13.2 第1课时 勾股定理的应用-【指南针·课堂优化】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

搞南针·八年瓶上精。数学(HS 13.2勾股定理的应用 第①课时 勾股定理的应用 知识点2 利用勾股定理求边、角及面积 例2如图，已知某校有一块四边形空地ABCD,现 商课前优学 计划在该空地上种草皮，经测量∠A一90°，AB 6m,BC=24m,CD=26m,DA=8m.若每种1m2草 1.勾股定理的使用前提：问题图中有 三角 皮需150元，则一共需投人多少元？ 形或构造出 三角形，于是有两直角边的 等于 2.勾股定理的逆定理的用法：是通过计算出两较短 边的 等于最大边的 来确定 最大边所对角为 角. 3.勾股定理及其逆定理的应用：(1)用于作图： (2)用于计算：(3)用于推理.常用 判定图中三角形为直角三角形，后用 解决问题。 多多课堂精讲 知识点1 利用勾股定理在数轴上作出表示√m (n为大于1的正整数】 规健和方法 例1在数轴上作出表示√7的点. 用勾股定理证恒等式，常计算等式复杂的一边 等于简单的一边，尽量抓住图中具有公共边的 直角三角形，应用勾股定理进行等量代换，再 用代数方法进行一系列的恒等变形就可以达 到目的， 之即学即练 2.如图，有一个四边形ABCD,已知∠ABC=90°， AB=20米，BC=15米，CD=7米，AD=24米. 请计算出这个四边形ABCD的面积. 规律和方法 利用数轴上的单位长结合勾股定理，把所求线 段作成直角三角形的斜边，直角三角形两直角 边分别为单位长和数轴上两，点间的线段长，是 解决此类问题常用的方法 之即学即练 1.如图，长方形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在 数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半 径作弧交数轴的正半轴于点M,则点M表示的 数是 D ·128· 第十三章丸妇胶定理 知识点3勾股定理在科技生活中的应用 之即学即练 例3台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心， 3.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随 在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破 着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒 坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向 水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东 240千米B处有一台风中心，其中心风力为12级， 西方向AB,由点A飞向点B,已知点C为其中一 每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台 个着火点，且点C与直线AB上两点A,B的距 风中心现正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向 离分别为600m和800m,又AB=1000m,飞机中 往C移动，如图所示，且台风中心的风力不变，若城 心周围500m以内可以受到洒水影响. 市所受风力达到或超过四级，则称受台风影响. (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (1)该城市是否受到台风影响？请说明理由： (2)若飞机的速度为10m/s,要想扑灭着火点C (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市 估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C 的持续时间有多长？ 能否被扑灭？ (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 规律和方法 据题意画图形，分析已知与所求关系，构造恰 当的直角三角形，用勾股定理建立已知与未知 的关系解之， ·129. 挡南针·八年瓶上册·数学(HS)》 学课外精练 二、填空题 6.如图，以数轴上1个单 A组·基础过关 位长度为边长作一个 一、选择题 正方形，以表示数1的 1.如图，在Rt△OBC中，OC=1,OB=2,数轴上点 点为圆心，正方形的对 2 A所表示的数为a,则a的值是 ( ) 角线长为半径画半圆，交数轴于点P(点P在圆 心的右边)，则点P表示的实数为 -0 7.如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为 A.-√5-2B.-√5C.5-2D.2-√5 1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照 2.如图，在△ABC中，AB=BC=√3，∠BAC “马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的 30°，分别以点A,C为圆心，AC的长为半径作弧， 最短距离为 两弧交于点D,连结DA,DC,AD=3则四边形 ABCD的面积为 () A.63 B.9 C.6 D.3/3 8.如图，OP=1,过P作PP1⊥OP,且PP1=1,得 OP1=2,再过P1作P1P2⊥OP1且PP2=1, (A')M 得OP2=√3，又过P2作PP⊥OP2且P2P3= 1,得OP=2,…依此法继续作下去，得OP020= (第2题图) (第3题图) 3.如图，将两个大小，形状完全相同的△ABC和△A' B'C拼在一起，其中点A'与点A重合，点C落在 边AB上，连结B'C,若∠ACB=∠ACB'=90°， AC=BC=3,则B'C的长为 ( A.3w3 B.6 C.32 D.√21 三、解答题 4如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高 9.如图所示，在△ABC中，AB=AC=20,BC=32, 4.5的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A,如 D是BC上的一点，且AD⊥AC,试求BD的长 ①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时， 门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示， 一个身高1.5m的学生走到D处（人身高为CD), 门铃恰好自动响起，则BD的长为 ① ② A.3米 B.4米 C.5米 D.7米 5.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图 的隧道，则卡车的外形高必须低于 A.4.1米 B.4.0米 C.3.9米 D.3.8米 ·130- 第十三章丸妇胶定理 10.如图，△ABC是小新家的门口的一块空地，三 B组·能力提升 边的长分别是AB=13米，BC=14米，AC=15 12.如图，矩形ABCD中，AB=5,AD=12,点P在 米，现准备以每平方米50元的单价请承包商种 对角线BD上，且BP=BA,连结AP并延长， 植草皮，问共需要多少费用？ 交DC的延长线于点Q,连结BQ,则BQ的长为 Q 13.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改 造，测得两直角边长为6m,8m.现要将其扩建成 等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直 角三角形（如图）.求扩建后的等腰三角形花圃 的周长 11.拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影 响.如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点 B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线 AB上两点A,B的距离分别为150m和200m, 又AB=250m,拖拉机周围130m以内为受噪声 影响区域. (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉 机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ ·131指南什·入年氨上哥·数学参考答案《Hs】 第十二章意末短可 L期：1鲁直能三角配消额达为日1初71科0说及 不3误到真两三角形的养完 i∠L4H-∠￥，i∠Mg∠1f品且N-1m 出 厚A>A用，与>A了目千路，点M东在发度TD上 ∠4∠.0 mDst.1-∠4w1 ab-olh .∠A一∠和=害一∠厚∠aD=表整平水和甲与最童 3,2句般定撞的度用 ' 建壁精由例1朝：礼A是直期三角形：21必超直角已后 ,NA队品N=PN 第1课时女根爱理桥点用 影，1三自形是真角三角国，4三作果星雀角三角形且=题纯 例2域明如能建点（作L十点上，”∠Bwg年 x"=3 图学指成1.℃1 语的代鲜有新在作平期%的平力 △F,÷∠∠不C又∠准=∠从n=,明F ”为南中真：面=（证-〔面又5∠D=, 军￥得A川45,1移785 例1期：三角形是指角三角限 由在上收点5：绝山=1恒单点口为同C:红和为平垫情件，国 ∠用=，)平0∠队食的△M角04)中- 1罐，D吧是An边上明南直平外线： 的=a/A=∠AD=,g∠C=r. 即学里库多限直作三角形 数础正者所义干「点C藏是系溶T物山 An=AE4,Ae△AHL .:,心：1风W底：2子帽准 那学期生人订一1 ∠A一∠A一= 川E1甲，月D ∠AnD- 黄：”解，N的第D首置T 2解，共程人2元 ￥AE+EB+D ∠A=∠1D平什∠L 甲州落卡记 441明毫，(4=5十据=5+2=T 流年植莲1.E1.A支A4A支直作问角利4☑ 学聊性1解：5■m9n十8#了×船×0十方×7 41明 5第rR 已1写L×,口》1A:A在∠含1n角平该t 坊十三京幻定理 发目证期，廿=.山9L一过：十F十时=解1解，1D该国电受到行风纳单利用h席（速城诗受h试有 时同为一和时。飞满装生是到合风图响的超大风方 地4以在△4红'能M准中，(（光1 柱1句职宽维及其宽理 接期：这个三角形是直身三后思：梨A四的，和何=白， 为1.2绳. ∠1W=∠D 第1课的直角5角g5边的是晶{一 需学即罐1期计看先及变两卷影利（看大点量检县到， 速前优号上平方则群边的平友十了=子1可边之时内 长地明：测属城，过返7女作，L程⊥kA●是许边地4边V十可一 C一N&直角角卧 深3之1候解，非一11一行 湖G,,X,)半许∠A1,KA是LK=妇理 4一点：小为在知造为皆 平学夜上甲成平分∠且 读室陆件钢1解：山=，一容一2 1明4P=(日明如下：A为等边三角象，A相=忙 (1边机峰★都明该学校作铁时材有计神 周称辅s1,11AAD4Ag36号3,2 ∠A:=.∠=rQ=∠= 黑o ∠F4,公球度A战套率即体tn唱2四nt的21成27 All-CL ∠a.在AP RAC的中，《∠AI中-∠ ÷∠U=∠f11∠1D=∠8，零A边羊分∠HC刷1解，浴东脚发之销关第为S+S8,m由F便C= nP-1g. 第B溪树与显是配鼠越林是问理色用 0平舜∠.K,⊥二D国=在 a4极=…%，乡一-()-安高=（告） 课龄忧学A)信十不，家十干 △F为直角三始眼，理角如F由1两AP=口.口=收量室隔情刚上解：下雨图深，作点A交于D的时称点A,连法 tH.St- 肾，3一子（合）-客制解刻世起理十甲“，月各士 周AIC=2Q·T=345 ,+=,A为百三角用 明.作（出于点1AC于点E,⊥于克F :四平∠.彩L.d用上N.云D二球.同现平建国金过上度，为在的甲同的图学河方名名相长，由口的情 头意时及星 理所忧学十反面平暗头)又周金用定用定是巴 E(一(E强，又号E⊥汇，年⊥H。年点)食 论国5十备一鸟.一5。十长+华一长一年m一常。口年样不城文精陀压国 解】。解：A√乃m时，壁线风点A面日卡aB的月位目U 速安精接钢1A L.1还，技比.C名家立于分区六E-比艾A泥干仪：一×6一✉k4由的情吃，商之中消十个时型s好期舞厚学即华C-区小意不要额雅 分/M.EAk-G开=E,∠n=∠坏= 们用等T直角三角取筒机 角成真角，不转段矿<A<,G∠D∠1,G∠ 星下=1用++1，。 家0练1C4言·多1时 了，CA十∠作十∠C>,江有三角和的内角相为/相平 区线014县 骨.=角限中要少打两用的 L可：要成糖权列妇千月如复舟程是上 1.1,∠里了一=，适箱 课外隔第上日2AAD4C玉的码下43 过相日直置4人不平行周，料空位作同，交1AP.4 专题偶适十一制用问金定理解徒期鲁风题 组期：+上. 年，。，，平点下有离气为4线r中行”经 专脑领然十姓酸的警直平分线 角平分最中的领脑道 1.(12址明0： cD解，南I短：山(E=4.C省== 1.(量明，进楼，新是1U的◆A.AM出AM及皮到 课是精等D未DAD4且g蓉反进，+女= 美=《罗×(+)4=四 的@直早学线，二M=A队灵W1,品∠3=∠具厘 系a合少有一个零子：天面度家道限的内角中酸角的个后相日 表解。量4 ∠M=∠D= 推量明，看段A,G前每不大丁0，享A,CA有A中 专理鞋棒十二利两句酸宠蜜零量值 一了一：，/用哈一一/度7 1,2作e134w=1.4川=1.ADmN, 2解，T系的较为一.以A4相 +4国A+1+c-(-%+号)+(-+京)+ 第十三章意末规习 =,A=用+= 第：球时直角三角形天晚的关感二 《-M十于）=一+1+#一绕+11+一金++1==T= 0∠E-I,⊥=F,∠=∠0 甲题体L钢：角明体E应克离A点10加 2g1=4 .专的AAr重n6E中，P便和么t丝m 侧2解：0T=4 ,金同 B丙园能A的粗-十X1关1十十X2×区-14 学脚班1AA号 L址明：数投每为奇靠：不结数两=十C:为有热鞋)，国每' 2+m为闻工第球言 A话图，理D盒作E上Ai手E,味上CFF 精相子药-版设不候立：”时水得我 A平分∠C家Ai,FL=球， 以M明：置段点业在线度去上，慧长Au到山，使AW=AL透 5解已加：口昏A以求日：∠-∠：∠(，∠D不差都是氢电 飘价，屑达取A雀TD新丙十内角多地餐角：”∠A.∠，∠，∠山 课并是值LA1D天化+.A天年长m久名 C一∠D,这“阳的钠 MI Jod. 2D 深号失期，m÷×0×力=1 A4崔中. ∠13n=∠A13m26NAo, 金单川速辆车虚通过面：（这两车不通业通速 4时，点D到而离青A题 -NM. 3我