第九讲：整式的加减（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版七年级数学上册 第九讲：整式的加减 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：同类项 1. 定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项 . 所有的常数项都是同类项 . 2. 判断同类项的方法 (1)同类项必须同时满足“ 两个相同”：① 所含字母相同；②相同字母的指数也相同，两者缺一不可 . (2) 是不是同类项有“ 两个无关”：①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关.如 3mn 与 －nm 是同类项 . 知识点02：合并同类项 1.定义：把同类项合并成一项叫作合并同类项 . 2. 法则 ：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 知识点03：去括号法则 1. 去括号法则 (1)括号前是“ +”号，把括号和它前面的“ +” 号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； (2)括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变. 2. 去括号时的注意事项 (1) 去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉. (2) 需要变号时，括号里的各项都变号；不需要变号时，括号里的各项都不变号 . 知识点04：整式的加减 整式的加减，实质就是去括号和合并同类项的综合应用，如果有括号应先去括号，再合并同类项 . 注意： 整式的加减的最后结果中： ① 结果要最简， 即结果中不含有同类项，不含括号；②一般按照某一字母降幂(或升幂) 排列； ③当含字母的项的系数出现带分数时， 要把带分数转化为假分数 . 知识点05：整式的化简求值 考点1：同类项 【典型例题】 下列各组单项式中，同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练1】 已知与是同类项，则代数式的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【变式训练2】 单项式与的和是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 考点2：合并同类项 【典型例题】 下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 考点3：整式的加减混合运算 【典型例题】 若一个多项式与的和是，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 代数式的值（    ） A．与字母a，b都有关 B．只与字母a有关 C．只与字母b有关 D．与字母a，b都无关 【变式训练2】 已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示： 化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 考点4：整式的加减的化简求值 【典型例题】 若，则的值为（　　） A． B． C．8 D．10 【变式训练1】 已知，则的值是（   ） A． B．8 C． D．32 【变式训练1】 若，则的值为（    ） A． B． C．8 D．10 考点5：整式的加减的无关问题 【典型例题】 要使多项式化简后不含有的二次项，则等于（    ） A．0 B．3 C． D．2 【变式训练1】 无论取何值，多项式的值不变，则（   ） A．，B．， C．， D．， 【变式训练2】 若关于，的多项式不含项，则k的值为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知代数式与是同类项，那么m、n的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．计算：（   ） A． B． C． D． 4．已知代数式与是同类项，那么m、n的值分别是（    ） A． B． C． D． 5．下列各化简变形中，去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 6．若都是不为零的数，则的结果为（      ） A．3或 B．3或 C．或1 D．3或或 7．如图所示，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a，b，c，化简（    ） A．0 B． C． D． 8．已知，则代数式的值为（ ） A．2025 B． C．2024 D． 9．小明把错写成，所得的结果与正确答案相比（　　） A．多 B．多 C．少 D．少 10．如图，两个正方形的面积分别为16、9，两阴影部分的面积分别为，则等于（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 11．若单项式与是同类项，则 ． 12．若，则的值为 ． 13．已知，则的值为 ． 14．多项式化简后不含项，则的值为 ． 15．合并同类项： ． 16．如果代数式的值是0，那么代数式的值是 ． 17．若关于的多项式中不含一次项，则的值是 ． 18．一个三位数，个位数字是，十位数字是，百位数字是，将这个三位数的百位数字与个位数字交换位置后，新数减原数的差是 ． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 20．先化简，再求值：，其中，． 21．已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 22．某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为 (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当的取任意数值，的值是一个定值时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版七年级数学上册 第九讲：整式的加减 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：同类项 1. 定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项 . 所有的常数项都是同类项 . 2. 判断同类项的方法 (1)同类项必须同时满足“ 两个相同”：① 所含字母相同；②相同字母的指数也相同，两者缺一不可 . (2) 是不是同类项有“ 两个无关”：①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关.如 3mn 与 －nm 是同类项 . 知识点02：合并同类项 1.定义：把同类项合并成一项叫作合并同类项 . 2. 法则 ：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 知识点03：去括号法则 1. 去括号法则 (1)括号前是“ +”号，把括号和它前面的“ +” 号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； (2)括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变. 2. 去括号时的注意事项 (1) 去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉. (2) 需要变号时，括号里的各项都变号；不需要变号时，括号里的各项都不变号 . 知识点04：整式的加减 整式的加减，实质就是去括号和合并同类项的综合应用，如果有括号应先去括号，再合并同类项 . 注意： 整式的加减的最后结果中： ① 结果要最简， 即结果中不含有同类项，不含括号；②一般按照某一字母降幂(或升幂) 排列； ③当含字母的项的系数出现带分数时， 要把带分数转化为假分数 . 知识点05：整式的化简求值 考点1：同类项 【典型例题】 下列各组单项式中，同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项解答即可． 【详解】A. 与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项； B. 与所含相同字母的指数不相同，不是同类项； C. 与所含字母不相同，不是同类项； D. 与所含字母不相同，不是同类项； 故选：A． 【变式训练1】 已知与是同类项，则代数式的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项”，熟记同类项的定义是解题关键．先根据同类项的定义可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，即， ∴， 故选：C． 【变式训练2】 单项式与的和是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，同类项的定义：所含的字母相同，相同的字母的指数相同的单项式叫做同类项，根据题意可得单项式与是同类项，由此得到，代入计算即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 考点2：合并同类项 【典型例题】 下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算法则，逐一判断各选项是否正确，重点检查是否为同类项及合并过程是否正确． 【详解】解：A. 与不是同类项，无法合并为，故错误； B. 与的字母a的指数不同，不是同类项，无法相减得到，故错误； C. 与中a和b的指数不同，不是同类项，无法相减得0，故错误； D. 与是同类项（），合并后为，故正确． 故选：D． 【变式训练1】 下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是合并同类项，根据合并同类项的法则逐一分析判断即可． 【详解】解：选项A：，但选项A结果为，错误． 选项B：．选项B结果正确． 选项C：为不是同类项，无法合并，结果非，错误． 选项D：，但与非同类项，无法合并为，错误． 故选：B 【变式训练2】 下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，包括去括号法则和合并同类项，根据同类项的定义及运算法则逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．和不是同类项，无法合并，故，故A错误； B．去括号时，括号前负号使括号内各项符号改变：，故B正确； C．分配律应用错误：，但选项结果为，故C错误； D．合并同类项时系数计算错误：，故D错误． 故选：B． 考点3：整式的加减混合运算 【典型例题】 若一个多项式与的和是，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的减法． 根据题意，所求多项式等于减去已知多项式，通过整式的减法运算即可求解． 【详解】解：∵一个多项式与的和是， ∴这个多项式是， 故选：A． 【变式训练1】 代数式的值（    ） A．与字母a，b都有关 B．只与字母a有关 C．只与字母b有关 D．与字母a，b都无关 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，将代数式合并同类项，化简后观察结果是否含有字母a或b． 【详解】解∶原式 ， 该结果仅含字母，不含， 故选∶B． 【变式训练2】 已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示： 化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，整式的加减运算，根据数轴正确得出式子正负是解题关键．由数轴可得，，，再去绝对值符号化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ，，， ， 故选：B． 考点4：整式的加减的化简求值 【典型例题】 若，则的值为（　　） A． B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，先将式子根据整式的加减运算法则化简，再代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：B． 【变式训练1】 已知，则的值是（   ） A． B．8 C． D．32 【答案】D 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，利用整体思想解题是关键．将代数式去括号、合并同类项后变形为，再整体代入计算求值即可． 【详解】解： 原式， 故选：D． 【变式训练1】 若，则的值为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性以及整式的加减运算，化简求值，先由非负性，得出，然后去括号合并同类项，得，然后把分别代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， ∴把分别代入， 得， 故选：B． 考点5：整式的加减的无关问题 【典型例题】 要使多项式化简后不含有的二次项，则等于（    ） A．0 B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，先将多项式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为0，解方程即可． 【详解】解： ， 多项式化简后不含有的二次项， 令二次项系数为0，即， 解得， 故选：C． 【变式训练1】 无论取何值，多项式的值不变，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是关键．去括号合并同类项得到，根据题意得到，，即可得到答案． 【详解】解：原式展开并合并同类项： ∵无论取何值，多项式的值不变， ∴，， ∴，， 故选：A 【变式训练2】 若关于，的多项式不含项，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不含项即含项的系数为0，据此求解即可， 本题考查了整式加减中的无关型问题，根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值． 【详解】解：依题意， ∵关于，的多项式不含项， ∴， ∴， 故选B． 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题关键．根据合并同类项法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 2．已知代数式与是同类项，那么m、n的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的定义、代数式求值等知识点，同类项中相同字母的指数相等是解题的关键． 线根据同类项的定义求得和的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵代数式与是同类项， ∴， ∴，． 故选：C． 3．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，运用乘法分配律展开，去掉括号，即可得出答案． 【详解】解： 故选：A． 4．已知代数式与是同类项，那么m、n的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的定义，根据同类项的定义：所含字母相同且对应字母的指数相等，列出关于m，n的方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：∵代数式与是同类项， ∴， 解得：． 故选：C． 5．下列各化简变形中，去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号法则，正确掌握去括号法则是解题关键．根据去括号法则，括号前是正数时，括号内各项符号不变；括号前是负数时，括号内各项符号改变，同时需用分配律将系数乘以括号内的每一项． 【详解】解：A. ，故选项计算错误，不符合题意； B.，故选项计算错误，不符合题意； C.，故选项计算正确，符合题意； D. 故选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 6．若都是不为零的数，则的结果为（      ） A．3或 B．3或 C．或1 D．3或或 【答案】B 【分析】本题考查化简绝对值，涉及代数式化简求值，根据的正负性，分情况讨论去绝对值后化简即可得到答案，由正负分类讨论去绝对值是解决问题的关键． 【详解】解：情况1：当时， ，，， 则； 情况2：当时， ，，， 则； 情况3：当时， ，，， 则； 情况4：当时， ，，， 则； 综上所述，的结果为或， 故选：B． 7．如图所示，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a，b，c，化简（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由数轴判断式子的大小． 由数轴可知：，进而判断出，，，化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴， 故选：A． 8．已知，则代数式的值为（ ） A．2025 B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴当时， ． 故选：A． 9．小明把错写成，所得的结果与正确答案相比（　　） A．多 B．多 C．少 D．少 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减，计算错误写法与正确写法的差值，即可得到两者的差异． 【详解】解：正确算式为：， 错误算式为：， 计算两者的差值： ， 错误结果比正确答案多， 故选：B． 10．如图，两个正方形的面积分别为16、9，两阴影部分的面积分别为，则等于（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减的应用，正确列出运算式子是解题关键．设空白部分的面积为，则，再根据计算即可得． 【详解】解：设空白部分的面积为， 由题意得：， 则， 故选：A． 二、填空题 11．若单项式与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项，解题的关键是熟记同类项的定义．利用同类项的定义求出m，n的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ， ∴， 故答案为：． 12．若，则的值为 ． 【答案】、0 【分析】本题考查化简绝对值，分四种情况：；；；，化简绝对值，即可求解． 【详解】解：若，有四种情况：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上可知，若，则的值为、0． 故答案为：、0． 13．已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据的取值范围，结合绝对值的性质，可得，整理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．多项式化简后不含项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则将原式化简，然后根据化简后不含项，可知项的系数为0，即可解题． 【详解】解： ， 多项式化简后不含项， ， 解得， 故答案为：5． 15．合并同类项： ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，先去括号，再根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 16．如果代数式的值是0，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据题意得到，再把所求式子去括号后合并同类项得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是0， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17．若关于的多项式中不含一次项，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，去括号，合并同类项后，得到一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， ∵多项式中不含一次项， ∴， ∴； 故答案为：． 18．一个三位数，个位数字是，十位数字是，百位数字是，将这个三位数的百位数字与个位数字交换位置后，新数减原数的差是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了位值原则的应用，原三位数可表示为，交换后的新三位数为，作差即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，原三位数可表示为， 交换后的新三位数为， ∴新数减原数的差是， 故答案为：． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，掌握“去括号，合并同类项的法则”是解本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） = = 20．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则．先运用去括号法则去括号，然后合并同类项，化简整式，最后代入求值，即可解题． 【详解】解： 当，时， 原式 21．已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）利用整式加减的运算法则计算即可； （2）由（1）得，，结合题意得，解出的值即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得，， 的值与y的取值无关， ， 解得：， x的值为． 22．某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为 (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当的取任意数值，的值是一个定值时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式加减的实质是去括号、合并同类项是解答此题的关键． （1）根据列出代数式，去括号合并同类项即可； （2）先根据列出代数式，去括号合并同类项求出结果，再根据当x取任意数值，的值是一个定值得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2） ∵当x取任意数值，的值是一个定值， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$