专题2.4 两条直线的位置关系（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题2.4两条直线的位置关系 教学目标 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标: 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 教学重难点 教学重点：掌握两条直线平行的条件: 教学难点：能应用两条直线平行的条件解题. 知识点01 两条直线相交、平行与垂直 1. 若直线：,：,则两条直线的位置关系，可以用方程组的解的情况进行判断，得出结论： ①与相交：; ②与平行：且; ③与重合：且 2.设直线：：,则两条直线的位置关系可以用法向量来处理. 因为是直线的一个法向量，是直线的一个法向量，则： ①与相交（只有一个交点）的充要条件是与不共线，即 ②与平行或重合的充要条件是与共线，即，其中与重合的充要条件是，存在实数使得：,, 3.直线与直线平行的充要条件是，重合的充要条件 【即学即练】直线与直线平行，则实数 ． 【答案】或 【分析】利用两条直线平行列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行， 得，所以或. 故答案为：或 知识点02 两条直线的垂直 1.一般地，若已知平面直角坐标系中的直线：：,（，存在且不为0）可得，则 设直线：,：,因为是直线的一个法向量，是直线的一个法向量，所以，则，则 【即学即练】若直线与直线垂直，则 ． 【答案】 【分析】讨论直线斜率存在与否，再根据直线垂直的性质，即可求解. 【详解】由题知，斜率为， 若，则，，不垂直； 若，则，，不垂直； 若，则斜率为， 所以，解得. 故答案为： 题型01 由斜率判断两条直线平行 【典例1】判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与不平行，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)与重合，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 【变式1】直线，那么与 . 【答案】平行 【分析】根据两条直线斜率关系即可判断. 【详解】由题可得，且与不重合，所以与平行； 故答案为：平行 【变式2】判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)； (2)． 【答案】(1)平行 (2)相交， 【分析】（1）将直线化成斜截式，比较斜率即可得到答案； （2）联立直线得到方程组，解出即可. 【详解】（1）将与的方程分别化为斜截式可知． 因此与的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行． （2）解方程组， 可得． 因此与相交，而且交点的坐标为 【变式3】已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【答案】平行四边形，理由见解析 【分析】应用两点式求四边形各边所在直线斜率，由斜率及点的关系判断边之间的位置关系； 【详解】如下图示：   OA边所在直线的斜率，AB边所在直线的斜率， BC边所在直线的斜率，CO边所在直线的斜率． 由知：点O不在BC上，则OA与BC不重合，又，得． 同理，由且AB与CO不重合，得． 因此四边形OABC是平行四边形． 【变式4】已知直线，，试判断直线与是否平行． 【答案】平行 【分析】将直线化为斜截式，验证是否存在，即可判断两直线是否平行. 【详解】将直线化为斜截式，得． 因此，直线的斜率，它在y轴上的截距． 将直线化为斜截式，得． 因此，直线的斜率，它在y轴上的截距． 由于，，所以． 判断两条直线是否平行的步骤： 看斜率： 1.斜率都不存在看横截距：①横截距相等时：两条直线重合②横截距不相等时：两条直线平行 2.斜率存在看斜率是否相等：①斜率相等时看纵截距：1）纵截距相等：两条直线重合，2）纵截距不相等时：两条直线平行. ②斜率不相等时，两条直线不平行. 题型02 由斜率判断两条直线垂直 【典例1】判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据判断直线垂直； （2）斜率不存在，则判断是否与x平行，若平行，则两直线垂直； （3）方法一：根据判断直线垂直；方法二：利用直线的方向向量判断直线垂直. 【详解】（1）设直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以． （2）由点A，B的横坐标相等，得的倾斜角为，则， 设直线的斜率为，则， 所以轴．故． （3）方法一：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以； 方法二：直线的方向向量，直线的方向向量， 因为，所以，所以． 【变式1】两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（   ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 【答案】C 【分析】设两直线的斜率分别为，利用根与系数的关系，即可得到，即可判断. 【详解】设两直线的斜率分别为，因为是方程的两根， 利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直. 故选：C 【变式2】已知两条直线和，其斜率分别是一元二次方程的两不等实数根，则其位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面 【答案】B 【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得． 【详解】由题意，设两条直线和的斜率分别为， 且为一元二次方程的两不等实数根， 则，所以. 故选：B 【变式3】判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两直线斜率乘积等于得垂直； （2）由两直线斜率乘积等于得垂直； （3）由两直线一条斜率为0，一条斜率不存在得垂直． 【详解】（1）两直线的斜率，，由，则． （2）两直线的斜率，，由，则． （3）的斜率为0，的斜率不存在，． 【变式4】判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 【答案】(1)平行 (2)重合 (3)垂直 (4)垂直 【分析】（1）由直线平行的充要条件证明即可. （2）由直线重合的充要条件证明即可. （3）由直线垂直的充要条件证明即可. （4）由直线垂直的充要条件证明即可. 【详解】（1）因为，而，所以. （2）因为，而，所以重合. （3）直线的斜率，直线的斜率，，故. （4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故. 题型03 已知直线平行求参数 【典例1】已知直线，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案. 【详解】两直线平行，故且， 由得或， 由得，因此 故答案为：2 【变式1】若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【答案】D 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可. 【详解】依题意得，， 得， 解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或． 故选：D 【变式2】已知直线，，则的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行列方程求解，然后检验判断即可. 【详解】因为，所以且， 解得， 当时，直线，，显然， 所以的充要条件的是. 故选：A 【变式3】已知直线．若，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，两直线重合，不合题意. 综上，. 故答案为：2. 【变式4】已知直线与直线，若，则 【答案】 【分析】根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【详解】若，则， 所以或． 当时，，重合；当时，符合题意． 故答案为： 设直线：,：,则有 ①.与的斜率都存在，分别为，则与平行：且; ②.设直线：：,，与平行：,且直线不重合 题型04 由直线垂直求参数 【典例1】已知两直线，，则，则 . 【答案】或 【分析】根据一般式方程两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】因为，，且 所以，解得或. 故答案为：或 【变式1】已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线垂直的充要条件可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 【变式2】（多选）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】AD 【分析】先由斜率定义写出直线的斜率，因为，则，由此解出，但要验证的解是否会使得直线的斜率不存在，由此可得答案. 【详解】由斜率的定义，直线的斜率， 因为，则，解得或， 代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在， 故或均满足题意， 故选：AD. 【变式3】已知直线和互相垂直，则实数 . 【答案】2 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 【变式4】已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】利用直线方程的一般式表达垂直计算可得. 【详解】由两直线垂直可得，解得或1， 当时，直线不存在，故舍掉， 所以. 故答案为：1. 1.一般地，若已知平面直角坐标系中的直线：：,（，存在且不为0）可得，则 1. 设直线：,：,因为是直线的一个法向量，是直线的一个法向量，所以，则，则 题型05 由平行关系求方程 【典例1】经过点且与直线平行的直线方程是 . 【答案】 【分析】设出直线方程为，代入，求出，求出直线方程. 【详解】过点且与直线平行的直线设为， 再将代入得，解得， 故直线方程为. 故答案为： 【变式1】已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用直线平行设直线为，再应用点在线上计算求参即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以设直线的方程为． 因为直线过点，所以， 解得，所以直线的方程为． 故选:C． 【变式2】过点，且与直线平行的直线方程是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由设所求直线方程是，再根据所求直线过点求解. 【详解】解：因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线方程是， 又因为所求直线过点， 代入直线方程得：， 所以所求直线方程为， 故选：D 【变式3】过点且平行于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行的特点和点斜式方程即可得到答案. 【详解】由题意得过点且平行于直线的直线方程为， 即. 故选：C. 【变式4】过定点且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【分析】设直线方程，再结合定点坐标即可求解. 【详解】设直线方程为， 由在直线上，可得：， 得：， 所以直线方程为， 故答案为： 平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 题型06 由垂直关系求方程 【典例1】过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】由垂直关系求得斜率，再由点斜式即可求解. 【详解】由，可知其斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为： ， 即， 故答案为： 【变式1】已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【详解】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得. 故选：D. 【变式2】直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】由直线与直线垂直，得直线的斜率，又直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：B 【变式3】过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：D. 【变式4】已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂直直线的斜率关系求直线的斜率，再利用点斜式求直线方程. 【详解】由题意，直线与直线垂直，故直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：A. 垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 1．设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系. 【详解】若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件， 故选：A. 2．若直线：与直线：互相平行，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据平行线的性质进行求解即可. 【详解】由题意，，解得， 此时，，满足题意. 故选：C. 3．若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为，即． 故选：A. 4．以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于，据此即可求出线段垂直平分线方程. 【详解】因为 则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即. 故选：C． 5．若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验. 【详解】若直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 故选：D. 6．若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【答案】B 【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可； 【详解】由题意可得：， 解得：， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：即，与直线：，重合，舍去， 故， 故选：B 7．已知直线，直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 【答案】C 【分析】根据两直线平行时系数的关系求解即可. 【详解】根据两直线平行，可知，解得. 故选：C 8．，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值． 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点， 则有， ． 故当且仅当时取等 故选：C. 9．（多选）已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先利用几何意义得到直线与平行或经过的中点．然后由点斜式和两点式求直线方程. 【详解】由已知直线与平行或经过的中点． 当直线与AB平行时，由，可得直线的斜率为：， 所以由点斜式直线的方程为：，整理得； 由，可知其中点坐标为， 当直线经过的中点和点时， 由两点式可得直线方程：，整理得直线方程为． 故选：BD． 10．（多选）在平面直角坐标系中，已知，，则（    ） A．点在直线上 B．直线PQ的倾斜角是 C．直线PQ与直线平行 D．直线PQ的一个方向向量为 【答案】AC 【分析】对于选项A，将点代入直线方程看是否满足；对于选项B，通过两点坐标求出直线斜率进而得到倾斜角；对于选项C，求出两直线斜率比较是否相等；对于选项D，根据直线方向向量与斜率的关系来判断. 【详解】对于A选项，把点代入直线，左边，右边， 所以点在直线上，A选项正确. 对于B选项，已知，可得直线PQ的斜率. 设直线PQ的倾斜角为，，则，所以，B选项错误. 对于C选项，由前面计算，直线可化为，其斜率为. 两直线斜率相等，但直线PQ过点，将，代入，左边， 即点不在直线上，所以直线PQ与直线平行，C选项正确. 对于D选项， ，直线的方向向量与斜率的关系为. 对于向量，，所以不是直线PQ的斜率的一个方向向量，D选项错误. 故选：AC. 11．直线，直线，若，则 ． 【答案】1 【分析】利用直线平行的判定列方程求参数值，注意验证. 【详解】由题设及，有，则， 所以或， 当，则，重合，不符合； 当，则，，符合. 所以. 故答案为：1 12．若直线：与直线：垂直，则实数的值等于 . 【答案】 【分析】写出两直线斜率，由直线垂直得到斜率乘积为，建立方程后解出参数的值. 【详解】由题意知两直线斜率存在， ，， ， 解得. 故答案为： 13．已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，列方程求解参数即可. （2）由题意得，并分别求解轴上的截距，根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）当时，满足，解得. 所以实数的值为. （2）因为. 且由题意可知，所以解得且， 令，得，令，得， 所以，解得. 所以实数的值为. 14．已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解； （2）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【详解】（1）由可得：， 令，解得， 经检验，满足， 所以直线过定点． （2）由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 所以的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 15．已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【详解】（1）因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4两条直线的位置关系 教学目标 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标: 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 教学重难点 教学重点：掌握两条直线平行的条件: 教学难点：能应用两条直线平行的条件解题. 知识点01 两条直线相交、平行与垂直 1. 若直线：,：,则两条直线的位置关系，可以用方程组的解的情况进行判断，得出结论： ①与相交：; ②与平行：且; ③与重合：且 2.设直线：：,则两条直线的位置关系可以用法向量来处理. 因为是直线的一个法向量，是直线的一个法向量，则： ①与相交（只有一个交点）的充要条件是与不共线，即 ②与平行或重合的充要条件是与共线，即，其中与重合的充要条件是，存在实数使得：,, 3.直线与直线平行的充要条件是，重合的充要条件 【即学即练】直线与直线平行，则实数 ． 知识点02 两条直线的垂直 1.一般地，若已知平面直角坐标系中的直线：：,（，存在且不为0）可得，则 设直线：,：,因为是直线的一个法向量，是直线的一个法向量，所以，则，则 【即学即练】若直线与直线垂直，则 ． 题型01 由斜率判断两条直线平行 【典例1】判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【变式1】直线，那么与 . 【变式2】判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)； (2)． 【变式3】已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【变式4】已知直线，，试判断直线与是否平行． 判断两条直线是否平行的步骤： 看斜率： 1.斜率都不存在看横截距：①横截距相等时：两条直线重合②横截距不相等时：两条直线平行 2.斜率存在看斜率是否相等：①斜率相等时看纵截距：1）纵截距相等：两条直线重合，2）纵截距不相等时：两条直线平行. ②斜率不相等时，两条直线不平行. 题型02 由斜率判断两条直线垂直 【典例1】判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【变式1】两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（   ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 【变式2】已知两条直线和，其斜率分别是一元二次方程的两不等实数根，则其位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面 【变式3】判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【变式4】判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 题型03 已知直线平行求参数 【典例1】已知直线，，若，则的值为 ． 【变式1】若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【变式2】已知直线，，则的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 【变式3】已知直线．若，则实数的值为 ． 【变式4】已知直线与直线，若，则 设直线：,：,则有 ①.与的斜率都存在，分别为，则与平行：且; ②.设直线：：,，与平行：,且直线不重合 题型04 由直线垂直求参数 【典例1】已知两直线，，则，则 . 【变式1】已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【变式3】已知直线和互相垂直，则实数 . 【变式4】已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 1.一般地，若已知平面直角坐标系中的直线：：,（，存在且不为0）可得，则 1. 设直线：,：,因为是直线的一个法向量，是直线的一个法向量，所以，则，则 题型05 由平行关系求方程 【典例1】经过点且与直线平行的直线方程是 . 【变式1】已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】过点，且与直线平行的直线方程是（ ）． A． B． C． D． 【变式3】过点且平行于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】过定点且与直线平行的直线方程为 . 平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 题型06 由垂直关系求方程 【典例1】过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【变式1】已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 1．设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 2．若直线：与直线：互相平行，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B． C．1或 D．或4 6．若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 7．已知直线，直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 8．，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）在平面直角坐标系中，已知，，则（    ） A．点在直线上 B．直线PQ的倾斜角是 C．直线PQ与直线平行 D．直线PQ的一个方向向量为 11．直线，直线，若，则 ． 12．若直线：与直线：垂直，则实数的值等于 . 13．已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 14．已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 15．已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$