专题02 直线的倾斜角与斜率（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题02直线的倾斜角与斜率 题型一：求直线的倾斜角 题型二：直线斜率的定义 题型三：斜率与倾斜角变化关系 题型四：已知两点求斜率 题型五：已知斜率求参数 题型六：利用直线斜率处理共线问题 题型七：求斜率或倾斜角的取值范围 题型八：直线与线段的相交关系求斜率范围 题型一：求直线的倾斜角 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据直线与轴平行，求出倾斜角. 【详解】因为直线方程为：，与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，即可求得倾斜角. 【详解】直线的一个方向向量为， 则直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 3．若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分为第一象限角和第三象限角时，求出的取值集合再求并集. 【详解】 根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，； 为第三象限角时，； 综上，角的取值集合是. 故选：D. 4．已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线与轴正方向和负方向的夹角为两种情况讨论，从而确定直线的倾斜角，然后确定斜率. 【详解】①当直线与轴正方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为； ②当直线与轴负方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为. 综上，直线的斜率为或. 故选：C. 5．已知直线经过，两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合两点坐标求直线的方程，根据直线方程确定直线的斜率. 【详解】 由已知得，两点的横坐标都是， 所以直线的方程是，直线是一条垂直于x轴的直线， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 6．经过，两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用两点求斜率，再根据斜率和倾斜角的关系计算求解. 【详解】设倾斜角为，因为， 所以，又，故. 故选:D. 题型二：直线斜率的定义 7．若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求斜率，再结合两点斜率公式列方程求. 【详解】因为经过两点，的直线的倾斜角为， 所以直线的斜率 所以，解得. 故选：D. 8．已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由直线的方向向量可得其斜率，从而可得直线的倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 又，所以. 故选：C. 9．直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为   . 【答案】/ 【分析】求出旋转后的倾斜角再求斜率即可. 【详解】因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点逆时针旋转60°后，得到直线的倾斜角，斜率． 故答案为：． 10．若正方形的一条对角线所在直线斜率为，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ， ． 【答案】 / / 【分析】由直线斜率与倾斜角之间的关系，即可结合正切的和差角公式求解斜率得解. 【详解】如图， 在正方形中，对角线所在直线的斜率为， 设对角线所在直线的倾斜角为，则， 由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 故， ， 故答案为：， 11．已知角的终边在直线上，则的值为 . 【答案】 【分析】利用直线方程确定角的正切值，再根据同角三角函数关系式转化求解即可. 【详解】因为角的终边在直线上， 所以， 则. 故答案为：. 题型三：斜率与倾斜角变化关系 12．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用倾斜角与斜率的关系，利用赋值法可得结论. 【详解】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，， 所以，， 取，，满足，可求得，，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 取，，满足，但，此时， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 13．（多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分、、、四种情况讨论，结合正切函数的单调性可得结果. 【详解】因为正切函数在上为增函数，在上也为增函数， 分以下四种情况讨论： 当时，则、、均为锐角，且； 当时，则为钝角，、均为锐角，且； 当时，则、均为钝角，为锐角，且； 当时，则、、均为钝角，且. 故选：ABD. 14．已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系，即可求出答案. 【详解】由题意知直线的斜率，即， 当时，；当时，， 故直线的倾斜角的取值范围是， 故选：C 15．设直线l的斜率k满足，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式得到，然后根据斜率范围求倾斜角范围即可. 【详解】由得， 当时，倾斜角为，当时，倾斜角为， 所以倾斜角的范围为. 故选：B. 题型四：已知两点求斜率 16．若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为， 故，解得. 故该直线的倾斜角为. 故选：D 17．过点和点的直线的倾斜角为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两点求出斜率，再结合斜率和倾斜角的关系得出倾斜角即可. 【详解】过点和点的直线的斜率为 设倾斜角为，， 所以. 故选：C. 18．在平面直角坐标系中，已知点，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】先求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系即可得出答案. 【详解】由题意得，， 则直线的倾斜角为. 故答案为：. 19．已知点，，则直线的倾斜角为 【答案】 【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，求出直线的斜率，则有，结合的范围分析可得答案． 【详解】根据题意，设直线的倾斜角为， 直线经过点，，则的斜率， 则，又由， 则， 故答案为：． 20．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值可以为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】直线的倾斜角为锐角，则斜率为正，利用两点的斜率公式列不等式求解. 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得，则实数a的取值可以为2. 故答案为：2 21．经过，两点的直线的倾斜角为 . 【答案】135° 【分析】由已知，先根据两点坐标计算该直线的斜率，然后根据直线倾斜角的取值范围即可直接求解. 【详解】由已知，，为直线方程上的两点， 所以该直线的斜率为， 而直线方程倾斜角的取值范围为， 所以该直线的倾斜角为，即135°. 故答案为：135°. 题型五：已知斜率求参数 22．过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 【答案】（满足的一个值即可） 【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【详解】因为过，的直线的斜率大于，所以， 则，解得． 故答案为：（满足的一个值即可） 23．已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为 【答案】 【分析】由斜率公式建立方程求解即可. 【详解】由直线过点，， 得直线的斜率， 又直线过点和， 得直线的斜率， 因为两条直线的斜率相等， 所以，解得. 故答案为：. 24．过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为 ． 【答案】 【分析】由题意得，可求出的取值. 【详解】由题意知， 所以，即， 化简得，解得或 当时，重合，不符合题意舍去， 当时，，符合题意， 所以， 故答案为： 25．已知两点，若直线的斜率为，则 . 【答案】 【分析】 由斜率公式求解即可，注意验证 【详解】 因为两点，且直线的斜率为， 所以且，解得， 故答案为： 26．直线过，两点，且，则实数的值为 ． 【答案】/-3.2 【分析】直接利用斜率公式计算得到答案. 【详解】直线过，两点，，解得. 故答案为： 27．若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用斜率计算公式即可得出． 【详解】解：由题意可得：， 解得， 故答案为：． 28．已知经过两点，的直线的斜率大于1，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】由斜率公式得出斜率，然后解不等式可得． 【详解】由题意得，化为，解得. 所以实数m的取值范围是． 故答案为：． 题型六：利用直线斜率处理共线问题 29．设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为 ． 【答案】 【分析】讨论、，结合已知及斜率两点式求参数值即可. 【详解】当时，为同一点，不合题意， 当，则，可得，此时满足题意， 所以. 故答案为： 30．已知，，三点共线，则 ． 【答案】 【分析】先确定直线斜率存在，然后根据三点共线可知，结合斜率的计算公式可求结果. 【详解】因为，所以直线斜率存在， 因为三点共线，所以， 所以，解得， 故答案为：. 31．已知，，三点在同一条直线上，则 ． 【答案】 【分析】利用列出方程，解出即可. 【详解】因为，，三点在同一条直线上， 所以，即， 解得． 故答案为：. 32．若三点，，共线，则 ． 【答案】3 【分析】利用的斜率相等，列出方程求解. 【详解】由，，三点共线， 可得，， 解得， 故答案为：3 题型七：求斜率或倾斜角的取值范围 33．已知角，直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系建立方程，结合三角函数的性质，可得答案. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 故角的取值范围是. 故选：D. 34．若直线l经过，两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率公式确定，结合倾斜角的范围以及正切函数的性质，即可确定答案. 【详解】直线l经过，两点， 则,即， 由于，则α为锐角，故， 故选：B 35．已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据斜率公式求出斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意，     因为，所以，所以， 所以，即， 所以， 即直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D． 36．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，由的坐标求出直线的斜率，结合的范围可得即的取值范围， 再利用正切函数的性质分析可得的范围，即可得答案. 【详解】解：根据题意，设直线的倾斜角为， 点，，则直线的斜率， 又由，则的取值范围为，， 即的范围为，， 又由，则 故选：C. 37．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，若，则α的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率的范围得到，然后结合正切函数的图象及直线倾斜角的取值范围即可求出直线l的倾斜角α的取值范围. 【详解】因为，且，所以. 故选：A. 38．已知直线l经过、（）两点，求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】 【分析】先求得直线l的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系即可求得直线l的倾斜角的取值范围. 【详解】∵直线l过，两点， ∴直线l的斜率为， 设直线l的倾斜角为，则，且， 解得或 ∴直线l的倾斜角的取值范围是. 39．已知直线过点，直线的倾斜角为锐角时的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据倾斜角为锐角得到，解得答案. 【详解】由于直线的倾斜角为锐角，故，解得. 故答案为：. 题型八：直线与线段的相交关系求斜率范围 40．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出的斜率，根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 41．已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用斜率公式求出，再由倾斜角斜率的取值图象数形结合求得即可. 【详解】 由图象结合题意可知：， 观察到直线过点与线段有公共点时倾斜角为钝角时逐渐增大， 斜率大于或等于直线的斜率； 为锐角时倾斜角逐渐减小，斜率小于或等于直线的斜率； 所以直线的斜率的取值范围是． 42．直线过点且与以点、为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据过点且与以点、为端点的线段恒相交得到直线的移动范围从到，根据直线倾斜角斜率之间的关系可得斜率范围. 【详解】   如图，直线与以点、为端点的线段恒相交时，直线从到， 直线从到时，倾斜角增大，斜率增大，，斜率范围为， 直线从到时，倾斜角增大，斜率增大，，斜率范围为， 综上，的斜率取值范围为， 故选：D 43．已知点，直线l过点且与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】画图，结合图象即可求解 【详解】 因为 结合图象可知直线的斜率的取值范围是 故答案为： 44．已知点，若直线过点且与线段没有交点，则直线的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，当直线绕着点旋转时，观察直线的斜率的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示：    当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率从逐渐变大， 此时，； 当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率为负值，且逐渐增大至， 此时，. 综上所述，直线与线段有交点时，其斜率的取值范围是， 所以直线与线段没有交点时，其斜率的取值范围是. 故答案为: . 45．已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02直线的倾斜角与斜率 题型一：求直线的倾斜角 题型二：直线斜率的定义 题型三：斜率与倾斜角变化关系 题型四：已知两点求斜率 题型五：已知斜率求参数 题型六：利用直线斜率处理共线问题 题型七：求斜率或倾斜角的取值范围 题型八：直线与线段的相交关系求斜率范围 题型一：求直线的倾斜角 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 2．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 4．已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 5．已知直线经过，两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 6．经过，两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 题型二：直线斜率的定义 7．若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（   ） A． B． C． D． 8．已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 9．直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为   . 10．若正方形的一条对角线所在直线斜率为，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ， ． 11．已知角的终边在直线上，则的值为 . 题型三：斜率与倾斜角变化关系 12．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（      ） A． B． C． D． 14．已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．设直线l的斜率k满足，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：已知两点求斜率 16．若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 17．过点和点的直线的倾斜角为（   ）． A． B． C． D． 18．在平面直角坐标系中，已知点，则直线的倾斜角为 . 19．已知点，，则直线的倾斜角为 20．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值可以为 ． 21．经过，两点的直线的倾斜角为 . 题型五：已知斜率求参数 22．过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 23．已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为 24．过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为 ． 25．已知两点，若直线的斜率为，则 . 26．直线过，两点，且，则实数的值为 ． 27．若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为 ． 28．已知经过两点，的直线的斜率大于1，则实数m的取值范围为 . 题型六：利用直线斜率处理共线问题 29．设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为 ． 30．已知，，三点共线，则 ． 31．已知，，三点在同一条直线上，则 ． 32．若三点，，共线，则 ． 题型七：求斜率或倾斜角的取值范围 33．已知角，直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．若直线l经过，两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，若，则α的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．已知直线l经过、（）两点，求直线l的倾斜角的取值范围. 39．已知直线过点，直线的倾斜角为锐角时的取值范围为 ． 题型八：直线与线段的相交关系求斜率范围 40．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．直线过点且与以点、为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．已知点，直线l过点且与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 . 44．已知点，若直线过点且与线段没有交点，则直线的斜率的取值范围为 ． 45．已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$