精品解析：河南省开封市祥符区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

河南省开封市祥符区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各项因式分解正确的是( ) A. B. C. D. 3. 若等腰三角形两边长分别是2和6，则它的周长是（ ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8 4. 解方程时： 小明认为：方程两边都乘以，得 小颖认：方程两边都乘以，得 小莉认为：方程两边都乘以，得 以上三位同学的理解，正确的是( ) A. 小明 B. 小颖 C. 小莉 D. 没有错误，三位同学都正确 5. 如图，，O为，的平分线的交点，于E，且，则与之间的距离等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量，现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻12000kg和14000kg．已知第一块试验田每公顷的产业比第二块少1500kg，如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么x满足怎样的分式方程？（ ） A. B. C. D. 7. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知函数与的图象交于，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，点，分别是，上的点，且，点是延长线上一点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上（），将绕点D按顺时针方向旋转a度（F始终在点B上方），则与重叠部分的面积为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（每小题3分，共15分．） 11. 请写出一个所含字母是并且当时没有意义的分式 ________． 12. 不等式的解集为__________ ． 13. 如图，在中，，是的中垂线，分别交、于点、，若，，则___________ ． 14. 如图，在中，，，将沿向右平移得到，若平移距离为2，则四边形的面积等于_____________. 15. 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A出发在上往返运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动．P，Q两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（点P同时也停止运动），设运动时间为秒，若四边形是平行四边形，则t的值是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来； （2）计算：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）已知与关于原点O成中心对称，请在图中画出． 18. 观察下面的等式：，，，…… （1）按上面规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） （2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 19. 如图，在中，，． （1）请上找一点D，使；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，连接，试说明平分． 20. 在学习《三角形的证明》这一章的内容时，小强认为“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°，为了证明这个命题的准确性，他画出了如图1所示的图形，并写出了已知和求证． （1）在证明这个命题时，小强联想到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这个命题，由于这两个命题是互逆命题，就想着在方法上有可借鉴的地方，尝试着做了下面的辅助线：延长到，使，连接．请在小强思路的基础上完成证明过程． 已知：中，，， 求证：， 证明：延长到，使，连接． … （2）如图2，小强取了一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上的点处，折痕交于点，则的度数为 ． 21. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． （1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ （2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案． 22. 课本再现： （1）如图1，在中，D、E分别是、的中点，则线段与边的数量关系是 ，位置关系是 ； 拓展应用： （2）如图2在中，连接延长至点E．连接并延长至点F，使得，连接．求证：． 23. 已知：是等腰直角三角形，点是直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，探究并解决下列问题： （1）如图1所示，当时，若，则的长为 ． （2）如图2所示，若点在的延长线上，请判断、、之间的数量关系，并说明理由． （3）当，且长为时，直接写出长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省开封市祥符区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 下列各项因式分解正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的计算对各选项逐一进行因式分解验证，判断其正确性． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意； B． ，故该选项正确，符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． 不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3. 若等腰三角形两边长分别是2和6，则它的周长是（ ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】分腰为2和6两种情况分别讨论，再根据三角形的三边关系进行取舍，再求周长即可． 【详解】解：当腰为2时，则三边为2、2、6，此时，不满足三角形的三边关系，不符合题意； 当腰为6时，则三边为6、6、2，满足三角形的三边关系，周长为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，注意利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键． 4. 解方程时： 小明认为：方程两边都乘以，得 小颖认为：方程两边都乘以，得 小莉认为：方程两边都乘以，得 以上三位同学的理解，正确的是( ) A. 小明 B. 小颖 C. 小莉 D. 没有错误，三位同学都正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，能正确根据等式性质进行变形是解此题的关键．原方程的分母为和，注意到．需正确去分母并验证各同学的解法． 【详解】解：小明将方程两边乘以，正确展开应为： 而小明得到的是，显然小明的解法错误． 小颖同样乘以，左边正确展开为，但右边应为： ，显然小颖的解法错误． 小莉将方程两边乘以(即)，正确展开为： ，小莉的解法正确， 故选：C． 5. 如图，，O为，的平分线的交点，于E，且，则与之间的距离等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 过O作于N，交于M，得到，由角平分线的性质推出，，因此，即可得到答案． 【详解】解：过O作于N，交于M，如下图， ∵， ∴， ∵O为，的平分线的交点，于E， ∴， ∴． ∴与之间的距离等于4． 故选：C． 6. 袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量，现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻12000kg和14000kg．已知第一块试验田每公顷的产业比第二块少1500kg，如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么x满足怎样的分式方程？（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，根据两块试验田每公顷产量间的关系，可得出第二块试验田每公顷的产量为，利用种植面积总产量每公顷的产量，结合两块试验田的面积相等，即可列出关于的分式方程，此题得解，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：第一块试验田每公顷的产业比第二块少1500kg，且第一块试验田每公顷的产量为， 第二块试验田每公顷的产量为． 根据题意得：, 故选：B． 7. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 8. 如图，已知函数与的图象交于，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数与的图象交于点，结合函数图象写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：函数与的图象交于， 当时，， 即关于x的不等式的解集为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 9. 在中，点，分别是，上的点，且，点是延长线上一点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：、∵， ∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意； 、∵， ∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意； 、由，，判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 10. 如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上（），将绕点D按顺时针方向旋转a度（F始终在点B上方），则与重叠部分的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由“”可证和全等，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，，点D是中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题：（每小题3分，共15分．） 11. 请写出一个所含字母是并且当时没有意义的分式 ________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】此题考查的是分式无意义的条件，分式的定义，分式无意义的条件是分母等于零．根据分式无意义的条件即可得到答案． 【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 不等式的解集为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤和不等式的基本性质． 根据解一元一次不等式的基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1依次计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 则， 故答案为：． 13. 如图，在中，，是的中垂线，分别交、于点、，若，，则___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质，连接构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，根据三角形内角和定理可求出的度数，根据线段垂直平分线的性质可得出，，进而可求出的度数，由直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接， 中，，， ， 是中垂线， ，， ， ， 是直角三角形， ∴， ， ． 14. 如图，在中，，，将沿向右平移得到，若平移距离为2，则四边形的面积等于_____________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，平移距离为2， ∴AD∥BE，AD＝BE＝2， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴四边形ABED的面积＝BE×AC＝2×4＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等，掌握平移的性质是解题的关键． 15. 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A出发在上往返运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动．P，Q两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（点P同时也停止运动），设运动时间为秒，若四边形是平行四边形，则t的值是________． 【答案】4或8或12． 【解析】 【分析】首先设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，四边形是平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过秒，四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， ， 分为以下情况：①点P的运动路线是，方程为， 解得：； ②点P的运动路线是，方程为， 解得：； ③点P的运动路线是，方程为， 解得：； ④点的运动路线是，方程为， 解得：（舍去）； 或8或12． 故答案为：4或8或12． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定判定和性质，注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来； （2）计算：． 【答案】（1），数轴见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握相关运算法则及解不等式组的方法是解题的关键． （1）解各不等式得到对应的解集后求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可； （2）将括号内的第一个分式约分再算减法，然后将除法化为乘法并约分即可． 【详解】解：（1）解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， 故原不等式组的解集为：， 在数轴上表示其解集如下图所示： （2）原式 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）已知与关于原点O成中心对称，请在图中画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据点A平移前后的坐标判断出平移方式进而求出，描出，再顺次连接即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数在坐标系中描出A、B、C的对应点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：∵平移，使点的对应点的坐标为， ∴平移方式为向右平移5个单位长度，向上平移一个单位长度， ∵， ∴， ∴如下图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，关于原点对称的点的坐标特征，灵活运用所学知识是解题的关键． 18. 观察下面的等式：，，，…… （1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） （2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为． （2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明． 【小问1详解】 解：∵第一个式子， 第二个式子， 第三个式子， …… ∴第（n+1）个式子； 【小问2详解】 解：∵右边==左边， ∴． 【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律． 19. 如图，在中，，． （1）请在上找一点D，使；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，连接，试说明平分． 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及基本作图，三角形外角的性质，直角三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握线段垂直平分线的性质，是解题的关键． （1）直接利用线段垂直平分线的作法得出D点位置； （2）直接利用线段垂直平分线的结合直角三角形的性质证明得出答案． 【小问1详解】 解：作线段的垂直平分线，交于点D，此时，则点D即为所求作的点，如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示： ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 平分． 20. 在学习《三角形的证明》这一章的内容时，小强认为“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°，为了证明这个命题的准确性，他画出了如图1所示的图形，并写出了已知和求证． （1）在证明这个命题时，小强联想到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这个命题，由于这两个命题是互逆命题，就想着在方法上有可借鉴的地方，尝试着做了下面的辅助线：延长到，使，连接．请在小强思路的基础上完成证明过程． 已知：中，，， 求证：， 证明：延长到，使，连接． … （2）如图2，小强取了一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上的点处，折痕交于点，则的度数为 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，等边三角形的性质与判定，命题与定理，含度的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）延长到，使，连接．证明是等边三角形可得结论； （2）证明可得结论． 【小问1详解】 证明：延长到，使，连接． ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是长方形， ，，， ，， ， 由（1）可得， ， ． 故答案为：． 21. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． （1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ （2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案． 【答案】（1）跳绳和毽子单价分别是8元，5元 （2）当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少 【解析】 【分析】（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，然后根据用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同，列出方程求解即可； （2）设学校购买跳绳m根，则购买毽子个，花费为W，然后求出W关于m关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ， ∴跳绳和毽子的单价分别是8元，5元， 答：跳绳和毽子的单价分别是8元，5元； 【小问2详解】 解：设学校购买跳绳m根，则购买毽子个，花费为W， 由题意得， ∵跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根， ∴， ∴， ∵， ∴W随着m的增大而增大， ∴当m=450时，W有最小值， ∴当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，解题的关键在于能够正确理解题意列出相应的式子求解． 22. 课本再现： （1）如图1，在中，D、E分别是、的中点，则线段与边的数量关系是 ，位置关系是 ； 拓展应用： （2）如图2在中，连接延长至点E．连接并延长至点F，使得，连接．求证：． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线性质求解即可； （2）连接交于O，根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质即可得出结论 【小问1详解】 解：∵在中，D、E分别是、的中点， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴，又， ∴是的中位线， ∴，即． 【点睛】本题考查三角形的中位线性质、平行四边形的性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键． 23. 已知：是等腰直角三角形，点是直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，探究并解决下列问题： （1）如图1所示，当时，若，则的长为 ． （2）如图2所示，若点在的延长线上，请判断、、之间的数量关系，并说明理由． （3）当，且长为时，直接写出的长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）或5 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，，于是得到； （2）如图2，根据旋转的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论； （3）分三种情况讨论：①点在线段上时；②当点在的延长线上时；③当点在的延长线上时；画出对应的示意图，过作，根据等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：，，， ， 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ，理由如下： 如图，连接， 由旋转得：，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 即； 【小问3详解】 ①点在线段上时，如图， 过作， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转得：，， ； ②当点在的延长线上时，如图， ，故这种情况不合题意舍去； ③当点在的延长线上时，如图， 过作， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转得：，， ； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$