精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区2024—2025学年下学期七年级期末数学试卷（五四学制）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市香坊区七年级（下） 期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，需满足：①含有两个未知数；②含未知数的项的次数均为1；③为整式方程. 【详解】解：选项A：，仅含一个未知数x，属于一元一次方程，不符合条件①； 选项B：，含两个未知数x和y，且次数均为1，方程两边均为整式，符合所有条件，是二元一次方程； 选项C：，含两个未知数，但的分母含未知数y，不是整式方程，不符合条件③； 选项D：，含两个未知数，但项的次数为，属于二次方程，不符合条件②； 综上，正确答案为B. 故选：B. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出原不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解决即可． 【详解】解：， ． 表示在数轴上是： 故选：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能正确在数轴上表示不等式的解集是解此题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的坐标判断所在的象限即可． 【详解】解：点， 点位于第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，掌握如果点位于第四象限，则，是解题的关键． 4. 下列各数中，是无理数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的识别，根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数即可. 【详解】解：选项A：3.14是有限小数，属于有理数； 选项B：是分数，可表示为整数之比，属于有理数； 选项C：中，无法化简为整数或分数，属于无理数； 选项D：，结果为整数，属于有理数； 综上，只有选项C是无理数； 故选：C． 5. 画出的边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了画三角形的高，根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可，正确理解三角形的高的定义是解题的关键． 【详解】解：过点作边的垂线，垂线段为边上的高， 所以选项的画法正确． 故选：． 6. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．根据不等式的基本性质逐一分析各选项即可. 【详解】解： ， ∴，，， ∴A符合题意，B，D不符合题意； ∵， ∴， ∴C不符合题意， 故选A. 7. 如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理； 三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 由题意得到， 由三角形三边关系定理得到， ， 的长不可能是， 故选：D． 8. 定义运算为，例如，当，时，，已知，则满足条件的一组和的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程的解，根据定义的新运算，将各选项代入验证即可，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 、当时，，符合题意； 、当时，，不符合题意； 、当时，，不符合题意； 、当时，，不符合题意； 故选：． 9. 哈尔滨市某公交公司响应政府新能源政策，计划共利用万元补贴资金购买新能源公交车以及更换部分原有车辆的动力电池已知每购买一辆新能源公交车可获补贴万元，每给一辆旧车更换动力电池可获补贴万元，且更换动力电池的车辆数是购买新能源公交车辆数的倍设该公交公司购买新能源公交车辆，更换动力电池的车有辆，恰好用完所有补贴，则下列方程组中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查是二元一次方程组的应用，根据题意，确定相等关系，建立方程组即可. 【详解】解：总补贴金额关系：购买新能源公交车每辆补贴11.8万元，共x辆，对应金额为万元；更换动力电池每辆补贴4.2万元，共y辆，对应金额为万元；总金额为202万元，因此方程为： 数量倍数关系：更换动力电池的车辆数是购买新能源公交车的2倍，即； ∴， 故选B 10. 下列条件： 在中，，都是锐角； 在中，； 在中，； 的三个内角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的条件有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的分类，三角形的内角和定理的应用，判断每个条件是否能确定为直角三角形，逐一分析后统计符合条件的个数. 【详解】解：①∵，都是锐角； ∴不一定为， ∴不一定为直角三角形；不符合题意； ②∵， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴为直角三角形；符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意； ④∵的三个内角的度数之比是． 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴不为直角三角形；不符合题意； 能确定为直角三角形的有2个， 故选：B． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 已知二元一次方程，用关于的代数式表示，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握用一个未知数表示另一个未知数的方法是解题的关键．通过移项即可得出用关于的代数式表示． 【详解】解：， 移项，得：， 故答案为：． 12. 的算术平方根是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根定义．一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根；据此进行求解即可． 【详解】解：∵ 的算术平方根是． 故答案为：． 13. 如图，为了解学生阅读习惯，学校对七年级名学生每周课外阅读时长进行统计，并根据收集的数据画出了频数分布直方图由于不小心，有一个小长方形被墨水盖住了根据已有信息，被调查的学生中每周课外阅读时长在小时的学生有______人 【答案】8 【解析】 【分析】根据各组人数之和等于总人数求解即可． 本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握各组人数之和等于总人数． 【详解】解：被调查的学生中每周课外阅读时长在小时的学生有人， 故答案为：． 14. 已知线段轴，点的坐标为，点的坐标为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行计算即可． 本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：因为点的坐标为，点的坐标为，且线段轴， 所以， 解． 故答案为：． 15. 如图，，，则______． 【答案】##101度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键. 根据题意，由已知条件易得，则，又因和互补，得到结果． 【详解】解：如图，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，是的角平分线，，，，则的度数为______度 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的性质、三角形的外角性质，熟记以上知识点是解答此题的关键． 首先根据角平分线的定义求出，由可得出，然后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：在中，是的角平分线，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，解答本题要掌握建立平面直角坐标系的方法．根据以点为原点重新建立直角坐标系，点的横坐标与纵坐标分别为点的横坐标与纵坐标的相反数解答即可． 【详解】解：在方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为，若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为． 故答案为：． 18. 按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据程序操作进行一次就停止了，列出关于的一元一次不等式，解之即可得出输入的的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 19. 某中学组织若干名学生组成冰雪节志愿者小组，负责冰雕展区物资管理若小组中每人分配件工具，则剩余件；若前面每人分配件工具，则最后一人分到了工具但不足件这批工具共有______件 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设该小组共有名学生，则这批工具共有件，根据“若前面每人分配件工具，则最后一人分到了工具但不足件”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可确定的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设该小组共有名学生，则这批工具共有件， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， ， （件）， 这批工具共有件． 故答案为：． 20. 当三角形中一个内角是另一个内角的倍时，称此三角形为“和谐三角形”，其中为“和谐角”若一个“和谐三角形”中有一个内角为，则这个“和谐三角形”的“和谐角”的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，理解“和谐三角形”，“和谐角”的意义是解题的关键. 设第三个角为，分类讨论：已知一个角是，需判断该角是、、还是，分别计算判断即可． 【详解】解：设第三个角为， 当时，，与三角形内角和是相矛盾，舍去； 当时，， 此时，符合题意； 当时，， 所以， 解得， 此时，符合题意； 所以这个“和谐三角形”的“和谐角”的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 解下列二元一次方程组． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的结构灵活选用恰当的方法求解是关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入得， 解得：， 故原方程组的解为； 【小问2详解】 解：原方程组整理得， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故原方程组的解为． 22. 解下列不等式及不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1），数轴见解析 （2），数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项，合并同类项得， 系数化为，得， 把不等式解集表示在数轴上为： 【小问2详解】 解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为， 把不等式组解集表示在数轴上为： ． 23. 已知，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为，．请在所给的平面直角坐标系中按要求完成以下问题： （1）将线段先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后得到线段（点，平移后的对应点分别是点，），画出线段． （2）连接，，直接写出三角形的面积为______． （3）点是轴上的一个动点，当最短时，点的坐标为______，最短的理由是______． 【答案】（1）见解析 （2） （3），垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查作图—平移变换，三角形的面积，垂线段最短，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）根据垂线段最短解决问题即可． 【小问1详解】 解：画出线段，如图所示， 【小问2详解】 连接，，如图， 则三角形的面积； 【小问3详解】 理由是：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 24. 如图中，点在边上，连接，点是上动点（不与、重合），连接． （1）如图，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得 ______， ______． 将不等式左边、右边分别相加，得 ______． ______． （2）如图，延长交于点，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和进而可知三角形的外角大于与它不相邻的内角．点在运动过程中，请直接写出图中一定大于的角（除外）． 【答案】（1），，， （2），，， 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形的外角性质，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的一个外角大于和它不相邻任何一个内角． （1）由三角形两边之和大于第三边，不等式的性质，即可得到答案； （2）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得 ， ， 将不等式左边、右边分别相加，得 ， ， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：依题意，是的外角， 则, 故； 同理得，，． 25. 第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会（哈洽会）期间，某食品企业与俄罗斯供应商及黑龙江本地合作社达成合作，计划采购两种特色商品进行跨境销售已知采购箱俄罗斯巧克力和箱东北木耳共需元，采购箱俄罗斯巧克力和箱东北木耳共需元． （1）求俄罗斯巧克力和东北木耳每箱的采购价格各是多少元？ （2）若该企业计划采购这两种商品恰好共箱，且采购总资金不超过元，则该企业采购俄罗斯巧克力不少于多少箱？ 【答案】（1）俄罗斯巧克力每箱的采购价格是元，东北木耳每箱的采购价格是元 （2）该企业采购俄罗斯巧克力不少于箱 【解析】 【分析】设俄罗斯巧克力每箱的采购价格是元，东北木耳每箱的采购价格是元，根据“采购箱俄罗斯巧克力和箱东北木耳共需元，采购箱俄罗斯巧克力和箱东北木耳共需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设该企业采购俄罗斯巧克力箱，则采购东北木耳箱，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【小问1详解】 解：设俄罗斯巧克力每箱的采购价格是元，东北木耳每箱的采购价格是元， 根据题意得：， 解得：． 答：俄罗斯巧克力每箱的采购价格是元，东北木耳每箱的采购价格是元； 【小问2详解】 解：设该企业采购俄罗斯巧克力箱，则采购东北木耳箱， 根据题意得：， 解得：， 最小值为． 答：该企业采购俄罗斯巧克力不少于箱． 26. 如图，在平面内有，点在平面上，连接、． （1）如图1，试判断与、之间的等量关系，并说明理由． （2）如图2，直接写出与、之间的等量关系______． （3）如图3，当点在右侧时，，点在内部，平分，延长至，过A作于，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、四边形内角和定理、角平分线的定义及垂线的性质，解题的关键是灵活运用上述性质，通过作辅助线或设未知数建立角之间的等量关系． （1）延长交于点M，利用三角形外角性质（外角等于不相邻两内角和），将转化为与的和，再将转化为与的和，从而得关系． （2）利用四边形内角和为，结合的度数，推导出的和的关系． （3）设，利用垂线性质得相关角的度数，结合三角形内角和表示出，再用角平分线得，通过的表达式求，最后利用角的和差求． 【小问1详解】 ， 理由：延长交于点， 是的外角， ； 是的外角， ； ； 【小问2详解】 根据四边形内角和为可知， ， 故答案为：； 【小问3详解】 设， ， ， ， 设线段与交于点，， ， ； 在中，， ， 平分， ， ， ， ． 27. “等面积法”是数学中常用的、重要的解题方法，在下题中也有所体现． 在平面直角坐标系中有，点，在轴上，，点在轴上，交延长线于点，． （1）如图，请直接写出的面积为______，点的坐标为______． （2）如图，若点坐标为，点在轴上点右侧，点在延长线上，连接，，若：：，求点的坐标补充并完成下面解答过程： 解：过作延长线于，， 由：：，可得：______． 在和中，， ______． （3）如图，在（2）的条件下，点在线段上，连接，过作于若，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）：，：：，补充见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键. （1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）过作延长线于，根据三角形面积公式得到，推出，求得，于是得到； （3）过作轴于点，设，，连接，根据三角形的面积公式得到，求得，得到，根据三角形和梯形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ． ； 故答案为：，； 【小问2详解】 过作延长线于，， 由，可得， 和中，， ， ； ， ， 故答案：，； 【小问3详解】 过作轴于点，设，，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市香坊区七年级（下） 期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是二元一次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列各数中，是无理数的有（ ） A. B. C. D. 5. 画出的边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 定义运算为，例如，当，时，，已知，则满足条件的一组和的值是（ ） A. B. C. D. 9. 哈尔滨市某公交公司响应政府新能源政策，计划共利用万元补贴资金购买新能源公交车以及更换部分原有车辆的动力电池已知每购买一辆新能源公交车可获补贴万元，每给一辆旧车更换动力电池可获补贴万元，且更换动力电池的车辆数是购买新能源公交车辆数的倍设该公交公司购买新能源公交车辆，更换动力电池的车有辆，恰好用完所有补贴，则下列方程组中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列条件： 在中，，都是锐角； 在中，； 在中，； 的三个内角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的条件有（ ）个． A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 已知二元一次方程，用关于的代数式表示，则______． 12. 的算术平方根是_____． 13. 如图，为了解学生阅读习惯，学校对七年级名学生每周课外阅读时长进行统计，并根据收集的数据画出了频数分布直方图由于不小心，有一个小长方形被墨水盖住了根据已有信息，被调查的学生中每周课外阅读时长在小时的学生有______人 14. 已知线段轴，点的坐标为，点的坐标为，则______． 15 如图，，，则______． 16. 如图，在中，是的角平分线，，，，则的度数为______度 17. 方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为______． 18. 按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的取值范围是______． 19 某中学组织若干名学生组成冰雪节志愿者小组，负责冰雕展区物资管理若小组中每人分配件工具，则剩余件；若前面每人分配件工具，则最后一人分到了工具但不足件这批工具共有______件 20. 当三角形中一个内角是另一个内角的倍时，称此三角形为“和谐三角形”，其中为“和谐角”若一个“和谐三角形”中有一个内角为，则这个“和谐三角形”的“和谐角”的度数为______． 三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 解下列二元一次方程组． （1）； （2）． 22. 解下列不等式及不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 23. 已知，在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，．请在所给的平面直角坐标系中按要求完成以下问题： （1）将线段先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后得到线段（点，平移后的对应点分别是点，），画出线段． （2）连接，，直接写出三角形的面积为______． （3）点是轴上一个动点，当最短时，点的坐标为______，最短的理由是______． 24. 如图中，点在边上，连接，点是上动点（不与、重合），连接． （1）如图，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得 ______， ______． 将不等式左边、右边分别相加，得 ______． ______． （2）如图，延长交于点，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和进而可知三角形的外角大于与它不相邻的内角．点在运动过程中，请直接写出图中一定大于的角（除外）． 25. 第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会（哈洽会）期间，某食品企业与俄罗斯供应商及黑龙江本地合作社达成合作，计划采购两种特色商品进行跨境销售已知采购箱俄罗斯巧克力和箱东北木耳共需元，采购箱俄罗斯巧克力和箱东北木耳共需元． （1）求俄罗斯巧克力和东北木耳每箱的采购价格各是多少元？ （2）若该企业计划采购这两种商品恰好共箱，且采购总资金不超过元，则该企业采购俄罗斯巧克力不少于多少箱？ 26. 如图，在平面内有，点在平面上，连接、． （1）如图1，试判断与、之间的等量关系，并说明理由． （2）如图2，直接写出与、之间的等量关系______． （3）如图3，当点在右侧时，，点在内部，平分，延长至，过A作于，，求的度数． 27. “等面积法”是数学中常用的、重要的解题方法，在下题中也有所体现． 在平面直角坐标系中有，点，在轴上，，点在轴上，交延长线于点，． （1）如图，请直接写出的面积为______，点的坐标为______． （2）如图，若点坐标为，点在轴上点右侧，点在延长线上，连接，，若：：，求点的坐标补充并完成下面解答过程： 解：过作延长线于，， 由：：，可得：______． 在和中，， ______． （3）如图，在（2）的条件下，点在线段上，连接，过作于若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $