第一章 有理数（复习课件）数学冀教版2024七年级上册

单元复习课件 第一章 有理数 冀教版2024·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解正负数的意义，掌握有理数的概念。 3.学会借助数轴来理解对绝对值、有理数、比较大小等相关知识。 2. 理解并会运用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一 有理数的有关概念 1.有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 注意：（1）用正、负数表示相反意义的量。 （2）有理数“0”的作用：①表示没有。 ②表示正数与负数的界点。 考点串讲 2.数轴：规定了_______、_______、_______的直线叫做数轴。 原点 正方向 单位长度 注意： （1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来， 数轴上的点不都表示有理数。 （2）在数轴上右边的点所表示的数总比左边的点 所表示的数大。 考点串讲 3.相反数：只有_______不同的两个数互为相反数，0的相反数是_______。 符号 0 注意： （1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等，这两点关于原点对称。 （2）求任意一个数据的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可。 （3）多重符号的化简:数字前面的“-”号的个数是偶数个时，化简结果为正；若是奇数个时，化简结果为负。 考点串讲 4.绝对值： （1）代数意义：一个正数的绝对值是_______；一个负数的绝对值 是 ；0的绝对值是_______。数a的绝对值记作：_______ 它本身 它的相反数 0 (2)几何意义：一个数的绝对值是数轴上表示的点到原点的距离。 考点串讲 考点二 有理数的运算 1. 法则：（1）加法法则： ①同号两数相加，和取_____的符号，并把 _____ 相加。 ②异号两数相加，绝对值相等时，和为_____；绝对值不相等时，和 取_________________的加数的符号，并用 _________________减去 _________________。 ③一个数同0相加，仍得_____。 相同 绝对值 0 绝对值较大的加数 较大的绝对值 较小的绝对值 这个数 考点串讲 考点二 有理数的运算 （2）减法法则：减去一个数等于加 。 这个数的相反数 （3）乘法法则：①两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把这两 数的 相乘。②任何数同0相乘，都得 。 正 负 绝对值 0 （4）除法法则：① 除以一个不等于0的数等于乘 。 这个数的倒数 ②两数相除，同号得 ，异号得 ，并把 相除。 ③0除以任何一个不等于0的数都得 。 正 负 这两个数的绝对值 0 考点串讲 考点二 有理数的运算 （5）乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是 ;负数的奇次 幂是 ，负数的偶次幂是 ；0的任何非零次幂都是 。 正数 负数 正数 0 （6）有理数的混合运算顺序：①先 ，再 ，最后 ；② 同级运算 ；如果有括号，先做 运算，按 、 、 依次进行。 乘方 乘除 加减 从左到右进行 括号内的 小括号 中括号 大括号 考点串讲 考点二 有理数的运算 2.运算律： （1）交换律：①加法交换律 ； ②乘法交换律 ； （2）结合律：①加法结合律： ； ②乘法结合律： 。 （3）分配律： 。 考点串讲 考点三 有理数的大小比较 比较有理数大小常用的方法： ①数轴比较法。 ②法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 ③做差比较法。 ④做商比较法。 ⑤倒数比较法。 考点串讲 题型一、正数、负数的相关概念 故选：D． 例1《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家，若将“收入80元”记作“+80元”，则“支出30元”记作（　　） A．50元 B． 元 C．30元 D． 元 解：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 所以，若将“收入80元”记作“+80元”，则“支出30元”记作﹣30元 D 题型剖析 例2 用正负数表示具有相反意义的量，若武汉某粮库运进面粉 24吨记为+24吨，那么运出面粉11吨应记为 吨． 题型一、正数、负数的相关概念 解：若武汉某粮库运进面粉24吨记为+24吨，那么运出面 粉11吨应记为吨， 故答案为：． 题型剖析 题型一、正数、负数的相关概念 1.具有相反意义的量包含三层含义：①意义相反； ②具有数量；③是同类量． 2．用正数、负数表示具有相反意义的量：①找具有 相反意义的量．②确定一个量为“﹢”．③用正数、 负数表示出具有相反意义的量． 题型剖析 点拨： ①大于0的数叫做正数，小于0的数 叫做负数． ②0既不是正数也不是负数． 题型一 正数、负数的相关概念 例3　在数，0，+3，0.5，中，负数有（　　） A．1个 B．2 C．3个 D．4个 解：＜0，是负数； 0既不是正数，也不是负数； +3＞0，是正数；0.5＞0，是正数； ＜0是负数 ∴负数有，，共2个． 故选：B． B 题型剖析 题型一 正数、负数的相关概念 例4 某车间需要加工标准尺寸为10mm的零部件，其中（10±0.02） mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A．9.98mm B．9.99mm C．10.02mm D．10.3mm 解：已知（10±0.02）mm范围内的尺寸为合格，则合格零件的尺寸范围是9.98mm～10.02mm， 那么选项D的零件尺寸不合格， 故选：D． D 点拨：本题考察了正数和负数，结合已知条件求得尺合，合格尺寸的范围是解题的关键 题型剖析 题型二 有理数的概念与分类 例5 把下列各数填在相应的集合中： 正数集合：{ }； 负数集合：{ }； 分数集合：{ }； 整数集合：{ }； 非负有理数集合：{ }； 有理数集合：{ }. 点拨： 1.像300%这种可以先化简成整数的数是整数不是分数； 2.π大于0，是正数不是正有理数。 题型剖析 题型三 数轴 例6　下列选项中，表示数轴正确的是（　　） A． B． B. C． D． 解:A数轴．负半轴上的数据标错位置，故不正确，不符合题意； B．数轴无正方向，故不正确，不符合题意； C．数轴单位长度不统一，故不正确，不符合题意； D．数轴符合数轴三要素，正确，符合题意； D 题型剖析 题型三 数轴 1．数轴的三要素:原点、正方向和单位长度，称为数轴的三要素．在解决问题时，可以灵活选定原点的位置、正方向的朝向、单位长度的大小，但一经选定，就不能再改变． 2．画数轴时常见的错误： (1)漏画原点； (2)没有标出正方向； (3)没有标出单位长度或单位长度不统一； (4)标数时顺序错误； (5)画成射线． 点拨 题型剖析 题型三 数轴 例7 在所给数轴上画出表示下列各数的点. 1，－5，－2.5， ，0 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 4 解: －5 －4 －3 －2 －1 　 0 1 2 3 4 5 －5 4 －2.5 0 1 点拨: ①把点标在线上；②把数标在点的上方， 以便观看. 题型剖析 题型四 相反数的定义与性质 例8 下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．7和 B．3和2 C．2和 D．和10 解：A. 7和互为相反数，符合题意； B. 3和不互为相反数，不符合题意； C. 2和 不互为相反数，不符合题意； D. 和10不互为相反数，不符合题意；故选：A． A 点 拨：根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”逐个判断。 题型剖析 例9 若 ，则x的相反数是 ． 题型五 多重符号的化简 解：∵ ， ∴ ， 即x的相反数为3． 故答案为：3． 3 点拨：多重符号的化简步骤： （1）省略所有“+”号；（2）只看“-”的个数，当“-”的个数为偶数时，结果取“+”，当“-”的个数为奇数时，结果取“-”。 题型剖析 题型六 绝对值的意义 例10 如果 ，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a≤0 C．a≥0 D．a＞0 解：∵a为分母， ∴a≠0， ∴当a＞0时， ； 当a＜0时， ． 故选：D． 点拨：此题考查了绝对值的性质，熟记性质是解题的关键。 D 题型剖析 例11 已知实数a，b满足 则 . 解：∵ ∴ ∴ 故答案为：1 1 题型六 绝对值的意义 点拨：本题主要是考察非负数的性质（平方数与绝对值的非负性）， 题目中给出两个非负数的和为0，因此每个非负数必须同时为0. 题型剖析 题型六 绝对值的意义 例12 有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，回答下面问题： (1) ________， ________， ________． (2)化简： 解：（1）由数轴可知， ， ， ∴ ， ， ， 故答案为： ， ， ； ． 题型剖析 题型六 绝对值的意义 例12 有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，回答下面问题： (1) ________， ________， ________． (2)化简： 解：（2） ． 点拨：根据a,b,c在数轴上的位置，确定其取值范围，然后对每个式子进行化简和计算。 题型剖析 题型七 有理数的大小比较 例13 比较下列各数的大小. （1）－（－3）和－（＋2）； 解：先化简，－（－3）＝3， －（＋2）＝－2， 因为正数大于负数，所以3＞－2， 即：－（－3）＞－（＋2） 点拨：利用性质：正数大于0，0大于负数，正数大于负数．两个负数，绝对值大的反而小． 题型剖析 题型八 有理数的运算 点拨：本题考察了有理数的混合运算，包括乘方、乘除、加减等运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序，先算乘方，再算乘除，最后再算加减，如果有括号，先算括号里面的。 题型剖析 题型九 有理数探究规律问题 例15 观察下面三行数： -2， 4， -8， 16， -32， 64，…；① 0， 6， -6， 18， -30， 66，…；② -1， 2， -4， 8， -16， 32，…. ③ （1）第①行数按什么规律排列？ 解：（1）第①行数是 (2）第②行数是第①行相应的数加2; （2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？ （3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和. 第③行数是第①行相应的数除以2. (3） 1024=512=2562. 点拨：根据题目中的数据可以发现数字的变化规律，从而可以解答本题。 题型剖析 题型十 有理数的新定义运算 例16 定义： 表示不大于x的最大整数， 表示不小于x的 最小整数，例如： ， ， ， . 则 ． 解： 表示不大于x的最大整数， 表示不小于x的最小整数， ， 故答案为：8． 题型剖析 题型十 有理数的新定义运算 本题考查了新定义，掌握表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数是解题的关键．根据新定义求解即可． 题型剖析 题型十一 数轴上的动点问题 例17 如图 A，B，C，三个点在数轴上表示的数分别为a，b，c且满足 ．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求a，b，c的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． （1）解： ， ， ， ， ， 题型剖析 题型十一 数轴上的动点问题 （2）由（1）可知 ， 因为点P在之间，且点P到点A的距离是到点C距离的3倍， 所以， 因为点C 表示的数为8，点P 在点C的左边， 所以点P 表示的数为： ， 所以， 因为点以每秒1个单位长度的速度运动，所以当点的运动时间为：　　　　　秒 时，点到点距离是到点距离的3倍． 题型剖析 题型十一 数轴上的动点问题 （3）能，理由如下： 点P从点B运动到点C需要 秒，而点Q从点A运动到点C需要 秒，点Q到达点C时，此时点表示的数为2， 所以当点P从点B运动到点C的过程中，点Q从点A运动到点C，又从点C返回，因此可分为四种情况讨论： 点Q到达点C之前： ①点P在点Q右侧，两点同向而行，运动时间为 秒，所以此时点P表示的数为 ； ②当点P在点Q左侧，两点同向而行，运动时间为 秒，所以此时点P表示的数为 ； 点Q从点C返回后： ③当点P在点Q左侧，两点背向而行，运动时间为 秒，所以此时点P表示的数为 ； ④当点P在点Q右侧，两点背向而行，运动时间为 秒，所以此时点P表示的数为 ． 综上所述，点表示的数为或0或3或4． 题型剖析 题型十一 数轴上的动点问题 本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规律，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 题型剖析 题型十二 有理数的实际应用 例18 干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表xx年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2024年为例，天干为；地支为；对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年．依据上述规律推断，2055年应为（ ）。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 A．壬亥年 B．乙亥年 C．壬子年 D．乙子年 题型剖析 题型十六 有理数的实际应用 解：由题意可得， 天干为： ， 地支为： ， 对照天干地支表得出，2055年为农历乙亥年， 故选：B． 点拨：本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的年数．根据题意，可以计算出2055年对应的天干和地支，从而可以写出2055年为农历哪一年． 题型剖析 1.a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是(　　) A．a，b，c都表示正数 B．a，b，c都表示负数 C．a，b表示正数，c表示负数 D．a，b表示负数，c表示正数 C 点拨：根据数轴上点的位置判断数的正负性，数轴上原点左边的数为负数，原点右边的数为正数。 针对训练 2.把下面各数填在相应的括号里： 正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 正分数集合{ …}； 负分数集合{ …}； 分数集合{ …}． 点拨：本题考察了正数、负数、整数、分数、正分数及负分数的概念，解题的关键是熟练掌握相关定义 针对训练 3．比较下列每组数的大小： (1)－3和＋5；(2)0和－2.8；(3) 和－1； (4)0.7，－3.9和－4.6. 解：(1)－3<＋5； (2)0>－2.8； (3) <－1； (4)0.7>－3.9>－4.6. 点拨：此题关键是先判断数的正负，再根据符号选择对应的比较规则。 针对训练 解：(1)原式＝[(－2.5)×(－4)]×[8×(－0.125)]×(－0.1) ＝10×(－1)×(－0.1) ＝1. 点拨：本题考察了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握乘法的运算法则和运算律。 针对训练 5. 小明家蔬菜大棚内的气温是24℃，此时棚外的气温是-13℃.棚内气温比棚外气温高多少摄氏度？ 解：24（13）=24+13=37（℃） 答：棚内气温比棚外高37℃. 点拨：本题需要用到的概念是有理数的减法法则，即减去一个数等于加上这个数的相反数。总体思路是用棚内的气温减去棚外的气温，来计算棚内气温比棚外气温高多少摄氏度。 针对训练 6.若 ，求 的值. 解：由题意得， 解得， 所以 点拨：本题考察的知识点是绝对值的非负性，解题的核心思路是：两个非负数的和为0时，每个非负数都为零。 针对训练 7．如果a是有理数，试比较|a|与－2a的大小. 分析：由于不能确定a的正负，所以需分类讨论 解：当a＞0时，|a|>0，－2a＜0，所以|a|>－2a； 当a=0时，|a|=0，－2a=0，所以|a|=－2a； 当a＜0时，－2a＞0，|a|=－a， 因为－2a＞－a，所以|a|＜－2a. 点拨：本题考察了有理数的大小比较法则，解题的关键是牢记法则，把a分三种情况讨论后，避免漏解。 针对训练 8.石家庄市某中学举行秋季运动会，七年级（1）班和七年级（2）班进行拔河比赛.比赛规定标志物红绸向某班方向移动2m或2m以上，该班就获胜.比赛中红绸先向七年级（2）班移动0.2m，又向七年级（1）班移动0.5m，相持几秒后，红绸向七年级（2）班移动0.8m，随后又向七年级（1）班移动1.4m，在一片欢呼声中，红绸再向七年级（1）班移动1.3m，裁判员一声哨响，比赛结束.请你用计算的方法说明最终获胜的是哪个班. 解：规定向七年级（2）班移动为正方向，则可列式为： 0.2－0.5+0.8－1.4－1.3=(0.2+0.8)+(－0.5－1.4－1.3)=－2.2， 因为－2.2为负数，所以最终获胜者的是七年级（1）班. 点拨：本题主要考察负数在实际生活中的意义，会利用正负数表示一组具有相反意义的量是解题的关键。 针对训练 9.某公司去年1~3月平均每月亏损1.5万元，4~6月平均盈利2万元，7~10月平均盈利1.7万元，11~12月平均亏损2.3万元，这个公司去年总盈亏情况如何？ 解：记盈利额为正数，亏损额为负数，公司去年全年总的盈亏（单位：万元）为 （-1.5）×3+2×3+1.7×4+（-2.3）×2 =-4.5+6+6.8-4.6 =3.7 答：这个公司去年全年盈利3.7万元. 点拨：本题考查了有理数的加减乘除混合运算，解题的关键是得到一段时间亏损和盈利的公式，计算一段时间的亏损和盈利情况。 针对训练 10.当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去． (1)当对折3次时，层数是多少； (2)如果纸的厚度是0.1mm，求对折8次时，总厚度是多少mm？ 解：（1）因为23＝8，所以对折3次时，层数是8； （2）28×0.1＝256×0.1＝25.6（mm）， 所以总厚度是25.6mm． 点拨：本题考察了有理数的乘方，理解乘方的意义是解题的关键 针对训练 11.已知a，b均为有理数，现我们定义一种新运算“#”，规定：a#b＝a2＋a×b－5，例如：1#2＝12＋1×2－5＝－2. 求：(1)(－3)#6的值； (2)[2#(－2(3))]－[(－5)#9]的值． 解：(1)(－3)#6＝(－3)2＋(－3)×6－5＝9－18－5＝－14. (2)[2#(－2(3))]－[(－5)#9]＝[22＋2×(－2(3))－5]－[(－5)2＋(－5)×9－5]＝(4－3－5)－(25－45－5)＝－4＋25＝21. 点拨：本题考察有理数的混合运算，理解新定义运算规则是解题关键 针对训练 12、某一出租车一天下午以文化中心为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程(单位：km)依先后次序记录如下： ＋9,－3,－5,＋4,－8,＋6,－3,－6,－4,＋10. (1)将最后一名乘客送到目的地时出租车离出发地多远？在出发地的什么方向上？ (2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 解：(1)＋9＋(－3)＋(－5)＋(＋4)＋(－8)＋(＋6)＋(－3)＋(－6)＋(－4)＋(＋10) ＝9＋10＋(－3)＋(－5)＋(－8)＋(－3)＋6+(－6)＋4＋(－4)＝19+(-19)=0 （千米） 即又回到了出发地． （2）|＋9|＋|－3|＋|－5|＋|＋4|＋|－8|＋|＋6|＋|－3|＋|－6|＋|－4|＋|＋10| =9+3+5+4+8+6+3+6+4+10=58(千米） 所以，营业额为58×2.4＝139.2(元). 点拨：本题第一问通过计算所有行程的代数和确定出租车最终的位置和位置的方向和距离。第二问通过计算所有行程的绝对值之和得到总行程里程，再乘以单价得到营业额。 针对训练 课堂总结 感谢聆听! (3)原式=10.5××（29） =1×（7）=1 = (2)原式=20=2　 例14计算：(1)(－3)2×(－＋); (2)2－(－)×0÷(－2)； (3)－14－(1－0.5)××[2－(－3)2]． 解：(1)原式=9×（＋） =9×（）+9× =6+5 =1　 － 4.计算： (1)(－2.5)×(－0.1)×(－4)×8×(－0.125)； (2)(＋－)×(－12)． (2)原式＝×(－12)＋×(－12)－×(－12) ＝(－5)＋(－8)＋9＝－4. $