12.2 第5课时 斜边直角边-【指南针·课堂优化】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

指南针·入年领上哥·餐学黎考答案(H给) ∠C=∠DE=r 证ABWCD∠8B=∠DF,号AF=CE 专藏闻感七拿等三角形中的中点处理横巧 ∠aC=∠DMc-∠ME=∠DC AF+T=里十F,年AW=C不底△第和△F中， ∠A-∠A.△☑△D图，a度=∠=Lus 都∠&10=∠CA2 ∠A=,∠口 2=A门 美证限：藏统AM室点N,使N=AM,莲站W (An-M ∠BE=∠F,△ABE△DFAA® ∠FD=∠CE ANMM为C的中真，M=BM 在△MD相△E中，∠4D=∠它上 AKSOE ∠C在△n原与△F◆，〈∠n=∠C +∴.△W球a MmNr LADSAP 2△.品=D在△A相△M◆ D ∠C=∠WM AHCD △找s,F=了，E一w=边一了，5= IOM BM ”，/1C ∠BC=∠DA,-△A☑Ca48A &A☑△M,AC=N=A,∠C=∠N 是转②交C于点P,交工T点， AC-CA 雀△AD△AF中AF,△F2△AhF. A8⊥AEAD⊥AC,∠EAB∠GwN': ∠KB=∠CAD边8C F ∠EAD+∠c=1了，∠AnW=∠UT+∠C=r 1D145的 AE-Rt 品∠=∠Cr=e, ∠C=∠AA在△n厘△AIW中，〈∠FAD=∠AnN, C2D过点唇南W率分∠A0交ANF直M.甘BM平年∠A 解：∠AE中∠A工=了，厘月下，在△D用△工 IADAN 1以非卫3厘来/秋线催米# 内H平A了，.AH04,AB 141MW路力0ur日1310 A证集注An作WLD,受桥基长度T点F,过点C作面 第8溪附角进用 ∠mK■∠N E千AG,∠F=∠0E=.在ArE和△E是◆ *BMKBGK6A8A ∠A球+∠A=I,∠A+∠A=Ir, 速有世学L再角有齿ASA2再角 一一角前时结 a》想：∠A证=∠A,理由如下：泰△U出和△AT中， ∠=∠3AF上XLS: 14星 漫童精法飘1用感. ∴M=,N=k BE-CE AB= AB+C,,AAS@△4BSSs,i∠AE=∠AB ∠r=∠ 有AAMR△DG中，《∠ABM种∠DB BPwL在△AB△ODP,∠F=∠Er 1有框门4a 露5承时卧进直角速 BF- ,且0w=之 △△AS,A=[G HAK=M十M城，AN=G十KC ASA AAS 88 速星精例11山址明斯(2)重立，用山醇 4证两过点作？⊥常交F的显长线于直G.号∠D=门 ,CDB一AC-BD=4, 黑4理时边罐地 即学挥压1.C2打 口⊥AD,∠CD+∠ADC=∠E+ 数D的长为4， 角二条计可相等 1IE爽暗图∠C=∠CAn-∠4D= 1 ∠AD=∠i在D△G中，AC=事 明.车△AC△AB，《C=A,△ADC 话量是锅1等 卷思的高，∠ADC-∠E一r△AC△E为阳△在 A了A 那学即1D去8人解：所AB,湖由如下：连情A长在 △△As,D=∠-∠：n H△C和△HE中， C中真，CD=,G=”∠A度=4了，后LB, 2)=处 AE时A里年， F-球-，A和D中 △限中 E-g,立EEIh,△FHE HL,4∠A=∠F.t△ABC和△F球中， ∠Bm∠C ,。△7AA1 AR1R ∠A=∠E BGD C-压∠-∠r品△M△风R3M ∠FB=∠FB0,△NPG2△DK8S 用 钢2国满，：AM=IyW-MW=HV-MW图AN=HM在即海s4明 等学题感4过再原 ∠G=∠B,i∠AC=∠2 精体1.日21指4D441B7.12 △NC和△中，AV=△AC△(5用：，+可=十T,U= 专置骨篮八金等三角形中接程邦看处理枝巧 W=E月P C了=∠HDE=0矿△A中，△nE为为△，在色△A中想上，度满：题6球中目文于点P,A8C, .∠C=0,∠ME+∠AF=0,:⊥AD, ∠A ∠B在△C和△， P⊥A,i∠HA=∠AE=,i∠E十∠A=时 ∠C∠D RAE， AC-D,R△4CFRS. ∠AB+ CAFC=∠REA 明为∠P释∠4的平线， ∠CN-∠4，在T和△&正中H∠C-∠ +△W△AA ∠A-∠0 .FAE=。AHmC面E i∠A=∠且在△面与△n0中： m 序 0C=0001=0后s与D相甲分 AL-BD &,AE2△，AEA5S,AB=AF,E-FE板△ITa 5我，F=C,-A青=AF=AD十F-AD十 1出AC 1)E有，在△4BD有△AE中：O=∠2，点△ABD LD2C1kIm 维餐明：山，A分期是两个纯角△红和△A军角离 AD+ △ADC,△A本.△AD△ABF愿为△， 未证同Cw是△A的高，品∠E∠印=∠E-, A-AF 复解：1U由题每. Ay且/包C"二7r2A工面 ACA的，iD-主 亮量销可个系料是。 在△AC△AFFP但 DA 的：号∠ ☑2， ∠+∠DE= ∠2+∠DME. ∠L=∠CM,￥△D△r，.∠=∠C在 △ADGG为△AIL人C= ∠A=∠且C=超.Al,∠DM=∠C 4,A∠EM=∠03m4了.△kE@AACD.4.CE■Ga YBECF. 在△aD角△1aF中，r-A AC-AR ∴F+F+C,厚C=F LADAP E△M△,M=M边，EAD-A △f和△AN中， OM■AM十ME ∠EA=∠且4W An-D A5,∠=∠X 直△ABC和△EF中，C=EF, 80-CD-BF-EF.BC 12D ∠1=∠：)正选一（藏长送年图，在视报成上瓶取 44明：)如四O上C∠P=标，△A△C为R△ AMGN,结显途AM≌个BN(9A8),腿f=BN, O心C出0D■E, 当连释①江红时， ”月EC AAN蚁S.国M=N,E=AU十3fmV十 BE+EC-LP+EL 中0r△C恒，AD-o,O N正徒补题是：用D,延长N翼点N,使两■A5, 在△Mg△MnD中. 单 ∠A=∠ An-DE 整AP室C十E,eAPa△C,∠D1P 4证界，1U“此，E分别是∠C和∠D第平外线：六∠1 ∠A ∠= 在△ACtF中，∠A=∠学 D,4D+非■门，，1D+ -a-∠4又四An0Dn,.∠+∠？+3+∠4= EH山 4 △A△F, 二∠DB4=∠045=。.∠C=∠8PM=4T, r==， 1a证珠 二∠=∠n4=4∠m=∠=PM ABF春 0= 山，明，：山=ACD=工山m南=C王，眼山= M,∠Dnn=∠kV=45,.An=CM,w=A+ ∠I=∠2，△e@AE8s,∠A=∠1廿AB A在△AaEAD中 M=Of+m,中+MP中M=A点，G中M=AL 35B组·能力提升 12.平面上有△ACD与 △PCE,其中AD与 BE相交于P点，如 图，若AC=BC,AD= BE,CD=CE,∠ACE=55°，∠BCD=155°，则 ∠BPD的度数为 ( A.110°B.125 C.130° D.155 13.已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,且B、D、E 三点在同一条直线上 (1)如图1，点B在线段DE上，求证：∠DAE=∠BAC: (2)如图2，点B在线段ED的延长线上，请写出 ∠ADE与∠AEC之间的数量关系并写出 理由： (3)如图3，若点B在线段DE的延长线上，请写 出∠ADE与∠AEC之间的数量关系并写 出理由 小公 ·8 第十二幸全等三角形 第⑤课时斜边直角边 鱼课前优学 1.斜边、直角边定理：如果两个直角三角形的 和 分别相等，那么这两个三 角形全等，简记为 2.应用格式：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中 AB=AB' BC=BC,R△ABC≌R△A'B'C'GH. C A D C 3.用斜边、直角边定理判定三角形全等必须写明 在R△中，直角三角形全等也可用 判定 多号课堂精讲 知识点1利用“HL”定理证线段或角相等 例1已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直 线的距离相等，且OB=OC. (1)如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC: (2)如图2，若点O在△ABC的内部，上述结论 成立吗？ 规健和方法 证明线段相等，角相等，往往是通过证明三角 ：形全等得到，要注意“H”这一判定方法必须 在直角三角形中才能使用. 搞南针，八年纸上桥·数学(HS》 之即学即练 1.下列条件不能判断两个直角三角形全等的是 A.两条直角边分别对应相等 B.斜边和一个锐角分别对应相等 C.两个锐角对应相等 D.斜边和一直角边分别对应相等 2.如图，已知∠B=∠E=90°，BF=EC,若使 AB=DE,则应添加的条件是 () F A.只能添加∠A=∠D B.只能添加∠ACB=∠DFE C.只能添加AC=DF D.∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或AC=DF 3.如图，ADBC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90. (1)求证：Rt△ACB≌Rt△BDA: (2)若∠ABC=32°，求∠CAO的度数. ·9 知识点2三角形全等的判定方法的综合应用 例2如图，在△ABC与△FGE中，CD、EH分别 是高，且AC=EF,CD=EH,∠ACB=∠FEG.请 问△ABC与△FGE全等吗？为什么？ ，个 视健和方法 有些题中的结论通过证一次全等不能得到，需 通过证两次全等才能得到，第一次证三角形全 等是为第二次证三角形全等提供条件」 之即学即练 4.如图，在△ABC中，AB=AC,F,E分别为AB AC上一点，AM⊥CF于点M,AN⊥BE于点 N,且AM=AN,求证：△ABE≌△ACF 0 警课外精练 A组·基础过关 一、选择题 1.如图，已知AB=DC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD 于点F,有下列条件，其中，选择一个就可以判断 R△ABE≌Rt△DCF的是 ①∠B=∠C ②AB∥CD③BE=CE ④AF=DE A.①② B.①②③ C.①③① D.①②③① D (第1题图) (第2题图) 2.如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC, DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°，则 ∠AEC= ( A.28 B.59° C.60° D.62 3.如图，AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点 F,AE=CF,则图中全等三角形有 ( A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 D (第3题图) (第4题图)》 4.如图，AD∥BC,AB⊥BC,CD⊥DE:CD=ED. AD=2,BC=3,则△ADE的面积为 ( A.1 B.2 C.5 D.6 二、填空题 5.如图，AB⊥FD,ED⊥FD,AB=FD,AC FE,∠A+∠E P B CO (第5题图) (第6题图)】 6.如图，MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D在直线MN 上，点B,C在直线PQ上，点E在AB上，AD+ BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB=· 9 第十二幸全等三角形 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D 交AC于点E.若BC=BD,AC=4cm,BC= 3cm,AB=5cm,则△ADE的周长是 (第7题图) (第8题图) 8.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB,垂足 为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为 48和26，△EDF的面积为 三、解答题 9.如图，AB与CD相交于点O,∠ACF=∠BDE= 90°，E、F在AB上，且AC=BD,AE=BF,求证： CO-=DO 1 搞南针，八年纸上精·数学(HS 10.如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和 △ABE的高，如果AD=AF,AC=AE. 求证：BC=BE 0 11.如图，在△ABC中，AB=AC,DE是过点A的 直线，BD⊥DE于D.CE⊥DE于点E; 图① 图② (1)若B、C在DE的同侧（如图①所示）且 AD=CE.求证：AB⊥AC: (2)若B、C在DE的两侧（如图②所示），且 AD=CE,其他条件不变，AB与AC仍垂直 吗？若是请给出证明：若不是，请说明理由. ·9 B组·能力提升 12.如图，有一个Rt△ABC,∠C=90°，AC=16, BC=8,一条线段MN=AB,M、N分别在AC 和过A点且垂直于AC的射线AP上运动， AM= 时，才能使△ABC和△AMN 全等 (第12题图) (第13题图) 13.如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，过D 作DE⊥AC于E,DF⊥AB交BA的延长线于 F,且满足∠FDE=∠BDC,则下列结论： ①△CDE≌△BDF;②CE=AB+AE: ③∠BDC=∠BAC:④∠DAF=∠CBD.其中 正确的结论有 A.1个B.2个C.3个 D.4个 14.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,P为BD 上的点，∠ACP=45,AP=BC. (1)求证：①AD=BD:②AP⊥BC (2)延长CP交AB于点M,求证：CP+ 2BM=AB. 2