福建省福州第一中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷

2024-2025学年福建省福州一中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（4分）（2024•雅安）2024的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 2．（4分）（2023•金水区开学）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣4）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（1，4） B．（﹣1，4） C．（0，﹣4） D．（﹣1，﹣4） 3．（4分）（2024•鼓楼区校级开学）如图，在△ABC中，DE∥BC，，若AE＝4，则AC＝（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（4分）（2023春•六盘水期中）下列计算正确的是（　　） A．x5•x2＝x10 B．（3x3）3＝9x6 C．（1+x）（1﹣y）＝1﹣xy D．3x4y÷x2y＝3x2y2 5．（4分）（2022秋•南充期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．2，3，6 B．5，8，13 C．4，4，7 D．3，4，8 6．（4分）（2024春•德宏州期末）某校举行“英语单词拼写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的众数和中位数是（　　） A．15，15 B．15，13 C．20，13 D．10，15 7．（4分）（2019•紫金县一模）如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝90°，则∠BOC的度数是（　　） A．100° B．115° C．135° D．145° 8．（4分）（2024•从江县校级一模）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝42 B． C．x（x+1）＝42 D． 9．（4分）（2018春•禄劝县期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，AC＝12，菱形ABCD的面积为96，则OH的长等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 10．（4分）（2024秋•拱墅区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＜0，②2a+b＝0，③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，若am2+bm+c＝p，则p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11．（4分）（2024•鼓楼区校级开学）据报道，受台风“摩羯”影响，海口全市受灾人口126.81万人，造成直接经济损失约263.24亿元，数据263.24亿元用科学记数法表示为　 　 元． 12．（4分）（2024•鼓楼区校级开学）如果与﹣0.5a2bmxn是同类项，那么m﹣n＝　 　 ． 13．（4分）（2022•邵阳）因式分解：x2﹣4y2＝　 　 ． 14．（4分）（2021秋•普宁市期末）如图，已知OA＝OB，BC⊥AC于点C．点C对应的数是﹣2，AC＝1，那么数轴上点B所表示的数是 　 　 ． 15．（4分）（2024秋•灯塔市校级期中）当x＝1时，整式ax3+bx+1的值为2024，则当x＝﹣1时，整式ax3+bx+1的值为　 　 ． 16．（4分）（2024•鼓楼区校级开学）如图，正方形ABCD中边长为12，E为BC上一点，且BE＝3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　 　 ． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（2024•鼓楼区校级开学）（1）计算：； （2）解方程：x2﹣3x+1＝0． 18．（2024春•永新县月考）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，求证：△ABC≌△DCB． 19．（2023秋•双辽市期末）先化简、再求值（x﹣1），其中x． 20．（2022春•易县校级期末）如图，菱形ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥BD． 求证：四边形OBEC是矩形． 21．（2024•鼓楼区校级开学）为了了解某校中学生音乐期末成绩分布情况，随机调查了部分参加期末测试的学生的音乐成绩，整理并制作了统计图表的一部分． 分数段 频数 频率 60≤x＜70 a 0.1 70≤x＜80 90 b 80≤x＜90 90≤x≤100 60 c 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）a＝　 　 ；b＝　 　 ； （2）请用样本数据，估计该校音乐期末测试成绩的平均分； （3）若该校有2000名学生参加音乐期末测试，成绩达到90分为优秀，则估计该校音乐期末测试成绩为优秀的学生人数为　 　 ． 22．（2024•鼓楼区校级开学）某工艺品专卖店计划购买中国结和油纸伞若干，已知购买2个中国结和3把油纸伞共需195元，购买4个中国结和8把油纸伞共需460元． （1）每个中国结和每把油纸伞的进价分别是多少元； （2）若该专卖店准备购买中国结和油纸伞共30件，且购买中国结的数量至少比油纸伞的数量多5件，请问怎样购买，才能使总费用最少，并求出最少总费用． 23．（2024•鼓楼区校级开学）阅读材料：如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，请用尺规作图在AB边上求作点P，使得∠BPC+∠ACP＝90°．小明提出想法：如图2，假设点P为所求作的点，连接CP，此时有∠BPC+∠ACP＝90°，因为∠BCP+∠ACP＝90°，所以∠BPC＝∠BCP，从而得到：BP＝BC． 由此想法得到如下作图方法：如图2，以点B为圆心，BC为半径画弧，该弧与AB相交于点P，则点P即为所作的点． 根据以上材料，完成下面两个问题： （1）请你类比上述作图方法，在图3中，用尺规作图在AB边上作点Q，使得∠CQB+∠ACQ＝180°； （2）按以上要求作出P，Q两点，当直角边长度发生变化时，求证：∠PCQ＝45°． 24．（2024•鼓楼区校级开学）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），点M为抛物线顶点，点E为AB中点． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得∠QCB＝2∠ABC，求点Q的坐标； （3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点，若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，当D，E，F三点共线时，试判断△ABP的面积是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由． 25．（2024•鼓楼区校级开学）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点B的对称点E落在边CD上，点A的对称点为F，EF交AD于点G． （1）如图1，若QC＝4，EC＝3，DE＝6，求DG的长； （2）如图2，连接BG交PQ于点H，连接BE、HE， ①试判断△BHE的形状，并说明理由： ②求证：EG2﹣BH2＝PG•AG． 2024-2025学年福建省福州一中九年级（上）开学数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D C A C A B D 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（4分）（2024•雅安）2024的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【考点】相反数．版权所有 【专题】实数；推理能力． 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【解答】解：2024的相反数是﹣2024， 故选：B． 【点评】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 2．（4分）（2023•金水区开学）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣4）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（1，4） B．（﹣1，4） C．（0，﹣4） D．（﹣1，﹣4） 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．版权所有 【专题】平面直角坐标系；运算能力． 【答案】D 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，求解即可． 【解答】解：点A（1，﹣4）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣4）， 故选：D． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 3．（4分）（2024•鼓楼区校级开学）如图，在△ABC中，DE∥BC，，若AE＝4，则AC＝（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【考点】平行线分线段成比例．版权所有 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】C 【分析】先求出，再证明△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 又AE＝4， ∴， ∴AC＝10， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 4．（4分）（2023春•六盘水期中）下列计算正确的是（　　） A．x5•x2＝x10 B．（3x3）3＝9x6 C．（1+x）（1﹣y）＝1﹣xy D．3x4y÷x2y＝3x2y2 【考点】整式的混合运算．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】D 【分析】利用整式的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，多项式乘多项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A、x5•x2＝x7，故A不符合题意； B、（3x3）3＝27x9，故B不符合题意； C、（1+x）（1﹣y）＝1﹣y+x﹣xy，故C不符合题意； D、3x4y÷x2y＝3x2y2，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5．（4分）（2022秋•南充期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．2，3，6 B．5，8，13 C．4，4，7 D．3，4，8 【考点】三角形三边关系．版权所有 【专题】三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断即可． 【解答】解：A．∵2+3＜6， ∴不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； B．∵5+8＝13， ∴不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； C．∵4+4＞7， ∴满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； D．∵3+4＜8， ∴不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查三角形三边关系，掌握在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 6．（4分）（2024春•德宏州期末）某校举行“英语单词拼写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的众数和中位数是（　　） A．15，15 B．15，13 C．20，13 D．10，15 【考点】众数；中位数．版权所有 【专题】数据的收集与整理；应用意识． 【答案】A 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 【解答】解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、15、20， 最中间的数是15， 则这组数据的中位数是15； 15出现了2次，出现的次数最多，则众数是15． 故选：A． 【点评】此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的概念是解题关键． 7．（4分）（2019•紫金县一模）如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝90°，则∠BOC的度数是（　　） A．100° B．115° C．135° D．145° 【考点】对顶角、邻补角．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观． 【答案】C 【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到结论． 【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠2＝45°， ∴∠BOC＝135°， 故选：C． 【点评】本题考查了邻补角、对顶角的应用，主要考查学生的计算能力． 8．（4分）（2024•从江县校级一模）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝42 B． C．x（x+1）＝42 D． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】利用比赛的总场数＝七年级班级数×（七年级班级数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝42． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 9．（4分）（2018春•禄劝县期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，AC＝12，菱形ABCD的面积为96，则OH的长等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．版权所有 【专题】常规题型． 【答案】B 【分析】由菱形的面积和对角线AC的长度可求出BD的长，再由勾股定理可求出AD的长，因为菱形的对角线互相垂直得出∠AOD＝90°，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD， ∵菱形ABCD的面积为96， ∴AC•BD＝96， ∴BD＝16， ∴AD10， ∵∠AOD＝90°，H为AD边中点， ∴OHAD＝5． 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键． 10．（4分）（2024秋•拱墅区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＜0，②2a+b＝0，③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，若am2+bm+c＝p，则p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】D 【分析】由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，可判断①；根据对称轴公式可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与x轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与y轴的交点在y轴正半轴， ∴c＞0， ∵对称轴为直线x＝1， ∴，即b＝﹣2a， ∵a＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故结论①正确； 由①知：b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故结论②正确； ∵a＜0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小， ∵点P（x1，y1）和Q（x2，y2）在抛物线上，且x1＜1＜x2，x1+x2＞2， ∴x2﹣1＞1﹣x1，即x2到1的距离大于x1到1的距离， ∴y1＞y2，故结论③正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为x1，右边交点的横坐标为x2，即x1＜x2，如图所示， 若m＜x1，则p＜0，m﹣x1＜0，m﹣x2＜0， ∴p（m﹣x1）（m﹣x2）＜0， 若x1≤m＜x2，则p≥0，m﹣x1≥0，m﹣x2＜0， ∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0， 若m≥x2，则p≤0，m﹣x1＞0，m﹣x2≥0， ∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0， 综上所述，p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，故结论④正确， ∴正确的结论是①②③④． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，赋值法，二次函数的增减性，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11．（4分）（2024•鼓楼区校级开学）据报道，受台风“摩羯”影响，海口全市受灾人口126.81万人，造成直接经济损失约263.24亿元，数据263.24亿元用科学记数法表示为　2.6324×1010　 元． 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【专题】实数；符号意识． 【答案】2.6324×1010． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：263.24亿＝26324000000＝2.6324×1010． 故答案为：2.6324×1010． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（4分）（2024•鼓楼区校级开学）如果与﹣0.5a2bmxn是同类项，那么m﹣n＝　﹣2　 ． 【考点】同类项．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】首先由同类项的定义求得m、n的值，然后再求代数式的值即可． 【解答】解：∵与﹣0.5a2bmxn是同类项， ∴m＝1，n＝3． ∴m﹣n＝1﹣3＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 13．（4分）（2022•邵阳）因式分解：x2﹣4y2＝　（x+2y）（x﹣2y）　 ． 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【答案】（x+2y）（x﹣2y）． 【分析】直接运用平方差公式进行因式分解． 【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）． 【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 14．（4分）（2021秋•普宁市期末）如图，已知OA＝OB，BC⊥AC于点C．点C对应的数是﹣2，AC＝1，那么数轴上点B所表示的数是 　　 ． 【考点】实数与数轴．版权所有 【专题】实数；等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】． 【分析】首先根据勾股定理得：OB，即OA，又点A在数轴的负半轴上，则点A对应的数是． 【解答】解：由图可知，OC＝2，作BC⊥AC，垂足为C，AC＝1， 故OB＝OA， ∵B在x的负半轴上， ∴数轴上点B所表示的数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了数轴和勾股定理．能够熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号是解题的关键． 15．（4分）（2024秋•灯塔市校级期中）当x＝1时，整式ax3+bx+1的值为2024，则当x＝﹣1时，整式ax3+bx+1的值为　﹣2022　 ． 【考点】代数式求值．版权所有 【专题】计算题；整体思想；整式；运算能力． 【答案】﹣2022． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝1时，ax3+bx+1＝a+b+1＝2024， ∴a+b＝2023， ∴当x＝﹣1时，ax3+bx+1＝﹣a﹣b+1＝﹣（a+b）+1＝﹣2023+1＝﹣2022． 故答案为：﹣2022． 【点评】本题考查代数式求值，把代数式中的字母用具体的数代替，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 16．（4分）（2024•鼓楼区校级开学）如图，正方形ABCD中边长为12，E为BC上一点，且BE＝3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　 ． 【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．版权所有 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力． 【答案】． 【分析】由题意可知点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将△EFB绕点E旋转60°，通过垂线段最短构造直角三角形即可求出CG的最小值． 【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，如图1， ∴△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上， ∴HE＝BE＝3，∠BEH＝60°， 作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，即当M与G重合时，作EP⊥CM，如图2， ∵四边形ABCD是正方形，BE＝3， ∴∠ABC＝90°，EC＝BC﹣BE＝12﹣3＝9， 由旋转性质可知，∠MHE＝∠FBE＝90°， ∴∠MHE＝∠HMP＝∠MPE＝90°， ∴四边形HEPM为矩形， ∴HE＝MP＝3，∠HEP＝90°， ∴∠PEC＝30°， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（2024•鼓楼区校级开学）（1）计算：； （2）解方程：x2﹣3x+1＝0． 【考点】解一元二次方程﹣公式法；实数的运算．版权所有 【专题】实数；一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）利用零指数幂的意义、绝对值的意义，二次根式的性质以及二次根式的加减化简计算即可； （2）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）x2﹣3x+1＝0， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5， ∴， ∴，． 【点评】本题考查了实数的运算，因式分解法解一元二次方程，解题关键是熟悉掌握各个知识点的运算法则及求根公式． 18．（2024春•永新县月考）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，求证：△ABC≌△DCB． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】见解答． 【分析】利用BC为公共边，则根据直角三角形的判定方法可判断Rt△ABC≌Rt△DCB． 【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 19．（2023秋•双辽市期末）先化简、再求值（x﹣1），其中x． 【考点】分式的化简求值．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据分式的运算法则先化简原式，然后将x的值代入化简后的式子求值即可． 【解答】解：（x﹣1） • ， ∵x， ∴原式2． 【点评】此题考查分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算． 20．（2022春•易县校级期末）如图，菱形ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥BD． 求证：四边形OBEC是矩形． 【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形． 【答案】见试题解答内容 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，由平行线的性质可得∠BOC＝∠OCE＝∠OBE＝90°，即可证四边形OBEC是矩形． 【解答】证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴AC⊥BD， ∵BE∥AC，CE∥BD， ∴∠BOC＝∠OCE＝∠OBE＝90°， ∴四边形OBEC是矩形； 【点评】本题题主要考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，熟练利用菱形的性质是解题关键． 21．（2024•鼓楼区校级开学）为了了解某校中学生音乐期末成绩分布情况，随机调查了部分参加期末测试的学生的音乐成绩，整理并制作了统计图表的一部分． 分数段 频数 频率 60≤x＜70 a 0.1 70≤x＜80 90 b 80≤x＜90 90≤x≤100 60 c 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）a＝　30　 ；b＝　0.3　 ； （2）请用样本数据，估计该校音乐期末测试成绩的平均分； （3）若该校有2000名学生参加音乐期末测试，成绩达到90分为优秀，则估计该校音乐期末测试成绩为优秀的学生人数为　400　 ． 【考点】加权平均数；用样本估计总体；频数（率）分布表．版权所有 【专题】数据的收集与整理；应用意识． 【答案】（1）30；0.3． （2）82分． （3）400人． 【分析】（1）根据频数分布直方图中的数据可得60≤x＜70的频数，结合频数分布表求得本次调查的人数，然后即可得到b的值； （2）求得80≤x＜90组的人数，然后利用加权平均数求解即可； （3）利用样本估计总体的思想即可求解． 【解答】解：（1）由直方图知：a＝30， ∴样本容量为30÷0.1＝300， ∴b＝90÷300＝0.3， 故答案为：30；0.3； （2）80≤x＜90组的人数的人数为300﹣30﹣90﹣60＝120， ∴估计该校音乐期末测试成绩的平均分为（分）； （3）（人）， ∴该校数学期末成绩为优秀的约有400人． 故答案为：400． 【点评】本题考查了加权平均数，用样本估计总体，频数（率）分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22．（2024•鼓楼区校级开学）某工艺品专卖店计划购买中国结和油纸伞若干，已知购买2个中国结和3把油纸伞共需195元，购买4个中国结和8把油纸伞共需460元． （1）每个中国结和每把油纸伞的进价分别是多少元； （2）若该专卖店准备购买中国结和油纸伞共30件，且购买中国结的数量至少比油纸伞的数量多5件，请问怎样购买，才能使总费用最少，并求出最少总费用． 【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）每个中国结的进价为45元，每把油纸伞的进价为35元； （2）购买中国结18个、油纸伞12把时，总费用最少，最少总费用是1230元． 【分析】（1）设每个中国结的进价为x元，每把油纸伞的进价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买m个中国结，则购买（30﹣m）把油纸伞，则m≥30﹣m+5，解得m≥17.5．结合（1）的总费用为W＝45m+35（30﹣m）＝10m+1050，由一次函数的性质即可知当m＝18时，W取得最小值． 【解答】解：（1）设每个中国结的进价为x元，每把油纸伞的进价为y元， 由题意，得 解得 答：每个中国结的进价为45元，每把油纸伞的进价为35元． （2）设购买m个中国结，则购买（30﹣m）把油纸伞， 根据题意，得m≥30﹣m+5， 解得m≥17.5． 设总费用为W元，则W＝45m+35（30﹣m）＝10m+1050． ∵10＞0， ∴W随m的增大而增大． ∵m为整数，m≥17.5， ∴当m＝18时，W取得最小值， 此时W＝10×18+1050＝1230， 此时30﹣m＝12． 答：购买中国结18个、油纸伞12把时，总费用最少，最少总费用是1230元． 【点评】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，理解题意，弄清题目中的数量关系是解题的关键． 23．（2024•鼓楼区校级开学）阅读材料：如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，请用尺规作图在AB边上求作点P，使得∠BPC+∠ACP＝90°．小明提出想法：如图2，假设点P为所求作的点，连接CP，此时有∠BPC+∠ACP＝90°，因为∠BCP+∠ACP＝90°，所以∠BPC＝∠BCP，从而得到：BP＝BC． 由此想法得到如下作图方法：如图2，以点B为圆心，BC为半径画弧，该弧与AB相交于点P，则点P即为所作的点． 根据以上材料，完成下面两个问题： （1）请你类比上述作图方法，在图3中，用尺规作图在AB边上作点Q，使得∠CQB+∠ACQ＝180°； （2）按以上要求作出P，Q两点，当直角边长度发生变化时，求证：∠PCQ＝45°． 【考点】作图—复杂作图；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；尺规作图；几何直观；推理能力． 【答案】（1）作图见解析过程； （2）证明见解析过程． 【分析】（1）以点C为圆心，CA为半径画弧，该弧与AB相交于点Q，则点Q即为所作的点； （2）利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质进行计算即可得证． 【解答】解：（1）如图1，点Q即为所求， ； （2）证明：如图2， ； 由作图知：AC＝AQ，BC＝BP， ∴∠ACQ＝∠AQC，∠BCP＝∠BPC， ∵∠ACQ+∠AQC+∠A＝180°，∠BCP+∠BPC+∠B＝180°， ∴，， ∵∠C＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 24．（2024•鼓楼区校级开学）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），点M为抛物线顶点，点E为AB中点． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得∠QCB＝2∠ABC，求点Q的坐标； （3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点，若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，当D，E，F三点共线时，试判断△ABP的面积是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】二次函数的应用；应用意识． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3． （2）Q（1，4）． （3）△ABP的面积为定值16． 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出∠QCB＝90°，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，则△GCQ是等腰直角三角形，根据CG＝QG，建立方程，解方程，即可求解； （3）设D（x1，y1），F（x2，y2），设DF的解析式y＝k（x﹣1），联立抛物线解析式，可得x1+x2＝2﹣k，x1x3＝﹣3﹣k，根据题意，设直线AD解析式为y＝k1（x+1），直线BF的解析式为y＝k2（x﹣3），求得P到x轴的距离是定值，即可求解． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴B（3，0）， ∴OB＝OC＝3， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∵∠QCB＝2∠ABC， ∴∠QCB＝90°， 如图所示，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G， ∴∠GCQ＝90°﹣∠ABC＝45°， ∴△GCQ是等腰直角三角形， ∴CG＝QG， 设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3）， ∴CG＝﹣q2+2q，GQ＝q， ∴﹣q2+2q＝q， 解得：q＝0（舍去）或q＝1， ∴Q（1，4）； （3）△ABP的面积为定值8． 理由： 如图： 设D（x1，y1），F（x2，y2）， ∵点E为AB中点，A（﹣1，0），B（3，0） ∴E（1，0）， ∵D，E，F三点共线， ∴可设直线DF的解析式y＝kx+b， 代入E（1，0）得b＝﹣k， ∴直线DF的解析式y＝kx﹣k＝k（x﹣1）， 联立， 得﹣x2+（2﹣k）x+（3+k）＝0， ∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣3﹣k， ∵A（﹣1，0），B（3，0）， 同理直线AD解析式为y＝k1（x+1），直线BF解析式为y＝k2（x﹣3）， 联立， 解得：， ∴， ∵直线AD解析式y1＝k1（x+1），直线BF解析式为y2＝k2（x﹣3）， ∴k1，k2， ∵D（x1，y1），F（x2，y2）， ∴y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1）， ∴， ， ∴， ， ∴ ＝8， ∴△ABP的面积为． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 25．（2024•鼓楼区校级开学）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点B的对称点E落在边CD上，点A的对称点为F，EF交AD于点G． （1）如图1，若QC＝4，EC＝3，DE＝6，求DG的长； （2）如图2，连接BG交PQ于点H，连接BE、HE， ①试判断△BHE的形状，并说明理由： ②求证：EG2﹣BH2＝PG•AG． 【考点】四边形综合题．版权所有 【专题】代数几何综合题；运算能力． 【答案】（1）DG＝4.5； （2）①等腰直角三角形，理由见解析；②见解析． 【分析】（1）利用正方形的性质、翻折的性质可得出∠C＝∠D＝90°，∠CQE＝90°﹣∠CEQ＝∠DEG，证明△CAE∽△DEG，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）①过B作BK⊥GE，利用翻折的性质和平行线的性质可得出∠ABE＝∠GEB＝∠BEC，BH＝EH，证明△BCE≌△BKE，△BKG≌△BAG，可求出∠GBE＝45°，即可判断； ②连接AH，MH，EH，先证明GE2＝GH2+EH2＝GH2+BH2，再证明△GHP∽△GAH，得到，即GH2＝GP•GA．可得出结论GE2﹣BH2＝GP•GA． 【解答】（1）解：∵将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点B的对称点E落在边CD上， ∴∠QEG＝∠B＝90°，∠C＝∠D＝90°，AB∥CD， ∴∠CQE＝90°﹣∠CEQ＝∠DEG， ∴△CQE∽△DEG， ∴，即， ∴DG＝4.5； （2）①解：△BHE是等腰直角三角形， 理由：过B作BM⊥GE， ∵翻折， ∴∠ABE＝∠GEB，BH＝EH， ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BEC， ∴∠BEM＝∠BEC， 又∠BME＝∠C＝90°，BE＝BE， ∴△BCE≌△BME（AAS）， ∴，BM＝BC＝AB， 又BG＝BG， ∴Rt△BMG≌Rt△BAG（HL）， ∴， ∴， ∵BH＝EH， ∴∠HBE＝∠HEB＝45°， ∴∠BHE＝90°， ∴△BHE是等腰直角三角形； ②证明：连接AH，MH，EH，如图， ∵△BEC≌△BEM，△BMG≌△BAG， ∴∠CBE＝∠MBE，∠MBG＝∠ABG， ∴， 由折叠可得：PQ⊥BE，PQ平分BE， ∴BH＝EH，∠BHQ＝∠EHQ＝45°．∠HEB＝∠EBG＝45°， ∴∠GHP＝∠BHQ＝45°，∠BHE＝∠BHQ+∠EHQ＝90°， ∴∠GHE＝90°， ∴GE2＝GH2+EH2＝GH2+BH2， ∴EG2﹣BH2＝GH2， ∵∠BHE＝∠BME＝90°， ∴E，M，H，B四点共圆， ∴∠HMB＝∠HEB＝45°． ∵在△BMH和△ABH中， ， ∴△BMH≌△BAH（SAS）． ∴∠BAH＝∠BMH＝45°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠GAH＝45°， ∴∠PHG＝∠GAH＝45°， ∵∠HGP＝∠AGH， ∴△GHP∽△GAH， ∴． ∴GH2＝GP•GA． ∴GE2﹣BH2＝GP•GA． 【点评】本题考查正方形折叠问题，相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质，圆周角定理，勾股定理等知识，综合性较强，属中考试压轴题目． 考点卡片 1．相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 2．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 3．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 4．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 5．代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 6．同类项 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 7．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 8．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 9．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 10．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 11．解一元二次方程-公式法 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 12．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 13．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 14．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 15．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 16．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 17．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 18．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 19．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 20．对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 21．垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 22．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 23．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 24．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 25．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 26．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 27．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 28．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 29．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DEBC． 30．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 31．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 32．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 33．四边形综合题 涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强． 34．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 35．关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 36．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　 　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　 　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　 　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 37．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 38．用样本估计总体 用样本估计总体是统计的基本思想． 1、用样本的频率分布估计总体分布： 从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）． 一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 39．频数（率）分布表 1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表． 2、列频率分布表的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． （3）将数据分组． （4）列频率分布表． 40．加权平均数 （1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数． （2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． （3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． 41．中位数 （1）中位数： 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数． 如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． （2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． （3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 42．众数 （1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． （2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． （3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/30 15:17:16；用户：校本数学；邮箱：13178269089；学号：63155452 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$