【第四章 三角形 01讲 认识三角形】【九大知识点+十大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第四章 三角形 01讲 认识三角形 题型归纳 【题型1. 三角形的识别】……………………………………………………………… 5 【题型2. 等腰三角形的定义】………………………………………………………… 7 【题型3. 三角形的三边关系】………………………………………………………… 9 【题型4. 三角形的高】………………………………………………………………… 13 【题型5. 三角形的角平分线】………………………………………………………… 16 【题型6. 根据三角形的中线求长度】………………………………………………… 20 【题型7. 根据三角形的中线求面积】………………………………………………… 24 【题型8. 三角形的分类】……………………………………………………………… 29 【题型9. 三角形内角和定理】………………………………………………………… 30 【题型10. 三角形外角的定义及性质】………………………………………………… 37 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 44 知识清单 知识点1 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的 公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的 内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三 角形的边；点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 知识点2 等腰三角形 1.定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形 . 2.元素：其中相等的边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. 3.等边三角形：三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形） . 【提示】 （1）等边三角形是特殊的等腰三角形； （2）等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形. 知识点3 三角形的边 1.三角形的边：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边. 2.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.（三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用） 【提示】 （1）三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三边中的任意一边； （2）判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 知识点4 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. 【提示】 （1） 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； （2） 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； （3） 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 知识点5 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点6 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. , 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2））.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点7 三角形的分类 1.按角分类：三角形 2.按边分类： 3.直角三角形：直角三角形可用符号“Rt△”表示，夹直角的两边叫作直角边（边AC和BC是Rt△ABC的直角边），直角的对边叫作斜边（边AB是Rt△ABC的斜边）. 4.等腰直角三角形：特别地，两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形. 知识点8 三角形的内角 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明： 法一：拼减法 法二：利用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：如图13.3-2，过点A作直线l，使l∥BC. ∵ l∥BC ∴ ∠2=∠4（两直线平行，内错角相等） 同理∠3=∠5 ∵ ∠1，∠4，∠5组成平角 ∴ ∠1+∠4+∠5=180°（平角定义） ∴ ∠1+∠2+∠3=180°（等量代换） 知识点9 三角形的外角 1.定义：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°； ∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B； ∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 题型专练 题型1. 三角形的识别 【例1】（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，下列图形中是三角形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形的定义，即可求解．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形是三角形． 【详解】解：依题意，只有（1）是三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 【变式1】（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（    ）对． A．8 B．16 C．24 D．32 【分析】根据有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，首先确定三角形的边，然后确定三角形即可． 【详解】解：以AB为公共边的三角形有：△ABD和△ABC； 以AC为公共边的三角形有：△ACE和△ACB； 以AD为公共边的三角形有：△ADE和△ABD； 以AE为公共边的三角形有：△AED和△AEC； 以BC为公共边的三角形有：△BCO和△BCA和△BCD和△BCE，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对； 以BD为公共边的三角形有：△BDC，△BDE，BDA任何两个都是3对共边三角形； 以BE为公共边的三角形有：△BEO，△BED，△BEC任何两个都是3对共边三角形． 以OB为公共边的三角形有：△OBE和△OBC； 以CD为公共边的三角形有：△CDO和△CDB和△CDE任何两个都是3对共边三角形． 以CE为公共边的三角形有：△CED，△CEA，△CEB任何两个都是3对共边三角形； 以CO为公共边的三角形有：△COD和△COB； 以DE为公共边的三角形有：△AED和△OED和△BED和三角CED，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对； 以OD为公共边的三角形有：△ODC和△ODE； 以OE为公共边的三角形有：△OBE和△ODE． 共32对． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了共边三角形的定义，正确理解定义是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 由D、E、C三点分别与端点相连，可构成3个三角形， 【详解】解：图中以为边的三角形有：，，．共有3个． 故选：B． 题型2. 等腰三角形的定义 【例1】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知a、b、c是的三条边，且满足 则一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，根据已知等式因式分解得，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴一定是等腰三角形． 故选A． 【例2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，时，都能得到符合题意的等腰三角形． ∴这样的直线最多可画4条． 故选：B． 【变式1】（2025·广东清远·一模）将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D． 【分析】本题考查了等腰三角形定义，根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 【详解】解：是一个等腰三角形，， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 的周长为或． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）以下三条线段可以构成三角形的一组是（    ） A．1、2、3 B．3、4、5 C．1、1、3 D．以上都不能 【分析】本题考查了三角形三边关系定理. 根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边.对于每组线段，只需验证最长边是否小于其余两边之和即可. 【详解】A：1、2、3，最长边为3，，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形； B：3、4、5，最长边为5，，满足条件，可以构成三角形； C：1、1、3，最长边为3，，不满足条件，无法构成三角形； D：因选项B符合条件，故D错误； 故选：B． 题型3. 三角形的三边关系 【例1】（2025·河南南阳·三模）三角形的三条边分别为，a，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形三边关系，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，列出不等式，再解得a的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵三条边分别为 、、，且， ∴， ∴，故选：B． 【例2】（24-25七年级下·四川成都·期末）小颖想用三根木棒摆成一个三角形，其中两根木棒的长度分别为和，则第三根木棒的长度可以是（   ） A． B． C． D． 【分析】设第三边长为x，根据题意，得即，解答即可． 本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为x，根据题意，得即， 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·广东清远·期中）一个等腰三角形的两边长为3和7，则此三角形的周长为 ． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的等腰，构成三角形的条件，分腰长为3和腰长为7两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长分别为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长分别为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此三角形的周长为； 综上所述，此三角形的周长为， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作边上的高即过点向边引垂线，垂足为即可． 【详解】解：由题意，作图正确的是： 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·广东梅州·期中）作的边上的高，下列作法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查画三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键 根据三角形的高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：作边上的高，是从顶点出发，引对边的垂线段， 据此，符合题意的是； 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长可以是 ．（写出一个即可） 【分析】此题考查了三角形的三边关系，设第三条边的长为，根据三角形的三边关系"任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边"求出第三边的取值范围，进而即可求解，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三条边的长为，则， 即， ∴第三条边的长可以是， 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·全国·假期作业）已知一个等腰三角形的一边长为4． （1）若另一边长为5，则该等腰三角形的周长是 ； （2）若另一边长为2，则该等腰三角形的周长为 ； （3）若周长为9，则该等腰三角形的另两边长分别是 ． 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题中需要用到分类讨论思想，并验证是否符合三边关系． （1）题中没有明确指出4和5哪条是腰，需要分类讨论，并验证是否符合三边关系； （2）同（1）方法，明显不符合三边关系，需舍去； （3）需要分别讨论4是腰还是底边，再根据三边关系，进而求解． 【详解】解：（1）当底边为4，腰为5时，此时三边为，符合三边关系，则周长为14； 当底边为5，腰为4时，此时三边为，符合三边关系，则周长为13； 故答案为：14或13． （2）当底边为2，腰为4时，此时三边为，符合三边关系，则周长为10； 当底边为4，腰为2时，此时三边为，不符合三边关系，舍去． 故答案为：10． (3)若周长为9，底边为4时，腰为，此时三边为，符合三边关系， ∴等腰三角形的另两边长2.5和2.5； 若周长为9，腰为4时，底边为，此时三边为，符合三边关系， ∴等腰三角形的另两边长4和1． 故答案为：2.5，2.5或4，1． 题型4. 三角形的高 【例1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，于．图中线段可作为的高的有(   )条． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向它对边所作垂线段即是三角形的高，三角形共有三条高，它们交于一点．根据三角形高的概念求解即可．过的一个顶点且垂直于对边的线段是三角形的高． 【详解】解：根据三角形高的定义，上的高是，上的高是，上的高是．共3条， 故选：D． 【例2】（2025·吉林长春·二模）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的角平分线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形，根据是的角平分线，可推出是 的角平分线，再根据翻折可知道 与 是对称点，即可求出答案． 【详解】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件只有B． 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·北京·期末）已知一个三角形的两边长分别是和，若第三边的长为（是整数），则最大为 ． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据题意得出的范围，进而根据是整数，求得最大整数解，即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是和，若第三边的长为， ∴， ∴， ∵是整数， ∴最大为， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·广西贵港·期末）如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【分析】本题主要考查三角形面积、平行线的性质等知识点，发现等底等高的两三角形是解题的关键． 如图：连接，因为，所以两平行线间的距离处处相等，易得、的面积与的面积，即可解决． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴ ∴，即， 同理： ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则 【分析】本题考查了三角形的面积．根据，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型5. 三角形的角平分线 【例1】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线的性质，一元一次方程的应用，根据题意先画出图形，设腰，由中线性质可得，再分和两种情况，列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，中，，为的中线， 设腰， ∵为的中线， ∴， ∵中线将它的周长分成和两部分, 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴等腰三角形的腰长为或， 故选：． 【例2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）中，，边上的高，，则的面积是 ． 【分析】本题考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式、分类讨论进行画图是解题的关键．由题意，分别讨论在内部和在外部两种情况，求出的长度，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图所示，当在内部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 如图所示，当在外部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 综上，的面积是或， 故答案为：或． 【变式1】（2025·甘肃平凉·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键． 根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解． 【详解】解：的周长为， ∴， ∵是边上的中线， ∴，则， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为， 故选：A ． 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 根据角平分线的性质可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可． 【详解】如下图，连接，过作于，于， 、分别平分和， ∴是的平分线， ∵，， ∴， 的周长是， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·北京·期中）如图，中，是的平分线，交于点，若，，则的长为 ． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质，以及等角对等边，熟练掌握等角对等边是解题的关键． 根据是的平分线，推出，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 题型6. 根据三角形的中线求长度 【例1】（2025·陕西西安·一模）如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了三角形的周长公式和三角形中线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形中线的定义．利用三角形中线定义和周长公式即可求出答案． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ∵周长为， ∴， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵， ∴，故选：D． 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）在中，，边上的中线把的周长分为和的两部分，求的长． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的中线，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由三角形的中线得到，分两种情况讨论，①当时；②当时，进行求解即可． 【详解】解：因为为边上的中线，所以， 又因为， 所以． 分两种情况：①当时，， 解得， 所以． 因为， 所以； ②当时，， 解得， 所以． 因为， 所以． 所以的长为或． 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，．若中线，且，则的面积为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线将三角形面积分成相等的两部分，根据已知求出，由是中线可得． 【详解】解：∵，． ， ∴， ∵是中线， ∴， ∴ 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，，是的中线．若的周长为14，求的周长． 【分析】本题主要考查了三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的定义是解题关键．先根据三角形的中线可得，再根据三角形的周长公式可得，从而可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为14，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长为． 【变式3】（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 题型7. 根据三角形的中线求面积 【例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（    ） A．3 B．2 C． D．4 【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形的中线等知识点，能灵活运用三角形的中线以及等分线求面积成为解题的关键． 由、、可以求出的面积和的面积，再结合图形可得即可解答． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ∵， ∴，， ， ． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F，若，则的面积为（  ） A．48 B．64 C．72 D．80 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，解题的关键是理解并灵活应用高相等，底之比等于面积之比． 根据，点是的中点，求出和的长度，进而求出三角形的面积，根据高相等面积之比等于底之比，即可求出的面积，得出的面积，根据为中线，得出与的面积相等，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ，点是的中点， ， ，且， ， 又∵， ， ， ． 故选：D． 【例3】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，分别是的高线和中线，若，求和的面积． 【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键． 根据三角形的中线得到，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：∵分别是的高线和中线，， ∴， ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据直角三角形，锐角三角形以及钝角单脚的定义分析即可． 【详解】解∶ 已知此三角形露出的一个角是锐角． 对于锐角三角形，它的三个角都是锐角所以仅一个锐角不能确定它就是锐角三角形． 对于直角三角形，除了一个直角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角也不能排除它是直角三角形． 对于钝角三角形，除了一个钝角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角同样不能排除它是钝角三角形． 因此，仅根据露出的这一个锐角，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形，此三角形的类别无法确定． 故选：D 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，点D是边上一点，连接，点P是的中点，连接并延长交于点E，若，． (1)设的面积为S，求的面积（用含S的式子表示）； (2)请判断与的数量关系，并说明理由． 【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． （1）根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可； （2）连接，设，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积表示出来，列关于、的等式，从而求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， ． （2）如图，连接． 设，则， 点是的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 【变式3】（2024七年级上·四川成都·专题练习）如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 【分析】本题考查了三角形中线有关的面积，由边之间的关系得，，阴影部分的面积转化成的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ，， ，，， ， ， ， 解得∶， 故阴影部分的面积为． 题型8. 三角形的分类 【例1】（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【分析】本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 设，则，根据列方程求出，，然后根据三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． ∴为直角三角形． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）在中，，则的形状为 ．（按角分类） 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的分类，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理． 根据三角形的内角和定理和角之间的关系，可得三角形最大的内角的度数，按角分类即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴是直角三角形． 题型9. 三角形内角和定理 【例1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 证法1中，利用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补求证；证法2中，利用两直线平行内错角相等，构造一个平角求证． 【详解】证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 证法2：如图，过点作，     ， ，，     ，     . 【例2】（24-25七年级下·四川成都·期中）在中，，，是的角平分线，若是的高，求的度数． 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，垂直的定义等知识，属于基础题；由三角形内角和可求得，由角平分线定义求得；再由垂直定义及三角形内角和得，由两角差即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴； ∵是的角平分线， ∴； ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 【例3】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是________（填序号）． ，，；，，；，，． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 【分析】本题考查了“准互余三角形”定义，三角形内角和定理，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据“准互余三角形”即可求解； （）根据“准互余三角形”可得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）根据“准互余三角形”进行求证即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ，，，不符合题意； ，能构成“准互余三角形”； ，能构成“准互余三角形”； 故选：； （2）解：因为为“准互余三角形”，和是“准互余角”，， 所以， 所以， 又因为， 所以； （3）解：因为平分， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以是“准互余三角形”． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图是三座城市的平面图，市在市北偏西方向（）处，市在市北偏东方向（），市在市南偏东方向（）处． (1)求的度数． (2)甲、乙两辆车分别从市和市同时开往市，其中乙车速度为，甲车速度至少为多少，才能不比乙车晚到达市？ 【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，角的和差，三角形内角和定理以及一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）根据，得到，所以，在中，根据三角形内角和定理求解即可． （2）设甲车速度为，根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：处在处北偏西方向，处在处北偏东方向，处在处南偏东方向， ，，， ， ， ， 在中，． （2）设甲车速度为，根据题意得， 解得：， 答：甲车速度至少为，才能不比乙车晚到达市． 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是要分两种情况讨论． （1）由角平分线定义得到，由平行线的性质推出； （2）分和两种情况，由三角形内角和定理，即可计算． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：，， ∴， 当时， ； 当时， ， ， ； 或． 【变式3】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，过点C作的平行线，交的延长线于点E，D在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用角平分线的定义和平行的性质，得出相等的角，利用等量代换得出，即可得出平行线； （2）利用平行的性质得到，然后根据等量代换得出，最后利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴, ∵， ， ， ∵， ， ∴； （2）解：由（1）得， 又， ∴， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ∴． 题型10. 三角形外角的定义及性质 【例1】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，平分，，．求的度数． 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线，先根据角平分线的定义求出度数，然后在中，根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解∶ 平分， ， ， 又是的外角， ． 【例2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，中，D为边上一点，过点D作，交于点E，F为边上一点，连接并延长，交的延长线于点G，且． (1)试说明平分； (2)若，，求的度数． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理；解题的关键是能融会贯通综合运用这些性质和定理． （1）根据得到，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 因为， 所以， 所以平分． （2）解：因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以． 【例3】（24-25七年级下·北京东城·期末）如图，，点在边上，过点作直线，交于点，平分．    (1)求证：； (2)求的度数． 【分析】此题考查了平行线的判定、三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的判定是关键． （1）证明，根据内错角相等两直线平行即可得到结论； （2）根据三角形外角的性质即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ 【变式1】（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质，三角形中线的性质，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由三角形外角的性质可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）由三角形中线的定义可得，则由三角形周长计算公式可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比周长小， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图①，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则________；（直接写出答案）若，则________；（直接写出答案） （2）写出与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】解：（1）∵分别是和的平分线，，， ∴， ∴． ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ； （3）． 如图，延长，交于点E，由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． 【变式3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵ ∴ ∴； （2）①如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，在直线上取一点，连接， 由①可知， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 2．（24-25七年级下·四川内江·期中）已知一个三角形的面积是60，若三角形的底是10 m，该底上的高是x m，则x的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确得到方程是解题的关键． 根据三角形面积公式直接列方程求解． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：C． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）若一个三角形的两边长为5和9，则第三边长可能是（    ） A．15 B．14 C．5 D．4 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，求得该三角形第三边的取值范围是解题的关键． 根据第三边的长度必须大于已知两边之差且小于两边之和，据此求出第三边的取值范围即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 由三角形三边关系可得，即． 所以A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意． 故选C． 4．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【分析】本题考查利用中线的性质求三角形的面积，解题的关键是掌握“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”． 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：点F是的中点， ， 中边上的高与中边上的高相等， ， 同理，E是的中点， ，， ， ， 的面积等于， 即阴影部分图形的面积为．故选：C 5．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 先求出，进而求出，再根据角平分线定义得及，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交分线交于点， ∴， ∴． ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：． 故选：C． 6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，三角板（其中，）和三角板（其中，）按照如图所示的位置摆放，点在边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点P，由平行线的性质得出，由三角形内角和定理得，从而可求出的度数 【详解】解：∵， ∴ 延长交于点P，如图， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ 故选：D 7．（2025·山西运城·三模）如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，交于点，．下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质得到，，由折叠得到，，，即可求解，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∵， ∴，， 由折叠可知，，， ∴，， ∴， ∴A，B，C错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 8．（24-25七年级下·河南安阳·期末）将一副三角尺的直角顶点重合按如图放置，其中，，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】本题考查与三角板有关的角度关系，三角形内角和定理，平行线的判定与性质，数形结合，得到各个角之间的关系是解决问题的关键． 由三角板各个角的度数，数形结合，利用三角形内角和定理，平行线的判定与性质，按照结论逐项证明即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴，， ， ， 故A正确，不符合题意； 如图所示：    ，， 在中，， ， ， 若，则，故B错误，符合题意； 如图所示：    ，， ， 若，则，故C正确，不符合题意； 如图所示：        ，， 在中，， ， ， 由内错角相等，两直线平行可得， 若，则，故D正确，不符合题意；故选：B． 9．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义．根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中线， ∴， 故选：B． 10．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（   ） ①的周长的周长；②；③；④；⑤ A．①③⑤ B．①②④ C．①③④⑤ D．②③④ 【分析】由是高，是中线，是角平分线，可得，，，，根据的周长的周长为，可判断①的正误；由，可得，则，，即，进而可判断②的正误；由，可得的面积的面积，进而可判断③的正误；由，可得，进而可判断④的正误；由，可得，解得，进而可判断⑤的正误． 【详解】解：∵是高，是中线，是角平分线， ∴，，，， ∴的周长的周长为，①正确，故符合要求； ∴，则的面积的面积，③错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∴， ， ∴，②正确，故符合要求； ∵， ∴，④正确，故符合要求； ∵， ∴，解得，⑤错误，故不符合要求， ∴①②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的角平分线，中线，高．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题 11．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于 ． 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题中需要用到分类讨论思想，并验证是否符合三边关系． 题中没有明确指出3和6哪条是腰，需要分类讨论，并验证是否符合三边关系； 【详解】解：①当腰为6时，符合三边关系，故周长为：； ②当腰为3时， ∵，不符合三边关系，舍去， 综上，此等腰三角形的周长是15． 故答案为：15． 12．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）如果三角形的三边长分别是，4，，那么的取值范围 ． 【分析】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边；根据三角形的三边关系列式计算即可求解． 【详解】解：由三角形任意两边的和大于第三边以及三角形任意两边之差小于第三边可知： ，即：， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，若，，则的度数是 ． 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角和为，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ 故答案为：． 14．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，将旋转至，若 ，，，则 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键；根据三角形内角和定理得出，根据旋转的性质得出，根据，即可求解． 【详解】解：，， ， 将旋转至， ， ， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为 ． 【分析】本题考查了三角形的外角性质、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．延长，交于点，先根据角平分线的定义可得，，再设，，则，，根据三角形的外角性质可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， 由三角形的外角性质得：， 即， 由①②得：，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·四川达州·期中）在中，，E是上的一点，且与相交于点F，．若的面积为1，则的面积为 ． 【分析】本题考查三角形面积计算， 三角形中线的性质，解题关键是同高三角形面积比等于底的比，三角形中线分得的两个三角形面积相等． 根据高相等的三角形，面积比等于底的比得到，再根据三角形中线分得的三角形面积相等得到，，从而得到，两式相减，得到，由，、上的高相等，所以，从而即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，三边的中线、、的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【分析】本题考查三角形中线的性质，重心的性质．要求图中阴影部分的面积，可以先求出两部分阴影的面积，即和的面积，再求和； 由题意可知点G是的重心，由三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得； 利用三角形重心的性质可得、，代入已知条件即可求出和的面积． 【详解】解：是的中线， ， 三边的中线、、的公共点为， 点G是的重心， ，， 图中阴影部分的面积， 故答案为：9． 18．（24-25七年级下·云南临沧·阶段练习）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为点，若，则的度数为 ． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质以及翻折的性质，掌握平行线的性质是解答本题的关键． 根据，可得，根据翻折的性质得，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：由长方形纸片可知：， ， 由翻折的性质得：， ， 故答案为： 19．（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知中，，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及三角形的分类．利用三角形的内角和定理求得的度数即可判断． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴是钝角三角形， 故答案为：钝角． 20．（24-25七年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下列说法正确的有 个． ①的面积与的面积相等；②；③；④ 【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义可对③进行判断，根据已知条件不能推出，故④错误． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， 设边上的高为， ∵ ∴，故①正确； ∵是高， ∴ ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 而， ∴，故③正确． 根据已知条件不能推出，故④错误； 综上所述，说法正确的共3个． 故答案为：3 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 三、解答题 21．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． (1)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (2)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （2）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； （2）解：设， 由题意可得：， 解得：． 22．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，中，D是边上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若， (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质和已知条件证明，则可证明； （2）根据（1）可得的度数，再由三角形内角和定理可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 23．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，三角形高线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据角平分线定义求出，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解； （2）根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：在中，，是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ． （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．由平行线的性质得出，，，，等量代换可得出，再根据平角的定义得出，等量代换可得出． 【详解】证明：在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F． ∵， ∴，， ∵ ∴，， ∴, ∵， ∴． 25．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，分别为，的角平分线，与相交于点． (1)若，，则_____度； (2)求证：； (3)直接写出与，，的数量关系． 【分析】（1）根据题意，得，，根据解答即可； （2）根据三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线证明即可； （3）根据（2）证明可以直接写出结论． 本题考查了三角形内角和定理应用，三角形外角性质，角的平分线，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵，分别为，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵，分别为，的角平分线， ∴， ∵， ∴． 26．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知，如图，在中，是高，的平分线交于点． (1)求证：． (2)若，则的度数为_____． (3)若，，，则的长度为_____． 【分析】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线和高等知识，熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质是关键． （1）根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可证明结论； （2）根据三角形内角和定理和角平分线求出，再根据三角形外角的性质即可得到答案； （3）利用等积法即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点． ∴， ∵是高， ∴ ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵的平分线交于点． ∴， ∴ （3）∵，，，是高， ∴ ∴ 故答案为： 27．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，直线，点E、F分别在直线上，点P是直线外一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，过点E作的角平分线交的延长线于点H，的角平分线交的延长线于点N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)如图3，若点P在直线的上方，且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 【分析】本题考查平行线判定和性质，角平分线的定义，三角形外角与内角的关系，根据题意理清各角之间的关系是解题关键． （1）过作，根据平行线的性质可得； （2），根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得，进而可得结论； （3）根据角平分线的定义和平行线的性质分情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图，过作， ， ， ，， ． 故； （2）解：，理由如下： 如图， 理由：平分，平分， ，， ， ， 由（1）得，， ， ， 与互补， ， 整理得，， ； （3）解：①当点P在上方，且在直线左侧时，． 如图， ， ，， 平分，平分， ，， ，， ， ． ②当点P在上方，且在直线右侧时，．如图， ， ， ， 由（1）得，， ， ． 综上，或． 28．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差； (2)若边上的高为，求边上的高． 【分析】（1）根据三角形中线将与的周长之差转换为和的差即可得出答案； （2）设边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：的周长为， 的周长为， ∵是的边上的中线， ∴， ∴； （2）设边上的高为， ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 29．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，探索、之间的数量关系． 【分析】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由三角形内角和定理可求出，再根据角平分线的定义可得出，，从而可求出，最后再次利用三角形内角和定理即可求出； （2）由三角形内角和定理和角平分线定义可求出，再根据角平分线的定义得出，从而可求出，最后再次利用三角形内角和定理即可求出．由此可得． 【详解】（1）解：在中，， ； 平分平分； ； ； ； （2）平分平分； 设； ； 得：； 平分平分； 设； ，，， ； ； ； ； ， 、之间的数量关系为． 30．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【问题情境】 在我们华东师大版义务教育教科书数学七下第86页曾经研究过三角形的外角性质问题．奋进小组想用学过的知识推出结论：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并运用此结论进行了深入的研究． 【推理论证】 （1）下面是奋进小组在推理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的部分过程． 如图1：已知是的一个外角．请说明：． 解：在中，（依据：___________），且___________， ___________． 请你把上面过程中的空缺处补充完整． 【变式探究】 （2）如图2：平分，且与的外角的平分线交于点． ①若，，则的度数为___________； ②在（2）的条件下，若将①中的条件“，”去掉，试探究与有何数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3：，点A、B分别在射线上移动（不与点O重合），的平分线的反向延长线与的平分线相交于点，的度数___________（填“会”或“不会”）随着A、B的移动而发生变化．若不会，则为___________度；若会，请说明理由． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由角形内角和定理得到，由平角定义得到，即可得出答案； （2）①由外角的性质得到，由角平分线的性质得到，，即可求解； ②由角平分线的性质得到，由外角的性质得到，，即可得出答案； （3）由外角的性质和角平分线的性质求出是一个定值，即可得出答案． 【详解】解：在中，（三角形内角和定理），且， ， 故答案为：三角形内角和定理，，； （2）①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②（或），理由如下： 如图： ∵平分平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴； （3）∵是的外角，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴是一个定值， ∴的度数不会随着A、B的移动而发生变化， 故答案为：不会，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 01讲 认识三角形 题型归纳 【题型1. 三角形的识别】……………………………………………………………… 5 【题型2. 等腰三角形的定义】………………………………………………………… 6 【题型3. 三角形的三边关系】………………………………………………………… 7 【题型4. 三角形的高】………………………………………………………………… 8 【题型5. 三角形的角平分线】………………………………………………………… 9 【题型6. 根据三角形的中线求长度】………………………………………………… 10 【题型7. 根据三角形的中线求面积】………………………………………………… 12 【题型8. 三角形的分类】……………………………………………………………… 14 【题型9. 三角形内角和定理】………………………………………………………… 14 【题型10. 三角形外角的定义及性质】………………………………………………… 17 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 21 知识清单 知识点1 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的 公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的 内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三 角形的边；点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 知识点2 等腰三角形 1.定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形 . 2.元素：其中相等的边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. 3.等边三角形：三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形） . 【提示】 （1）等边三角形是特殊的等腰三角形； （2）等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形. 知识点3 三角形的边 1.三角形的边：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边. 2.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.（三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用） 【提示】 （1）三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三边中的任意一边； （2）判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 知识点4 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. 【提示】 （1） 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； （2） 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； （3） 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 知识点5 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点6 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. , 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2））.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点7 三角形的分类 1.按角分类：三角形 2.按边分类： 3.直角三角形：直角三角形可用符号“Rt△”表示，夹直角的两边叫作直角边（边AC和BC是Rt△ABC的直角边），直角的对边叫作斜边（边AB是Rt△ABC的斜边）. 4.等腰直角三角形：特别地，两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形. 知识点8 三角形的内角 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明： 法一：拼减法 法二：利用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：如图13.3-2，过点A作直线l，使l∥BC. ∵ l∥BC ∴ ∠2=∠4（两直线平行，内错角相等） 同理∠3=∠5 ∵ ∠1，∠4，∠5组成平角 ∴ ∠1+∠4+∠5=180°（平角定义） ∴ ∠1+∠2+∠3=180°（等量代换） 知识点9 三角形的外角 1.定义：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°； ∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B； ∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 题型专练 题型1. 三角形的识别 【例1】（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，下列图形中是三角形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（    ）对． A．8 B．16 C．24 D．32 【变式2】（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型2. 等腰三角形的定义 【例1】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知a、b、c是的三条边，且满足 则一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【例2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【变式1】（2025·广东清远·一模）将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）以下三条线段可以构成三角形的一组是（    ） A．1、2、3 B．3、4、5 C．1、1、3 D．以上都不能 题型3. 三角形的三边关系 【例1】（2025·河南南阳·三模）三角形的三条边分别为，a，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·四川成都·期末）小颖想用三根木棒摆成一个三角形，其中两根木棒的长度分别为和，则第三根木棒的长度可以是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·广东清远·期中）一个等腰三角形的两边长为3和7，则此三角形的周长为 ． 【变式1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东梅州·期中）作的边上的高，下列作法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长可以是 ．（写出一个即可） 【变式4】（24-25七年级下·全国·假期作业）已知一个等腰三角形的一边长为4． （1）若另一边长为5，则该等腰三角形的周长是 ； （2）若另一边长为2，则该等腰三角形的周长为 ； （3）若周长为9，则该等腰三角形的另两边长分别是 ． 题型4. 三角形的高 【例1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，于．图中线段可作为的高的有(   )条． A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（2025·吉林长春·二模）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·北京·期末）已知一个三角形的两边长分别是和，若第三边的长为（是整数），则最大为 ． 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【变式2】（24-25七年级下·广西贵港·期末）如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【变式3】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则 题型5. 三角形的角平分线 【例1】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 【例2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）中，，边上的高，，则的面积是 ． 【变式1】（2025·甘肃平凉·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 【变式3】（24-25八年级上·北京·期中）如图，中，是的平分线，交于点，若，，则的长为 ． 题型6. 根据三角形的中线求长度 【例1】（2025·陕西西安·一模）如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）在中，，边上的中线把的周长分为和的两部分，求的长． 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，．若中线，且，则的面积为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，，是的中线．若的周长为14，求的周长． 【变式3】（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 题型7. 根据三角形的中线求面积 【例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（    ） A．3 B．2 C． D．4 【例2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F，若，则的面积为（  ） A．48 B．64 C．72 D．80 【例3】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，分别是的高线和中线，若，求和的面积． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，点D是边上一点，连接，点P是的中点，连接并延长交于点E，若，． (1)设的面积为S，求的面积（用含S的式子表示）； (2)请判断与的数量关系，并说明理由． 【变式3】（2024七年级上·四川成都·专题练习）如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 题型8. 三角形的分类 【例1】（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【变式1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）在中，，则的形状为 ．（按角分类） 题型9. 三角形内角和定理 【例1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 【例2】（24-25七年级下·四川成都·期中）在中，，，是的角平分线，若是的高，求的度数． 【例3】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是________（填序号）． ，，；，，；，，． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图是三座城市的平面图，市在市北偏西方向（）处，市在市北偏东方向（），市在市南偏东方向（）处． (1)求的度数． (2)甲、乙两辆车分别从市和市同时开往市，其中乙车速度为，甲车速度至少为多少，才能不比乙车晚到达市？ 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，过点C作的平行线，交的延长线于点E，D在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型10. 三角形外角的定义及性质 【例1】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，平分，，．求的度数． 【例2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，中，D为边上一点，过点D作，交于点E，F为边上一点，连接并延长，交的延长线于点G，且． (1)试说明平分； (2)若，，求的度数． 【例3】（24-25七年级下·北京东城·期末）如图，，点在边上，过点作直线，交于点，平分．    (1)求证：； (2)求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【变式2】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图①，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则________；（直接写出答案）若，则________；（直接写出答案） （2）写出与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【变式3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川内江·期中）已知一个三角形的面积是60，若三角形的底是10 m，该底上的高是x m，则x的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）若一个三角形的两边长为5和9，则第三边长可能是（    ） A．15 B．14 C．5 D．4 4．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 5．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，三角板（其中，）和三角板（其中，）按照如图所示的位置摆放，点在边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山西运城·三模）如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，交于点，．下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·河南安阳·期末）将一副三角尺的直角顶点重合按如图放置，其中，，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 10．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（   ） ①的周长的周长；②；③；④；⑤ A．①③⑤ B．①②④ C．①③④⑤ D．②③④ 二、填空题 11．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于 ． 12．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）如果三角形的三边长分别是，4，，那么的取值范围 ． 13．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，若，，则的度数是 ． 14．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，将旋转至，若 ，，，则 15．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为 ． 16．（24-25七年级下·四川达州·期中）在中，，E是上的一点，且与相交于点F，．若的面积为1，则的面积为 ． 17．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，三边的中线、、的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是 ． 18．（24-25七年级下·云南临沧·阶段练习）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为点，若，则的度数为 ． 19．（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知中，，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 20．（24-25七年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下列说法正确的有 个． ①的面积与的面积相等；②；③；④ 三、解答题 21．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． (1)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (2)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 22．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，中，D是边上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若， (1)求证：． (2)若，，求的度数． 23．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 24．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 25．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，分别为，的角平分线，与相交于点． (1)若，，则_____度； (2)求证：； (3)直接写出与，，的数量关系． 26．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知，如图，在中，是高，的平分线交于点． (1)求证：． (2)若，则的度数为_____． (3)若，，，则的长度为_____． 27．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，直线，点E、F分别在直线上，点P是直线外一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，过点E作的角平分线交的延长线于点H，的角平分线交的延长线于点N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)如图3，若点P在直线的上方，且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 28．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差； (2)若边上的高为，求边上的高． 29．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，探索、之间的数量关系． 30．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【问题情境】 在我们华东师大版义务教育教科书数学七下第86页曾经研究过三角形的外角性质问题．奋进小组想用学过的知识推出结论：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并运用此结论进行了深入的研究． 【推理论证】 （1）下面是奋进小组在推理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的部分过程． 如图1：已知是的一个外角．请说明：． 解：在中，（依据：___________），且___________， ___________． 请你把上面过程中的空缺处补充完整． 【变式探究】 （2）如图2：平分，且与的外角的平分线交于点． ①若，，则的度数为___________； ②在（2）的条件下，若将①中的条件“，”去掉，试探究与有何数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3：，点A、B分别在射线上移动（不与点O重合），的平分线的反向延长线与的平分线相交于点，的度数___________（填“会”或“不会”）随着A、B的移动而发生变化．若不会，则为___________度；若会，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$