上两点之间的距离公式． 如果是线段的中点，则．数轴上的中点坐标公式． 【即学即练】已知数轴上，求这两点之间的距离以及它们的中点坐标． 【答案】12;(4) 【分析】根据数轴上表示的点的几何意义直接求得答案. 【详解】数轴上两点之间的距离为 , 它们的中点坐标为 ，故中点坐标为（4）. 知识点02 平面直角坐标系中的基本公式 （1）平面直角坐标系中两点，之间的距离公式: 【即学即练】已知，，求的值. 【答案】 【分析】根据两点距离公式求即可. 【详解】因为，， 所以， 所以的值为. 题型01求两点间的距离公式 【典例1】在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【详解】点和点之间的距离为. 故选：D. 【变式1】已知三角形的三个顶点为，则过点的中线的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由中点坐标公式以及两点间距离公式计算可得结果. 【详解】由题得线段的中点坐标为， 故过点的中线的长为． 故选：B 【变式2】已知的顶点分别为，，，则AB边上的中线长为 ． 【答案】 【分析】求出AB的中点，结合C点坐标，可得答案 【详解】解：由已知，，设AB的中点为D AB的中点D坐标为 故答案为 【点睛】本题考查中点坐标公式，是基础题． 【变式3】若，则为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用平面上两点间的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，根据平面上两点间的距离公式，可得， 故答案为：. 【变式4】平面上、两点的距离是 . 【答案】 【分析】根据两点距离公式即可求解. 【详解】, 故答案为： （1）平面直角坐标系中两点，之间的距离公式: 题型02 根据两点间距离求参数 【典例1】已知与两点间的距离是17，求a的值． 【答案】±8 【分析】直接利用两点间距离公式即可求解． 【详解】因为与两点间的距离是17， 所以， 解得：a＝±8． 【变式1】已知点A（﹣2，﹣1），B（a，3）且|AB|＝5，则a等于（　　） A．1 B．﹣5 C．1或﹣5 D．其他值 【答案】C 【分析】利用两点间的距离公式列方程，化简求得的值. 【详解】∵点A（﹣2，﹣1），B（a，3）且|AB|＝5， ∴5， 解得a＝1或a＝﹣5． 故选：C 【变式2】点与之间的距离是5，则y=（    ） A． B． C．或 D．12 【答案】C 【分析】由两点间距离公式计算． 【详解】由题意，即，解得或． 故选：C． 【变式3】已知点与点间的距离为，则 ． 【答案】9或 【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可. 【详解】由， 得， 即，解得或． 故答案为：9或. 【变式4】已知点，且，则的值为 . 【答案】或 【分析】利用两点的距离公式计算即可得出答案. 【详解】由两点间距离公式得，所以，所以，即或. 故答案为：或 题型03 中点坐标公式 【典例1】已知，则线段的中点坐标为 . 【答案】 【分析】利用中点坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以线段的中点坐标为， 故答案为： 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用中点的坐标公式计算即可. 【详解】由题可知中点的坐标为. 故选：A 【变式2】在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用中点坐标公式运算求解. 【详解】因为，，所以中点的坐标为，即． 故选：A． 【变式3】已知点，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点的中点坐标公式求出答案. 【详解】由题意得：线段AB的中点坐标为，即. 故选：A. 【变式4】已知点，，则线段中点的坐标为 . 【答案】 【分析】利用中点坐标公式直接求解作答. 【详解】点，，所以线段中点的坐标为. 故答案为： 如果是线段的中点，则．数轴上的中点坐标公式． 题型04 两点间距离公式的应用 【典例1】求函数的最大值． 【答案】 【分析】可表示为、的距离减去、的距离，然后可得答案. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离，所以， 因为， 所以. 【变式1】函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】分析可知，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和，数形结合可知，当点、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【详解】因为， 所以，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和， 即，如下图所示： 由图可知，当点、、三点共线时，取最小值， 且. 故答案为：. 【变式2】已知函数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 【变式3】著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 【答案】 【分析】函数表示点到点和的距离之差，结合图形即可得解. 【详解】因为， 所以它表示点到点和的距离之差，如图所示： 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 1．已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 【答案】C 【分析】应用距离公式即可求解. 【详解】解：因为点，，所以， 所以，则. 故选：C. 2．已知A，B都是数轴上的点，，，且的坐标为4，则（    ） A．-1 B．-7 C．4 D．-4 【答案】B 【分析】根据数轴上的向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量的坐标为终点B的坐标减去起点A的坐标， 即，解得． 故选:B． 【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示，其中解答中熟记数轴上的向量的表示方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 3．已知，，则线段AB的中点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式即可求解. 【详解】由，， 利用中点坐标可知，线段AB的中点坐标，即. 故选：A. 4．已知线段的端点及中点，则点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式计算即可. 【详解】设 ，的端点及中点，则 ，解得：，故点的坐标为. 故选：B. 5．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴､y轴的距离分别为6､4，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知点M在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断坐标. 【详解】因为点M在第四象限， 所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4， 所以点M的坐标为(4，-6) . 故选：A 6．（多选）数轴上点P，M，N的坐标分别为－2，8，－6，则有（    ） A．的坐标的坐标 B． C．的坐标 D．的坐标 【答案】BC 【分析】已知点坐标，结合向量坐标的表示及模的坐标计算，判断各选项的正误. 【详解】数轴上的两点对应向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，故坐标坐标，A不正确； 数轴上两点间的距离一定是非负的，，B正确； 的坐标，C正确； 的坐标，D不正确. 故选：BC. 7．（多选题）对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 【答案】BCD 【分析】化简，结合两点间的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，可得， 可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确， 故答案为：BCD. 【点睛】本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键，属于基础题. 8．直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， . 【答案】 【分析】设，，利用中点坐标公式即可得出a，b， 【详解】设，， ∵P为AB中点，∴， 解得，， 即，， 所以 故答案为：. 9．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ． 【答案】 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合进行求解. 【详解】， 可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差. ， 所以的最大值为. 故答案为： 10．已知的三个顶点坐标分别为，求D点坐标． 【答案】 【分析】根据平行四边形的图像性质，平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设，在的三个顶点坐标分别为， 根据平行四边形的对角线互相评分，可得，解得， 所以D点的坐标是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 坐标法 教学目标 1、理解实数与数轴上的点的一一对应关系. 2、探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式. 3、通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性. 教学重难点 重点：两点间的距离公式和中点坐标公式 难点：坐标法在解决几何问题中的运用 知识点01 数轴上的基本公式 (1)数轴的定义 给定了 、 与 的直线是数轴,数轴上的点与实数是一一对应的. (2)数轴上的基本公式 如果数轴上点对应的数为(即的坐标为，记作，且，则向量的坐标为，数轴上两点之间的距离公式 如果是线段的中点，则．数轴上的中点坐标公式 【即学即练】已知数轴上，求这两点之间的距离以及它们的中点坐标． 知识点02 平面直角坐标系中的基本公式 （1）平面直角坐标系中两点，之间的距离公式: 【即学即练】已知，，求的值. 题型01求两点间的距离公式 【典例1】在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【变式1】已知三角形的三个顶点为，则过点的中线的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式2】已知的顶点分别为，，，则AB边上的中线长为 ． 【变式3】若，则为 . 【变式4】平面上、两点的距离是 . （1）平面直角坐标系中两点，之间的距离公式: 题型02 根据两点间距离求参数 【典例1】已知与两点间的距离是17，求a的值． 【变式1】已知点A（﹣2，﹣1），B（a，3）且|AB|＝5，则a等于（　　） A．1 B．﹣5 C．1或﹣5 D．其他值 【变式2】点与之间的距离是5，则y=（    ） A． B． C．或 D．12 【变式3】已知点与点间的距离为，则 ． 【变式4】已知点，且，则的值为 . 题型03 中点坐标公式 【典例1】已知，则线段的中点坐标为 . 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知点，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知点，，则线段中点的坐标为 . 如果是线段的中点，则．数轴上的中点坐标公式． 题型04 两点间距离公式的应用 【典例1】求函数的最大值． 【变式1】函数的最小值为 ． 【变式2】已知函数，则的最小值为 ． 【变式3】著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 1．已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 2．已知A，B都是数轴上的点，，，且的坐标为4，则（    ） A．-1 B．-7 C．4 D．-4 3．已知，，则线段AB的中点坐标为(    ) A． B． C． D． 4．已知线段的端点及中点，则点的坐标（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴､y轴的距离分别为6､4，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）数轴上点P，M，N的坐标分别为－2，8，－6，则有（    ） A．的坐标的坐标 B． C．的坐标 D．的坐标 7．（多选题）对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 8．直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， . 9．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ． 10．已知的三个顶点坐标分别为，求D点坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$