2.2.1有理数的乘法（题型专练）数学人教版2024七年级上册

2.2.1 有理数的乘法 题型一 有理数乘法法则的辨析 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（　　） A．数轴上表示的点一定在原点的左边 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．几个非零有理数相乘，负因数的个数是偶数个时，积为负数． D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 【答案】D 【分析】题目主要考查绝对值的性质，有理数的乘法，结合绝对值、数轴及有理数乘法法则逐一分析各选项的正误即可 【详解】解：选项A：当时，，对应原点，不在左边，故A错误，不符合题意； 选项B：互为相反数的数绝对值相等（如与），但两数不相等，故B错误，不符合题意； 选项C：偶数个负因数相乘结果为正数，不是负数，故C错误，不符合题意； 选项D：设该数为，若，则必为负数（正数和零均满足），故D正确，符合题意； 故选：D 2．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．两数相乘，积比每一个因数都大 B．两数相乘，如果积为0，那么这两个因数异号 C．两数相乘，如果积为0，那么这两个因数中至少有一个为0 D．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数都为正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法的符号法则．掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0．根据有理数的乘法法则依次判定即可解答. 【详解】解：A．一个数与0相乘或者异号两数相乘时，积不一定大于每一个因数，故选项A错误； B．两个因数异号，则积为负数，两数相乘得0，则两个因数可能有一个为0，也可能两个同时为0，故选项B错误； C．两数相乘得0，则两个因数可能有一个为0，也可能两个同时为0，故选项C正确； D．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数一个为正数，另一个为负数，故选项D错误． 故选：C． 3．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列说法正确的有（　　） ①一个数同相乘，仍得这个数；②一个数同相乘，得这个数的相反数；③互为相反数的两数之积一定是负数；④两个数相乘得，则这两个数都为． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘法，相反数的定义，根据有理数的乘法运算法则，相反数的定义等知识进行判定即可求解． 【详解】解：①一个数同相乘，仍得这个数，正确； ②一个数同相乘，得这个数的相反数，正确； ③互为相反数的两数之积一定是负数或，错误； ④两个数的乘积为，则这两个数至少有一个为，错误． 故选：B． 题型二 利用有理数乘法辨别符号 4．（24-25九年级下·吉林长春·期中）对于两个有理数，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定的正负 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，根据题意，由，可判断a，b异号，然后根据有理数的乘法运算法则，有理数的加法运算法则判断即可． 【详解】解：∵， ∴a，b异号， 当正数的绝对值较大时，如，则，此时选项A正确； 当a，b的绝对值相等时，如，则，此时选项B正确； 当负数的绝对值较大时，如，则，此时选项C正确； 由于题目未限定a，b的具体值，上述三种均可能出现，因此无法确定的正负，故选项D正确． 故选：D． 5．（2025·北京海淀·二模）若，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的加法和乘法，绝对值意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用有理数的加法法则，乘法法则和绝对值意义判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，或，， 当，时，则， ∴； 当，时，∵， ∴， 综上分析可知：． 故选：D． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，根据任意有理数乘以0，都得0，得到乘积为0，则乘数中必有一个数为0，即可得出结果． 【详解】解：∵2025个有理数相乘，结果为0， ∴这2025个数至少有一个0； 故选D． 7．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．则下列选项中：①如果，则一定会有；②如果，则一定会有；③如果，则一定会有；④如果，则一定会有．正确的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、有理数的乘法，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 先根据数轴的性质可得，再根据有理数的乘法法则逐个判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，． 如果，则都同号，所以一定会有，①正确； 如果，则，所以一定大于0，所以，②正确； 如果，则同号，但的符号不能确定，所以不一定会有，③错误； 如果，则，所以，所以一定会有，④错误； 故选：A． 8．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； ②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； ④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个； ⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是熟练使用运算法则进行计算．根据几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数有奇数个，积为负；负因数有偶数个，积为正． 【详解】解：①个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管正因数有多少个，积为0，故原说法错误； ②个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管负因数有多少个，积为0，故原说法错误； ③个不为0有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负，故原说法错误； ④个有理数相乘，当积为负时，则负因数一定有奇数个，故原说正确； ⑤个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； ⑥个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； 故正确的有④共1个， 故选：A． 9．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 通过上面的计算，填写表： 算式 （1） （2） （3） （4） （5） 负因数的个数 积的符号 根据表中填写的结果，探究几个不为0的数相乘时，积的符号与负因数个数之间的关系． 【答案】，，，，；0，1，2，3，4，，，，，；几个不为0的数相乘时，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 故答案为：，，，，． 故答案为：0，1，2，3，4，，，，，． 几个不为0的数相乘时，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 题型三 有理数乘法的运算 10．（2025·吉林通化·模拟预测）若的运算结果为负数，则□内的数字可以为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【详解】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有是负数， 故选：A． 11．（2025·河北邢台·二模）对于式子，左边的第一个因数增加2后，积变化为（   ） A．减少5 B．减少10 C．增加6 D．增加10 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选C． 12．（2025·河北邯郸·二模）对于，若，则其结果为（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算符号法则是解题关键． 根据负数的乘法符号规律：奇数个负数相乘结果为负数，偶数个负数相乘结果为正数，即可判断． 【详解】解：由题意个相乘，当时，有奇数个负数相乘，所以结果为负． 故选：B． 13．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据有理数的乘法运算进行计算即可． 【详解】解： ． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是：根据有理数乘法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解： 15．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将化为后与相乘并约分计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型四 有理数乘法的运算律 16．（2025七年级上·江苏·专题练习）下面不可以表示的是（ ）． A．B．C． D． 【答案】D 【分析】此题考查乘法分配律，根据题意，乘法分配律指一个数乘两数之和，等于这个数分别乘这两个数再相加，用字母表示为： 【详解】解：A.图中圆点表示5个6与4个6的总和，列式为：； B.可以表示为：； C.，根据长方形的面积公式：长×宽，两个小长方形拼成大的长方形，大的长方形的长等于，宽是4，两个小长方形的面积等于大长方形面积，所以可以表示为：； D.列式为：，不可以表示， 故选：D 17．（24-25七年级下·全国·假期作业）张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法运算的灵活应用，以及通过分解、转化等方法解决实际问题的能力，解题的关键是在避免直接使用数字“9”的情况下，等价表示．据题意，由于计算器的“9”键损坏，需将转换为不含数字9的表达式进行计算，同时验证各选项是否与原式等价． 【详解】解：选项A、，计算正确，故此选项不符合题意； 选项B、正确拆分应为，但选项B直接减去0.1，无法得到正确答案，故此选项符合题意； 选项C、根据乘法结合律，，计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 18．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算、乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据有理数乘法运算、乘法运算律、有理数四则混合运算逐项化简即可． 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意． 故选：D． 19．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）计算与解释． 在用简便算法计算“”时，轩轩、露露和展晨三人分别用了三种不同的简算方法（如下面方框所示）． (1)请思考轩轩的方法，分析他用了下面哪个运算定律，并将序号填在括号里．（   ） 轩轩： A．乘法分配律    B．乘法交换律    C．乘法结合律 (2)请你思考露露和晨晨的方法，根据他们第2步的计算结果，推理出两人第1步的想法，并补充完整． 露露： = 晨晨： =（ ÷ ）×（ × ） 【答案】(1)A； (2)；；；；8． 【分析】本题考查了数的简便运算． （1）轩轩的方法是把分解成，然后8和分别与相乘，再把相乘的积相加，这符合乘法分配律； （2）露露的方法是把分解成，然后根据乘法交换律，把和的位置进行交换；晨晨的方法是根据积不变的规律，一个因数乘几（0除外），另一个因数除以相同的数，积不变进行求解，为了计算简便把除以8，乘8即可． 【详解】（1）解：由计算过程可知轩轩是使用了乘法分配律进行简便运算； 故选：A； （2）解：补充如下： 露露： 晨晨： 故答案为：；；；；8． 20．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______； (2)第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） (3)运用上述解法，计算：． 【答案】(1)⑤，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，乘方分配律的逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可求解； （2）运用运算律分析即可； （3）根据材料提示，运用乘法分配律的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得第⑤步出现错误， ∵， ∴正确结果是， 故答案为：⑤，； （2）解：第①步的变形依据是加法交换律，第②步的变形依据乘法分配律， 故答案为：，； （3）解： ． 题型五 有理数乘法的实际应用 21．（24-25六年级下·上海长宁·期末）小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（   ） A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜杨 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法和减法的实际应用，先求出小海所看电影的实际票价，再分别求出四个场次的实际票价即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小海所看电影的实际票价为元， 上午场的实际票价为元， 中午场的实际票价为元， 下午场的实际票价为元， 夜场的实际票价为元， ∴可判断小海看的场次是下午场， 故选：C． 22．（24-25六年级下·江苏南京·期末）实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查小数乘法估算的实际应用及方法，利用面积乘每平方米的单价，计算时把小数看作与它相近的整数计算即可，注意估算的时候估大一些． 【详解】解：(元) ， 因此准备820元就够了， 符合实际需要的估算方法是选项D． 故选：D． 23．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽为尺．七张桌面分开可组合成不同的图形．图中给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，则全套“燕几”的面积为（    ）平方尺． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意表示出小桌，中桌，长桌的长， 列式求解即可． 【详解】解：∵每张桌面的宽为尺 ∴小桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺， ∴． ∴全套“燕几”的面积为45平方尺． 故选：C． 24．（2025·江苏南京·模拟预测）在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？其最小正整数解记为a．又知，则a b（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，理解题意，分别由小到大进行分析，发现符合题意的最小正整数解为，即，再结合，即可作答． 【详解】解：∵三三数之剩二， ∴ ， ∵五五数之剩三， ∴ ∵七七数之剩二． ∴ ∵最小正整数解记为a． ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 25．（24-25七年级下·重庆·自主招生）在生活中，有些人将月日写成，有些人则写成，这样会造成混淆，因为当我们看到时，不知道到底是指月日，还是指月日，但是及则容易区别而不会混淆，因为一年中只有个月，请问用这种记法，一年中有 天会造成混淆． 【答案】 【分析】本题考查了有理数运算的应用，因为一年中只有个月，所以超过号的月份均不会弄混淆，那么会混淆的只有每个月的号，而其中日和月相同的日期也不会混淆，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵号的天数共有：（天）， ∴其中日和月相同的，如、等共有天， ∴一年中有（天），会造成混淆， 故答案为：． 26．（24-25六年级上·山东东营·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程（单位：）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)小李在九洲体育馆门口西侧处； (2)共消耗天然气立方米； (3)小李这天上午共得车费58元． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数加减法以及乘法应用，绝对值的意义，掌握相关运算法则是解题关键． （1）将小李上午所接送8位乘客的行车里程相加即可求解； （2）先求出小李上午的总行车里程，再乘以每千米消耗天然气量即可求解； （3）8位乘客均有起步价，再求出超出部分的加价即可． 【详解】（1）解：， 即小李在九洲体育馆门口西侧处； （2）解：小李上午的总行车里程为， 则共消耗天然气立方米； （3）解：（元）， 答：小李这天上午共得车费58元． 题型六 求一个数的倒数 27．（2025·四川成都·三模）2025是春意盎然，生机勃勃的双春年，2025的倒数是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数：乘积是1的两数互为倒数．利用倒数的定义求解即可． 【详解】解：2025的倒数是 故选：D． 28．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值和化简多重符号，首先化简绝对值和多重符号，然后比较即可． 【详解】解：， ∴与的关系是相等． 故选：A． 29．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）若a的相反数是，b的倒数是，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了相反数和倒数的概念，有理数的减法，根据相反数和倒数的概念求出，的值是解答本题的关键．根据题意先求出，的值，再求的值即可． 【详解】解：∵的相反数是，的倒数是， ∴，， ∴， 故答案为：． 30．（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）的倒数是 ，与它的倒数的乘积是 ． 【答案】 1 【分析】根据倒数的定义解答即可． 本题考查了倒数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：的倒数是，与它的倒数的乘积是1． 故答案为：，1． 31．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查倒数，解题的关键牢记倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解； （3）先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义求解； （4）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解． 【详解】（1）解：的倒数为； （2）， 的倒数为； （3）， 的倒数为； （4）， 的倒数为． 题型一 利用有理数乘法运算律进行简便运算 1．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）简便计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的运算的简便运算； （1）先确定分子分母中相同的因数，再变形计算即可； （2）利用分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题． 计算：，看谁算得又快又对． 请你利用简便方法计算． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用．把转化为，再利用乘法分配律简便计算即可求解． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·广西柳州·期中）下面是嘉嘉同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便． 例如： 的计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有 ，因此逆用乘法分配律可得： ， 这样计算就简便得多． 请你逆用乘法分配律计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2024 【分析】本题考查乘法分配律的逆用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键： （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 4．（24-25七年级上·全国·期末）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据乘法交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）根据逆向使用乘法分配律计算即可； （4）先变形，然后根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 5．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）学习有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算．有两位同学的解法如下： 小明：； 小军：． (1)以上解法，你认为______的解法较好． (2)你还有更好的解法吗？如果有，请写出来． (3)用你认为最简便的方法计算： ①；         ②． 【答案】(1)小军． (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了有理数的运算，解题关键是熟练运用乘法分配律进行简便运算； （1）根据两个人的解法判断即可； （2）可以把写成，再用乘法分配律进行计算； （3）按照上述方法求解即可． 【详解】（1）解：小军的解法更简便，计算量小，所以小军的解法较好， 故答案为：小军． （2）解：． （3）解：①；         ②． 题型二 相反数，绝对值，倒数的综合应用 6．（24-25七年级上·海南儋州·期末）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，m的绝对值等于2，n是最大的负整数． (1)直接写出，，m，n的值； (2)求的值 【答案】(1)；；； (2)或0 【分析】本题考查了倒数、相反数、绝对值以及有理数的加减混合运算等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据题意即可求解； （2）分类讨论当时，当时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵a，b互为倒数， ∴； ∵c，d互为相反数， ∴； ∵m的绝对值等于2， ∴； ∵n是最大的负整数， ∴ （2）解：当时， ； 当时， ； 7．（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）已知：a和b互为相反数，m、n互为倒数，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，倒数和相反数的定义，化简多重符号，只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，据此可得，再根据同号为正，异号为负化简多重符号得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵a和b互为相反数，m、n互为倒数， ∴， ∵， ∴． 8．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）若、互为相反数，、互为倒数，是到原点的距离为的点表示的数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值的定义，解题的关键是掌握相关知识．根据相反数、倒数、绝对值的定义可得：，，，再代入所求式子即可求解． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，是到原点的距离为的点表示的数， ，，， ． 9．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）已知互为相反数，互为倒数，，求的值． 【答案】或． 【分析】本题考查了绝对值，相反数，倒数等知识点的应用，直接利用相反数以及互为倒数的性质得出，，，进而分类讨论得出答案解此题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，， ∴，，， ∴ 当时，； 当时，． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是绝对值最小的数，且．求的值． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，相反数，倒数，绝对值的非负性，根据题意可知，，，根据绝对值的非负性求出x，y的值，然后代入原式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：，，， ∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，． ∴原式 ． 题型三 有理数乘法运算中的新定义问题 11．（24-25七年级上·河北沧州·期末）学习完七年级第二章《有理数的运算》后，数学兴趣小组对运算产生了浓厚的兴趣．对于有理数、在运算中满足乘法交换律：，借助有理数的运算，他们定义了一种新运算“”，规则如下：，根据他们的规定，解决下列问题． (1)求的值； (2)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1) (2)不具有交换律，过程见解析 【分析】本题考查了新定义下的运算，解决本题的关键是掌握有理数的混合运算． （1）根据题目的新运算进行求解即可； （2）根据题意可举例出一个例子即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：因为， 所以，当时，两个式子相等 当时，两个式子不相等 综上可知，该运算不具有交换律 12．（24-25七年级上·四川广元·期末）小明同学借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定：．例如：．求的值． 【答案】24 【分析】本题考查新定义运算，根据新定义的运算规则先计算，再计算即可． 【详解】解： ． 13．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有，． (1)求；的值； (2)求． 【答案】(1)； (2)25 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，解题的关键是读懂题意，列出算式． （1）根据题目给出的定义，列式计算即可； （2）根据题目给出的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴； （2）解：，， ． 14．（24-25七年级上·福建漳州·期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他在课外阅读中看到了一些定义符号的运算，例如：对于数，定义．小奇突发面想，也尝试定义一新运算符号“”，规则如下：，试运用此规则完成下列运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的四则混合运算； （1）根据新定义运算可得，再计算即可； （2）根据新定义运算先计算可得，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； 15．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）对于有理数a和b，借助有理数的运算法则，定义了一种新运算：．例如：． (1)计算的值； (2)计算的值； (3)试用学习有理数的经验和方法探究新运算“”是否具有交换律，请写出你的探究过程． 【答案】(1) (2)47 (3)不具有交换律，见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，定义新运算， 对于（1），根据新定义的要求解答即可； 对于（2），先根据新定义计算括号内，再根据新定义计算； 对于（3），举一个例子验证即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：不具有交换律，答案不唯一，举出数字或字母例子即可，例如： ， ∵， ∴不具有交换律． 题型四 有理数乘法运算中的规律问题 16．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多个有理数的乘法运算，由观察发现前面三个小正方形内的数据等于顶点处的四个数据的乘积，从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 即四个角的数字相乘所得乘积即为正方形内的数字， ∴第四个正方形内的数据为：， 故答案为： 17．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）一个跳蚤在一条数轴上，从开始，第次向右跳个单位长度，紧接着第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，依此规律下去，当它跳第次落下时，落点在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算等知识点，熟练掌握数的大小变化和移动变化之间的规律是解题的关键． 根据数轴是以向右为正方向，以及数的大小变化和移动变化之间的规律：左减右加，即可求解． 【详解】解：由题意可得： 向右移动个单位长度可表示为， 向左移动个单位长度可表示为， 当它跳第次落下时，落点在数轴上表示的数是： ， 故答案为：． 18．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知：，，，，……观察并找出规律，计算的结果 【答案】840 【分析】本题考查有理数的混合运算、规律性-数字的变化，找出规律进行计算即可． 【详解】解：，，，， 观察发现，每个式子都是从下面的数字开始递减的连续整数的积的形式，而因数的个数就是上面的数字， ∴， 故答案为：840． 19．（22-23八年级上·山东潍坊·期末）观察下列各式：，，，……根据你发现的规律，计算： ． 【答案】2022 【分析】根据题目中式子的特点，通过裂项抵消的方法可以解答本题． 【详解】解：由题意，归纳类推得：， ∴ ． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的特点，求出所求式子的值． 20．（21-22七年级上·浙江丽水·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 解答下列问题： （1）按以上规律写出第5个等式： ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）根据题目所给规律，直接可写出第5个等式． （2）利用题目的规律，进行等式变形，提取，括号里面的前一项和后一项数可以抵消掉，最后求得结果． 【详解】 （1）解：由上述规律可知： 故答案为：． （2）解：原式= ． 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查了数字的规律以及利用规律进行计算，通过题目所给条件，找到对应的规律，并应用规律进行求解，是解决本题的关键． 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】本题考查了有理数的加减运算，乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，再添加括号，然后计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，进行简算即可． （2）合理分组：，每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1） ； （2）解： 每两个数为一组，结果是3；一共有337组； 原式 ． 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①0或1；②6 (3)0，， 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新定义的含义，并能灵活应用； （1）根据题干中给出的定义进行计算即可； （2）①根据题意可分两种情况：一是为整数时，，，故，二是不是整数时，等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去，故； ②可知不是整数，再由①可知，从而有，列出算式进行计算即可； （3）由时，可知，与的小数部分相同，即的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值，即可解答． 【详解】（1）， ； （2）①， 当为整数时，， ， ， 当不是整数时，由题意得 等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去， ∴ 故答案是：或； ②， ， ； （3）时，， 与的小数部分相同， 的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值， 即的小数部分为或或， 或或． 3．（24-25七年级上·广东阳江·期中）【情境假设3】是一组有规律的数，我们如何求这些连续数和呢？ 【阅读理解】 ． 【数学理解】 （1）根据规律，第6个数是______，是第______个数． （2）请直接写出计算结果：______． 【拓展运用】 （3）已知，，，计算：． 【答案】（1）；11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算，有理数的乘法运算等知识．熟练掌握裂项法进行求和计算是解题的关键． （1）由题意知，可推导一般性规律为：第个数为，由，作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据给出的已知算式，将变形为，计算求解即可． 【详解】解：（1）解：由题意知，第1个数为； 第2个数为； 第3个数为； 第4个数为； 第5个数为； ∴可推导一般性规律为：第个数为， ∴第6个数是， ∵， ∴是第11个数； （2） ； （3）解：由题意知， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1 有理数的乘法 题型一 有理数乘法法则的辨析 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（　　） A．数轴上表示的点一定在原点的左边 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．几个非零有理数相乘，负因数的个数是偶数个时，积为负数． D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 2．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．两数相乘，积比每一个因数都大 B．两数相乘，如果积为0，那么这两个因数异号 C．两数相乘，如果积为0，那么这两个因数中至少有一个为0 D．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数都为正数 3．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列说法正确的有（　　） ①一个数同相乘，仍得这个数；②一个数同相乘，得这个数的相反数；③互为相反数的两数之积一定是负数；④两个数相乘得，则这两个数都为． A．个 B．个 C．个 D．个 题型二 利用有理数乘法辨别符号 4．（24-25九年级下·吉林长春·期中）对于两个有理数，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定的正负 5．（2025·北京海淀·二模）若，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 7．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．则下列选项中：①如果，则一定会有；②如果，则一定会有；③如果，则一定会有；④如果，则一定会有．正确的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 8．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负；②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个；⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 通过上面的计算，填写表： 算式 （1） （2） （3） （4） （5） 负因数的个数 积的符号 根据表中填写的结果，探究几个不为0的数相乘时，积的符号与负因数个数之间的关系． 题型三 有理数乘法的运算 10．（2025·吉林通化·模拟预测）若的运算结果为负数，则□内的数字可以为（   ） A．2 B． C．0 D． 11．（2025·河北邢台·二模）对于式子，左边的第一个因数增加2后，积变化为（   ） A．减少5 B．减少10 C．增加6 D．增加10 12．（2025·河北邯郸·二模）对于，若，则其结果为（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 13．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： 14．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： 15．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算． (1)； (2)； (3)； 题型四 有理数乘法的运算律 16．（2025七年级上·江苏·专题练习）下面不可以表示的是（ ）． A．B．C． D． 17．（24-25七年级下·全国·假期作业）张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 18．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 19．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）计算与解释． 在用简便算法计算“”时，轩轩、露露和展晨三人分别用了三种不同的简算方法（如下面方框所示）． (1)请思考轩轩的方法，分析他用了下面哪个运算定律，并将序号填在括号里．（   ） 轩轩： A．乘法分配律    B．乘法交换律    C．乘法结合律 (2)请你思考露露和晨晨的方法，根据他们第2步的计算结果，推理出两人第1步的想法，并补充完整． 露露： = 晨晨： =（ ÷ ）×（ × ） 20．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______； (2)第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） (3)运用上述解法，计算：． 题型五 有理数乘法的实际应用 21．（24-25六年级下·上海长宁·期末）小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（   ） A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜杨 22．（24-25六年级下·江苏南京·期末）实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（    ） A．B．C． D． 23．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽为尺．七张桌面分开可组合成不同的图形．图中给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，则全套“燕几”的面积为（    ）平方尺． A． B． C． D． 24．（2025·江苏南京·模拟预测）在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？其最小正整数解记为a．又知，则a b（填“”“”或“”）． 25．（24-25七年级下·重庆·自主招生）在生活中，有些人将月日写成，有些人则写成，这样会造成混淆，因为当我们看到时，不知道到底是指月日，还是指月日，但是及则容易区别而不会混淆，因为一年中只有个月，请问用这种记法，一年中有 天会造成混淆． 26．（24-25六年级上·山东东营·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程（单位：）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 题型六 求一个数的倒数 27．（2025·四川成都·三模）2025是春意盎然，生机勃勃的双春年，2025的倒数是（   ） A． B．2025 C． D． 28．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 29．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）若a的相反数是，b的倒数是，则 ． 30．（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）的倒数是 ，与它的倒数的乘积是 ． 31．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型一 利用有理数乘法运算律进行简便运算 1．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）简便计算． (1) (2) 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题． 计算：，看谁算得又快又对． 请你利用简便方法计算． 3．（24-25七年级上·广西柳州·期中）下面是嘉嘉同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便． 例如： 的计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有 ，因此逆用乘法分配律可得： ， 这样计算就简便得多． 请你逆用乘法分配律计算： (1) (2) 4．（24-25七年级上·全国·期末）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）学习有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算．有两位同学的解法如下： 小明：； 小军：． (1)以上解法，你认为______的解法较好． (2)你还有更好的解法吗？如果有，请写出来． (3)用你认为最简便的方法计算： ①；         ②． 题型二 相反数，绝对值，倒数的综合应用 6．（24-25七年级上·海南儋州·期末）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，m的绝对值等于2，n是最大的负整数． (1)直接写出，，m，n的值； (2)求的值 7．（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）已知：a和b互为相反数，m、n互为倒数，，求的值． 8．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）若、互为相反数，、互为倒数，是到原点的距离为的点表示的数，求的值． 9．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）已知互为相反数，互为倒数，，求的值． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是绝对值最小的数，且．求的值． 题型三 有理数乘法运算中的新定义问题 11．（24-25七年级上·河北沧州·期末）学习完七年级第二章《有理数的运算》后，数学兴趣小组对运算产生了浓厚的兴趣．对于有理数、在运算中满足乘法交换律：，借助有理数的运算，他们定义了一种新运算“”，规则如下：，根据他们的规定，解决下列问题． (1)求的值； (2)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 12．（24-25七年级上·四川广元·期末）小明同学借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定：．例如：．求的值． 13．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有，． (1)求；的值； (2)求． 14．（24-25七年级上·福建漳州·期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他在课外阅读中看到了一些定义符号的运算，例如：对于数，定义．小奇突发面想，也尝试定义一新运算符号“”，规则如下：，试运用此规则完成下列运算． (1)； (2)． 15．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）对于有理数a和b，借助有理数的运算法则，定义了一种新运算：．例如：． (1)计算的值； (2)计算的值； (3)试用学习有理数的经验和方法探究新运算“”是否具有交换律，请写出你的探究过程． 题型四 有理数乘法运算中的规律问题 16．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是 ． 17．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）一个跳蚤在一条数轴上，从开始，第次向右跳个单位长度，紧接着第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，依此规律下去，当它跳第次落下时，落点在数轴上表示的数是 ． 18．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知：，，，，……观察并找出规律，计算的结果 19．（22-23八年级上·山东潍坊·期末）观察下列各式：，，，……根据你发现的规律，计算： ． 20．（21-22七年级上·浙江丽水·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 解答下列问题： （1）按以上规律写出第5个等式： ； （2） ． 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算． (1) (2) 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 3．（24-25七年级上·广东阳江·期中）【情境假设3】是一组有规律的数，我们如何求这些连续数和呢？ 【阅读理解】 ． 【数学理解】 （1）根据规律，第6个数是______，是第______个数． （2）请直接写出计算结果：______． 【拓展运用】 （3）已知，，，计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$