专题08 直线与圆的位置关系（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题08直线与圆的位置关系 题型一：判断直线与圆的位置关系 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 题型三：直线与圆相交问题 题型四：求切线方程 题型五：切线长（切点弦）问题 题型六：已知切线求参数 题型七：圆的弦长与中点弦问题 题型八：已知圆的弦长求方程或参数 题型九：圆内接三角形面积 题型十：直线与圆的实际应用 题型十一：直线与圆中的定点定值问题 题型十二：根据直线与圆位置关系求距离最值 题型十三：直线与圆综合问题 题型一：判断直线与圆的位置关系 1．已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数. 【详解】由直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点， 故选：C 2．已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（    ） A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 【答案】B 【分析】首先得到直线的倾斜角，即可得到直线的倾斜角，从而求出直线的方程，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】直线：即，斜率为，倾斜角为， 将直线绕原点顺时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为， 所以直线的方程为，即， 圆：的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相交但不过圆心. 故选：B. 3．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 因为，故点在圆上. 故选：A. 4．已知圆的圆心在抛物线上，且圆过定点，则圆与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义可知，到焦点的距离等于到准线的距离， 所以圆与直线相切， 又因为抛物线的图象在轴的右侧， 所以圆与直线相交. 故选：A. 5．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【答案】C 【分析】将圆的方程化为标准方程可得圆心坐标为，圆的半径为.直线恒过定点，根据定点在圆内，可知直线与圆相交. 【详解】将圆的方程化为标准方程为，所以圆心坐标为，圆的半径为. 直线可化为，恒过定点. ∵，∴点在圆内，所以直线与圆相交. 故选：C. 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 6．若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 7．若直线与圆相切，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由题意得圆的圆心为，半径为，，根据直线与圆相切即可列方程求解. 【详解】圆即圆，所以， 且圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相切，则，解得. 故选：A. 8．“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再集合的包含关系得条件关系.. 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为1， 设圆心到直线的距离为 则，解得：. 而为的真子集， 故“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“直线与圆相交”的必要不充分条件， 故选：B 9．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把斜率为1的直线平行移动与曲线表示的图形有两公共点，根据图象即可求解． 【详解】由题意，曲线表示的曲线为圆心在原点， 半径为1的圆在轴以及轴上方的部分． 在同一坐标系中，作出斜率为1的直线，在直线平移的过程中可发现， 直线过时先与半圆形有2个交点，此时. 再将直线向上平移一直到最后与半圆相切，此时，且, 即， 所以满足条件的的取值范围. 故选：D. 10．已知直线l：，圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线l与圆C相切，可得，利用包含关系分析充分、必要条件. 【详解】圆C：的圆心为，半径， 若直线l与圆C相切，则，解得， 显然是的真子集，所以“”是“直线l与圆C相切”的充分不必要条件. 故选：A. 11．点在圆上运动，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将目标转化为直线与圆存在交点的问题，利用即可. 【详解】设，则， 因点在圆上运动，且在直线上， 则直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离，得或， 故的取值范围是. 故选：D 题型三：直线与圆相交问题 12．直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出，根据向量数量积可求答案. 【详解】联立,得， 则，即，所以， 设，则：，， 故选：C 13．已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则 ， . 【答案】 【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理、勾股定理求出弦长，设，，联立直线与圆的方程，列出韦达定理，利用数量积的坐标表示计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以， 设，， 由，消去整理得，则，， 又，， 所以 . 故答案为：； 14．已知圆，过点的直线与交于点，，且. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，求. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据圆的弦长公式即可结合点到直线的距离公式求解， （2）联立直线与圆的方程得韦达定理，即可根据向量数量积的坐标运算求解. 【详解】（1）将化为标准方程，得， 则的圆心为，半径. 当直线的斜率不存在时，的方程为. 此时圆心到的距离，不符合题意. 故直线的斜率存在，设的方程为， 即. 圆心到的距离. 由垂径定理可得，即，解得. 故直线的方程为. （2）联立整理得. 设，则. . 故. 15．已知直线与圆相交，若为直线与圆交点坐标，求k． 【答案】1 【分析】联立直线与圆的方程得，应用判别式求k范围，由韦达定理及已知等量关系列方程求k值. 【详解】由过定点，代入圆有，定点在圆外， 将直线代入圆并整理得：， 则，即， (x1,y1)、(x2,y2)为直线与圆的交点坐标， 所以，而， 由，则， 综上，. 16．已知圆关于直线对称，且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于两点，若（为坐标原点），求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）圆心在直线上，且在的垂直平分线上，联立两直线方程求得圆心，半径，即可得圆的标准方程； （2）由题意点在圆上，求出，则得切线斜率，由点斜式方程求出切线方程； （3）由题意可知直线的斜率一定存在，故可设直线，与圆的方程联立，根据韦达定理，结合数量积的运算求出即可. 【详解】（1）因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 因为圆经过点，所以圆心在的垂直平分线上， 因为，中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 则，所以圆心为， 半径，所以圆的标准方程为. （2）因为，所以点在圆上， 又，则切线斜率为， 所以切线方程为，即为， 所以过点且与圆相切的直线方程为. （3）由题意可知直线的斜率一定存在，故可设直线， 设， 则， 则， 故，， 因为 ， 则，解得或（舍去）， 所以直线的方程为. 题型四：求切线方程 17．过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 18．已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 【答案】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 19．过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 【答案】或（写出一条即可） 【分析】设出直线方程，根据点到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】由可知：直线一定有斜率， 故设：， 则，化简可得，故或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故切线方程为：或， 故答案为：或， 20．（1）求经过圆上点的圆的切线方程； （2）求经过点且与圆相切的直线的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）分直线的斜率不存在和存在，根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求解. （2）当所求直线的斜率不存在，易得直线方程为；当所求直线的斜率存在，设直线方程为，根据题意可得圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到答案. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为：，与圆相交； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即 ， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ， 即 ，解得 ， 所以直线方程为 ，即 . （2）由题意知，圆的圆心为，半径为2， 若所求直线的斜率不存在， 由直线过点，得所求直线方程为， 此时圆心到直线的距离为2，直线与圆相切，符合题意； 若所求直线的斜率存在，设直线方程为：即， 则圆心到直线的距离为，解得， 此时所求直线方程为， 综上，所求直线的方程为或. 21．已知直线与圆交于，两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，根据求出； （2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可. 【详解】（1）圆即， 圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又，所以，即，解得； （2）由（1）可得，则，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 所以，解得， 所以切线方程为，即， 综上可得，过点的圆的切线方程为或.    22．已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据圆心坐标以及弦长公式计算可得结果； （2）分别讨论直线斜率是否存在，再由圆心到切线的距离等于半径可得结果. 【详解】（1）圆的圆心为， 由圆心在直线上可得，即圆心； 易知圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得； 所以圆的方程为； （2）当切线斜率不存在时，过点的直线方程为， 显然到的距离等于3，符合题意； 当切线斜率存在时，可设过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，解得； 此时切线方程为，即； 综上可知，切线的方程为或. 题型五：切线长（切点弦）问题 23．已知圆，圆，点P在圆N上运动，直线与圆M相切于点A，则的最大长度为（   ） A．8 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的切线长公式以及点到圆的距离的位置关系求解. 【详解】由题，圆，圆， 所以圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 作图如下， 因为, 由几何性质可知，当的坐标为时，有最大值为， 此时最大，最大值为， 故选:C. 24．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切于点，则光线从点到点所经过的路程的长度为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】设点关于x轴的对称点为，然后利用圆的性质可求即可. 【详解】∵圆， ∴圆心，半径为1， 设点关于x轴的对称点为，则， ∴， 所以光线从P点到Q点所经过的路程的长度为. 故选：B. 25．过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】 根据题意可得为等边三角形，可得结果. 【详解】圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为1，    由题意知，,,,, 所以,所以. 所以,且, 所以为等边三角形， 所以. 故选:C． 26．过点向圆作切线，切点为，则 . 【答案】 【分析】根据圆切线的性质求切线长即可. 【详解】由圆，圆心坐标为，半径为2， 因为过点向圆作切线，切点为，且， 所以. 故答案为： 27．过圆O:外一点作圆O的切线，切点分别为A、B，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由切线长公式可得，则点A、B在以为圆心，半径为的圆上，求出该圆方程，与圆的方程联立可得直线的方程，结合直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】根据题意，圆O:的圆心为，半径， 若，则， 圆O:外一点做圆O的切线，切点分别为A、B， 则， 故点A、B在以为圆心，半径为的圆上， 该圆的方程为， 联立两个圆的方程： ， 两式作差可得，则直线的方程为， 圆O的圆心O到直线的距离， 则. 故答案为： 题型六：已知切线求参数 28．过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程表示圆以及点与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由圆的一般式方程知：， 所以，，即，解得或， 又知过点可作两条切线，得点在圆外， 即，即，综上可知：. 故选：A 29．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与圆相切得到直角三角形利用边长求解即可. 【详解】 中， ，即 故选：A 30．若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得. 【详解】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故选：C. 31．（多选）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ） A． B．8 C． D．18 【答案】AB 【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于半径列方程来求得的值. 【详解】圆的圆心为，半径为. 由于直线与圆相切， 所以，解得或. 故选：AB 32．直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】曲线表示的是一个以原点为圆心，3为半径的左半圆，直线的斜率为1，作出图形，由图形确定直线与曲线有两个公共点时的条件. 【详解】方程，即，表示的是一个以原点为圆心，3为半径的左半圆， 直线的斜率为1，连接和，    要使直线与该半圆有两个交点，直线必在以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切（不含相切），则可求出直线的两个临界位置对应的的值. 当直线与重合时，， 当直线与半圆相切时，圆心到的距离3，即， 解得或（舍去）. 所以的取值范围是）. 故选：D 33．已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 ． 【答案】（或写为） 【分析】分析可知，点在圆上，根据圆的几何性质可知，求出直线的斜率，即可得出直线的倾斜角. 【详解】因为，所以，点在圆上，直线的斜率为， 由圆的几何性质可知，，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，则，故. 即直线的倾斜角为（或）. 故答案为：（或写为）. 题型七：圆的弦长与中点弦问题 34．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 【答案】(1)圆心坐标为，面积为 (2) 【分析】（1）将圆的一般式化为标准方程，即可得到圆心坐标与半径； （2）先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得. 【详解】（1）由可得， 则圆的圆心坐标为,半径，面积； （2）依题意直线的方程为， 即， 圆心到直线的距离， 所以； 35．已知圆过，，三点，直线l过点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线被圆截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线的方程及最短弦长. 【答案】(1) (2)垂直，， 【分析】（1）根据圆的几何性质，求圆心和半径，即可求解； （2）由弦长公式结合圆的几何性质可知，当点是弦的中点时，此时弦长最短，根据直线的方程，结合弦长公式，即可求解. 【详解】（1）由已知可得，，，满足， 所以为以O为直角的直角三角形，取AB中点为M， 则，所以圆心，半径，圆M标准方程为； （2）由，可知，点在圆内， 当直线l垂直于MP时截得弦长最短.直线，直线l的斜率为， 则直线l方程为，此时圆心M到直线l的距离为，最短弦长为. 36．已知以点为圆心的圆A与直线：相切，直线：． (1)求圆A的标准方程，并求直线所过的定点坐标； (2)求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线的方程． 【答案】(1)，定点； (2)，. 【分析】（1）利用切线的性质求出半径即得圆的方程，再求出直线所过定点坐标. （2）判断定点与圆的位置，利用圆的性质及弦长公式求解. 【详解】（1）依题意，点到直线：的距离即为圆A的半径， 所以圆A的标准方程为； 直线，由，解得， 所以直线过定点. （2）由（1）知，点在圆内， 当直线时，直线被圆A截得的弦长最短，最短弦长为， 因直线的斜率，则直线的斜率为2，方程为，即. 37．已知曲线的方程为． (1)若曲线表示圆，求的取值范围； (2)当时，直线与曲线交于两点，求. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）将方程化为标准方程，列式求解即可； （2）根据题意可得圆心和半径，结合垂径定理求弦长. 【详解】（1）由曲线的方程整理可得， 则，解得或， 所以的取值范围为. （2）若，则曲线：，可知圆心，半径为， 则圆心到线的距离， 所以. 38．已知圆，直线． (1)证明直线恒过定点，并求定点的坐标； (2)当时，求直线被圆所截得的弦长． 【答案】(1)证明见解析，定点坐标为 (2) 【分析】（1）将直线的方程变形，即可求出直线所过定点的坐标； （2）求出圆心坐标和圆的半径，当时，可求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得直线被圆所截得的弦长. 【详解】（1）直线的方程可化为， 由得得，所以直线恒过定点． （2）圆的标准方程为， 圆心，半径． 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离， 所以直线被圆所截得的弦长为. 39．已知直线l：恒过点C，且以C为圆心的圆与直线相切． (1)求点C的坐标； (2)求圆C的标准方程； (3)设过点的直线与圆C交于A，B两点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由直线的点斜式方程求定点； （2）根据圆心到直线的距离等于半径，求圆的方程； （3）根据圆的弦长公式求解. 【详解】（1）直线l：，即， 所以直线l恒过点． （2）圆C的圆心为． 圆C的半径， 所以圆C的标准方程为． （3）由于点D在圆内部， 所以当直线AB与直线CD垂直时，取最小值．． ，，即的最小值为. 题型八：已知圆的弦长求方程或参数 40．平面内一动点到点与的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)斜率为1的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得， 所以动点的轨迹方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得， 所以直线的方程为. 41．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点. (1)若点为的中点，求动点的轨迹的方程； (2)过坐标原点的直线被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆的定义可得动点的轨迹的方程； （2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由题意得，圆， 故，所以， 故动点的轨迹的方程为. （2）因为直线被曲线截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为1. 当直线的斜率不存在时，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，故，解得， 故 综上，直线的方程为或. 42．已知O为坐标原点，动点M到两个定点，的距离的比为，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的标准方程； (2)若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据题干条件列出等式，化简即可得到结果. （2）首先假设斜率不存在，判断是否满足题意；再假设斜率存在，设出直线方程，利用弦长公式即可求得结果. 【详解】（1）由题知，设点， 则，所以， 即，整理得， 所以曲线C的标准方程为． （2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：， 与C的交点坐标为，，此时弦长等于，符合题意． 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：， 设曲线C的圆心到直线l的距离为d， 由（1）知曲线C的圆心为， 所以， 因为曲线C截l所得弦长等于， 所以，解得． 所以，解得． 所以直线l的方程为：． 综上，直线l的方程为：或． 43．已知圆C经过三点 (1)求圆C的标准方程； (2)若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的一般方程，将三点的坐标代入可得参数的值，即求出圆的方程，化简为标准方程即可； （2）由弦长公式可得圆心C到直线的距离d，分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，设直线的方程，由点到直线的距离公式，可得参数的值，即求出直线的方程． 【详解】（1）设圆C的方程为：， 将代入圆的方程得， 解得，，， 所以圆的方程为：， 即圆C的标准方程为：. （2）由（1）可得圆心，半径， 设圆心C到直线l的距离为d，由题意可得， 可得，即， 当直线l的斜率不存在时，则过点的直线， 此时圆心C到直线的距离为，符合题意； 当直线l的斜率存在时， 设过点的直线l的方程为，即， 则圆心C到直线l的距离，解得， 即直线l的方程为，即 综上所述，直线的方程为：或 44．已知直线l过点，圆C： (1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的方程； (2)若直线l与圆C交于M、N两点，，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由圆C的方程，可得圆心C的坐标及半径r的值，由直线l的过的两点的坐标，可得直线l的斜率，进而求出直线l的方程； （2）设圆心到直线的距离d，由弦长公式，可得d的值，分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，设出直线方程，由圆心C到直线的距离可得参数的值，进而求出直线l的方程． 【详解】（1）将圆C：整理可得，所以圆心，半径， 所以过点，圆心C的直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即； （2）设圆心C到直线l的距离为d，由弦长公式可得，解得， 当过点P的直线斜率不存在时，则直线l的方程为，则圆心C到直线的距离为，符合条件； 当过点P的直线斜率存在时，则直线l的方程为，即， 则圆心C到直线的距离为，解得， 即此时直线l的方程为 综上所述：直线l的方程为或 题型九：圆内接三角形面积 45．已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入点的坐标计算，即可得到圆的一般式方程，再化为标准式即可； （2）由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设的方程为， 由题意可得，解得， 所以的方程为， 化为标准方程可得. （2）由（1）可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 且， 因此的面积为. 46．已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法可求圆的一般方程； （2）利用垂径定理求出弦长，从而可求的面积. 【详解】（1）设的一般方程为， 由题意可知， 解得， 所以， 故的标准方程为. （2）由（1）可知，，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 47．已知和为圆上两点. (1)求圆的方程； (2)过点向圆作切线，求切线的方程； (3)若过的直线交于另一点，若的面积最大，求此时的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点、的坐标代入圆的方程，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，求出参数值，综合可得出直线的方程； （3）分析可知，当时，的面积最大，求出圆心到直线的距离，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，由此可得出直线的方程. 【详解】（1）由题意可得，解得，故圆的方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）因为， 当且仅当时，等号成立， 此时，是等腰直角三角形，且， 则圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意，    所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，整理得，解得或， 因此，直线的方程为或， 即直线的方程为或. 48．已知的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于E，F两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法设圆的方程为，结合题意解出即可求解； （2）由（1）得圆心和半径，求出圆心到直线的距离，从而可得弦长，再用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，继而利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. （2）由，得， 所以圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， ， 又点到直线的距离为， 所以的面积为.    49．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线：与动点的轨迹交于两点，记动点轨迹的对称中心为点，则当面积最大时，求直线的方程． 【答案】 【分析】利用，求出点Q的轨迹方程，求出直线l过定点，设，结合直线与圆的位置关系得到，即可求出面积最大时，直线l的方程． 【详解】设， 由题意可得，整理可得， 可知动点的轨迹是以圆心为，半径为的圆， 由，可得． 则由，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆的内部． 作直线，垂足为， 设，因为， 所以， 所以， 所以． 所以当，即时，． 此，且，可知直线的斜率为， 所以直线的方程为. 题型十：直线与圆的实际应用 50．某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)不会有触礁危险，理由见解析 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【详解】（1） （2）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 51．如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 52．某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【分析】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【详解】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 53．如图，某海面上有三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛千米处．以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，千米为单位长度，建立如图的平面直角坐标系．圆同时相切于线段和，切点分别为，且为的中点．若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？请说明理由． 【答案】该船没有触礁的危险，理由见解析 【分析】根据坐标可求得直线，设圆心，由直线与圆相切可构造方程求得；根据坐标可得该船航线所在直线的方程，由圆心到直线距离大于半径可得结论. 【详解】由题意知：圆心在线段与线段的垂直平分线的交点处， 由条件可知，则， 线段所在直线的方程为，即， 易知线段的垂直平分线方程为， 设圆心为， 则圆心到线段的距离，解得：， 圆的方程为． 该船初始位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为， 故该船航行方向为直线，即， 则圆心到直线的距离， 该船没有触礁的危险． 54．在气象台正西方向300 km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心250 km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？说明理由．如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？(精确到1min)，（参考数据： 【答案】大约120分钟后气象台所在地开始受到台风影响，持续时间约为分钟. 【分析】首先计算点到直线的距离，再和比较大小，即可判断是否有影响，再根据题意，转化为以点为圆心，半径为的的圆与直线相交问题，结合几何关系，即可求解. 【详解】设台风中心的起点为，以为台风经过的路径所在的直线， 过点作于点， 在中，，， ， ， 所以气象台所在地会受到台风的影响；    设以为圆心，以为半径的圆与直线交于两点， 即以点开始受影响，到点结束影响， 在中，， ， 在中，， ， 所以气象台受影响的时间为， 在，，， ， ， 所以大约120分钟后气象台所在地开始受到台风影响，持续时间约为分钟. 题型十一：直线与圆中的定点定值问题 55．已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. (1)过点的直线截所得弦长为，求的方程； (2)若点为上异于，的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 【答案】(1)或. (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，然后结合圆的弦长公式代入计算，即可得到结果； （2）分别由直线的方程得到点的坐标，代入计算，即可证明. 【详解】（1）根据垂径定理可得圆心到直线的距离. ①当斜率不存在时，直线的方程为：， 直线截所得弦长，符合题意： ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为，解得. 综上所述，直线的方程为或. （2）根据题意，，，设（且），则， 直线方程是，令，得， 直线方程是，令，得， 所以 ， 即为定值. 56．已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)定值， 【分析】（1）设，结合题设列出方程即可求解； （2）设，，，联立直线与曲线的方程，结合韦达定理求得，进而求解即可. 【详解】（1）设，因为，即， 所以， 整理得， 所以曲线的方程为. （2）设，，. 联立方程组得， 所以， 则，， 因为 ， 所以， 故直线OP，OQ的斜率之积为定值，且定值为.    57．在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）1；（ⅱ）过定点. 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）（i）由可得，且，根据三角形面积公式和基本不等式求最大值即可；（ⅱ）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入求出与的关系进而可得定点. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，因为，所以， 从而直线经过圆心，是直角三角形，且， 设，，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以. （ⅱ）由已知得：直线的斜率必存在， 设直线的方程为，，， 由，消去得：， 当时，，，（※） 又， 即， 代入（※）得：， 即，解得：，或， 当时，此时直线的方程为，过定点（舍去）， 当时，此时直线的方程为，过定点， 故当，动弦过定点. 58．已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程. (2)已知为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据直线与圆相切，可求圆心，可得方程； （2）假设存在定点，设，表示，讨论是否存在定值； 【详解】（1）由题意设圆心坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 故圆的标准方程为； （2） 假设存在定点，设， 设，则， 则， 当，即，（舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点使得为定值，的坐标为. 59．已知点为线段的中点，，点为圆上动点. (1)求点的轨迹曲线的方程； (2)过点且斜率不为零的直线与（1）中曲线交于不同的两点， （i）求直线斜率的取值范围； （ii）直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii），详见解析 【分析】（1）设，，利用相关点法即可求出轨迹方程； （2）设直线的方程为，，，联立直线和曲线的方程，消去后，（i）由可求出斜率的取值范围；（ii）利用斜率公式及韦达定理可求出. 【详解】（1）设，，由中点坐标公式得， 因为点为圆上动点，所以， 所以， 整理得曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，，， 联立，消去得：， 所以， 解得，又， 所以直线斜率的取值范围为. （ii）由（i）知，，， 则 ， 所以是定值5. 题型十二：根据直线与圆位置关系求距离最值 60．点在曲线上，求的取值范围. 【答案】 【分析】的取值范围转化为点到直线距离的5倍，结合点到直线的距离公式，数形结合即可求解. 【详解】如图， 曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，， 表示点到直线距离的5倍， 点A到直线的距离， 即直线与圆相离， 点B到直线的距离， 故的最小值为，的最大值为， 则的取值范围为. 61．已知圆. (1)若直线方程为与圆C相交于A、B两点，求. (2)在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由圆的弦长公式结合点到直线距离公式即可计算求解； （2）求出点Q到直线距离的最大值即可求解. 【详解】（1）由题意可得圆的标准方程为，所以圆心，半径， 又直线方程为， 则圆心C到直线的距离，直线AB与圆相交， 所以. （2）圆的圆心，半径， 则点到直线：的距离为， 所以点Q到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 62．已知圆，点为圆上任意一点，点，点是线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)点是轨迹上任一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相关点法，设出点的坐标，利用中点公式结合圆的方程即可求解； （2）根据题意令，根据的几何意义，令直线与圆相切求出即可求解. 【详解】（1） 设，根据题意有，即， 又因为点在圆上，所以有， 整理得，即， 所以点的轨迹为圆心为，半径为的圆. （2） 令，则有，为直线的纵截距， 由题意可知，直线与圆有交点的情况下， 直线的纵截距越大，越大；直线的纵截距越小，越小. 由图可知，令直线与圆相切， 此时圆心到直线的距离为半径， 由此可得，解得， 所以的取值范围为. 63．已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【详解】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 64．已知圆过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)若点在圆上运动，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入圆方程求解参数即可. （2）转化为点到直线的距离求解即可. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 则，解得， 圆的一般方程为， 即标准方程为. （2）设，则圆的圆心到直线的距离， 解得，的最大值为. 题型十三：直线与圆综合问题 65．已知双曲线的一条渐近线为，且过点． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过的右焦点作直线与的右支交于，两点． （i）若和的面积的比值为2，求直线的方程； （ii）若关于的对称点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）相切，理由见解析 【分析】（1）由题列出方程组，解方程组即可； （2）（i）设直线的方程为，，，与双曲线联立得到，利用和的面积的比，可解从而得到直线方程； （ii）根据题意可得直线的方程，根据圆心到直线的距离即可判断位置关系. 【详解】（1）设双曲线方程为，则，解得 所以的方程为． （2）（i）的右焦点为），设直线的方程为，，， 与方程联立可得：， 则由  ，得， 因为和的面积的比值为2，所以， 所以，所以， 所以， 解得，满足，所以， 所以直线的方程为：或． （ii）依题意得，则直线的斜率， 直线的方程为，即． 圆心到直线的距离为， 因为，， 所以， 又因为，所以， 所以直线与圆相切． 66．已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将圆的一般方程整理成标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，即可得解； （2）联立直线方程和圆的方程，根据韦达定理结合向量数量积的坐标运算可得，即可得解. 【详解】（1）由圆的一般方程可得标准方程，则，即. 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，解得，满足. 所以，. （2）由题意，联立可得， 设， 则，解得， 根据韦达定理可得， 则， 所以，满足. 所以，圆的半径满足，故. 67．已知曲线. (1)在答题卡中画出C的大致图形，并说明理由. (2)若是C上的动点，，，证明：为定值. (3)若直线与C的所有交点的纵坐标之和大于，求m的取值范围. 【答案】(1)图形见解析，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件化简得出轨迹并画图； （2）应用两点间距离公式计算求解即可证明； （3）联立方程根据坐标关系计算列式解不等式. 【详解】（1）由，得或， 所以C由两条直线与圆组成. 故C的图形如图所示. （2）因为，所以点P在圆上， 所以，所以为定值. （3）将代入，得，将代入，得，则. 因为，所以l不经过点，（，依题意可得，l与圆的所有交点的纵坐标之和大于. 当时，l与C的所有交点的纵坐标之和为，所以不符合题意. 当时，联立消去x，得. 因为l过定点，且该点在圆的内部，所以l与圆总有两个交点. 设l与圆的交点为，，则，解得， 故m的取值范围为. 68．已知直线，圆，圆：. (1)判断直线与圆的位置关系，并说明理由； (2)圆与圆交于两点，求过与这三点的圆的方程. 【答案】(1)相交，理由见解析 (2) 【分析】（1）先求解定点，再把点代入圆内计算判断即可； （2）法一：设圆的方程代入计算求解即可；法二：根据交点设圆的方程计算求参即可. 【详解】（1）由于，则直线过定点，，故定点在圆内，直线与圆相交. （2）法一：联立两圆方程，解得， 令所求圆方程为， 代入三点，， 得所求圆方程为. 法二：令所求圆方程为， 代入，， 解得，故所求圆方程为. 69．已知圆C：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． (1)若P的坐标为，求过点P的切线方程； (2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由； (3)直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）. 【答案】(1)或， (2) (3) 【分析】（1）设出切线方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径即可求得斜率即可得方程 （2）设，可得为直径得方程，可求得直线得方程为，即可得定点. (3)由可得，进而可得：• ，可求得其范围. 【详解】（1） 由图像易知：是其一条切线， 设另切线方程为 ，即 圆心坐标为，半径 根据圆的切线的定义可知：，即 解得： 代回方程可求得切线方程为： 所以或， 过点P的切线方程为：或， （2） ∵圆 ∴圆心，半径， 设，由题意知在以为直径的圆上，又, ∴以为直径的圆的方程为：，即 又圆C：，即 故直线的方程为，即 由，解得， 即直线AB恒过定点. （3）由，得 ∴ 设， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08直线与圆的位置关系 题型一：判断直线与圆的位置关系 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 题型三：直线与圆相交问题 题型四：求切线方程 题型五：切线长（切点弦）问题 题型六：已知切线求参数 题型七：圆的弦长与中点弦问题 题型八：已知圆的弦长求方程或参数 题型九：圆内接三角形面积 题型十：直线与圆的实际应用 题型十一：直线与圆中的定点定值问题 题型十二：根据直线与圆位置关系求距离最值 题型十三：直线与圆综合问题 题型一：判断直线与圆的位置关系 1．已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 2．已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（    ） A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 3．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 4．已知圆的圆心在抛物线上，且圆过定点，则圆与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离 5．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 6．若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若直线与圆相切，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线l：，圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．点在圆上运动，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：直线与圆相交问题 12．直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（ ） A． B． C．1 D．2 13．已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则 ， . 14．已知圆，过点的直线与交于点，，且. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，求. 15．已知直线与圆相交，若为直线与圆交点坐标，求k． 16．已知圆关于直线对称，且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于两点，若（为坐标原点），求直线的方程. 题型四：求切线方程 17．过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 18．已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 19．过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 20．（1）求经过圆上点的圆的切线方程； （2）求经过点且与圆相切的直线的方程． 21．已知直线与圆交于，两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 22．已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 题型五：切线长（切点弦）问题 23．已知圆，圆，点P在圆N上运动，直线与圆M相切于点A，则的最大长度为（   ） A．8 B．7 C． D． 24．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切于点，则光线从点到点所经过的路程的长度为（    ） A． B． C． D．3 25．过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 26．过点向圆作切线，切点为，则 . 27．过圆O:外一点作圆O的切线，切点分别为A、B，则 . 题型六：已知切线求参数 28．过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 30．若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 31．（多选）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ） A． B．8 C． D．18 32．直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 ． 题型七：圆的弦长与中点弦问题 34．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 35．已知圆过，，三点，直线l过点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线被圆截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线的方程及最短弦长. 36．已知以点为圆心的圆A与直线：相切，直线：． (1)求圆A的标准方程，并求直线所过的定点坐标； (2)求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线的方程． 37．已知曲线的方程为． (1)若曲线表示圆，求的取值范围； (2)当时，直线与曲线交于两点，求. 38．已知圆，直线． (1)证明直线恒过定点，并求定点的坐标； (2)当时，求直线被圆所截得的弦长． 39．已知直线l：恒过点C，且以C为圆心的圆与直线相切． (1)求点C的坐标； (2)求圆C的标准方程； (3)设过点的直线与圆C交于A，B两点，求的最小值． 题型八：已知圆的弦长求方程或参数 40．平面内一动点到点与的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)斜率为1的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程． 41．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点. (1)若点为的中点，求动点的轨迹的方程； (2)过坐标原点的直线被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 42．已知O为坐标原点，动点M到两个定点，的距离的比为，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的标准方程； (2)若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程． 43．已知圆C经过三点 (1)求圆C的标准方程； (2)若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程. 44．已知直线l过点，圆C： (1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的方程； (2)若直线l与圆C交于M、N两点，，求直线l的方程. 题型九：圆内接三角形面积 45．已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 46．已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 47．已知和为圆上两点. (1)求圆的方程； (2)过点向圆作切线，求切线的方程； (3)若过的直线交于另一点，若的面积最大，求此时的方程. 48．已知的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于E，F两点，求的面积. 49．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线：与动点的轨迹交于两点，记动点轨迹的对称中心为点，则当面积最大时，求直线的方程． 题型十：直线与圆的实际应用 50．某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 51．如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 52．某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 53．如图，某海面上有三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛千米处．以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，千米为单位长度，建立如图的平面直角坐标系．圆同时相切于线段和，切点分别为，且为的中点．若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？请说明理由． 54．在气象台正西方向300 km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心250 km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？说明理由．如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？(精确到1min)，（参考数据： 题型十一：直线与圆中的定点定值问题 55．已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. (1)过点的直线截所得弦长为，求的方程； (2)若点为上异于，的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 56．已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 57．在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 58．已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程. (2)已知为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 59．已知点为线段的中点，，点为圆上动点. (1)求点的轨迹曲线的方程； (2)过点且斜率不为零的直线与（1）中曲线交于不同的两点， （i）求直线斜率的取值范围； （ii）直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 题型十二：根据直线与圆位置关系求距离最值 60．点在曲线上，求的取值范围. 61．已知圆. (1)若直线方程为与圆C相交于A、B两点，求. (2)在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值. 62．已知圆，点为圆上任意一点，点，点是线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)点是轨迹上任一点，求的取值范围． 63．已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 64．已知圆过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)若点在圆上运动，求的最大值. 题型十三：直线与圆综合问题 65．已知双曲线的一条渐近线为，且过点． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过的右焦点作直线与的右支交于，两点． （i）若和的面积的比值为2，求直线的方程； （ii）若关于的对称点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 66．已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 67．已知曲线. (1)在答题卡中画出C的大致图形，并说明理由. (2)若是C上的动点，，，证明：为定值. (3)若直线与C的所有交点的纵坐标之和大于，求m的取值范围. 68．已知直线，圆，圆：. (1)判断直线与圆的位置关系，并说明理由； (2)圆与圆交于两点，求过与这三点的圆的方程. 69．已知圆C：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． (1)若P的坐标为，求过点P的切线方程； (2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由； (3)直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$