精品解析：山东省青岛市即墨区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

山东省青岛市即墨区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（满分30分．共有10道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对排分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000086m，将数据0.0000086用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 用数学的眼光看下列成语，事件发生的可能性最大的是（ ） A. 旭日东升 B. 大海捞针 C. 返老还童 D. 守株待兔 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用量角器度量几个角的度数，下列结论正确的有（ ） A. 与互补 B. C. D. 是的余角 7. 请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（ ） A. B. C. D. 8. 圆圆出门散步，从家出发走了到达高家的广场，看到大家正在跳舞，也加入了其中，度过了愉快的后，再用回到家中．下面图象能表示圆圆离家距离与外出时间之间关系的是（ ） A. B. C. D. 9. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了，使．图1～图3其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线． （3）以点圆心，分别以长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的做法中，可直接判定的依据是（ ） A. B. C. D. 10. 小新以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，四个正方形面积之和为26，则长方形的面积为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 计算：的结果是________． 12. 如果是一个完全平方式，那么m的值是_______． 13. 王师傅为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 400 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为，则A，B两地之间的路程是______． 14. 如图，，只添加一个条件使，添加的条件是________．（只需添加一个即可）． 15. 如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为_____． 16. 如图，在中，，，平分交于点D，延长到点E，使，连接交的延长线于点F．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的2倍；其中正确的结论有 ________ （填写序号）． 三、作图题（满分4分） 17. 如图，点M在的一边OA上，作直角，使，且点N到的两边距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 四、解答题（满分68分） 18. 计算题 （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. ．如图，小红用长为，宽为的宣纸书写了一副毛笔字参加书法大赛，根据大赛要求需对作品进行装裱，装裱后作品的长上下各增加了，宽左右各增加了． （1）装裱后的书法作品的长是________，宽为________（用含a的代数式表示）； （2）求装裱后的书法作品的面积是多少（结果用含a多项式表示）； （3）若计算装裱后的书法作品增加的面积． 21. 如图，已知于点，，，求证：． （把下列推理过程补充完整，并在括号里填上推理依据） 证明：∵， ∴，（______）， ∴． ∵， ∴，（______）． ∴____________（______）． ∴______（______）， ∵， ∴______． ∴____________． ∴． 22. 【阅读材料】 对于任意实数x，都有． 当x分别取值1，2，3，4，…，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式 ； 第2个等式 ； 第3个等式 ； 第4个等式 ； …… 第n个等式 ； 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得， 进一步化简，得． 【初步理解】 有一列数满足以下等式： ，…… （1）根据阅读材料、以上等式所包含的规律，解决问题： ①______； ②______；_____．（用含n的代数式表示） 深化应用】 （2）结合阅读材料、等式，求的值． 23. 如图，在中，，点D是边上的一点，且，过点M作交于点E．求证：． 24. 甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： （1）点B所对应的数为_________． （2）货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时． （3）求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离． （4）货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ 25. 问题解决策略 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以 ， ，所以 ． 在中，因，所以 ，即最小． （1）请完善小亮的说明过程． （2）本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“ ”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 （3）如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．【拓展应用】 （4）如图5，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青岛市即墨区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（满分30分．共有10道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对排分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000086m，将数据0.0000086用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：将数据0.0000086用科学记数法表示为． 故选：B． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形， 故选：D． 3. 用数学的眼光看下列成语，事件发生的可能性最大的是（ ） A. 旭日东升 B. 大海捞针 C. 返老还童 D. 守株待兔 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解：旭日东升是一定会发生的， 大海捞针可能发生，也有可能不发生，但是发生的可能性极小， 返老还童是不可能发生的， 守株待兔是可能发生，也有可能不发生， ∴事件发生的可能性最大的是如日东升， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查是零次幂，负整数指数幂的含义，积的乘方运算，合并同类项，根据以上运算法则逐一分析即可． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：B 5. 如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是， 故选：A． 6. 如图，用量角器度量几个角的度数，下列结论正确的有（ ） A. 与互补 B. C. D. 是的余角 【答案】A 【解析】 【分析】由图形得，，，，，再根据角的度量和互余、互补的定义求解即可．本题主要考查了余角和补角，角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键． 【详解】解：A、由图得，， 则， ∴与互补，故该选项符合题意；； B、由图得，故该选项不符合题意； C、由图得，故该选项不符合题意； D、由图得，，故该选项不符合题意； 故选：A 7. 请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过作，由平行线的性质得，，可得，即可求解；理解题意，能熟练利用平行线的性质求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 过作， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 圆圆出门散步，从家出发走了到达高家的广场，看到大家正在跳舞，也加入了其中，度过了愉快的后，再用回到家中．下面图象能表示圆圆离家距离与外出时间之间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图象法表示实际问题的变量关系，根据题意，结合选项逐项判断即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意圆圆出门散步，从家出发走了到达高家的广场，随着时间增加，圆圆离家距离在增加； 圆圆看到大家跳舞看了，圆圆离家距离在不变； 圆圆再用回到家中，圆圆离家距离在减小； 综上所述，能表示圆圆离家距离与外出时间之间关系的图象是 故选：A． 9. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了，使．图1～图3是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的做法中，可直接判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由作图可得，，，再结合全等三角形的判定定理判断即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，，， ． ∴在嘉嘉的做法中，可直接判定的依据是． 故选：B． 10. 小新以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，四个正方形面积之和为26，则长方形的面积为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式几何背景，掌握完全平方公式是关键．设，根据已知易得：，从而可得：，然后利用完全平方公式进行计算即可解答． 【详解】解：设， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴长方形的面积为6． 故选：D． 二、填空题（满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 计算：的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了单项式的除法，根据单项式的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如果是一个完全平方式，那么m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，注意积的2倍的符号，避免漏解． 这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 王师傅为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 400 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为，则A，B两地之间的路程是______． 【答案】350 【解析】 【分析】本题主要考查用表格表示变量之间的关系，由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，再求出减少的油量，即可得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：350． 14. 如图，，只添加一个条件使，添加的条件是________．（只需添加一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【详解】解：添加的条件是：， 理由：在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，计算出阴影部分的面积占总面积的比例是解题的关键． 根据题意，运用割补法将不规则图形转换为规则图形，得到阴影部分的面积，再根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：将图形转换，如图所示， 类型1的有6块，类型2的有6块， 其中类型1阴影部分占类型1的，类型2的阴影部分占类型2的， ∴阴影部分的面积占整个圆的面积的， ∴飞镖落在阴影区域的概率为， 故答案为： ． 16. 如图，在中，，，平分交于点D，延长到点E，使，连接交的延长线于点F．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的2倍；其中正确的结论有 ________ （填写序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】证明，再，结合线段之间的关系，三角形面积公式，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，高的意义，线段之间的关系，三角形面积公式，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴； 故③正确，符合题意； 根据三角形面积公式得，只有时，的面积是的面积的2倍， 故④错误，不符合题意． 故答案为：①②③． 三、作图题（满分4分） 17. 如图，点M在的一边OA上，作直角，使，且点N到的两边距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、直角的尺规作图、作角平分线．熟练掌握角平分线的性质和直角的尺规作图是解题的关键．点到的两边距离相等，即可以先作出的角平分线，再以点为垂足作的垂线，两条线的交点即为点． 【详解】解：作图如下： 四、解答题（满分68分） 18. 计算题 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）1 （4） 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据多项式乘以多项式运算法则求解即可； （2）首先计算单项式乘以多项式，完全平方公式，然后计算加减； （3）利用平方差公式求解即可； （4）首先利用平方差公式计算，然后利用完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，10 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先根据整式的混合运算法则，进行计算，再将，代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. ．如图，小红用长为，宽为的宣纸书写了一副毛笔字参加书法大赛，根据大赛要求需对作品进行装裱，装裱后作品的长上下各增加了，宽左右各增加了． （1）装裱后的书法作品的长是________，宽为________（用含a的代数式表示）； （2）求装裱后的书法作品的面积是多少（结果用含a多项式表示）； （3）若计算装裱后的书法作品增加的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的应用． （1）根据题意即可求解； （2）根据长方形的面积公式求解即可； （3）先求得增加的面积为，再将代入求解即可． 【小问1详解】 解：装裱后的书法作品的长是，宽为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：装裱后的书法作品的面积： ； 小问3详解】 解：原来的书法作品的面积：， 增加的面积：， 当， 原式． 21. 如图，已知于点，，，求证：． （把下列推理过程补充完整，并在括号里填上推理依据） 证明：∵， ∴，（______）， ∴． ∵， ∴，（______）． ∴____________（______）． ∴______（______）， ∵， ∴______． ∴____________． ∴． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的估计． 根据题意得到（垂直的定义），得到，（等量代换），可证明（内错角相等，两直线平行），得到（两直线平行，同旁内角互补），即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴，（垂直的定义）， ∴． ∵， ∴，（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴． ∴． ∴． 22. 【阅读材料】 对于任意实数x，都有． 当x分别取值1，2，3，4，…，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式 ； 第2个等式 ； 第3个等式 ； 第4个等式 ； …… 第n个等式 ； 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得， 进一步化简，得． 【初步理解】 有一列数满足以下等式： ，…… （1）根据阅读材料、以上等式所包含的规律，解决问题： ①______； ②______；_____．（用含n的代数式表示） 【深化应用】 （2）结合阅读材料、等式，求的值． 【答案】（1）①（或16）；②，；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的运算规律的探究，整式的乘法运算的规律探究； （1）①根据满足的表达式的规律表示，再列式计算即可；②把满足的表达式相加，再整理即可； （2）由可得，再整理即可得到答案． 【详解】解：（1）①有一列数满足以下等式： ， ∴， ②由①归纳可得：； ∵， ， 把所有的等式相加可得： ； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴， 整理得：， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，点D是边上的一点，且，过点M作交于点E．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决此题的关键．先由得，再用证出，进而即可得证． 【详解】证明： 平行于， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ． 24. 甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： （1）点B所对应的数为_________． （2）货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时． （3）求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离． （4）货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ 【答案】（1）1.5 （2）60，80，110 （3）270 （4）轿车先达到乙地，提前0.5小时到达 【解析】 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）点所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可； （2）根据图象结合速度路程时间，即可求得对应的速度； （3）根据图象求得货车行驶时间，再结合速度即可求解； （4）根据图象求得货车到达乙地时间即可求解． 【小问1详解】 解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时出发， ∴轿车第1.5小时出发， ∴点所对应的数是1.5； 故答案为：1.5； 【小问2详解】 解：根据图象可知，货车速度是千米/小时， 轿车在段的速度为千米/小时， 轿车在段的速度为千米/小时， 故答案为：60，80，110； 【小问3详解】 根据图象可知，轿车到达乙地时， 货车行驶时间为， 此时，货车与甲地的距离为千米； 【小问4详解】 根据图象可知，轿车先到达乙地， 货车达到时间为小时， 可知，轿车比货车提前小时， 即：轿车先达到乙地，提前0.5小时到达． 25. 问题解决策略 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以 ， ，所以 ． 在中，因为，所以 ，即最小． （1）请完善小亮的说明过程． （2）本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“ ”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 （3）如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．【拓展应用】 （4）如图5，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】（1），，，；（2）两点之间，线段最短；（3）作图见解析；（4） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值． （2）本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． （3）通过作两点关于两直线的对称点，将折线路径转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径，依据周堆成性质保证路径长度相等． （4）利用等腰三角形三线合一性质确定对称点位置，将转化垂线段长度，结合勾股定理计算最小值，依据垂线段最短原理． 【详解】解：（1）∵直线是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 在中，，（三角形两边之和大于第三边） ∴， 故答案为：，，，； （2）本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，B'两点的线中，线段最短）． 故答案为：两点之间，线段最短； （3）如图，即为最短路径； （4）如图，连接， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴当B，P，Q共线时，的值最小， ∴当时，的值最小， 令，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $