专题09 圆与圆的位置关系（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题09 圆与圆的位置关系 题型一：判断圆与圆的位置关系 题型二：求两圆交点坐标 题型三：由圆的位置关系确定参数 题型四：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型五：相交圆的公共弦方程 题型六：两圆的公共弦长 题型七：圆的公切线条数 题型八：圆的公切线方程 题型一：判断圆与圆的位置关系 1．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 2．圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 3．圆：与圆：的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 4．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 5．圆与圆的位置关系是 ． 6．圆与圆的位置关系 . 题型二：求两圆交点坐标 7．两圆和相交于两点，若点坐标为(1，2)，则点的坐标为 ． 8．判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 9．求圆与圆的交点的坐标． 题型三：由圆的位置关系确定参数 10．已知圆与圆有三条公切线，则（   ） A． B． C． D． 11．若圆和圆相切，则等于（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 12．已知圆与圆外切，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．已知圆和圆相切，则 14．若圆与圆 外切，则 . 15．已知圆与圆相内切，则ab的最大值为 题型四：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 16．已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 17．以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 18．以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 19．以点为圆心，且与圆相切的圆的方程是 ． 20．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程： ． 21．已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 题型五：相交圆的公共弦方程 22．已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 23．若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 24．已知圆，圆，则两圆的公共弦所在直线的方程为 ． 25．圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 26．圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 . 题型六：两圆的公共弦长 27．圆与的公共弦长为（   ） A． B． C． D．4 28．圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 29．圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 30．圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 31．圆与圆的公共弦长为 . 32．已知圆过点三点，圆. (1)求的一般方程； (2)若与交于两点，求. 题型七：圆的公切线条数 33．圆M：与圆N：的公切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．已知圆与，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．圆与圆的公切线条数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 36．已知圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 37．已知圆与圆恰有三条公切线，则 . 题型八：圆的公切线方程 38．（多选）圆与圆的公切线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 39．圆与圆的公切线的方程为 ． 40．已知圆和圆相交于两点，求： (1)线段的长； (2)两圆有公切线方程.      41．证明圆与圆内切，并求切点坐标以及两个圆的公切线方程. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆与圆的位置关系 题型一：判断圆与圆的位置关系 题型二：求两圆交点坐标 题型三：由圆的位置关系确定参数 题型四：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型五：相交圆的公共弦方程 题型六：两圆的公共弦长 题型七：圆的公切线条数 题型八：圆的公切线方程 题型一：判断圆与圆的位置关系 1．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系． 【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上， 所以，解得，所以圆的圆心为，半径为． 因为圆的圆心为，半径为，所以， 故，所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B． 2．圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】利用几何法可判断出两圆的位置关系. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为， 故圆与圆外切. 故选：C. 3．圆：与圆：的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【分析】求出两圆的圆心坐标及半径，再求出圆心距即可判断. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 则， 所以两圆相交. 故选：B 4．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【分析】利用几何法可判断两圆的位置关系. 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，所以，， 因此，圆与圆相交. 故选：A. 5．圆与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，再由圆心距与半径和差关系判断位置关系即可. 【详解】由题设，且对应半径为，且对应半径为， 所以，故，即两圆相交. 故答案为：相交 6．圆与圆的位置关系 . 【答案】相交 【分析】首先将圆的方程化为标准方程，求得两圆的圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解. 【详解】由题意圆的标准方程为， 所以圆的圆心、半径， 由，可知圆的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，所以， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 题型二：求两圆交点坐标 7．两圆和相交于两点，若点坐标为(1，2)，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】因为两圆的圆心分别为 、 ,且圆心距垂直平分两圆的公共弦 ,所以点 (1，2)关于两圆心确定的直线对称,又因两圆心确定直线方程为 ,故点 的坐标为 . 8．判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 【答案】内切，公共点为 【分析】首先根据圆的方程求圆心，半径，并计算圆心距，结合圆与圆的位置关系，即可判断，求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为， 则两圆内切， 联立，则， 则公共点坐标为. 9．求圆与圆的交点的坐标． 【答案】、 【分析】联立两圆方程可得，将其代入其中一个圆的方程中求出点坐标. 【详解】由题设，，相减可得， 所以，解得或， 当时，；当时，； 所以交点坐标为、. 题型三：由圆的位置关系确定参数 10．已知圆与圆有三条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解. 【详解】由题知，两圆外切，由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径，则，解得. 故选：D 11．若圆和圆相切，则等于（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】由两圆的位置关系列式计算即可. 【详解】由题意圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为； 则，所以当两圆外切时，，解得； 当两圆内切时，，解得，不合题意； 所以. 故选：B 12．已知圆与圆外切，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解的值. 【详解】对于圆，其圆心坐标，半径. 对于圆，即， 其圆心坐标，半径， 因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距， 根据两圆外切性质，即，解得. 故选：B. 13．已知圆和圆相切，则 【答案】或或 【分析】根据两圆相内切和外切时，圆心距与两圆半径的关系列出等式计算即可. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由圆可知圆心，半径， 所以当两圆相内切时，圆心距，解得； 当两圆相外切时，圆心距，解得或， 所以的值为或或. 故答案为：或或 14．若圆与圆 外切，则 . 【答案】 【分析】由两圆外切可得圆心距等于半径，即可得解. 【详解】由已知，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为圆与圆外切，所以，解得. 故答案为：. 15．已知圆与圆相内切，则ab的最大值为 【答案】/0.25 【分析】根据与内切，得到，再利用基本不等式求解. 【详解】因为与内切， 所以．即， 又，当且仅当时，等号成立， 故ab的最大值为． 故答案为： 题型四：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 16．已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 17．以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 【答案】B 【分析】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【详解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B 18．以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求出两圆圆心距，利用两圆外切求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】设圆的半径为，圆的圆心为坐标原点，半径为， 两圆圆心距为，故， 因此，以为圆心且与圆外切的圆的方程为. 故答案为：. 19．以点为圆心，且与圆相切的圆的方程是 ． 【答案】或 【分析】利用圆心距等于半径和与差，求出所求圆的半径，进而得到所求圆的标准方程． 【详解】解：由圆，可得圆心坐标为，半径为， 设所求圆的半径为，可得或， 解得或，所求圆的方程为或. 故答案为：或. 20．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程： ． 【答案】（答案不唯一，只要方程满足即可） 【分析】求出圆的圆心和半径，利用两圆外切即可求出一个圆C的标准方程. 【详解】由题意， 在中，圆心，半径， 因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆C与圆M：外切， 设半径为，则圆心 所以圆C的方程为． ∴一个圆C的标准方程： 故答案为：. 21．已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案； （2）利用待定系数法和相切可求圆的方程. 【详解】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 题型五：相交圆的公共弦方程 22．已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程作差即可求得公共弦的方程. 【详解】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A 23．若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设，将两圆方程作差即可得公共线方程. 【详解】由题设，将两圆作差，有， 整理可得，即公共弦所在直线为. 故选：B 24．已知圆，圆，则两圆的公共弦所在直线的方程为 ． 【答案】 【分析】将两圆相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】设两圆交点为，， 则两点坐标是方程组的解， 两式相减得，即， 所以两点坐标均满足此方程， 所以即为两圆的公共弦所在直线的方程， 故答案为： 25．圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】通过已知的圆的方程，利用相减法找到两个圆的交点所在直线方程即可. 【详解】圆的方程是，简化后为， 联立 ，两式相减，得到， 化简可得. 因此，过两圆交点的直线方程为. 故答案为：. 26．圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】两圆方程作差即可得到公共弦方程. 【详解】圆，即，圆心为，半径； 圆，即，圆心为，半径， 又，所以，所以两圆相交， 则两圆方程作差得到，即公共弦所在直线的方程为. 故答案为： 题型六：两圆的公共弦长 27．圆与的公共弦长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先求两圆公共弦所在的直线方程，再用“几何法”求直线与圆相交所得的弦长. 【详解】圆：  ①，所以，. 圆：  ②，所以，. 因为，所以圆与圆相交. 因此公共弦所在直线的方程为①②：， 圆的圆心到公共弦的距离为， 即公共弦长为. 故选：A 28．圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，又 则公共弦长为． 故选：C． 29．圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出弦长即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，即，圆心为，半径， 又，即， 所以两圆相交， 则两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到直线的距离， 所以公共弦长为． 故选：B 30．圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，，则公共弦长为． 故选：C． 31．圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出到公共弦所在的直线的距离，再由可得答案. 【详解】将两个圆的方程作差得：， 即公共弦所在的直线为， 又知，则到直线的距离为： ，所以公共弦长为. 故答案为：. 32．已知圆过点三点，圆. (1)求的一般方程； (2)若与交于两点，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求出方程. （2）判定两圆相交并求出直线方程，再利用弦长公式求得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 依题意，，解得， 所以的一般方程为. （2）由（1）知，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，即圆与相交， 直线方程为，点到直线的距离， 所以. 题型七：圆的公切线条数 33．圆M：与圆N：的公切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，利用圆与圆的位置关系的判定方法，得出两圆相外切，进而得到公切线的条数. 【详解】由圆M:，可得圆心，半径为1， 又由圆N:，化为标准方程为， 可得圆心，半径为6，可得，且， 所以，所以圆内切于圆，所以圆与圆的公切线的条数为1条. 故选：A 34．已知圆与，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查圆与圆的位置关系，以及公切线的数数量.由两圆的标准方程及两圆心的距离可得两圆相切，因此两圆的公切线的条数为3条. 【详解】由题可得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径， 且，所以两圆外切，所以两圆的公切线为3条. 故选：C. 35．圆与圆的公切线条数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用两圆的位置关系来确定公切线的条数. 【详解】由圆可得：， 所以该圆心，半径， 又由圆可得：， 所以该圆心，半径， 由于圆心距，而， 所以，即两圆相外切， 所以两圆的公切线有3条， 故选：C. 36．已知圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆与圆位置关系的判断方法，得到两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 又，所以， 故圆与圆外切，所以圆与圆的公切线条数是条， 故选：B. 37．已知圆与圆恰有三条公切线，则 . 【答案】 【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解. 【详解】由题知，两圆外切， 由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径， 则，解得. 故答案为： 题型八：圆的公切线方程 38．（多选）圆与圆的公切线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据圆心距和半径的关系可判断两圆相交，结合圆的半径相等，可得切线斜率，即可由点到直线的距离公式求解. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径， 由题意得，圆与圆的半径之和为，半径之差为0， 因为，所以圆与圆的位置关系为相交． 由题意得，因为圆与圆的半径相等，所以公切线的斜率为2． 设公切线的方程为，即，由，得， 所以公切线的方程为或． 故选：CD 39．圆与圆的公切线的方程为 ． 【答案】 【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 40．已知圆和圆相交于两点，求： (1)线段的长； (2)两圆有公切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）两方程联立求出直线的方程，利用垂径定理和勾股定理即可求出线段的长； （2）利用图象找出一条公切线，利用点在圆上的对称点即可得出公切线方程. 【详解】（1）由题意， 联立方程组，两式相减得到直线的方程为， 则原点到直线的距离为， 根据勾股定理得    （2）由题意及（1）得， 在圆中， ， ∴，半径为， 在圆中，圆心，半径为， 可得直线与两圆相切，即为两圆的公切线， 则关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线， 由和，可得两圆心所在直线为， 即， 联立方程组，解得， 即交点坐标为， 在直线上任取一点， 设点关于直线对称点为， 可得，解得， 即对称点的坐标为， 所求的另一条切线过点， 可得其方程为， 故所求切线方程为或.    41．证明圆与圆内切，并求切点坐标以及两个圆的公切线方程. 【答案】证明见解析，； 【分析】根据两圆方程得出其圆心与半径，即可得出两圆心距离与半径之差的关系，即可根据两圆位置关系的条件得出答案，由两圆公切线的求法将两圆方程作减得出公切线方程，再将公切线与其中一圆联立即可得出切点坐标. 【详解】将两圆化为标准方程得： ，， 即两圆的圆心坐标分别为与，半径分别为，， 则两圆心距离为， 则，故两圆内切， 两圆方程作减得两圆公切线：， 与圆联立，消去得：，解得， 则，故两圆的切点坐标为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$