2.2.3 课时2 两条直线的位置关系学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

两条直线的位置关系 第2课时 学习目标 1.掌握两条直线垂直的判定方法，会判断两条直线是否垂直； 2.会利用两条直线的垂直关系，求直线的方程. 学习活动 目标一：掌握两条直线垂直的判定方法. 任务：根据直线的方程来判断两条直线是否垂直. 思考：如图，两条相交直线l1与l2，可以从哪些方面判断这两条直线垂直？ 问题1：如何判断直线l1：2x – y + 1 = 0与l2：x + 2y + 2 = 0是否垂直？ 追问：上述结论中l1⊥l2 ⇔ k1k2 = – 1成立的前提条件是什么？ 问题2：尝试使用直线的法向量，判断直线l1：2x – y + 1 = 0与l2：x + 2y + 2 = 0是否垂直？ 问题3：对于任意直线l1：A1x + B1y + C1 = 0，l2：A2x + B2y + C2 = 0，如何判断它们是否垂直？ 【归纳小结】 一般地，若已知直线l1：y = k1x + b1，l2：y = k2x + b2，可得： l1⊥l2 ⇔ k1k2 = – 1； 若直线l1：A1x + B1y + C1 = 0，l2：A2x + B2y + C2 = 0，可得： l1⊥l2 ⇔ A1A2 + B1B2 = 0. 问题3：判断下列各对直线是否垂直： （1）l1：y = 2x – 2，l2：x – 2y + 1 = 0； （2）l1：x = 2，l2：y – 3 = 0. 【归纳小结】 选择合适的方法判断两直线是否垂直： （1）若所给的直线方程都是一般式方程，则运用下列条件判断： l1⊥l2 ⇔ A1A2 + B1B2 = 0； （2）若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用下列条件判断： l1⊥l2 ⇔ k1k2 = – 1； （3）若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断. 练一练：下列直线中与直线3x + y + 1 = 0垂直的是（ ） A. 3x – y – 1 = 0 B. x – 3y + 1 = 0 C. x + 3y + 1 = 0 D. x +y – 1 = 0 目标二：会利用两条直线的垂直关系，求直线的方程. 任务：利用两条直线的垂直关系，求直线的方程. 问题：分别求下列直线的方程： （1）过点 (3，1) 且与直线y = 3x – 1垂直的直线l1； （2）过点 (1，2) 且与直线2x + y – 10 = 0垂直的直线l2. 练一练：与直线y = 2x + 1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ） A. y =x + 4 B. y = 2x + 4 C. y = – 2x + 4 D. y =x + 4 学习总结 任务：回答下列问题，构建本课知识导图. 1.已知两条直线的方程，有多少种方法判定它们是否垂直？ 2.这些判定直线垂直的方法，有哪些适用条件？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 两条直线的位置关系 第2课时 学习目标 1.掌握两条直线垂直的判定方法，会判断两条直线是否垂直； 2.会利用两条直线的垂直关系，求直线的方程. 学习活动 目标一：掌握两条直线垂直的判定方法. 任务：根据直线的方程来判断两条直线是否垂直. 思考：如图，两条相交直线l1与l2，可以从哪些方面判断这两条直线垂直？ 参考答案：直线的法向量、斜率、倾斜角. 问题1：如何判断直线l1：2x – y + 1 = 0与l2：x + 2y + 2 = 0是否垂直？ 参考答案：如果设l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，由图可知，l1与l2垂直的充要条件是α2 = α1 +， 因此tan α2 = tan (α1 +) =， 即tan α1·tan α2 = -1，故k1k2 = – 1； 又因为k1 = 2，k2 =，即k1k2 = – 1，所以l1与l2垂直. 追问：上述结论中l1⊥l2 ⇔ k1k2 = – 1成立的前提条件是什么？ 参考答案：直线l1⊥l2的斜率存在且不为0时，l1⊥l2 ⇔ k1k2 = – 1成立. 问题2：尝试使用直线的法向量，判断直线l1：2x – y + 1 = 0与l2：x + 2y + 2 = 0是否垂直？ 参考答案：两条直线垂直的充要条件是它们的法向量相互垂直； 因为= (2，-1)，= (1，2) 分别是l1，l2的法向量， 而且= 2×1+(-1)×2=0，即⊥，所以l1⊥l2. 问题3：对于任意直线l1：A1x + B1y + C1 = 0，l2：A2x + B2y + C2 = 0，如何判断它们是否垂直？ 参考答案：直线l1与直线l2的法向量分别为= (A1，B1)、= (A2，B2). 如图所示，l1与l2垂直的充要条件是与垂直，即= 0，