12.4 第2课时 线段垂直平分线-【指南针·课堂优化】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

搞南针·八年瓶上册·数学(HS) B组·能力提升 11.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ACD= ∠B,CE平分∠BCD,交AB于点E,点F在 CE上，连结AF.再从“①AF平分∠BAC, ②CF=EF”中选择一个作为已知，另外一个作 为结论，组成真命题，并证明. D 12.如图，在△ABC中，AB>AC,∠1=∠2，若 AB=AC+CD,那么∠C=2∠B.请写出该命 题的逆命题，并证明它是真命题. ·10 第②课时 线段垂直平分线 啻课前优学 1.线段垂直平分线定理： 线段的垂直平分线上的点到 相等 2.线段垂直平分线定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的 上 3.三角形三边的垂直平分线的性质： 三角形的三条边的垂直平分线交于 ,这 一点到 的距离相等 多多课堂精讲 知识点1线段垂直平分线的性质 例1已知如图，AC⊥CD,BD⊥CD,AB的垂直平 分线EF交AB于E,交CD于F,且AC=FD. 求证：△ABF是等腰直角三角形 规律和方法 题目中有垂直平分线这一条件时，常想到利用线 段垂直平分线的性质构造等腰三角形来解题， 之即学即练 1.如图，在△ABC中，点D在BC边上，DE垂直平分 AC边，垂足为点E,若∠B=70°，且AB十BD= BC,则∠BAC的度数是 ( A.40° B.65 C.70 D.75 (第1题图) (第2题图》 2.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交 AC于点D.若∠A=40°，则∠DBC= 3.如图，在△ABC中，AB=AC,DE垂直平分AB 交AB于点D,交AC于点E,BE⊥AC,AF⊥BC 于点F,求∠CAF的度数. 知识点2线段垂直平分线的判定 例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是 AB上一点，且BD=BC,过点D作AB的垂线，交 AC于点E,连结BE,CD,CD交BE于点F 求证：BE垂直平分CD. ·1 第十二章全等三角形 规健和方法 证明一条线段的垂直平分线常用的方法：一是 线段的垂直平分线的定义；二是垂直平分线的 判定定理，即证明直线上有两点分别到线段两 个端点的距离相等；三是等腰三角形的“三线 合一” 之即学即练 4.(2024·南充)如图，在△ABC中，点D为BC边 的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于 点E. (1)求证：△BDE≌△CDA. (2)若AD⊥BC,求证：BA=BE. 当课外精练 A组·基础过关 一、选择题 1.如图，某景区有一块三角形的草坪，A、B、C是 三个商店，现要在草坪上建一凉亭供大家休 息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的 位置应选在 () A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三边垂直平分线的交点 指南针·八年纸上膏·数晕(HS) M B (第1题图) (第2题图) 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN与AB交于点D,则∠BCD 的度数是 ( A.10 B.15 C.20 D.25 3.如图，△ABC中，AB=AE,且AD⊥BC,EF垂 直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,若 △ABC周长为16，AC=6,则DC为( A.5 B.8 C.9 D.10 B D (第3题图) (第4题图) 4.如图，在△ABC中，∠APC=116°，P为△ABC 内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点 M、N.若M在PA的垂直平分线上，N在PC的 垂直平分线上，则∠ABC的度数为 ( A.64° B.52 C.54° D.62 二、填空题 5.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若 ∠PAC=20°，∠PCB=30°，则∠PAB的度数为 (第5题图) (第6题图) 6.如图，线段AB、BC的垂直平分线1、l2相交于点 O,若∠1=39°，则∠AOC 7.如图，已知△ABC中，∠BAC=120°，分别作AC AB边的垂直平分线PM、PN交于点P,分别交BC 于点F和点E.则以下说法中：①∠MPN=60°； ②△AEF为等边三角形；③点P到点B和点C的 距离相等；④PE=PF,正确的说法是 10 8.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD⊥BC, EF垂直平分AB,交AB于点E,交BC于点F,G 是线段EF上的一动点，若△ABC的面积是6cm, BC=6cm,则△ADG的周长最小值为 cm. 三、解答题 9.如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E,∠B= 22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D,交 AB于点N,DF⊥AC于点F,交AE于点M. 求证： (1)AE=DE; (2)EM=EC. \N 08· 10.如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分 线，分别交边AC,BC于点D,E,BF⊥AC,且点 F为线段AD的中点，延长BF与BC的垂直平 分线交于G点，连结CG. (1)若D是AC的中点，求证：AC=2AB; (2)若∠ACB=30°，求证：△BGC为等边三 角形. 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点 D是BC的中点，CE⊥AD于点E,BF∥AC交 CE的延长线于点F.求证：AB垂直平分DF. ·1 第十二章全等三角形 B组·能力提升 12.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC= 50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于 点O,点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF 的度数是 13.如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交 点，O是三边垂直平分线的交点，连结AI,BI, AO,BO,若∠AOB=140°，则∠AIB的大小为 () A.160° B.140° C.130°D.125° 14.如图，在Rt△ABC和Rt△EFD中，∠ABC 90°，∠EFD=90°，AC=ED,AC⊥ED,垂足为 M,连结EA、EC并交AB的延长线于点G. (1)求证△ABC≌△EFD (2)若∠G=45°，求证EA=ED. 09.指南针·入年数上番·鞋学参考答案(Hs】 ∠A+∠D=1r,∠5+∠D=号∠+∠ ∠A)=于×(1对-门=，夏四平象∠AC 专眼烟原九阵适等醒三角形的桂巧 0=0 1好，占∠年=∠h在△DE和△不中， 4 :∴∠A=∠D=∠AC=×=8=∠A ∠A0,∠00=∠ACD.YEF8BC,∠DC=∠0U= ∠A口，之=F,月度证=团星D=w=可， 制2位有，卡D上AB:∠8■了∠BB=,六△D, =AD∠C=∠A十∠A0=十=: A8+CD ∠C=∠C,即=∴.UD=D=C E-于=E：+CF=EF,D平分∠EC,B平 △m为△衣Aa有a△cm中，：（圆-E Co￥039 ∠红，∠=∠口D∠= ∠aD￥▣N 2,3等量器角廖 ·,滑=W,∠C=∠中，.∠mD=∠限 AD50A△CE数HLB。-ED-C夏0mBC 点E.唇列在D的垂直甲分线上，品BE有直甲分 幕1深时等座三角形的试量 E明：AI=ACAD⊥G于点D,∠AD=∠CA ∠DC=∠，=y=w 影学题越41D明.：点D为C的中直 满龄优弹1.相等等达叶等角(2)到角的平会截宝边上的 EFC,∠Fm∠CD∠BU∠F 1 主解：12AD主理自框下：接AD作识C交AB于QP, 销中植或边上高所存的线 ,是04 N事界，△AB是等鸡角形，∠A=∠ABC=∠器 ”A风等为A.1甲”.AA印是等力写的围。.A山甲 1(1)等边角临2湘等(一条 ∠E=∠G∠=∠CAD :当平∠Ai∠I=∠C-了，E=E ∠ADP ∠A6 DE.OP C,i∠DW=∠C=∠rsM△W2△O, LC主D发B 品./行=/=0F=∠+/1= P),,4》9 /E-/CAD 0C 三角眼三桃合一∠DM=了，二∠目十∠0= -∠0下=∠OE=∠F=,0石下是等边三角B e。A山是g出，AP=A,m,”a 0绿道推s的 :出/=是二鳞线U2上： 2,百D所的中点AD飘 AEB.AB-AE )证.同1山可ec0=不， 品，直线AD为量C的直平分线 ∠幂=∠A点∠EAF=∠C泰△几E△AU中 ∠A=∠EAF i∠LDem∠Em方∠B= 1记4命题书主 自1)月.△，Wg@△， 青A △ABC为等连兰兔E,6D每AC自上的A 第1时 是用如爱d宣呢 球A: 前性平1争作口论 军辛账湖4D发证斯 ∠C=∠A= 鱼配工球命题起定州球划理支通曲画进的用 外陆信L口2A玉A4路天灯《7否元中 N1I证雨：F△AC是等边三角思 42卫.anDp 室精边到1解：》通为避同位角相等，两直线平用，是西命■：双5 品C=A版∠A=∠=在△E与△W中 521.为等装简平 速外纳话LB2C玉D4D.支1nk日1.8.L10 角相等的三角全等三角，是： ∠B=22,i∠ADE=∠MB+∠B=4EAE⊥.， C=/A,.△N△AF,∴不- 解：：是∠C的平什境 盖=N,是真角厘！6》重的厘：期果纪形，C两AC: ./AD=,∠DM6=∠A0阳m4了，AEE 自8=A, eFBC ∠C=,∠AC,寒么d☑AAm℃，是餐● 1，=10=1 球8， 1D克3A4A ∠比=∠CAE ∠=∠F 外 ∠E=∠5，在△E△CAE◆，球=思 证果，，△E圳是C,C为边的理角思 “=球=B址十 个大于2的明载不德两个累数之和 A/HDaB 下是∠平 T.R 个款能暂整料一影么这个整球裤被特整弹餐 △Mf2 CAELASA3,-f=C 10（1)址1隐2》世确 21门1=n,不且 ∠■∠ 米①团 世球， 发解，1D地会，加果a导A,图Aa=:原命解是积金：地奇蓝 ∠R&∠A=∠ i∠a-∠M 是 ∠CAB=∠BA=4,廿C8F,∠Cg+∠8 ADC. 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