第2章 有理数的运算（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年人教版数学七年级上册优选题练习卷（新教材）

2025-2026学年人教版数学七年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第2章 有理数的运算 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，数轴上点和点分别表示数和，则下列式子正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴，由数轴可得，，进而可得答案，掌握数轴的定义是解题的关键． 【规范解答】解：由数轴可知，，， ∵，故A选项不符合题意； ∵，， ∴，故B选项符合题意； ∵，，， ∴，故C选项不符合题意； ∵，， ∴，故D选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了数轴上两数比较大小及有理数运算，解题关键是正确得出a，b的信息并熟练掌握有理数的加法法则和乘法法则. 先观察数轴可知：，根据得，然后然后对四个选项逐一分析即可. 【规范解答】观察数轴可知：， ∵， ∴， A．，，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； D．，所以，，此选项的结论正确，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）与二进制数对应的五进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了二进制和十进制之间以及十进制以及五进制之间的互化，先将二进制数转化为十进制数，根据二进制转十进制的方法，从右到左用二进制的每个数去乘以2的相应位数次幂(幂次从0开始)，然后将其每个数进行相加，再将十进制数9转化为五进制数，用除5取余的方法．、其中商是1．余数是4．所以9转化为五进制数是. 【规范解答】解： 则五进制数为， 故选：D 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，，则等于（   ） A．7.2 B．7.8 C．8.2 D．8.8 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数的运算．根据新定义，列出算式进行计算即可． 【规范解答】解： ； 故选A． 5．（23-24七年级上·四川广元·期中）若有理数，在一条不完整的数轴上的位置如图所示，则下列各式： ； ； ； ； ．其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】本题考查根据数轴上点的位置，判断式子的符号，有理数的加法与乘法运算，熟练掌握数轴上的数从左到右依次增大是解题的关键．根据数轴，先判断出，，的大小关系，再逐一判断式子的符号即可． 【规范解答】解：由图可知：， ， 则：，故错误； ；故错误； ，故正确； ，故正确； ，故正确； 综上，正确的有个， 故选：． 6．（24-25七年级上·安徽六安·期末），为有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下面四个结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴、绝对值、有理数的加减法、乘法运算法则等知识点，正确判断a、b的符号及其绝对值的大小关系是解题的关键． 由数轴可知、，然后逐项判断即可． 【规范解答】解：由数轴可知、，则： A．，即A选项错误，不符合题意； B．，即B选项错误，不符合题意； C．易得，，即C选项正确，符合题意； D．，即D选项正确，不符合题意． 故选∶D． 7．（24-25七年级上·广东广州·期中）将六进制数转化为十进制数的结果为（   ） A．880 B．3788 C．1000 D．13 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，根据题意列出含乘方的有理数混合运算的式子是解题的关键． 先根据题意列出式子，然后运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可． 【规范解答】解：． 故选B． 8．（24-25七年级上·山东德州·期中）下列说法正确的序号是（   ） ①已知，是非零的有理数，若，则； ②若，为两个负有理数且，则； ③已知，，是非零的有理数，若，则结果的符号为正； ④已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或−3； A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则，熟知绝对值的意义是解题的关键． ①已知，是非零的有理数，若，即可得出，可判断①；②根据，为两个负有理数且，，得出，即可判断②；③举例当为负数时，即可判断③；④分两种情况：一是、、皆为负数，二是、、中只有一个负数，即可判断④． 【规范解答】解：①已知，是非零的有理数，若， ∴， ∴， 则； 故①正确； ②若，为两个负有理数， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，为两个负有理数， ∴； 故②正确； ③已知，，是非零的有理数，若， ∴中有个或个负数． 当为负数时，； 故③错误； ④已知，，是非零的有理数， 当时， 则， ∴中有个或个负数． 分两种情况： 一是、、皆为负数， 此时； 二是、、中只有一个负数， 令，、， 此时， 故④正确； 综上所述：正确的有①②④． 故选：B． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，把求的最小值转化为求的最小值问题是解题的关键；先求出值最小，的最小值，两个最小值的条件是一致的，再求出答案即可． 【规范解答】解：， 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离， 的最小值为， 的最小值是0，且取最小值时x的值为，且当时，最小值是3， 的最小值为， 的最小值是， 故选：． 10．（2023·重庆江北·一模）在黑板上写下一列不同的自然数，允许擦去任意两个数，再写上它们两个数的和或差（前数－后数），并放在这列数的最后面，重复这样的操作，直至在黑板上仅留下一个数为止，下列说法中正确的个数为（    ） ①写了2、3、4，按此操作，最后留下的那个数可能是5； ②写了1、3、5、7，按此操作，最后留下的那个数可能有16种不同的结果； ③写了1、2、3…19、20，按此操作，最后留下的那个数可能是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】①按照题意直接判断即可；②每轮操作减少一个数，共需要三轮才剩下一个数，4个数中选出2个数共有6种方法，补充的数为和或者差，此时又需要乘以2；3个数中选出2个数共有3种方法，补充的数为和或者差，此时又需要乘以2；2个数中选出2个数共有1种方法，补充的数为和或者差，此时又需要乘以2；每一轮都直接影响下一轮，但会出现重复情况，根据计算最终结果，据此即可作答；③每次去掉两个最大的数，新加入的数为这两个数的和，依次类推，最后得到的两个数为：1和，据此问题得解． 【规范解答】①2、3、4，去掉2、4，加入新数（），此时为3、；； 即最后留下的那个数可能是5，故①正确； ②每轮操作减少一个数，共需要三轮才剩下一个数， 4个数中选出2个数共有6种方法，补充的数为两数的和或者差，此时又需要乘以2； 3个数中选出2个数共有3种方法，补充的数为两数的和或者差，此时又需要乘以2； 2个数中选出2个数共有1种方法，补充的数为两数的和或者差，此时又需要乘以2； 每一轮都直接影响下一轮， 即总的可能情况有：（种）， 但是出现的数的可能结果会有重复的情况， 通过计算得知最后留下的那个数可能为：，共14种情况， 即最后留下的那个数可能有14种不同的结果，故②错误； ③除1之外，后面19个数的和为：， 操作：每次去掉两个最大的数，新加入的数为这两个数的和，依次类推， 最后得到的两个数为：1和， 最后去掉1和，新加入的数为， 即可知：是经过操作之后可能出现的最小的数， 故最后结果不可能是， 故③错误， 即正确的只有1个，为①， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了有理数的运算以及数字规律的探索，明确题意，是解答本题的关键． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25七年级上·辽宁营口·期末）七年级（1）班在综合与实践“进位制的认识与探究”学习中认识了进位制并理解了不同进位制的数之间的转换．奋进小组在研学过程中绘制了二进制与十进制的比较表格如下： 十进制 0 1 2 3 4 5 6 … 二进制 0 1 10 11 100 101 110 … 请你将二进制数写成十进制数为 ． 【答案】41 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，读懂题目信息，理解二进制与十进制的转化方法是解题的关键． 根据题意，理解二进制与十进制的转化方法，根据二进制数写成十进制数为，计算求解即可． 【规范解答】解：由题意，寻找规律： ∴， 故答案为：41． 12．（24-25七年级上·河北唐山·期末）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的计数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据这种表示方法，图1表示的是和，图2表示的两数之和是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的加法，读懂题意正确列出算式是解题的关键． 由题意得图2表示的是和，然后根据有理数的加法法则计算即可． 【规范解答】解：由题意得，图2表示的是和， 所以， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·广东广州·期末）利用二进制数加法运算法则计算，并把计算结果转化为十进制数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二进制数的加法运算，二进制数转化为十进制数，先根据二进制数加法运算法则求出结果，再根据二进制数转化为十进制数的运算法则计算即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴计算结果转化为十进制数是， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）有，两种卡片各张，卡片正、反两面分别写着和，卡片正、反两面分别写着和．甲、乙两人从中各拿走张卡片并摆放在桌上，发现各自的张卡片向上一面的数字和相等．之后两人各自将所有卡片另一面朝上，发现甲的张卡片向上一面的数字和减小了，乙的张卡片向上一面的数字和增加了．则卡片翻转后，甲所持的张卡片向上一面的数字和为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的运算，通过将进行拆分来进行分配是解答本题的关键．设开始时甲向上一面的数字之和为，根据题意有，即，再根据数字确定满足条件的甲朝上的数字的可能情况，即可作答． 【规范解答】解：设开始时甲向上一面的数字之和为， 甲、乙正面朝上的数字之和相等， 此时乙向上一面的数字之和也为， 翻面之后，朝上一面的数字之和甲减小，乙增加， 此时甲向上一面的数字之和为，乙向上一面的数字之和为， 则总的面上数之和为：， 根据、两种卡片可知中卡片的两面数字之和为： ， 即，即， 甲一面朝上的数字之和为， 甲朝上的可能是，，，或者，，，， 则卡片翻转后，甲向上一面的可能是，，，或者，，，，数字之和为 故答案为：． 15．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）问题背景：数轴是解决数学问题很好的工具，数形结合的方法可以直观解决很多问题．如图（1），将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到点时，它的右端点在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端点移动到点时，它的左端点在数轴上所对应的数为6，由此可以直观发现这根木棒的长度为． 问题解决：一天，丽丽去问奶奶的年龄，奶奶说："我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦！”根据对话请你用数轴直观求得奶奶现在的岁数为 岁． 【答案】 【思路引导】本题考查的是数轴的应用，有理数的混合运算的应用；运用上边的模型把奶奶与丽丽的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄． 【规范解答】解：如图： 奶奶与妙妙的年龄差为：（岁）， 奶奶现在的年龄为（岁）． 故答案为： 16．（24-25七年级上·四川达州·期末）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 【答案】5 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，先根据相反数的性质和倒数的定义及绝对值的性质得出，，或，再分别代入计算可得． 【规范解答】解：、互为相反数，， 、互为倒数，， 的绝对值等于，或， 当时，原式； 当时，原式； 综上，原式的值为， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将换算成十进制数应为：，可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ． 【答案】11 【思路引导】本题考查二进制数与十进制数换算方法，将变形为，根据有理数的运算法则计算可得答案． 【规范解答】解：， 故答案为：11． 18．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】②③ 【思路引导】本题主要考查了绝对值、有理数的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 针对每一选项逐一判断． 【规范解答】解：对于①：当时，无意义，故①错误，不符合题意； 对于②：∵， ∴同号， ∵， ∴，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 对于③：若， 则有四种情况， 1：如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 2如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 3如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 4如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 综上，若，则； 故③正确，符合题意； 对于④： ∵， ∴a、b、c中至少有一个负数， ∵， ∴同号， ∵， ∴a和b均为负数， ∴ 故④错误，不符合题意； 综上，正确的有②③； 故答案为：②③． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右的顺序进行计算；如果有小括号，要先算括号内的运算，在进行混合运算时，注意运算律的运用． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右的顺序进行计算． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 20．（本题6分）（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）医院的救护车加满油后沿东西方向抢救病人，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的行驶路程记录如下（单位）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)若救护车每千米耗油0.5升，油箱容量为26升，求救护车当天抢救过程至少还需要补充多少油？ (3)救护过程中，救护车离出发地A最远处有多远？ 【答案】(1)B地位于A地的正东方向，距离A地千米． (2)11L (3)25千米 【思路引导】（1）将所有数据相加,根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可解题． （2）将所有数据的绝对值相加得到总路程，用总路程乘以每千米耗油，得到总耗油量，即可解题． （3）根据题意可知救护车是依次向东、向西行驶的，且每次向东行驶的距离都比向西行驶的更远，所以救护车离出发地A最远时必定是向东行驶后，然后依次计算每次向东行驶后离出发地A的距离即可解题． 【规范解答】（1）解：由题可知，当天沿一个方向行驶路程为：（千米）， 向东为正方向，早晨从A地出发，晚上到达B地， B地位于A地的正东方向，距离A地千米． （2）解：由题可知，当天总行驶路程为：（千米）， 医院的救护车加满油后沿东西方向抢救病人，救护车每千米耗油，油箱容量为， 总油耗为：（）, 救护车当天抢救过程至少还需补充油为：（）． （3）解：由题可知，救护车是依次向东、向西行驶的，且每次向东行驶的距离都比向西行驶的更远，所以救护车离出发地A最远时必定是向东行驶后， 第一次向东行驶离出发地A的距离：（千米）， 第二次向东行驶离出发地A的距离：（千米）， 第三次向东行驶离出发地A的距离：（千米）， 第四次向东行驶离出发地A的距离：（千米）， ， 救护车离出发地A最远处为千米． 【考点剖析】本题考查了有理数的加减混合运算，以及正负数的意义，绝对值的意义，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 21．（本题8分）（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 【答案】（1）应该在第四台位置；（2）当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置；（3）；（4） 【思路引导】本题考查了图形的变化规律，涉及去绝对值、有理数混合运算等知识，理解题意，找出规律，分类求解即可得到答案．分类讨论是解题的关键． （1）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （2）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （3）由阅读材料，找准规律，去绝对值即可得到答案； （4）由阅读材料，找准规律，得到当时，有最小值，将代入代数式，去绝对值求解即可得到答案． 【规范解答】解：（1）由阅读材料可知，7是奇数，故应该在第四台位置； （2）由阅读材料可知： 当为奇数时，应该在第台位置； 当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置； （3）由题意，在直线上相当于有3台机器，则当在所对应的点时，即当时，有最小值， ； （4）表示的点到表示的点距离之和，共有个点，是奇数个， ∴当时，有最小值， ． 22．（本题8分）（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）年中国政府在第七十五届联合国大会上提出，中国争取年前实现碳中和，就是要通过植树等方式，将排放的二氧化碳全部抵消掉． 关于碳排放有以下数据： 一棵中等大小的植物每年吸收二氧化碳千克： 一台电脑每年间接排放二氧化碳千克： 一台洗衣机每年间接排放二氧化碳千克： 一台冰箱每年间接排放二氧化碳千克： 假设某中等城市里的某户人家使用家用电器有：台电脑、台洗衣机、台冰箱． 请回答：要达到碳中和，这家人要种几棵中等大小的植物，才能将这些家用电器间接排放的二氧化碳全部抵消掉？ 【答案】棵 【思路引导】本题考查小数四则运算的应用，根据题意，这家人使用的家用电器一年排放的二氧化碳量为千克，已知一棵中等大小的植物每年吸收二氧化碳千克，用除以即可．理解题意，明确题中的数量关系是解题的关键． 【规范解答】解： （棵）， 答：要达到碳中和，这家人要种棵中等大小的植物，才能将这些家用电器间接排放的二氧化碳全部抵消掉． 23．（本题8分）（24-25七年级上·安徽合肥·期中）去年9月30日到某景区旅游的人数为1万人，同年“十一”期间（10月1日至10月7日）该景区每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化/万人 (1)“十一”期间游客人数最多的是哪一天？有多少万人？ (2)“十一”期间该景区平均每天接待多少万人？ (3)该景区门票原价为每人15元，在10月5日发现来景区人数减少，决定10月6日和10月7日两天门票打八折出售吸引游客，求“十一”期间景区的门票一共收入为多少万元? 【答案】(1)“十一”期间游客人数最多的是10月3日，有3.6万人； (2)2.9万人 (3)288.9万元 【思路引导】本题考查了正负数和有理数运算的应用，正确列式、准确计算是解题的关键； （1）分别求出每一天的人数，即可做出判断； （2）计算这7天的平均数即可得到结果； （3）门票收入=前5天的收入+后2天的收入列出式子求解即可． 【规范解答】（1）解：10月1日，游客人数为：万人； 10月2日，游客人数为：万人； 10月3日，游客人数为：万人； 10月4日，游客人数为：万人； 10月5日，游客人数为：万人； 10月6日，游客人数为：万人； 10月7日，游客人数为：万人； 所以“十一”期间游客人数最多的是10月3日，有3.6万人； （2）解：万人； 答：“十一”期间该景区平均每天接待2.9万人； （3）解：万元； 答：“十一”期间景区的门票一共收入288.9万元. 24．（本题8分）（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方 乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 【答案】（1）， （2） （3） （4） （5） 【思路引导】本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，读懂题意，深刻理解题中所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据除方的定义逐项分析判断即可； （3）根据题中所给示例进行计算即可得出答案； （4）分别求出和，然后比较即可； （5）根据除方的定义进行计算即可． 【规范解答】解：（1）由题知：， ， 故答案为：，； （2）由题知： A．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； B．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； C．当为正数时，的次商表示个相除，结果是正数， 当为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正， 该说法错误，故选项符合题意； D．由除方的定义可知，次商等于它本身的数是， 该说法正确，故选项不符合题意； 故选：； （3）由题知： ， 故答案为：； （4），， ， 故答案为：； （5） ． 25．（本题10分）（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，甲、乙两人(看成点)分别在从数轴上表示和9的点的位置开始，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动3个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动3个单位长度． 前三局结果如下表(提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀)： 第一局 第二局 第三局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从如图的位置开始，第一局后甲乙两人相距 个单位长度； (2)从如图的位置开始，从前五局来看，甲一平两胜两负，这五局游戏结束后，乙离原点的距离为 ． (3)从如图的位置开始，若进行了k局游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出 ． 【答案】(1)13 (2)4 (3)6或9 【思路引导】本题主要考查了数轴及有理数的混合运算，本题是动点型题目，找出移动后甲乙距离变化的规律是解题的关键． （1）利用规则：若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度，即可得结论； （2）根据题意可得整个过程乙一平两输两赢，利用规则，结合数轴进行计算便可； （3）由题意可得刚开始两人的距离为，分①若两人尚未相遇，②若两人已经相遇两种情况分析即可得解． 【规范解答】（1）解：完成了次移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动个单位长度到， 乙向西移动个单位长度到； ∴第一局后甲乙两人相距个单位长度 故答案为：13； （2）因为从前五局来看，甲一平两胜两负， 整个过程看：甲一平两胜两负，而乙一平两负两胜，向东为正， 根据规则五局之后甲对应的数为：， 根据规则五局之后乙对应的数为：， 故乙离原点个单位， 故答案为：； （3）的值为或，理由如下： 刚开始甲乙两人相距个单位长度， ①若两人尚未相遇， 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若平局，移动后甲乙的距离缩小个单位， 若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位， 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位， 甲乙每移动一次甲乙的距离缩小个单位， 最终甲与乙的位置相距个单位， 则共需缩小个单位 ②若两人已经相遇， 按照相遇前的距离缩小规律，第七局甲与乙的位置相距1个单位， 同理分析可得：第八局甲与乙的相对位置交换，且相距1个单位， 继续则甲乙的距离每局增加个单位，第九局甲与乙的位置相距个单位 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 26．（本题10分）（2024七年级上·全国·专题练习）［核心素养］阅读材料： 钟表中蕴含着有趣的数学运算，例如：现在是时，小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是时，若用“”表示钟表上的加法，则．若问时之前小时是几时？则需要用到钟表上的减法概念，用符号“”国表示钟表上的减法．（注：我们用时代替时） 由上述材料解答下列问题： (1)______，＝______，______，______； (2)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则的相反数是______；举例说明有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立； (3)规定在钟表运算中，也有，对于钟表上的任意数字，若，判断是否一定成立．若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请写出一个反例，并结合反例加以说明． 【答案】(1)； ；； (2) (3)不一定成立，见解析 【思路引导】本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算法则进行求解． 根据题干中规定的运算法则进行计算即可； 根据钟表运算中相反数的定义可知：在钟表运算中，两数相加为也就是两数相加为，根据定义计算可得的相反数是；在钟表运算中和互为相反数，举例即可； 根据钟表运算的定义举反例即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知：，，，，，， 故答案为：，，，； （2）解：用时代表时，设的相反数为， 即， 解得：； 减去一个数等于加上这个数的相反数在钟表运算中仍然成立， 例如：，，其中与在钟表运算中互为相反数， ，所以有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中仍然成立； （3） 解：对于钟表上的任意数字，若，则不一定成立． 例如：，，，则3，6，， 即37＞67， 所以对于钟表上的任意数字，若，则不一定成立． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年人教版数学七年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第2章 有理数的运算 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，数轴上点和点分别表示数和，则下列式子正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）与二进制数对应的五进制数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，，则等于（   ） A．7.2 B．7.8 C．8.2 D．8.8 5．（23-24七年级上·四川广元·期中）若有理数，在一条不完整的数轴上的位置如图所示，则下列各式： ； ； ； ； ．其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（24-25七年级上·安徽六安·期末），为有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下面四个结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·广东广州·期中）将六进制数转化为十进制数的结果为（   ） A．880 B．3788 C．1000 D．13 8．（24-25七年级上·山东德州·期中）下列说法正确的序号是（   ） ①已知，是非零的有理数，若，则； ②若，为两个负有理数且，则； ③已知，，是非零的有理数，若，则结果的符号为正； ④已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或−3； A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 9．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 10．（2023·重庆江北·一模）在黑板上写下一列不同的自然数，允许擦去任意两个数，再写上它们两个数的和或差（前数－后数），并放在这列数的最后面，重复这样的操作，直至在黑板上仅留下一个数为止，下列说法中正确的个数为（    ） ①写了2、3、4，按此操作，最后留下的那个数可能是5； ②写了1、3、5、7，按此操作，最后留下的那个数可能有16种不同的结果； ③写了1、2、3…19、20，按此操作，最后留下的那个数可能是． A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25七年级上·辽宁营口·期末）七年级（1）班在综合与实践“进位制的认识与探究”学习中认识了进位制并理解了不同进位制的数之间的转换．奋进小组在研学过程中绘制了二进制与十进制的比较表格如下： 十进制 0 1 2 3 4 5 6 … 二进制 0 1 10 11 100 101 110 … 请你将二进制数写成十进制数为 ． 12．（24-25七年级上·河北唐山·期末）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的计数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据这种表示方法，图1表示的是和，图2表示的两数之和是 ． 13．（24-25七年级上·广东广州·期末）利用二进制数加法运算法则计算，并把计算结果转化为十进制数是 ． 14．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）有，两种卡片各张，卡片正、反两面分别写着和，卡片正、反两面分别写着和．甲、乙两人从中各拿走张卡片并摆放在桌上，发现各自的张卡片向上一面的数字和相等．之后两人各自将所有卡片另一面朝上，发现甲的张卡片向上一面的数字和减小了，乙的张卡片向上一面的数字和增加了．则卡片翻转后，甲所持的张卡片向上一面的数字和为 ． 15．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）问题背景：数轴是解决数学问题很好的工具，数形结合的方法可以直观解决很多问题．如图（1），将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到点时，它的右端点在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端点移动到点时，它的左端点在数轴上所对应的数为6，由此可以直观发现这根木棒的长度为． 问题解决：一天，丽丽去问奶奶的年龄，奶奶说："我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦！”根据对话请你用数轴直观求得奶奶现在的岁数为 岁． 16．（24-25七年级上·四川达州·期末）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 17．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将换算成十进制数应为：，可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ． 18．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）计算： (1) (2) 20．（本题6分）（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）医院的救护车加满油后沿东西方向抢救病人，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的行驶路程记录如下（单位）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)若救护车每千米耗油0.5升，油箱容量为26升，求救护车当天抢救过程至少还需要补充多少油？ (3)救护过程中，救护车离出发地A最远处有多远？ 21．（本题8分）（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 22．（本题8分）（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）年中国政府在第七十五届联合国大会上提出，中国争取年前实现碳中和，就是要通过植树等方式，将排放的二氧化碳全部抵消掉． 关于碳排放有以下数据： 一棵中等大小的植物每年吸收二氧化碳千克： 一台电脑每年间接排放二氧化碳千克： 一台洗衣机每年间接排放二氧化碳千克： 一台冰箱每年间接排放二氧化碳千克： 假设某中等城市里的某户人家使用家用电器有：台电脑、台洗衣机、台冰箱． 请回答：要达到碳中和，这家人要种几棵中等大小的植物，才能将这些家用电器间接排放的二氧化碳全部抵消掉？ 23．（本题8分）（24-25七年级上·安徽合肥·期中）去年9月30日到某景区旅游的人数为1万人，同年“十一”期间（10月1日至10月7日）该景区每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化/万人 (1)“十一”期间游客人数最多的是哪一天？有多少万人？ (2)“十一”期间该景区平均每天接待多少万人？ (3)该景区门票原价为每人15元，在10月5日发现来景区人数减少，决定10月6日和10月7日两天门票打八折出售吸引游客，求“十一”期间景区的门票一共收入为多少万元? 24．（本题8分）（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方 乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 25．（本题10分）（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，甲、乙两人(看成点)分别在从数轴上表示和9的点的位置开始，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动3个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动3个单位长度． 前三局结果如下表(提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀)： 第一局 第二局 第三局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从如图的位置开始，第一局后甲乙两人相距 个单位长度； (2)从如图的位置开始，从前五局来看，甲一平两胜两负，这五局游戏结束后，乙离原点的距离为 ． (3)从如图的位置开始，若进行了k局游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出 ． 26．（本题10分）（2024七年级上·全国·专题练习）［核心素养］阅读材料： 钟表中蕴含着有趣的数学运算，例如：现在是时，小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是时，若用“”表示钟表上的加法，则．若问时之前小时是几时？则需要用到钟表上的减法概念，用符号“”国表示钟表上的减法．（注：我们用时代替时） 由上述材料解答下列问题： (1)______，＝______，______，______； (2)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则的相反数是______；举例说明有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立； (3)规定在钟表运算中，也有，对于钟表上的任意数字，若，判断是否一定成立．若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请写出一个反例，并结合反例加以说明． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$