专题2.6 有理数的运算（章节复习）知识梳理+35个考点讲练 共70题-2025-2026学年人教版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题2.6 有理数的运算（章节复习） （知识梳理+35个高频易错考点讲练 共70题） 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：有理数的加法 3 知识点梳理02：有理数的减法 3 知识点梳理03：有理数的加减混合运算 3 知识点梳理04：有理数的乘法法则 4 知识点梳理05：倒数的概念 4 知识点梳理06：有理数的乘法运算律 4 知识点梳理07：多个有理数相乘 4 知识点梳理09：有理数除法法则 5 知识点梳理09：有理数的乘除混合运算 5 知识点梳理10：有理数的加减乘除混合运算 5 知识点梳理11：有理数的乘方 6 知识点梳理12：非负数的性质：偶次方 6 知识点梳理13：有理数的混合运算 6 知识点梳理14：近似数和有效数字 6 知识点梳理15：科学记数法—表示较大的数 7 高频易错 考点讲练 7 考点1：有理数加法运算 7 考点2：有理数加法中的符号问题 8 考点3：有理数加法在生活中的应用 8 考点4：有理数加法运算律 10 考点5：有理数的减法运算 11 考点6：有理数减法的实际应用 12 考点7：有理数的加减混合运算 13 考点8：有理数加减中的简便运算 13 考点9：有理数加减混合运算的应用 14 考点10：省略加法和括号的形式 15 考点11：两个有理数的乘法运算 16 考点12：多个有理数的乘法运算 17 考点13：有理数乘法的实际应用 18 考点14：有理数乘法运算律 19 考点15：有理数的除法运算 20 考点16：有理数除法的应用 21 考点17：有理数乘除混合运算 22 考点18：有理数乘除中的简便运算 22 考点19：有理数四则混合运算 24 考点20：有理数四则混合运算的实际应用 26 考点21：根据点在数轴的位置判断式子的正负 27 考点22：数轴上的翻折 28 考点23：有理数幂的概念理解 28 考点24：有理数的乘方运算 29 考点25：有理数乘方逆运算 29 考点26：乘方运算的符号规律 30 考点27：乘方的应用 31 考点28：程序流程图与有理数计算 32 考点29：算 "24” 点 33 考点30：含乘方的有理数混合运算 33 考点31：用科学记数法表示绝对值大于1的数 34 考点32：将用科学记数法表示的数变回原数 35 考点33：求一个数的近似数 35 考点34：求近似数的精确度 35 考点35：近似数推断取值范围 35 知识点梳理01：有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点梳理02：有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点梳理03：有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点梳理04：有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点梳理05：倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点梳理06：有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点梳理07：多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点梳理09：有理数除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点梳理09：有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点梳理10：有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 知识点梳理11：有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点梳理12：非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点梳理13：有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点梳理14：近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点梳理15：科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 考点1：有理数加法运算 1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，我们可以根据需要，“规定”原点的位置；也可以根据需要，“规定”单位长度的大小；还可以根据需要，“规定”正方向．在一条不完整的数轴上，从左到右有A，B，C，其中，，如图所示，设A，B，C所对应数的和是p． (1)若以点C为原点，则A、B对应的数分别为 ， ， ． (2)若原点为O，且，求p． (3)若以中点为原点，单位长度为建立数轴，则 ．（用含n的代数式表示） 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）定义☆运算，观察下列运算： ，， ，， ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值________． 特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行☆运算，________． (2)计算：． (3)试通过计算说明与相等吗？运算____结合律．（填“满足”，“不满足”） 考点2：有理数加法中的符号问题 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 4．（2024七年级·全国·竞赛）有一列数：，它们按一定的规律排列，那么这列数的前（    ）个数的和最小． A．288 B．289 C．290 D．292 考点3：有理数加法在生活中的应用 5．（24-25七年级上·河北唐山·期末）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正准备在一条南北方向的公路上执行治安巡逻．（规定初始位置为0，向北走为正，向南走为负）它从初始位置到结束巡逻所走的路程（单位：）如下： 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 路程（） (1)直接写出巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离________； (2)通过计算，描述巡逻机器人结束巡逻时的最后位置； (3)已知这次巡逻机器人的平均速度为，请求出巡逻机器人的巡逻时间． 6．（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）同学小勤和其他组员一起，利用周末去观察记录经过西大街的某路公交车，他们主要观察统计相邻的西门里，桥仔口，广济街，钟楼四个车站，发现车到站前车上有人，沿路上下的乘客人数如下表所示： 上车的人数 下车的人数 (1)该公交车离开钟楼站时，车上还有多少乘客？ (2)若每人乘坐这辆公交车需要刷卡元（假设全部都是刷卡，没有老年卡与学生卡），问该公交车在这四个站能收多少钱？ 考点4：有理数加法运算律 7．（24-25七年级上·北京延庆·期中）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 8．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料： 计等：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 考点5：有理数的减法运算 9．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，注意集合中的元素不能重复．如果一个所有元素均为有理数的集合满足： 当有理数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如就是一个黄金集合． 回答问题： (1)集合___________黄金集合，集合___________黄金集合；（两空均填“是”或“不是”） (2)请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）； (3)写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合． 10．（24-25七年级上·河南新乡·期中）下面是四张写有不同数字的卡片． (1)这四张卡片上的数字中最大的数是____________，最小的数是____________； (2)从这四张卡片中随机挑出两张，求数字之和的最小值： (3)从这四张卡片中随机挑出两张，求数字之差的最小值． 考点6：有理数减法的实际应用 11．（24-25七年级上·河南周口·期中）距离能够产生美，唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题．唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 例如：是指数轴上表示3的点到原点的距离，是指数轴上表示的点到原点的距离． (1)概念延伸： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； ②数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______； ③数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______． (2)归纳总结： 点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，则______． (3)拓展应用： ①数轴上表示数x和1的两点A和B之间的距离为，则的最小值是______，此时x的值为______； ②数轴上表示数x和－1的两点A和B之间的距离为______，如果，那么x的值为______； ③式子有最小值吗？若有，请写出它的最小值． 12．（24-25七年级上·山西晋中·期中）跳水运动员每天会进行严格的训练，如图，l为泳池的水面，跳台起跳点A距离水面10米．一名运动员（看作一个点）从跳台起跳点A处起跳，以水面为基准，在水面上方记为正，水面下方记为负．    (1)第1次起跳后落入水下3.5米处，记为B点，点B可表示为______米； (2)第2次跳水落入水中的位置点C在点B的上方1.2米处，则点C可表示为______米； (3)第3次跳水落入水中的位置点D与起跳点A的高度差是11.3米，求点D比点B高多少米？ 考点7：有理数的加减混合运算 13．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的数轴中，点表示1，点表示，试回答下列问题： （1）、两点之间的距离是 ； （2）观察数轴，与点的距离为5个单位长度的点表示的数是 ； （3）若将数轴折叠，使点与表示的点重合，则点与表示数 的点重合； （4）若数轴上，两点之间的距离为2026（点在点的左侧），且，两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是 和 ． 考点8：有理数加减中的简便运算 15．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 考点9：有理数加减混合运算的应用 17．（24-25七年级上·广东广州·期中）旺哥在上周五买进某公司股票1000股，每股60元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（涨跌是与前一个交易日来比较；正数表示上涨，负数表示下跌）． （单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (2)已知张先生买进股票时付了该股票总价值的千分之的手续费，卖出时需付的成交手续费和交易税共千分之2.5，如果旺哥在星期五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 18．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10m（不包括10m），则对方球员挑射极可能造成破门，问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 考点10：省略加法和括号的形式 19．（22-23七年级上·河南南阳·期中）（1）把下列各式写成省略加号的和的形式，并写出它们的两种读法： （2）【我计算】请计算： 【我排序】明明在做完上题之后，对“计算”的思考过程进行了以下梳理． ①确定和的绝对值：； ②确定和的符号：计算出加数+2和-3的绝对值，分别是2和3，通过比较它们的绝对值发现，加数-3的绝对值较大，写出和的符号为“-”； ③写出计算结果； ④决定应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”； ⑤判断出是两个有理数相加的问题； ⑥观察两个加数的符号，发现是异号两数相加． 明明同学不小心把顺序写乱了，请你仔细阅读他的思考过程，写出正确的顺序为（只写出对应的顺序号即可）：___________ 【我会算】请计算： 20．（17-18七年级上·全国·课后作业）把下列各式写成省略加号的形式． （1）－7－（－15）＋（－3）－（－4）＝ ； （2） 考点11：两个有理数的乘法运算 21．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 22．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如下图所示，且，则下列各式正确的个数是（   ） ①，②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点12：多个有理数的乘法运算 23．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 24．（24-25六年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3） ． 考点13：有理数乘法的实际应用 25．（24-25七年级上·北京·期中）如图为北京市地铁1号线地图的一部分，某天，雨佳参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向西为正，向东为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下(单位：站)：； (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次雨佳志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 26．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也将自己家种植的香柚在某直播平台上进行销售，经过一段时间的销售，小李发现每天能销售左右的香柚．下表为小李10月份第一周销售香柚的情况（以为标准，超过的部分记为正，不足的部分记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 根据以上内容回答下列问题： (1)这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________kg香柚； (2)求小李这周销售香柚的总销售量； (3)若香柚的售价为14元，不考虑其他因素，求小李这周销售香柚的总收入． 考点14：有理数乘法运算律 27．（24-25七年级上·山东临沂·期中）阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题． 计算： 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)第①步运用的运算律是________；第②步运用的运算律________； (2)上述运算过程，从第________步出现错误，本题运算的正确结果是________； (3)结合上述运算过程给你的启发，计算． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) ． 考点15：有理数的除法运算 29．（24-25七年级上·广东东莞·开学考试）计算下列各题，能简算的要简算，写出主要计算过程． (1) (2) (3) (4) (4) (6) 30．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法中，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是负数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点16：有理数除法的应用 31．（24-25七年级上·浙江·期中）在工厂和生产场所中，安防巡检机器人可以定期巡视设备和生产线，监测设备运行状态、温度和振动等参数，及时发现异常并预防事故发生．某天晚上开始，一台巡检机器人在一条生产线上巡查了7次，为方便记录，规定向右为正，向左为负，巡检路程记录如下：3，，8，，7，▲，（单位：米）已知机器人第七次巡检结束时刚好回到起点． (1)第五次结束时机器人的位置在起点的左边还是右边？距离起点多远？ (2)路程记录中的数据“▲”是多少？ (3)机器人行驶速度为米/分，求第7次巡检结束的时刻（检查均无故障，不需停留维修）． 32．（24-25七年级上·广东珠海·期中）在机器人社团活动中，小明通过编程使一只电子蚂蚁从点A处出发，在一直线上连续匀速左右爬行6趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负，电子蚂蚁爬行情况依次记为（单位：）． (1)电子蚂蚁离开起点A最远是_______． (2)电子蚂蚁最后位于起点A的右侧还是左侧？距起点A多少？ (3)若电子蚂蚁共用了15秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 考点17：有理数乘除混合运算 33．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 34．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月（按天计算）的行驶费用比原来节省多少元？ 考点18：有理数乘除中的简便运算 35．（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 36．（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 考点19：有理数四则混合运算 37．（24-25七年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 38．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面材料： 圆圆在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数，，称为数列，，．计算，，的值，将这三个数的最小值称为数列，，的价值．例如，对于数列，，，因为，，，所以数列，，的价值为． 圆圆进一步研究发现：改变数列，，三个数的顺序，可得若干个数列，这些数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列，，的价值为；数列，，的价值为；经过研究，圆圆发现，对于“，，”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为． 根据以上材料，回答下列问题： (1)求数列，，的价值； (2)填空：将“，，”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为 ，取得价值最小值的数列为 （写出所有答案）． (3)已知，将“，，”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，若这些数列的价值的最小值为，求的值． 考点20：有理数四则混合运算的实际应用 39．（2025七年级上·浙江·专题练习）（1）王叔叔从A地出发开车到B地，已经行驶了3小时，每小时行驶80千米，再行全程的就能到达B地，A地到B地一共多少千米？（根据题意把线段图补充完整，标明信息与问题，并解答） （2）王叔叔到B地之后，在一个停车场停车5小时20分钟，根据下面停车收费标准，他需要付多少钱？ B地车辆停放服务收费标价公示牌 计费方式：计时收费 计费单位：元/辆 收费类型 第一小时内 第一小时后 小型车 8元 3元/半小时 第一小时后不足半小时按半小时计算，连续停车24小时内最高收费不超过60元，超过24小时重新计算． 40．（24-25七年级上·山西朔州·期末）中国铁路太原局不断拓展1，2，3小时高铁出行圈，进一步扩大城际和市域快线列车开行范围，努力实现“有流就有车，有客就有票”．太原至晋中某列高铁载客情况如图所示，目标载客数为800人，目标载客数上方条形图表示超过目标人数的数量，下方则表示不足目标人数的数量． (1)若超过目标人数的部分记为正，不足目标人数的部分记为负，如：12月4日的数据可记作“”，则12月7日的数据可记作______． (2)求这4天的总载客人数． 考点21：根据点在数轴的位置判断式子的正负 41．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）点表示的有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论中，正确的是（    ）    A． B． C． D． 42．（20-21六年级下·上海虹口·期中）如图，数轴上点对应的有理数分别为．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填写序号）．    考点22：数轴上的翻折 43．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 44．（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 考点23：有理数幂的概念理解 45．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 46．（24-25七年级上·吉林长春·期中）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 初步探究 （1）直接写出结果：_________； 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： _________；_________； （4） 计算：． 考点24：有理数的乘方运算 47．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 48．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）下列式子一定成立的是（  ） A． B． C． D． 考点25：有理数乘方逆运算 49．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算∶ (1) (2) (3) (4) 50．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：　 ，　 ； (2)劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ①　 　（为正数）， ②若，则　 　，　 　，　 　． 考点26：乘方运算的符号规律 51．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 52．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 考点27：乘方的应用 53．（24-25六年级上·山东威海·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受此启发，你能求出的傎． 54．（2024七年级上·全国·专题练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非”．如图，将一个边长为1的正方形纸片依次分割为若干部分，部分①的面积是，部分②的面积是，部分③的面积是，以此类推，第部分的面积是（是大于1的整数）．请你用“数形结合”的思想计算 ． 考点28：程序流程图与有理数计算 55．（23-24七年级上·四川眉山·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 56．（24-25七年级上·全国·期末）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入3、、这三个数时，这三次输出的结果分别是； (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ 考点29：算 "24” 点 57．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 58．（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 考点30：含乘方的有理数混合运算 59．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1) (2) 60． （24-25七年级上·全国·期中）计算： ． 考点31：用科学记数法表示绝对值大于1的数 61．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（　　） A． B． C． D． 62．（24-25七年级上·贵州安顺·期中）综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： (1)一粒大米约重多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 考点32：将用科学记数法表示的数变回原数 63．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）已知，，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 64．（23-24七年级下·河北保定·期中）光在水中的传播速度是，下列关于的说法正确的是（   ） A． B． C．是一个8位数 D．是一个9位数 考点33：求一个数的近似数 65．（25-26七年级上·浙江·开学考试）一架国产大型客机的售价为七亿一千六百六十五万八千元．横线上的数写作( )元、省略亿后面的尾数，约为( )亿元． 66．（24-25七年级上·北京·期中）根据要求，用四舍五入法取近似数： （精确到百分位）． 考点34：求近似数的精确度 67．（24-25七年级上·广东东莞·期中）用四舍五入法对取近似数，精确到百分位是 　           　． 68．（23-24七年级上·广西河池·期中）古人云：“盛年不再来，一日难再晨，及时当勉励，岁月不待人．”我们应珍惜每一天，活在当下，一个人一生大约2.9万天，近似数2.9万精确到 ． 考点35：近似数推断取值范围 69．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）[四舍五入]截至 2023年1月21 日11 点，2023 河南春晚全网阅读量约127亿．如果这个阅读量是一个两位小数，那么这个两位小数最大是 ，最小是 ． 70．（2024七年级上·全国·专题练习）近似数所表示的准确值的范围是（　　） A． B． C． D． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 有理数的运算（章节复习） （知识梳理+35个高频易错考点讲练 共70题） 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：有理数的加法 3 知识点梳理02：有理数的减法 3 知识点梳理03：有理数的加减混合运算 3 知识点梳理04：有理数的乘法法则 4 知识点梳理05：倒数的概念 4 知识点梳理06：有理数的乘法运算律 4 知识点梳理07：多个有理数相乘 4 知识点梳理09：有理数除法法则 5 知识点梳理09：有理数的乘除混合运算 5 知识点梳理10：有理数的加减乘除混合运算 5 知识点梳理11：有理数的乘方 6 知识点梳理12：非负数的性质：偶次方 6 知识点梳理13：有理数的混合运算 6 知识点梳理14：近似数和有效数字 6 知识点梳理15：科学记数法—表示较大的数 7 高频易错 考点讲练 7 考点1：有理数加法运算 7 考点2：有理数加法中的符号问题 9 考点3：有理数加法在生活中的应用 10 考点4：有理数加法运算律 12 考点5：有理数的减法运算 14 考点6：有理数减法的实际应用 16 考点7：有理数的加减混合运算 18 考点8：有理数加减中的简便运算 21 考点9：有理数加减混合运算的应用 22 考点10：省略加法和括号的形式 错误！未定义书签。 考点11：两个有理数的乘法运算 25 考点12：多个有理数的乘法运算 28 考点13：有理数乘法的实际应用 30 考点14：有理数乘法运算律 31 考点15：有理数的除法运算 33 考点16：有理数除法的应用 36 考点17：有理数乘除混合运算 38 考点18：有理数乘除中的简便运算 36 考点19：有理数四则混合运算 38 考点20：有理数四则混合运算的实际应用 47 考点21：根据点在数轴的位置判断式子的正负 49 考点22：数轴上的翻折 50 考点23：有理数幂的概念理解 51 考点24：有理数的乘方运算 53 考点25：有理数乘方逆运算 54 考点26：乘方运算的符号规律 56 考点27：乘方的应用 58 考点28：程序流程图与有理数计算 59 考点29：算 "24” 点 61 考点30：含乘方的有理数混合运算 62 考点31：用科学记数法表示绝对值大于1的数 63 考点32：将用科学记数法表示的数变回原数 65 考点33：求一个数的近似数 65 考点34：求近似数的精确度 66 考点35：近似数推断取值范围 66 知识点梳理01：有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点梳理02：有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点梳理03：有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点梳理04：有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点梳理05：倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点梳理06：有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点梳理07：多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点梳理09：有理数除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点梳理09：有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点梳理10：有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 知识点梳理11：有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点梳理12：非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点梳理13：有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点梳理14：近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点梳理15：科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 考点1：有理数加法运算 1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，我们可以根据需要，“规定”原点的位置；也可以根据需要，“规定”单位长度的大小；还可以根据需要，“规定”正方向．在一条不完整的数轴上，从左到右有A，B，C，其中，，如图所示，设A，B，C所对应数的和是p． (1)若以点C为原点，则A、B对应的数分别为 ， ， ． (2)若原点为O，且，求p． (3)若以中点为原点，单位长度为建立数轴，则 ．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)；； (2)；63 (3) 【思路引导】（1）确定原点，找到各点表示的数，相加即可； （2）分情况讨论：原点O在点C的右侧时，原点O在点C的左侧时，找到各点表示的数，相加即可； （3）确定原点，单位长度为，表示各数，相加即可． 本题考查了数轴上点的坐标表示以及原点位置变化对应点坐标的影响． 【规范解答】（1）若以点C为原点，因为 则A表示的数是，B表示的数为， ∴． （2）原点O在点C的右侧时， ∵， ∴C表示的数是，B表示的数是，A表示的数是， ∴． 原点O在点C的左侧时， ∵， ∴C表示的数是，B表示的数是，A表示的数是， ∴． （3）以A，B中点为原点，单位长度为，， ∴点A对应，点B对应，点C对应， ∴． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）定义☆运算，观察下列运算： ，， ，， ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值________． 特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行☆运算，________． (2)计算：． (3)试通过计算说明与相等吗？运算____结合律．（填“满足”，“不满足”） 【答案】(1)得正；得负；相加；都等于这个数的绝对值 (2)23 (3)不相等，不满足 【思路引导】本题考查有理数的混合运算． （1）由题干中的算式归纳运算的法则即可； （2）根据归纳的法则计算即可； （3）根据归纳的法则计算后判断两式结果是否相等即可． 【规范解答】（1）解：由题干中的算式可得运算的法则为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都等于这个数的绝对值； 故答案为：得正；得负；相加；都等于这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解： ， 则与不相等，运算不满足结合律， 故答案为：不满足． 考点2：有理数加法中的符号问题 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了有理数加法运算法则、绝对值的意义，根据有理数加法运算法则进行判断即可．解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则． 【规范解答】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意； 故选：C． 4．（2024七年级·全国·竞赛）有一列数：，它们按一定的规律排列，那么这列数的前（    ）个数的和最小． A．288 B．289 C．290 D．292 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数的加法，数字规律探索，当各项都是负数时，和最小，得出答案． 【规范解答】这列数的第项可表示为， 当各项都是负数时，和最小， 由当时，，当时，， 所以前288项的和最小． 故选：A． 考点3：有理数加法在生活中的应用 5．（24-25七年级上·河北唐山·期末）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正准备在一条南北方向的公路上执行治安巡逻．（规定初始位置为0，向北走为正，向南走为负）它从初始位置到结束巡逻所走的路程（单位：）如下： 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 路程（） (1)直接写出巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离________； (2)通过计算，描述巡逻机器人结束巡逻时的最后位置； (3)已知这次巡逻机器人的平均速度为，请求出巡逻机器人的巡逻时间． 【答案】(1) (2)巡逻机器人结束巡逻时的最后位置在出发点南距出发点处 (3)巡逻机器人的巡逻时间 【思路引导】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）分别求得每次巡逻后距出发点的距离及位置后进行判断即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【规范解答】（1）解：第1次： ； 第2次： ； 第3次： ； 第4次： ； 第5次： ； 第6次： ； ∴巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离为， 故答案为：． （2）解：， ∴巡逻机器人结束巡逻时的最后位置在出发点南距出发点处． （3）解：此次巡逻共走：， ， ∴巡逻机器人的巡逻时间． 6．（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）同学小勤和其他组员一起，利用周末去观察记录经过西大街的某路公交车，他们主要观察统计相邻的西门里，桥仔口，广济街，钟楼四个车站，发现车到站前车上有人，沿路上下的乘客人数如下表所示： 上车的人数 下车的人数 (1)该公交车离开钟楼站时，车上还有多少乘客？ (2)若每人乘坐这辆公交车需要刷卡元（假设全部都是刷卡，没有老年卡与学生卡），问该公交车在这四个站能收多少钱？ 【答案】(1)人 (2)元 【思路引导】（）根据正负数的意义，上车为正数，下车为负数，用加法列式计算即可得解； （）求出四个站上车的总人数，再乘以即可求解； 本题考查了正负数的意义，有理数加法和乘法运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：， 答：该公交车离开钟楼站时，车上的乘客还有人； （2）解：， 答：该公交车在这四个站能收元钱． 考点4：有理数加法运算律 7．（24-25七年级上·北京延庆·期中）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 【答案】(1)同号得正，异号得负，再把绝对值相加；正数与0“”运算得它本身，负数与0“” 运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，例子见解析 【思路引导】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算； （1）观察新定义运算，类比有理数的运算法则，写出“”运算法则，即可求解； （2）根据（1）中的运算法则进行计算即可求解； （3）根据新定义运算与有理数加法结合律，分别举例计算和，即可求解． 【规范解答】（1）解： “”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加. 一个数与0进行“”运算时，正数与0“”运算得它本身，负数与0“”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 （2）解： （3）解：结合律在有理数的“”运算中不适用. 例如：           ；    这时，，所以结合律在有理数的“”运算中不适用 8．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料： 计等：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了有理数的加法，有理数的加法运算律，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． （1）先根据拆项法拆项，再根据有理数的加法法则及加法运算律进行计算即可； （2）先根据拆项法拆项，再根据有理数的加法法则及加法运算律进行计算即可； 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点5：有理数的减法运算 9．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，注意集合中的元素不能重复．如果一个所有元素均为有理数的集合满足： 当有理数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如就是一个黄金集合． 回答问题： (1)集合___________黄金集合，集合___________黄金集合；（两空均填“是”或“不是”） (2)请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）； (3)写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合． 【答案】(1)不是，不是 (2)（答案不唯一） (3) 【思路引导】本题要求学生必须认真阅读题目，并能准确理解黄金集合的定义才能做出正确的判断． （1）根据黄金集合的定义判断即可； （2）根据黄金集合的定义求解即可； （3）根据黄金集合的定义求解即可 【规范解答】（1）解：根据黄金集合的定义，，而集合中没有9， 故集合不是黄金集合； 对于因为，而集合中没有0， 故集合不是黄金集合， 故答案为：不是，不是； （2）解：因为，， 所以是黄金集合， 因为，，，， 所以是黄金集合； （3）解：因为， 所以是元素个数最少的黄金集合． 10．（24-25七年级上·河南新乡·期中）下面是四张写有不同数字的卡片． (1)这四张卡片上的数字中最大的数是____________，最小的数是____________； (2)从这四张卡片中随机挑出两张，求数字之和的最小值： (3)从这四张卡片中随机挑出两张，求数字之差的最小值． 【答案】(1)最大的数为3.9，最小的数为 (2) (3) 【思路引导】本题考查了有理数大小比较的法则：①正数都大于；②负数都小于；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小和有理数的加减法，熟练掌握有理数的大小比较方法和有理数的加减法运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的大小比较方法比较即可； （2）要想数字之和最小，只需挑出最小的两个数，再根据有理数的加法计算即可； （3）要想数字之差最小，只需让四个数中的最小值减去最大值，再根据有理数的减法计算即可． 【规范解答】（1）解：， 最大的数为3.9，最小的数为， （2）解：要想数字之和最小，只需挑出最小的两个数即可， 故； （3）解：要想数字之差最小，只需让四个数中的最小值减去最大值即可， 故． 考点6：有理数减法的实际应用 11．（24-25七年级上·河南周口·期中）距离能够产生美，唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题．唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 例如：是指数轴上表示3的点到原点的距离，是指数轴上表示的点到原点的距离． (1)概念延伸： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； ②数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______； ③数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______． (2)归纳总结： 点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，则______． (3)拓展应用： ①数轴上表示数x和1的两点A和B之间的距离为，则的最小值是______，此时x的值为______； ②数轴上表示数x和－1的两点A和B之间的距离为______，如果，那么x的值为______； ③式子有最小值吗？若有，请写出它的最小值． 【答案】(1)①3；②3；③4 (2) (3)①0，1；②，或1；③有，最小值为3 【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义以及绝对值的方程，有理数减法等知识，理解题意掌握绝对值的意义以及数轴上两点之间的距离是解题的关键． （1）①②③根据绝对值的意义求解即可． （2）根据数轴上两点之间的距离求解即可． （3）①根据绝对值的非负性可以得到的最小值为0进而即可求出x的值为1． ②根据归纳总结的内容即可得到，根据绝对值的化简即可求出必的值为或1； ③表示数轴上点到表示的点的距离与到表示2的点的距离之和，据此即可求出当时，此时的值最小，最小值为3． 【规范解答】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 故答案为∶3． ②数轴上表示-和的两点之间的距离是， 故答案为∶3． ②数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为∶4． （2）解：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b， A、B两点之间的距离表示为，则． 故答案为∶ （3）解：①数轴上表示数x和1的两点A和B之间的距离为， 则的最小值是0，此时x的值为1． 故答案为∶0，1 ②数轴上表示数x和的两点A和B之间的距离为， 如果， 则， ∴或， 故答案为：或1． ③∵， ∴表示数轴上点到表示的点的距离与到表示2的点的距离之和， 所以当时，此时的值最小，最小值为3． 12．（24-25七年级上·山西晋中·期中）跳水运动员每天会进行严格的训练，如图，l为泳池的水面，跳台起跳点A距离水面10米．一名运动员（看作一个点）从跳台起跳点A处起跳，以水面为基准，在水面上方记为正，水面下方记为负．    (1)第1次起跳后落入水下3.5米处，记为B点，点B可表示为______米； (2)第2次跳水落入水中的位置点C在点B的上方1.2米处，则点C可表示为______米； (3)第3次跳水落入水中的位置点D与起跳点A的高度差是11.3米，求点D比点B高多少米？ 【答案】(1) (2) (3)米 【思路引导】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法以及减法的实际应用等知识． （1）根据以水面为基准，在水面上方记为正，水面下方记为负即可得出答案． （2）根据点C在点B的上方1.2米处，用点B表示的数加上1.2即可得出答案． （3）先根据题意得出点A表示的数，点D表示的数，即可得出点D比点B高多少米． 【规范解答】（1）解：根据以水面为基准，在水面上方记为正，水面下方记为负． 则第1次起跳后落入水下3.5米处，记为B点，点B可表示为米． 故答案为：． （2）解： 则点C可表示为米． （3）解：∵跳台起跳点A距离水面10米， ∴点A表示的数为米， ∵位置点D与起跳点A的高度差是11.3米， ∴点D表示的点为：（米）， ∵， ∴点D比点B高2.2米． 考点7：有理数的加减混合运算 13．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)15； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】本题考查了有理数加减混合运算，绝对值，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． （1）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可； （3）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可； （4）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的数轴中，点表示1，点表示，试回答下列问题： （1）、两点之间的距离是 ； （2）观察数轴，与点的距离为5个单位长度的点表示的数是 ； （3）若将数轴折叠，使点与表示的点重合，则点与表示数 的点重合； （4）若数轴上，两点之间的距离为2026（点在点的左侧），且，两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是 和 ． 【答案】 3 6或/或6 0 1012 【思路引导】本题考查了数轴的相关知识，解答此题的关键是利用了数轴上两点间的距离，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用． （1） 根据两点间的距离公式即可得到结论； （2）分在点A的左边和右边两种情况解答； （3）设点B对应的数是x，然后根据中心对称列式计算即可得解； （4）根据中点的定义求出的一半，然后分别列式计算即可得解． 【规范解答】（1）解：A、B之间的距离是； 故答案为：3； （2）观察数轴可知：点A表示的数为1， ∴与点A的距离为5的点表示的数是6或； 故答案为：6或； （3）∵点A表示的数1与表示的点重合， ∴对折点是表示的点， ∵， ∴点B与表示数0的点重合； 故答案为：0； （4）∵M、N两点之间的距离为2026且互相重合， ∴， ∵由（3）知对折点为，点在点的左侧， ∴点M表示的数为，点N表示的数为； 故答案为：；1012． 考点8：有理数加减中的简便运算 15．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【规范解答】解： ． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查有理数的加减法，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减法运算法则进行解题即可； （2）根据有理数的加法法则进行解题即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点9：有理数加减混合运算的应用 17．（24-25七年级上·广东广州·期中）旺哥在上周五买进某公司股票1000股，每股60元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（涨跌是与前一个交易日来比较；正数表示上涨，负数表示下跌）． （单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (2)已知张先生买进股票时付了该股票总价值的千分之的手续费，卖出时需付的成交手续费和交易税共千分之2.5，如果旺哥在星期五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)本周内最高价是每股元，最低价是每股元 (2)赚了元 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义求得每天的实际股价，从而得出答案； （2）结合（1）中所求及已知条件列式计算即可． 【规范解答】（1）解：星期一的股价：元， 星期二的股价：元， 星期三的股价：元， 星期四的股价：元， 星期五的股价：元， 则本周内最高价是每股元，最低价是每股元； （2） 元， 即他的收益情况为赚了元． 18．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10m（不包括10m），则对方球员挑射极可能造成破门，问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上； (2)26米； (3)4次，理由见解析． 【思路引导】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，即可作出判断； （2）求出每次离球门的距离，判断即可； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：米， 则守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线米； 第三次跑距离开球门线米； 第四次跑距离开球门线米； 第五次跑距离开球门线米； 第六次跑距离开球门线米； 第七次跑距离开球门线米； 第八次跑距离开球门线米．                                则守门员离开球门线的最远距离为26米； （3）解：由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10，8，13，26，19，10，14，0，则符合题意的有：13，26，19，14． 故对方球员有4次挑射破门的机会． 考点10：省略加法和括号的形式 19．（22-23七年级上·河南南阳·期中）（1）把下列各式写成省略加号的和的形式，并写出它们的两种读法： （2）【我计算】请计算： 【我排序】明明在做完上题之后，对“计算”的思考过程进行了以下梳理． ①确定和的绝对值：； ②确定和的符号：计算出加数+2和-3的绝对值，分别是2和3，通过比较它们的绝对值发现，加数-3的绝对值较大，写出和的符号为“-”； ③写出计算结果； ④决定应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”； ⑤判断出是两个有理数相加的问题； ⑥观察两个加数的符号，发现是异号两数相加． 明明同学不小心把顺序写乱了，请你仔细阅读他的思考过程，写出正确的顺序为（只写出对应的顺序号即可）：___________ 【我会算】请计算： 【答案】（1）；读法见解析；（2）；⑤⑥④②①③；． 【思路引导】（1）利用有理数的加减运算法则变形得到结果，写出读法即可； （2）根据有理数的加法运算即可得到答案；根据有理数的加法法则即可排出正确的顺序；根据有理数的除法法则，先确定结果的符号，同时除法转化为乘法，再根据陈发法则计算即可得到结果． 【规范解答】解：（1）； 两种读法：①加减减；②、、、的和； （2）“我计算”； “我排序” 正确的顺序为⑤⑥④②①③， 答案为：⑤⑥④②①③； “我会算” ． 【考点剖析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 20．（17-18七年级上·全国·课后作业）把下列各式写成省略加号的形式． （1）－7－（－15）＋（－3）－（－4）＝ ； （2） 【答案】 －7＋15－3＋4 【规范解答】试题分析：写成省略加号的形式，可先统一成加法运算，利用有理数减法运算的法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．然后再变成省略加号的和的形式，去掉括号各项不变号． 所以－7－（－15）＋（－3）－（－4）＝－7＋15－3＋4; . 考点11：两个有理数的乘法运算 21．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①0或1；②6 (3)0，， 【思路引导】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新定义的含义，并能灵活应用； （1）根据题干中给出的定义进行计算即可； （2）①根据题意可分两种情况：一是为整数时，，，故，二是不是整数时，等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去，故； ②可知不是整数，再由①可知，从而有，列出算式进行计算即可； （3）由时，可知，与的小数部分相同，即的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值，即可解答． 【规范解答】（1）， ； （2）①， 当为整数时，， ， ， 当不是整数时，由题意得 等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去， ∴ 故答案是：或； ②， ， ； （3）时，， 与的小数部分相同， 的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值， 即的小数部分为或或， 或或． 22．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如下图所示，且，则下列各式正确的个数是（   ） ①，②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，关键是根据数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，及有理数的运算法则来判断式子的大小．先根据数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大以及绝对值、相反数的意义得到，，再根据有理数的运算法则逐个判断即可． 【规范解答】解：根据数轴上a，b两点的位置可知，，则 ①，故①正确； ②，故②错误； ③，故③正确； ④∵， ∴ ∵，，，， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小 ∴，故④正确； ⑤∵，， ∴，故⑤错误， 综上，正确的有3个， 故选：B． 考点12：多个有理数的乘法运算 23．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2) 【思路引导】本题考查有理数混合运算，绝对值的意义． （1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论； （2）由题意得，a，b，c中有2个负数，1个正数，则，利用绝对值的意义可得结论． 【规范解答】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①若a，b，c都是负数，即，，时， ； ②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或1． （2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c有2个负数，1个正数， ∴， ∴． 24．（24-25六年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【答案】（1）  （2）   （3） 【思路引导】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据题干所给方法求解即可； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）根据（1）中所给结论可进行求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ； （3）解： ． 考点13：有理数乘法的实际应用 25．（24-25七年级上·北京·期中）如图为北京市地铁1号线地图的一部分，某天，雨佳参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向西为正，向东为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下(单位：站)：； (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次雨佳志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 【答案】(1)A站是永安里站 (2)这次雨佳志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是55.2千米 【思路引导】本题考查用正负数表示的相反意义的量的应用题，关键理解基准量，和正负数表示的意义，会计算相反意义的量和，会解释结果正负表示的意义，理解相反意义的量的绝对值是解题关键． （1）根据题意，通过计算，得到最后的站数，结合符号得到方向来确定即可； （2）计算所有站数的绝对值的和，再乘以1.2即可． 【规范解答】（1）解： ∴A站是永安里站； （2）解：， （千米）， 答：这次雨佳志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是55.2千米． 26．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也将自己家种植的香柚在某直播平台上进行销售，经过一段时间的销售，小李发现每天能销售左右的香柚．下表为小李10月份第一周销售香柚的情况（以为标准，超过的部分记为正，不足的部分记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 根据以上内容回答下列问题： (1)这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________kg香柚； (2)求小李这周销售香柚的总销售量； (3)若香柚的售价为14元，不考虑其他因素，求小李这周销售香柚的总收入． 【答案】(1)19 (2) (3)10010元 【思路引导】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． （1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （2）计算与标准销售量的差值总和再加上一周的标准和列式计算即可； （3）将总数量乘以价格解答即可； 【规范解答】（1）解： 故答案为：19． （2）解： 答：小李这周销售香柚的总销售量为； （3）解：（元） 答：小李这周销售香柚的总收入为10010元． 考点14：有理数乘法运算律 27．（24-25七年级上·山东临沂·期中）阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题． 计算： 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)第①步运用的运算律是________；第②步运用的运算律________； (2)上述运算过程，从第________步出现错误，本题运算的正确结果是________； (3)结合上述运算过程给你的启发，计算． 【答案】(1)加法交换律；乘法分配律 (2)④， (3) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则和运算律是解题关键． （1）根据加法交换律和乘法分配律解答即可； （2）由计算过程可知第④步计算错误，根据有理数的运算法则计算出正确的结果即可； （3）根据有理数的混合运算法则和运算律求解即可． 【规范解答】（1）解：第①步运用的运算律是加法交换律，第②步运用的运算律是乘法分配律． 故答案为：加法交换律；乘法分配律； （2）解：上述计算过程，在第④步出现错误， 原式 ， 所以的正确结果是． 故答案为：④，； （3）解： ． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先利用加法交换律调整顺序，再利用乘法分配律计算即可 （3）根据有理数乘法的运算法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 考点15：有理数的除法运算 29．（24-25七年级上·广东东莞·开学考试）计算下列各题，能简算的要简算，写出主要计算过程． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算． （1）按照除法的性质计算； （2）按照乘法分配律计算； （3）按照乘法分配律计算； （4）先算除法，再算加法； （5）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算括号外面的加法； （6）按照加法交换律和结合律计算． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 30．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法中，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是负数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】①根据绝对值的性质可判定①；根据绝对值的意义得到或或或，然后分情况讨论即可判断②；③根据题意得到或或，然后分情况求解即可判断③；根据题意得到中有两个负数一个正数，然后不妨设，进而代入即可判断④． 【规范解答】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴或或或 当时， ∴是正数； 当时， ∴是正数； 当时， ∴是正数； 当时， ∴是正数，故②错误； ∵A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等 ∴或或 ∴或或 解得：或或，故③错误； ∵， ∴中有两个负数一个正数 不妨设 则，故④错误； 故选：A． 【考点剖析】本题考查了绝对值的化简、数轴上两点间的距离公式，有理数的运算等知识点．熟记相关结论是解题关键． 考点16：有理数除法的应用 31．（24-25七年级上·浙江·期中）在工厂和生产场所中，安防巡检机器人可以定期巡视设备和生产线，监测设备运行状态、温度和振动等参数，及时发现异常并预防事故发生．某天晚上开始，一台巡检机器人在一条生产线上巡查了7次，为方便记录，规定向右为正，向左为负，巡检路程记录如下：3，，8，，7，▲，（单位：米）已知机器人第七次巡检结束时刚好回到起点． (1)第五次结束时机器人的位置在起点的左边还是右边？距离起点多远？ (2)路程记录中的数据“▲”是多少？ (3)机器人行驶速度为米/分，求第7次巡检结束的时刻（检查均无故障，不需停留维修）． 【答案】(1)在起点位置的右边，距离起点9米处 (2)“▲”为 (3)第7次巡检结束的时间是晚上点 【思路引导】（1）由，作答即可； （2）由题意知，，进而可得； （3）由题意知，（米），则（分），（小时），（时），然后作答即可． 【规范解答】（1）解：∵（米）； ∴第五次结束时机器人的位置在起点位置的右边9米处． （2）解：由题意知，， ∴， ∴“▲”是． （3）解：（米）， ∴（分）， ∴（小时）， ∴（时）， ∴第7次巡检结束的时间是晚上点（）． 【考点剖析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减混合运算的应用，绝对值，有理数的除法应用．熟练掌握正负数的实际应用，有理数的加减混合运算的应用，绝对值，有理数的除法应用是解题的关键． 32．（24-25七年级上·广东珠海·期中）在机器人社团活动中，小明通过编程使一只电子蚂蚁从点A处出发，在一直线上连续匀速左右爬行6趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负，电子蚂蚁爬行情况依次记为（单位：）． (1)电子蚂蚁离开起点A最远是_______． (2)电子蚂蚁最后位于起点A的右侧还是左侧？距起点A多少？ (3)若电子蚂蚁共用了15秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 【答案】(1) (2)电子蚂蚁最后位于起点A的右侧，距起点 (3)电子蚂蚁的速度为 【思路引导】本题考查了正负数的应用，有理数的加法应用，有理数的除法应用，根据题意正确的列式计算是解题的关键； （1）根据绝对值的意义，求出每一趟离开起点的距离，进而即可求解； （2）各数据相加即可求解； （3）计算出电子蚂蚁爬行的总路程，再除以时间即可求解； 【规范解答】（1）解：第一趟电子蚂蚁离开起点距离是 ， 第二趟电子蚂蚁离开起点距离是 ， 第三趟电子蚂蚁离开起点距离是 ， 第四趟电子蚂蚁离开起点距离是 ， 第五趟电子蚂蚁离开起点距离是 ， 第六趟电子蚂蚁离开起点距离是 ， ∴电子蚂蚁离开起点最远是， 故答案为：12； （2）解：， 答：电子蚂蚁最后位于起点A的右侧，距起点； （3）解：， 答：电子蚂蚁的速度为． 考点17：有理数乘除混合运算 33．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的运算等知识点，根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，…，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按4，，，重复出现是解题的关键． 【规范解答】由题意知， ∵， ∴，，，，…， 由此可知，从开始，这列数按4，，，重复出现， ∵， ∴， 故选：C． 34．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月（按天计算）的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】(1)； (2)； (3)比原来节省元． 【思路引导】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． （）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案； （）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再求七天的平均行驶的路程，即可求解； （）分别求出汽油费和电费，即可求解． 【规范解答】（1）解：这天里路程最多的一天比最少的一天多走， 故答案为：； （2）解： ， ； 答：小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了； （3）解：用汽油的费用：（元）， 用电的费用：（元）， （元）， 答：估计小明家换成新能源汽车后1个月的行驶费用比原来节省元． 考点18：有理数乘除中的简便运算 35．（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③ (3) 【思路引导】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则， （3）参照解法③进行简便计算． 【规范解答】（1）解：解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 36．（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1)小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析 (2)小华的思路正确，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【规范解答】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 考点19：有理数四则混合运算 37．（24-25七年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 【答案】(1)① (2)③ (3) 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算． （1）分析三种方法的解答过程可得答案； （2）根据解答过程可得答案； （3）类比解法③的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：以上三种不同的解法中，没有除法分配律，故解法①是错误的；解法②和③解答过程正确； 故答案为：①； （2）解：解法②和③解答过程正确，解法③比较简便， 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 38．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面材料： 圆圆在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数，，称为数列，，．计算，，的值，将这三个数的最小值称为数列，，的价值．例如，对于数列，，，因为，，，所以数列，，的价值为． 圆圆进一步研究发现：改变数列，，三个数的顺序，可得若干个数列，这些数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列，，的价值为；数列，，的价值为；经过研究，圆圆发现，对于“，，”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为． 根据以上材料，回答下列问题： (1)求数列，，的价值； (2)填空：将“，，”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为 ，取得价值最小值的数列为 （写出所有答案）． (3)已知，将“，，”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，若这些数列的价值的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)；，，或，， (3)，或 【思路引导】本题考查绝对值，有理数的大小比较，有理数的四则混合运算，理解新定义运算法则，会利用绝对值的性质计算是解答的关键． （1）根据上述材料给出的方法计算，，，结果的最小值即为数列的价值； （2）分类讨论，列举计算即可得解； （3）由题意，数列不同顺序排列后的计算价值时，所有的情况有：，，，，，，，则分情况建立方程，，，，求出满足条件的的数值即可． 【规范解答】（1）解：因为，，， 所以数列，，的价值为； （2）解：①数列，，的价值为； ②当数列为、、时，，，， 所以数列、、的价值为； ③当数列为，，时，，，， 所以数列，，的价值为； ④当数列为，，时，，，， 所以数列，，的价值为； ⑤当数列为，，时，，，， 所以数列，，的价值为； ⑥当数列为，，时，，，， 所以数列，，的价值为； 综上，这些数列的价值的最小值为，此时数列为，，或，，； 故答案为：；，，或，，； （3）解：由题意，数列不同顺序排列后的计算价值时，所有的情况有：，，，，，，， ∵这些数列的价值的最小值为， ∴当时， 解得：或， ∵， ∴， 此时，，， 故满足条件； 当时， 解得：或， ∵， ∴不合题意，舍去； 当时， 解得：或， 当时，， ∴不合题意，舍去； 当时， 解得：或， 当时，， ∴不合题意，舍去； 综上，若这些数列的价值的最小值为，则的值为，或. 考点20：有理数四则混合运算的实际应用 39．（2025七年级上·浙江·专题练习）（1）王叔叔从A地出发开车到B地，已经行驶了3小时，每小时行驶80千米，再行全程的就能到达B地，A地到B地一共多少千米？（根据题意把线段图补充完整，标明信息与问题，并解答） （2）王叔叔到B地之后，在一个停车场停车5小时20分钟，根据下面停车收费标准，他需要付多少钱？ B地车辆停放服务收费标价公示牌 计费方式：计时收费 计费单位：元/辆 收费类型 第一小时内 第一小时后 小型车 8元 3元/半小时 第一小时后不足半小时按半小时计算，连续停车24小时内最高收费不超过60元，超过24小时重新计算． 【答案】（1）见解析；400千米；（2）35元 【思路引导】（1）先根据“路程=速度×时间”求出3小时行驶的路程；把全程看作单位“1”，再行全程的就能到达B地，则已行的路程占全程的，单位“1”未知，用已行的路程除以，求出全程． （2）已知王叔叔停车5小时20分钟，根据停车的收费标准，第一小时内收费8元，还剩下4小时20分，按4小时30分计，有9个半小时，乘每半小时的收费3元，求出第一小时后的收费，再加上第一小时内的收费，即是王叔叔停车需要付的钱数． 【规范解答】（1）解：如图： （千米） （千米） 答：A地到B地一共千米． （2）解：5小时20分钟小时小时20分 4小时20分按4小时30分计， 4小时30分小时， （个）， （元）． 答：他需要付35元． 【考点剖析】本题考查分数除法的应用、行程问题、分段计费问题，掌握速度、时间、路程之间的关系，找出单位“1”，单位“1”未知，用具体的数量除以它对应的分率，求出单位“1”的量． 40．（24-25七年级上·山西朔州·期末）中国铁路太原局不断拓展1，2，3小时高铁出行圈，进一步扩大城际和市域快线列车开行范围，努力实现“有流就有车，有客就有票”．太原至晋中某列高铁载客情况如图所示，目标载客数为800人，目标载客数上方条形图表示超过目标人数的数量，下方则表示不足目标人数的数量． (1)若超过目标人数的部分记为正，不足目标人数的部分记为负，如：12月4日的数据可记作“”，则12月7日的数据可记作______． (2)求这4天的总载客人数． 【答案】(1) (2)这4天的总载客人数为人 【思路引导】本题考查了有理数的加减法的应用，理解题意，正确计算是解题的关键． （1）根据题意，可得答案； （2）根据图中信息，把每一天的载客人数算出，相加即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得12月7日的数据可记作； 故答案为：； （2）解：人， 答：这4天的总载客人数为人． 考点21：根据点在数轴的位置判断式子的正负 41．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）点表示的有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论中，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据在数轴上的位置就可得到的符号，以及绝对值的大小，再根据有理数的运算法则进行判断． 【规范解答】解：根据数轴上的数：右边的数总是大于左边的数，可以得到：,且． ∴，故错误； ，故错误； ，故正确； 根据有理数除法法则得到，故错误； 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查的是利用数轴比较有理数的大小以及有理数的运算，确定出的符号，依据它们绝对值之间的关系是解题的关键． 42．（20-21六年级下·上海虹口·期中）如图，数轴上点对应的有理数分别为．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填写序号）．    【答案】②③④ 【思路引导】由数轴可得：，；再结合有理数的加减运算法则，乘法与除法法则可得答案． 【规范解答】解：∵，， ∴，，，， ∴正确的是②③④； 故答案为：②③④ 【考点剖析】本题考查的是利用数轴判断式子的符号，有理数的加减运算的符号确定，乘法与除法的符号确定，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 考点22：数轴上的翻折 43．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 【答案】3 【思路引导】本题主要考查了数轴，先求出对称点，再求x即可． 【规范解答】解：∵将数轴对折，使表示与1的两个点重合， ∴对折点为， ∴此时表示的点与另一个表示数3的点重合， ∴， 故答案为：3． 44．（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)①，②、两点表示的数分别是、． 【思路引导】 本题考查了数轴，主要利用了数轴的对称性，读懂题目信息，分别求出对称中心是解题的关键． （1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可； （2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可； ②求出的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解． 【规范解答】（1） 解：（1）表示的点与表示的点重合， 对称中心为0， 表示的点与数3表示的点重合； （2）表示的点与2表示的点重合， 对称中心为， ① ， 表示的点与数表示的点重合； ②，两点之间的距离为5， 的一半为， 在的左侧， 点表示， 点表示． 、两点表示的数分别是、． 考点23：有理数幂的概念理解 45．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 【答案】D 【思路引导】本题考查了乘法与乘方的定义，以及相反数．掌握相关区别是解题关键．根据乘方和乘法以及相反数的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：A、4个相乘对应，不符合题意； B、4个相加对应，不符合题意； C、乘以4对应，不符合题意； D、的相反数对应，符合题意； 故选：D． 46．（24-25七年级上·吉林长春·期中）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 初步探究 （1）直接写出结果：_________； 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： _________；_________； （3）计算：． 【答案】（1）（2）；；（3） 【思路引导】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答问题． （1）利用除方的定义解答即可； （2）利用引例即可求解； （3）利用（2）中给定的解法解答即可； 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：； ， 故答案为：，； （3）解：由（2）可得， ． 考点24：有理数的乘方运算 47．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 【答案】 5 4 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． （1）直接根据规定的定义解答即可； （2）根据规定的定义先求得a、b的值，再按定义解答即可． 【规范解答】解：（1）∵， ∴． 故答案为：5； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 48．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）下列式子一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数相关运算，涉及有理数乘方运算、绝对值运算等知识，根据有理数乘方运算及绝对值运算法则逐项验证即可得到答案．熟记有理数乘方运算、绝对值运算法则是解决问题的关键． 【规范解答】解：A、，计算错误，式子不成立，不符合题意； B、，计算错误，式子不成立，不符合题意； C、，计算正确，式子成立，符合题意； D、，计算错误，式子不成立，不符合题意； 故选：C． 考点25：有理数乘方逆运算 49．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算∶ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算． （1）先算乘方，再算乘法，后算加减； （2）利用乘法分配律计算即可； （3）先利用乘法分配律计算，再算乘法，后算加减； （4）利用乘方的意义计算即可． 【规范解答】（1） （2） （3） （4） 50．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：　 ，　 ； (2)劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ①　 　（为正数）， ②若，则　 　，　 　，　 　． 【答案】(1)1,2 (2)①②，， 【思路引导】（1）根据定义可知，和就是指10的指数，据此即可求解； （2）①根据即可，②根据，，即可得出结果． 【规范解答】（1）解： 依题意，得，， ，； 故答案为：1，； （2）解：① ， 故答案为：； ②， ， ， ． 故答案为：，，． 【考点剖析】本题考查了新定义运算，整式的运算，正确理解新定义运算的法则是关键． 考点26：乘方运算的符号规律 51．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【思路引导】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的意义进行判断即可． 【规范解答】解：当时， ①，正确． ②，正确． ③，故错误． ④，则，故错误． 故选：A． 52．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍 (3)点表示的数为或0或3或4 【思路引导】（1）利用绝对值的非负性及乘方运算的符号规律即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式及数量关系列出算式即可求得点表示的数为2，进而可求得，再根据速度、时间及路程之间的关系即可求解； （3）分类讨论：①点在点右侧，两点同向而行，②当点在点左侧，两点同向而行，③当点在点左侧，两点背向而行，④当点在点右侧，两点背向而行，进而可求解． 【规范解答】（1）解：， ，，， ，，． （2）由（1）可知，， 因为点在之间，且点到点的距离是到点距离的3倍， 所以， 因为点表示的数为8，点在点的左边， 所以点表示的数为：， 所以， 因为点以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍． （3）能，理由如下： 点从点运动到点需要秒，而点从点运动到点需要秒，点到达点时，此时点表示的数为2， 所以当点从点运动到点的过程中，点从点运动到点，又从点返回，因此可分为四种情况讨论： 点到达点之前： ①点在点右侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ②当点在点左侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； 点从点返回后： ③当点在点左侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ④当点在点右侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为． 综上所述，点表示的数为或0或3或4． 【考点剖析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规律，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 考点27：乘方的应用 53．（24-25六年级上·山东威海·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受此启发，你能求出的傎． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是仔细观察图形并发现图形变化的规律． （1）根据题意可以写出前几部分的面积，从而可以发现各部分面积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，从而可以解答本题； （2）根据（1）中发现的规律和题目中的式子，可以计算出相应的结果． 【规范解答】（1）解：由题意可知， 部分①面积是， 部分②面积是， 部分③面积是， …， 则阴影部分的面积是， 阴影部分的面积是． （2）解： ． 54．（2024七年级上·全国·专题练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非”．如图，将一个边长为1的正方形纸片依次分割为若干部分，部分①的面积是，部分②的面积是，部分③的面积是，以此类推，第部分的面积是（是大于1的整数）．请你用“数形结合”的思想计算 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的乘方的应用．观察图形可知：阴影的部分的面积为，那么所求的式子其实就是正方形的面积减去阴影部分的面积． 【规范解答】解：观察图形，可得阴影部分的面积=． 故答案为：． 考点28：程序流程图与有理数计算 55．（23-24七年级上·四川眉山·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据运算法则可得从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为，据此即可求解，找到变化规律是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可得，当时， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， ， ∴从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为， ∴第次“运算”的结果是， 故选：． 56．（24-25七年级上·全国·期末）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入3、、这三个数时，这三次输出的结果分别是； (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ 【答案】(1)，， (2)或(为自然数) (3)负数 【思路引导】本题考查的知识点是有理数的混合运算，解题关键是审清题意，根据已知条件进行解答. （1）先判断出3、、与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （2）由此程序可知，当输出时，因为的相反数及绝对值均为，所以应输入或的正整数倍； （3）根据绝对值的性质和倒数的定义可找出规律． 【规范解答】（1）解：因为 所以输入时的程序为， 所以的相反数是,的倒数是， 所以当输入时，输出； 当输入时，， 所以的相反数是的绝对值是， 所以当输入时，输出； 当输入时,, 所以的相反数是,的倒数是， 所以当输入时，输出； （2）解：为输出结果是，的相反数及绝对值均为， 当输入的正整数倍时输出结果是； 所以应输入或(为自然数)； （3）解：因为无论输入什么有理数，经过“有理数转换器”的转换，“为正”时输出的倒数为正数，“非正”时输出的绝对值为或正数，所以这个“有理数转换器”不可能输出负数． 考点29：算 "24” 点 57．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【答案】或或（答案不唯一，任选一个） 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 58．（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 【答案】(答案不唯一) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，根据题意列出算式即可，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【规范解答】解：由题意得：或或． 故答案为：或或． 考点30：含乘方的有理数混合运算 59．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键； （1）先计算乘除，再计算加减即可求解； （2）按照有理数的混合运算法则求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 60．（24-25七年级上·全国·期中）计算： ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，根据运算顺序先算括号里面的，算乘方算乘除，再算加减，进而得到结果即可； 【规范解答】解：， ， ， ， ． 考点31：用科学记数法表示绝对值大于1的数 61．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【规范解答】解：1300000用科学记数法表示为． 故选：C． 62．（24-25七年级上·贵州安顺·期中）综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： (1)一粒大米约重多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 【答案】(1)克 (2)千克 (3)元 【思路引导】本题主要考查了用有理数的混合运算，科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． （1）用500粒大米的总重量除以500 ，即可求解； （2）根据题意，列出算式求解即可； （3）根据题意，列出算式求解即可． 【规范解答】（1）解：（克）， 答：粒大米重约克； （2）解：（千克）， 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：（元）， 答：卖得人民币元． 考点32：将用科学记数法表示的数变回原数 63．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）已知，，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．根据即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 故选：D． 64．（23-24七年级下·河北保定·期中）光在水中的传播速度是，下列关于的说法正确的是（   ） A． B． C．是一个8位数 D．是一个9位数 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【规范解答】解：，故是一个9位数，选项D正确，C错误； 故，选项A错误； ，选项B错误； 故选：D． 考点33：求一个数的近似数 65．（25-26七年级上·浙江·开学考试）一架国产大型客机的售价为七亿一千六百六十五万八千元．横线上的数写作( )元、省略亿后面的尾数，约为( )亿元． 【答案】 【思路引导】本题考查了大数的读写，亿以上数的写法，从最高位写起，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字． 【规范解答】解：一架国产大型客机的售价为七亿一千六百六十五万八千元．横线上的数写作元、省略亿后面的尾数，约为亿元． 故答案为：；． 66．（24-25七年级上·北京·期中）根据要求，用四舍五入法取近似数： （精确到百分位）． 【答案】 【思路引导】此题考查了近似数，掌握近似数精确到哪一位，应当看末尾数字实际在哪一位是解题的关键． 根据近似数的精确度把千分位上的数字4进行四舍五入即可． 【规范解答】用四舍五入法取近似数：． 故答案为：． 考点34：求近似数的精确度 67．（24-25七年级上·广东东莞·期中）用四舍五入法对取近似数，精确到百分位是 　           　． 【答案】 【思路引导】本题考查了近似数，注意按精确度得到的近似数末尾的0不能任意舍去．由精确度知，根据千分位的数“四舍五入”即可． 【规范解答】解：（精确到百分位）． 故答案为：． 68．（23-24七年级上·广西河池·期中）古人云：“盛年不再来，一日难再晨，及时当勉励，岁月不待人．”我们应珍惜每一天，活在当下，一个人一生大约2.9万天，近似数2.9万精确到 ． 【答案】千位 【思路引导】此题考查了近似数的精确度，根据最后一位是千位可得精确度． 【规范解答】近似数2.9万精确到千位． 故答案为：千位． 考点35：近似数推断取值范围 69．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）[四舍五入]截至 2023年1月21 日11 点，2023 河南春晚全网阅读量约127亿．如果这个阅读量是一个两位小数，那么这个两位小数最大是 ，最小是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查四舍五入求解近似数，解题的关键是“四舍和五入”． 根据四舍五入求解近似数的规则，即“四舍和五入”，由原数的取值范围并利用改规则求解即可． 【规范解答】解：根据“四舍”的规则，要使这个两位小数最大， 则这个两位小数最大是； 根据“五入”的规则，要使这个两位小数最小， 则这个两位小数最小是． 故答案为：①；② ． 70．（2024七年级上·全国·专题练习）近似数所表示的准确值的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查的是求近似数的取值范围，属于基础题型．近似数等于的数有无数个，确定它们的范围应该从两个极端值进行分析．根据近似数精确到百分位，是由千分位上的数字四舍五入得到的，结合四舍五入的方法，求出a的取值范围即可． 【规范解答】解：近似数精确到百分位，是由千分位上的数字四舍五入得到的． 若千分位上的数字大于或等于5，百分位上的数字应是“9”，十分位上的数字应是“6”，此时a的最小值为； 若千分位上的数字小于5，百分位上的数字应是“0”，十分位上的数字应是“7”，即此时， 准确值a的范围是：． 故选：C． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$