精品解析：辽宁省朝阳市龙城区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

辽宁省朝阳市龙城区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本题包括10小题，每小题3分．共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若a＞b，则下列不等式一定成立是（　　） A. a+3＜b+3 B. ﹣2a＜﹣2b C. D. a2＜b2 3. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（　　） A. B. C. D. 4. 一个正多边形的每个内角都等于，那么它是（ ） A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形 5. 下列命题中是真命题是（ ） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 三角形一个外角等于两个内角的和 D. 对角线相等的四边形是平行四边形 6. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 若分式方程的解为正数，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 某次自然灾害导致某铁路隧道被严重破坏，为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车，问原计划每天修多少米？某原计划每天修米，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 函数的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. D. 若点和点在直线上，则 10. 如图，在中，，平分，于，有下列结论：①；②；③；④平分；⑤．其中，正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：=______． 12. 当m___________时，不等式解集是． 13. 若分式的值为0，则x的值为__________． 14. 若方程有增根，则a的值为_______ ． 15. 如图，在平行四边形中，平分交于点E，过点A作，交的延长线于点F，分别交于点G，H，若，则的面积是____________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）解不等式组：； （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）将向左平移5个单位长度后得到的，画出； （2）画出绕着原点顺时针旋转后得到的； （3）在平面内有一点，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 19. 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠，设顾客预计累计购物x元． （1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； （2）该如何选择超市购买会更省钱？ 20. 如图，已知四边形是平行四边形，为边延长线上一点，连结、，使． （1）求证：△△； （2）若，，，求平行四边形面积． 21. 国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． （1）求的值； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 22. 【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图1，在△中，点，分别是，边的中点．求证：，且． 方法一： 证明：如图2，延长到点，使，连接，，． 方法二： 证明：如图3，取的中点，连接并延长到点，使，连接． 【回顾证法】 （1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图4，，两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了，间的距离：先在池塘外选一点，连接，，然后测出，的中点，，并测出的长度为12米，则，两点间的距离为_____米． （3）如图5，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，求证：． 23. 如图，在平行四边形中，，平分交线段于点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，． （1）①求的大小； ②判断的形状并说明理由； （2）将条件中的“平分交线段于点”，改为“平分交射线于点”，当，时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省朝阳市龙城区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本题包括10小题，每小题3分．共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，正确把握相关定义是解决问题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：． 2. 若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A. a+3＜b+3 B. ﹣2a＜﹣2b C. D. a2＜b2 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质1判断A选项；根据不等式的性质3判断B选项；根据不等式的性质2判断C选项；根据有理数的乘方判断D． 【详解】解：A．∵a＞b， ∴a＋3＞b＋3，本选项不等式不成立，不符合题意； B．∵a＞b， ∴−2a＜−2b，本选项不等式成立，符合题意； C．∵a＞b， ∴＞，本选项不等式不成立，不符合题意； D．当a＞b＞0时，a2＞b2，本选项不等式不成立，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是不等式的性质，不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 下列各式由左边到右边变形中，是分解因式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用分解因式的定义分析即可解答． 【详解】解：A． 是整式乘法运算，故此选项错误； B．不符合分解因式的定义，故此选项错误； C．分解因式，符合题意； D．不符合分解因式的定义，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了因式分解的意义，把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解． 4. 一个正多边形的每个内角都等于，那么它是（ ） A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角与外角的关系，由正多边形的每个内角求出对应的外角，再利用外角和为计算边数。 【详解】解：∵每个内角为， ∴每个外角为， ∴边数为， 故该正多边形是正十二边形， 故选：． 5. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 三角形的一个外角等于两个内角的和 D. 对角线相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断命题真假，根据平行线性质、三角形内角和、外角定理及平行四边形的判定进行判断即可，熟练掌握平行线性质、三角形内角和、外角定理及平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：、两直线平行时，同旁内角互补（和为），而非相等，原选项是假命题，不符合题意； 、若三角形中有两个角互余（和为），则第三个角为，必为直角三角形，原选项是真命题，符合题意； 、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原选项是假命题，不符合题意； 、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形对角线相等但非平行四边形，原选项是假命题，不符合题意； 故选：． 6. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由ABCD可得出∠BAO=∠DCO、∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证出△ABO≌△CDO（AAS），根据全等三角形的性质可得出AB=CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由ABCD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解． 【详解】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形； C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键． 7. 若分式方程的解为正数，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解，在解分式方程时应方程两边同乘以方程的最简公分母，化为整式方程，得到解要检验．首先解分式方程，得到解关于k的表达式，再结合解为正数及分母不为零的条件，确定k的取值范围． 【详解】同乘以最简公分母得： 整理得： 由题意，解需满足，即：，故， 原方程分母，即，代入解得：即， 另一分母，即，代入解得：即， 综上，且， 故选：D． 8. 某次自然灾害导致某铁路隧道被严重破坏，为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车，问原计划每天修多少米？某原计划每天修米，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=4，据此列方程即可． 【详解】解：原计划修天，实际修了天， 可列得方程， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，从关键字找到等量关系是解决问题的关键． 9. 函数的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. D. 若点和点在直线上，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质结合图象即可得出结论． 【详解】解：观察一次函数图象发现，图象过点，即当时，， ∴当时，，故选项A符合题意； 当时，，故选项B不符合题意； 观察一次函数图象发现，图象与y的交点在y轴的正半轴， ∴，故选项C不符合题意； 观察一次函数图象发现，图象过第一、二、三象限， ∴函数值y随x的增大而增大， 若点和点在直线上，则，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 10. 如图，在中，，平分，于，有下列结论：①；②；③；④平分；⑤．其中，正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，理解直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． ①根据角平分线的性质得，由此可对结论①进行判断； ②依据“”判定在和全等得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③根据，得，，进而得，由此可对结论③进行判断； ④根据和全等得，再根据角平分线的定义可对结论④进行判断； ⑤根据，，得，由此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①平分，，， ， 故结论①正确； ②在和中， ， ， ， ， 故结论②正确； ③，， ，， ， 故结论③正确； ④， ， 平分， 故结论④正确； ⑤，，， ， 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是 ①②③④⑤． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：=______． 【答案】a（b+1）（b﹣1） 【解析】 【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1）， 故答案为a（b+1）（b﹣1）． 12. 当m___________时，不等式的解集是． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质（不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变）得出，求出即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了对不等式的基本性质的应用，注意：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变． 13. 若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可． 【详解】由x2-9=0，得 x=±3． 又∵x+3≠0， ∴x≠-3， 因此x=3． 故答案3． 【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键． 14. 若方程有增根，则a的值为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根是解题的关键． 先将分式方程去分母，转化为整式方程；再根据分式方程有增根，得到，代入整式方程即可得到a值． 【详解】解：原式去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，平分交于点E，过点A作，交的延长线于点F，分别交于点G，H，若，则的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】通过A点B点分别作垂线，因为四边形ABCD是平行四边形，可得 ，，AB＝CD＝，AM＝BN，又因为AF⊥DC，，可得∠ABH＝90°，利用勾股定理可求，用等面积法可求得AM＝，由AE＝AB＝，即可求出△ABE的面积． 【详解】解：如图，过A点作AM⊥BC交BC于点M，过B点作BN⊥EN交EA的延长线点N， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ，，AB＝CD＝，AM＝BN， ∵AF⊥DC，， ∴∠BAH＝90°， ， ∵S△ABH＝AB•AH＝BH•AM， ∴AM＝， ∴BN＝AM＝， ∵BE平分∠ABC交AD于点E，， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理的应用，利用等面积法求出高的长度，熟练掌握平行四边形边两组对边平行且相等，勾股定理的边长计算是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）解不等式组：； （2）解方程：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后再找出它们的公共部分即可； （2）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． （2），即， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 是分式方程的解． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值. 将括号内的分式因式分解并约分后再算加法，然后将除法化为乘法并计算，最后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 18. 如图，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）将向左平移5个单位长度后得到的，画出； （2）画出绕着原点顺时针旋转后得到的； （3）在平面内有一点，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的判定，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质． （1）根据平移的性质将向左平移5个单位长度后得到的，即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出绕着原点顺时针旋转后得到的； （3）根据平行四边形定义，在平面内有一点，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，进而写出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 如图，点的坐标为或或． 19. 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠，设顾客预计累计购物x元． （1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； （2）该如何选择超市购买会更省钱？ 【答案】（1）甲超市：；乙超市： （2）当时，选择乙超市购买更省钱；当时，选项甲、乙两超市购买所付的费用相同；当时，选项甲超市购买更省钱 【解析】 【分析】（1）根据甲、乙两家超市给出的优惠方案，即可用含的代数式表示出顾客在两家超市购物所付的费用； （2）分，及三种情况考虑，解一元一次不等式（或一元一次方程），即可得出的取值范围（或的值），即可得出结论． 本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意得：顾客在甲超市购物所付费用为元； 顾客在乙超市购物所付费用为元． 【小问2详解】 解：若，则， 当时，选择乙超市购买更省钱； 若，则， 当时，选项甲、乙两超市购买所付的费用相同； 若，则， 当时，选项甲超市购买更省钱． 答：当时，选择乙超市购买更省钱；当时，选项甲、乙两超市购买所付的费用相同；当时，选项甲超市购买更省钱． 20. 如图，已知四边形是平行四边形，为边延长线上一点，连结、，使． （1）求证：△△； （2）若，，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，含30度的直角三角形. （1）根据平行四边形的性质得出，再利用全等三角形的判定方法得出即可； （2）首先根据锐角三角函数关系得出，进而利用求出的长，进而得出平行四边形的面积． 【小问1详解】 证明：， ． 又四边形是平行四边形 ，， ， 在△和△中， ， ； 【小问2详解】 解：过作，垂足为， 在△中，，， ，， 在△中，， ， ， 平行四边形的面积． 21. 国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． （1）求的值； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）16；（2）购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元 【解析】 【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值． 【详解】解：（1）由题意可知： ， 解得：x=16， 经检验：x=16是原方程的解； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y， 由题意可知： y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500， ∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍， ∴m≥3（100-m）， 解得：m≥75，即75≤m＜100， 在y=-m+500中，-1＜0，则y随m的增大而减小， ∴当m=75时，y最大，且为-75+500=425元， ∴购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元． 【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式． 22. 【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图1，在△中，点，分别是，边的中点．求证：，且． 方法一： 证明：如图2，延长到点，使，连接，，． 方法二： 证明：如图3，取的中点，连接并延长到点，使，连接． 【回顾证法】 （1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图4，，两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了，间的距离：先在池塘外选一点，连接，，然后测出，的中点，，并测出的长度为12米，则，两点间的距离为_____米． （3）如图5，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）24；（3）见解析． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接并延长到点，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质和线段中点的定义得到，，则四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得出结论； （2）利用三角形的中位线定理解答即可； （3）连接，取的中点，连接，，利用三角形的中位线定理得到，，，，利用平行线的性质得到，，利用等量代换的性质和等腰三角形的判定定理与性质定理得到，则． 【详解】（1）证明：取的中点，连接并延长到点，使，连接，如图， 是边的中点， ． 在和中，， ∴， ，， ， 为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ∴，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，． 即三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． （2）解：，分别是，的中点， 为的中位线， （米）． 故答案为：24 （3）证明：如图，连接，取的中点，连接，， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ，， ， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ，， ． ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理的证明及其应用，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，线段的中点的定义，添加适当辅助线构造全等三角形和平行四边形是解题的关键． 23. 如图，在平行四边形中，，平分交线段于点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，． （1）①求的大小； ②判断的形状并说明理由； （2）将条件中“平分交线段于点”，改为“平分交射线于点”，当，时，直接写出的长． 【答案】（1）①；②等边三角形，理由见解析 （2）的长是或 【解析】 【分析】（1）①先根据平行四边形性质得到，所以，再根据旋转的性质证得是等边三角形，得到，再根据角的和差即可解答；②先证明，所以，再证明，即可解答； （2）需要分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，过点作于点，根据平行四边形对边相等可得，邻角互补得，所以，，再运用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：①四边形是平行四边形， ，，， ， ， 由旋转知：，， 是等边三角形， ， ； ②是等边三角形，理由如下： 由①得：是等边三角形， ，， ， 平分，， ，， ， ， 又， ， ， ，， ， ，即， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：①当点在线段上时，过点作于点， 由（1）得：，， ， ，， ，， ， ； ②当点在线段的延长线上时，过点作于点， 方法同（1）得：，， ，， ，， ， ． 综上所述：的长是或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等，添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$